康軒 國中數學

2. 日常生活中有些問題，會和二次函數的最大
值或最小值有關，這時我們可以依下列步驟進行
解題：
搭配課本第 58 頁

3. (1)設未知數：依題意假設適當的未知數 x、y。
(2)列式：依題意列出 x 的二次函數。
(3)求值：利用配方法，求出二次函數的最大值或
最小值。
(4)作答：依題意回答問題。
搭配課本第 58 頁

4. 若兩數的差為 8，則此兩數的乘積是否有最大值
或最小值？若有，試求其值。
例 1 兩數問題
搭配課本第 58 頁

5. 例 1 兩數問題
(1)設未知數：設兩數分別為 x、(x＋8)，
兩數乘積為 y。
(2)列式：y＝x(x＋8)。
(3)求值：y＝x(x＋8)＝x2
＋8x
＝(x＋4)2
－16 ≥ －16
可知當 x＝－4 時，y 有最小值－16。
(4)作答：兩數的差為 8，其乘積的最小值為
－16，此時兩數為－4、4。
搭配課本第 58 頁

6. 若兩數的和為 10，則此兩數之乘積的最大值
是多少？
搭配課本第 58 頁

7. (1)設未知數：設此兩數分別為 x、(10－x)，
且其乘積為 y
(2)列式：y＝x(10－x)
(3)求值：y＝x(10－x)＝－x2
＋10x
＝－(x－5)2
＋25 ≤ 25
可知當 x＝5 時，y 有最大值 25
(4)作答：兩數的和為 10，其乘積的最大值為 25
此時兩數為 5、5
搭配課本第 58 頁

8. 軒軒國中想用 80 公尺長的籬笆圍出一塊矩形的
溼地，作為自然生態學習區，則如何才可圍出最
大面積的溼地？此時最大面積為多少？
例 2 面積和問題
搭配課本第 59 頁

9. 例 2 面積和問題
(1)設未知數：設此矩形溼地的長為 x 公尺、
寬為(40－x)公尺，
面積為 y 平方公尺。
(2)列式：y＝x(40－x)。
＝－x2
＋40x
(4)作答：矩形溼地的長、寬皆為 20 公尺時，
(3)求值：y＝x(40－x)
＝－(x－20)2
＋400 ≤ 400
可知當 x＝20 時，y＝400 為最大值。
可圍成最大面積 400 平方公尺的溼地。
搭配課本第 59 頁

10. 小妍想將一條 40 公分長的彩帶剪成兩段，各
圍成一個正方形，他要怎麼剪才能讓這兩個正
方形的面積和為最小？此時面積和為多少平
方公分？
(1)設未知數：設兩段彩帶為 x 公分及(40－x)公分
時，這兩個正方形的面積和為 y 平
方公分
(2)列式：y＝(
x
4 )2
＋(
40－x
4 )2
搭配課本第 59 頁

11. (3)求值：y＝(
x
4 )2
＋(
40－x
4 )2
＝
x2
16＋
1600－80x＋x2
16
＝
x2
－40x＋800
8 ＝
1
8 (x2
－40x)＋100
＝
1
8 (x2
－40x＋400)－50＋100
＝
1
8 (x－20)2
＋50 ≥ 50
可知當 x＝20 時，y 有最小值 50
(4)作答：兩段彩帶皆為 20 公分時，這兩個正方形
的面積和會最小，為 50 平方公分
搭配課本第 59 頁

12. 康康旅行社舉辦「高鐵一日遊─ ─
發現美濃」的活動，預訂人數為 40
人，每人收費 6000 元，若人數到達
40 人後，每增加 1 人，則每人收費
可減少 100 元。試問當增加多少人
時，旅行社能收到最多的錢？最多
可收多少錢？
例 3 收費問題
搭配課本第 60 頁

13. 例 3 收費問題
(1)設未知數：設增加 x 人時，旅行社總共能收到 y
元。
搭配課本第 60 頁
Hint 每人需付的錢
＝
原價 每增 1 人，每人可少 100 元
總收入 每人需付的錢 × 參加人數
6000 － 100x
y ＝ (6000－100x) × (40＋x)

14. 例 3 收費問題
(2)列式：此時參加人數為(40＋x)人，
每人應收費(6000－100x)元，
則可得到二次函數
y＝(6000－100x)(40＋x)。
搭配課本第 60 頁

15. 例 3 收費問題
(4)作答：當增加 10 人時，旅行社能收到最多
的錢，為 250000 元。
(3)求值：
y＝(6000－100x)(40＋x)
＝240000＋6000x－4000x－100x2
＝－100x2
＋2000x＋240000
＝－100(x2
－20x)＋240000
＝－100(x－10)2
＋250000 ≤ 250000
當 x＝10 時，y 有最大值 250000。
搭配課本第 60 頁

