1. 第 2 章 導函數的應用 21
2 導函數的應用
2-1 多項式函數圖形的描繪
1. 討論函數 f  x   x3  3x 2  9 x  12 的遞增與遞減狀況﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   3 x 2  6 x  9  3  x 2  2 x  3  3  x  1 x  3 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 或 3﹒
將關於 f   x  的正﹑負列表如下﹕
x 1 3
f  x  0  0 
因此﹐
(1)當 x  1 或 x  3 時﹐ f   x   0 ﹐
於是 f  x  在區間  , 1 與  3,   上為
遞增函數﹒
(2)當 1  x  3 時﹐ f   x   0 ﹐於是
f  x  在區間  1,3 上為遞減函數﹒

2. 22 第 2 章 導函數的應用
2. 討論函數 f  x   x 4  6 x 2  3 的遞增與遞減狀況﹒
解﹕函數 f  x  的導函數
 
f   x   4 x 3  12 x  4 x x  3 x  3 ﹒ 
當 f   x   0 時﹐解得 x  0 ﹐ 3 或  3 ﹒
將關於 f   x  的正﹑負列表如下﹕
x  3 0 3
f  x  0  0  0 
因此﹐
(1)當  3  x  0 或 x  3 時﹐ f   x   0 ﹐
於是 f  x  在區間   3, 0  與  3,  上
   
為遞增函數﹒
(2)當 x   3 或 0  x  3 時﹐ f   x   0 ﹐

於是 f  x  在區間 ,  3  與  0, 3  上
  
為遞減函數﹒
3. 設函數 f  x   2 x 3  3 x 2  12 x  10 在區間  1, a 
上為遞減函數﹐求實數 a 的最大值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   6 x 2  6 x  12  6  x 2  x  2   6  x  1 x  2  ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 1  x  2 ﹒
於是 f  x  在區間  1, 2 上為遞減函數﹒
故實數 a 的最大值為 2﹒

3. 第 2 章 導函數的應用 23
4. 設函數 f  x   x 4  4 x 3  20 x 2  96 x  70 在區間  a,   上是遞增函數﹐在區間
 10, b 上是遞減函數﹐求 a 的最小值及 b 的最大值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   4 x 3  12 x 2  40 x  96  4  x  4  x  2  x  3 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  3 ﹐ 2 或 4 ﹒
將關於 f   x  的正﹑負列表如下﹕
x 4 2 3
f  x  0  0  0 
因此﹐
(1)當 4  x  2 或 x  3 時﹐ f   x   0 ﹐
於是 f  x  在區間  4, 2 與  3,   上
為遞增函數﹒
(2)當 x  4 或 2  x  3 時﹐ f   x   0 ﹐
於是 f  x  在區間  , 4 與  2, 3 上
為遞減函數﹒
故 a 的最小值為 3﹐ b 的最大值為 4 ﹒
5. 設函數 f  x   2 x 3  ax 2  bx  5 在區間  2,5 上為遞減函數﹐在區間  5,   與
 , 2 上為遞增函數﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   6 x 2  2ax  b ﹒
由題意得
 f  2  0
 24  4a  b  0
   ﹒
 f   5  0
 150  10a  b  0
解得 a  21 ﹐ b  60 ﹒

4. 24 第 2 章 導函數的應用
6. 設三次函數 f  x   ax 3  3 x 2   a  2  x  5 在整條數線 上為遞減函數﹐求
a 的範圍﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   3ax 2  6 x   a  2 
因為 f  x  在整條數線 上為遞減函數﹐
所以對於任意實數 x ﹐
f   x   3ax 2  6 x   a  2   0
恆成立﹒推得
3a  0
 a  0 a  0

 2   2   ﹒
 6   4  3a   a  2   0
  a  2a  3  0  a  3 a  1  0

故 a  3 ﹒
7. 已知三次函數 f  x   2 x 3  ax 2  bx 圖形的反曲點為
 1, 2  ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒
解﹕函數 f  x  的 f   x  與 f   x  分別為
f   x   6 x 2  2ax  b ﹐ f   x   12 x  2a ﹒
因為反曲點為  1, 2  ﹐所以
 f   1  0
 12  2a  0
   ﹒
 f  1  2
  2  a  b  2
解得 a  6 ﹐ b  2 ﹒

5. 第 2 章 導函數的應用 25
8. 描繪三次函數 f  x   x3  3x 2  9 x  2 的圖形﹒
解﹕首先求出 f   x  及 f   x  ﹐並將它們因式分解如下﹕
f   x   3 x 2  6 x  9  3  x  3 x  1 ﹐
f   x   6 x  6  6  x  1 ﹒
因此﹐得
x 1 1 3
f  x  0    0 
f   x     0   
f  x 7 9 25
根據上表﹐描繪函數圖形如下﹕

6. 26 第 2 章 導函數的應用
2-2 多項式函數的極值
1. 求函數 f  x   2 x 3  9 x 2  12 x  5 的極大值與極小值﹒
解﹕函數 f  x  的第一階與第二階導函數如下﹕
f   x   6 x 2  18 x  12  6  x  1 x  2  ﹐
f   x   12 x  18  6  2 x  3 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 ﹐2﹒
另一方面﹐由於
f  1  6  0 ﹐ f   2   6  0 ﹒
利用第二階導函數判別法﹐
得 f  x  在 x  1 處有極大值 f 1  10 ﹔
在 x  2 處有極小值 f  2   9 ﹒
2. 求函數 f  x   3x 4  8 x3  30 x 2  72 x  1 的極大值與極小值﹒
解﹕函數 f  x  的第一階與第二階導函數如下﹕
f   x   12 x 3  24 x 2  60 x  72
 12  x 3  2 x 2  5 x  6 
 12  x  2  x  1 x  3 ,
f   x   36 x 2  48 x  60  12  3 x 2  4 x  5  .
當 f   x   0 時﹐解得 x  2 ﹐1﹐3﹒
另一方面﹐由於
f   2   180  0 ﹐
f  1  72  0 ﹐
f   3  120  0 ﹒
利用第二階導函數判別法﹐

7. 第 2 章 導函數的應用 27
得 f  x  在 x  1 處有極大值 f 1  38 ﹔
在 x  2 及 x  3 兩處有極小值
f  2   151 與 f  3  26 ﹒

8. 28 第 2 章 導函數的應用
3. 求函數 f  x   x 3  12 x  2 在閉區間  3,5 上的最大值與最小值﹒
解﹕首先求出 f  x  的導函數
f   x   3x 2  12  3  x  2  x  2  ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  2 ﹐2﹒
因為閉區間  3,5 的端點為 3 ﹐5﹐
所以 f  x  的極值只可能出現在 3 ﹐ 2 ﹐2﹐5﹒
其次﹐我們將導數的正﹑負整理成下表﹕
x 3 2 2 5
f  x   0  0 
f  x 11 18 14 67
由上表可得﹐最大值為 67﹐最小值為 14 ﹒
4. 設 f  x    x 3  27 x  9 ﹐且 5  x  1 ﹐
求 f  x  的最大值與最小值﹒
解﹕首先求出 f  x  的導函數
f   x   3 x 2  27  3  x  3 x  3 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  3 ﹐ 3 ﹒
因為閉區間  5,1 的端點為 5 ﹐1﹐
所以 f  x  的極值只可能出現在 5 ﹐ 3 ﹐1﹒
其次﹐我們將導數的正﹑負整理成下表﹕
x 5 3 1
f  x   0 
f  x 1 45 35
由上表可得﹐最大值為 35﹐最小值為 45 ﹒