16. 某文具店每個鉛筆盒賣 54 元，每星期可賣出 40
個，若鉛筆盒的價格每便宜 1 元，一星期可多賣
出 10 個，則當每個鉛筆盒賣多少元時，那個星
期賣鉛筆盒的收入最多？
搭配課本第 60 頁

17. (1)設未知數：設便宜 x 元時，收入為 y 元
(2)列式：y＝(54－x)(40＋10x)
(3)求值：y＝(54－x)(40＋10x)
＝－10x2
＋500x＋2160
＝－10(x－25)2
＋8410 ≤ 8410
當 x＝25 時，y 有最大值 8410
(4)作答：當每個鉛筆盒賣 54－25＝29 元時
賣鉛筆盒的收入最多
搭配課本第 60 頁

18. 家俊投擲鉛球，當鉛球的水平距離為 x 公尺時，
鉛球離地面的高度為 y 公尺，如下圖。若 x 與 y
滿足關係式 y＝－
1
40 (x2
－16x－56)，則鉛球行進
路徑的最高點離地面多少公尺？
例 4 路徑問題
搭配課本第 61 頁

19. y＝－
1
40 (x2
－16x－56)
例 4 路徑問題
＝－
1
40 (x2
－16x＋64－64－56)
＝－
1
40 (x－8)2
＋3 ≤ 3
∴ 當 x＝8 時，y 有最大值 3，
即鉛球行進路徑的最高點離地面 3 公尺。
搭配課本第 61 頁

20. 地面上有一個噴水孔會噴出水柱，如下圖。若經
過 x 秒後，噴出的水柱高度為 y 公尺，且 x 與 y
滿足關係式 y＝4.9x－4.9x2
，則此噴水孔噴出的水
柱最高點離地面多少公尺？
搭配課本第 61 頁

21. y＝4.9x－4.9x2
＝－4.9(x2
－x＋
1
4 －
1
4 )
＝－4.9(x－
1
2 )2
＋
49
40 ≤
49
40
∴ 當 x＝
1
2 時，y 有最大值
49
40
即噴水孔噴出的水柱最高點離地面
49
40 公尺
搭配課本第 61 頁

22. 有一座形如拋物線的拱橋，這座拱橋下的水面離
拱頂 2 公尺，水面寬 4 公尺，如下圖。若水位下
降 1 公尺，則水面寬度為多少公尺？
例 5 拱橋問題
2
4
搭配課本第 62 頁

23. 例 5 拱橋問題
取拱橋下緣這條拋物線的頂點為原點，
假設這條拋物線所表示的二次函數為
y＝ax2
(a≠ 0)，
在坐標平面上
呈現如右圖：
搭配課本第 62 頁
x
O
y
－1
11
(x1 , －3)
(2 , －2)
(x2 , －3)

24. 例 5 拱橋問題
由圖可知拋物線通過點(2 , －2)，
將 x＝2，y＝－2 代入 y＝ax2
，
得－2＝a．22
，a＝－
1
2 ，
即這條拋物線所
表示的二次函數
為 y＝－
1
2
x2
，
搭配課本第 62 頁
x
O
y
－1
11
(x1 , －3)
(2 , －2)
(x2 , －3)

25. 當水位下降 1 公尺，即 y＝－3＝－
1
2 x2
，
例 5 拱橋問題
得 x2
＝6，x＝ ± 6，故 x1＝ 6，x2＝－ 6，
所以水面寬度為∣ x1－x2∣ ＝∣ 6－(－ 6)∣
＝2 6公尺。
搭配課本第 62 頁

26. Hint
也可以將拋物線的頂點設為 (0 , 2) ，
對稱軸為 y 軸，
二次函數為 y ＝ ax2
＋ 2 來解題。
例 5 拱橋問題
搭配課本第 62 頁

27. 某河流上有一座形如拋物線的拱橋，這座拱橋下
的水面離拱頂 3 公尺，水面寬為 6 公尺，若水位
上升 2 公尺，則水面寬度為多少公尺？
搭配課本第 62 頁

28. 依題意可得下圖，設二次函數為 y＝ax2
(a≠ 0)
將 x＝3、y＝－3 代入 y＝ax2
，得 a＝－
1
3
即這條拋物線所表示的二次函數為 y＝－
1
3 x2
x
O
y
1 1
(－3 , －3)
(3 , －3)
(x1 , －1)(x2 , －1)
搭配課本第 62 頁

29. 當水位上升 2 公尺
即 y＝－1＝－
1
3 x2
，x2
＝3，x＝± 3
故 x1＝ 3，x2＝－ 3
所以水面寬度為∣ x1－x2∣ ＝∣ 3－(－ 3 )∣
＝2 3(公尺)
搭配課本第 62 頁

30. 二次函數最大值或最小值的應用問題1
解二次函數最大值
或最小值的應用問
題有以下步驟：
若兩數的差為 8，
則此兩數的乘積
是否有最大值或
最小值？若有，
試求其值。
搭配課本第 63 頁
例

31. 二次函數最大值或最小值的應用問題1
(1)設未知數：依題意
假設適當的未知數
x、y。
設此兩數分別為 x、
x＋8，兩數乘積為 y。
搭配課本第 63 頁

32. 二次函數最大值或最小值的應用問題1
(2)列式：依題意列出
x 的二次函數。
y＝x(x＋8)
搭配課本第 63 頁

33. 二次函數最大值或最小值的應用問題1
(3)求值：利用配方
法，求出二次函
數的最大值或最
小值。
y＝x(x＋8)
＝x2
＋8x
＝(x＋4)2
－16 ≥ 16
可知當 x＝－4 時，
y＝－16 為最小值。
搭配課本第 63 頁

34. 二次函數最大值或最小值的應用問題1
(4)作答：依題意回答
問題。
兩數的差為 8，
其乘積的最小值為－16，
此時兩數為－4、4。
搭配課本第 63 頁

35. 1 若兩數的和為 11，則此兩數的乘積是否有最
大值或最小值？若有，試求其值。
設此兩數分別為 x、(11－x)，且其乘積為 y
則 y＝x(11－x)＝－x2
＋11x
＝－(x－
11
2 )2
＋
121
4 ≤
121
4
∴ 當 x＝
11
2 時，y＝
121
4 為最大值
即此兩數為
11
2 、
11
2 時，其乘積有最大值
121
4
搭配課本第 64 頁

36. 2 P(－3)、Q(2)為數線上兩點，在數線上找一
點 N(x)，使得¯NP2
＋¯NQ2
的值為最小，則 N
點坐標為何？此時¯NP2
＋¯NQ2
的值為何？
搭配課本第 64 頁

37. 2 設 y＝¯NP2
＋¯NQ2
則 y＝(x＋3)2
＋(2－x)2
＝2x2
＋2x＋13
＝2(x＋
1
2 )2
＋
25
2
即當 N 點坐標為－
1
2 時
¯NP2
＋¯NQ2
最小，其值為
25
2
搭配課本第 64 頁
x
P N Q
3 2

38. 3 佳玫站在離地面 18 公尺高的塔頂上，向上投
擲一球，經 x 秒後，球距地面的距離為 y 公尺，
已知 y 與 x 的關係為 y＝－2x2
＋16x＋18，則：
(1)此球擲出經幾秒後，可達最大高度？
(2)承(1)，此時最大高度為多少公尺？
搭配課本第 64 頁

39. 3 (1)(2)y＝－2x2
＋16x＋18
＝－2(x－4)2
＋50 ≤ 50
當 x＝4 時，y 有最大值 50
即擲出 4 秒後
可達最大高度 50 公尺
x
y
O
(0,18)
搭配課本第 64 頁

40. 3 佳玫站在離地面 18 公尺高的塔頂上，向上投
擲一球，經 x 秒後，球距地面的距離為 y 公尺，
已知 y 與 x 的關係為 y＝－2x2
＋16x＋18，則：
(3)此球擲出經幾秒後，才會落到地面？
搭配課本第 64 頁

41. 3 (3)以 y＝0 代入 y＝－2x2
＋16x＋18 中
得－2x2
＋16x＋18＝0
解出 x＝9 或 x＝－1(不合)
所以此球經過 9 秒後會落到地面
搭配課本第 64 頁

42. 我們知道二次函數的圖形為一拋物線，其名
稱的由來就是因為其圖形與拋擲物體時，物體的
運動軌跡相似，那麼我們要如何利用二次函數來
表示一個物體的運動軌跡呢？
搭配課本第 65 頁

43. 已知重力加速度 g＝－9.8m/s2
，為了方便計
算取 g＝－10m/s2
，假設某人從地面上以 45 度仰
角、10 2m/s 的速度投擲一顆石頭，則會有以下
的關係式：
45° x
y
O
vy
vx
v=10 2m/s
搭配課本第 65 頁

44. 水平分速度 vx＝10m/s，
水平方向的位移 x＝vxt＝10t ⇒ t＝
x
10 ……(1)
垂直分速度 vy＝10m/s，
垂直方向的位移 y＝vyt＋
1
2 gt2
＝10t－5t2
……(2)
將(1)代入(2)：y＝10×
x
10 －5×(
x
10 )2
＝x－
1
20 x2
，
得到 y 與 x 的關係式為 y＝x－
1
20 x2
。
搭配課本第 65 頁

45. 若再將此關係式配方可得
y＝－
1
20
(x2
－20x)＝－
1
20
(x－10)2
＋5，
由此可知垂直高度最高可達 5m，
此時距離出發點的水平位移為 10m，
而要求落地時的水平位移則是令 y＝0，
搭配課本第 65 頁

46. 得 0＝x－
1
20 x2
，x＝0 或 20，
x＝0 即為出發點的位置，
而 x＝20 即落地時的位置，
故落地時的水平位移為 20m。
搭配課本第 65 頁