9. 第 2 章 導函數的應用 29
5. 求函數 f  x   x 6  3x 2 在閉區間  2, 2 上的最大值與最小值﹒
解﹕首先求出 f  x  的導函數
f   x   6 x 5  6 x  6 x  x 4  1  6 x  x  1 x  1  x 2  1 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 ﹐0﹐1﹒
因為閉區間  2, 2 的端點為 2 ﹐2﹐
所以 f  x  的極值只可能出現在 2 ﹐ 1 ﹐0﹐1﹐2﹒
其次﹐我們將導數的正﹑負整理成下表﹕
x 2 1 0 1 2
f  x  0  0  0 
f  x 52 2 0 2 52
由上表可得﹐最大值為 52﹐最小值為 2 ﹒
6. 設函數 f  x   x3  ax 2  3ax  4 ﹐ f  x  在 x  1 處有極大值﹐
且 求實數 a 的
值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   3x 2  2ax  3a ﹒
因為 f  x  在 x  1 處有極大值﹐
所以 f   1  0 ﹐即
2
3  1  2a  1  3a  0 ﹒
解得 a  3 ﹒

10. 30 第 2 章 導函數的應用
7. 設函數 f  x   x 3  ax 2  bx ﹐且 f  x  在 x  1 與 x  3 處有極值﹐求實數 a ﹐
b 的值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為 f   x   3x 2  2ax  b ﹒
因為 f  x  在 x  1 與 x  3 處有極值﹐所以
 f   1  0
 3  2a  b  0
   ﹒
 f   3  0
 27  6a  b  0
解得 a  3 ﹐ b  9 ﹒
8. 設三次函數 f  x  在 x  1 處有極大值 5﹐ x  1 處有極小值 1﹐ f  x  ﹒
在 求
解﹕設三次函數 f  x   ax 3  bx 2  cx  d ﹐則其導函數為
f   x   3ax 2  2bx  c ﹒
因為 f  x  在 x  1 處有極大值 5﹐在 x  1 處有極小值 1﹐所以
 f  1  0 3a  2b  c  0
 a  b  c  d  5
 f 1  5 
   ﹒
 f   1  0 3a  2b  c  0
 f  1  1 a  b  c  d  1


解得 a  1 ﹐ b  0 ﹐ c  3 ﹐ d  3 ﹒
故 f  x    x3  3x  3 ﹒

11. 第 2 章 導函數的應用 31
2-3 三次函數的圖形
1. 關於三次函數 f  x   x3  x ﹐選出正確的選項﹕
(1) f  x  是遞增函數﹒ (2) f  x  的圖形沒有水平切線﹒
(3) f  x  的圖形沒有反曲點﹒ (4) f  x  沒有極值﹒
(5) f  x  沒有最大值﹒
解﹕計算 f   x   3x 2  1 ﹐因為 f   x  的值恆為正數﹐
所以 f  x  是遞增函數﹐而且 f  x  沒有極值﹐
其圖形沒有水平切線﹒
又因為 f  x  是一個三次函數﹐所以
f  x  的圖形恰有一個反曲點﹐但是沒有最大值﹒
因此正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒
2. 已知 f  x    x 3  ax 2  ax  6 沒有極值﹐求 a 的範圍﹒
解﹕因為 f  x  沒有極值﹐所以 f   x  的判別式
2
小於或等於 0﹐即  2a   4  3 a  0 ﹐
解得 3  a  0 ﹒

12. 32 第 2 章 導函數的應用
3
3. 關於函數 f  x     x  1  2 ﹐選出正確的選項﹕
(1) f  x  是遞增函數﹒ (2) f  x  的圖形沒有水平切線﹒
(3) f  x  沒有極值﹒ (4) f  x  的圖形沒有反曲點﹒
(5)方程式 f  x   0 恰有一個實數解﹒
2
解﹕計算 f   x   3  x  1 ﹐
可知 f   x  的值恆小於或等於 0﹐且 f  1  0 ﹐因此可知﹕
(1) f  x  是遞減函數﹒
(2) f  x  的圖形在 x  1 處有水平切線﹒
(3) f  x  沒有極值﹒
(4)三次函數 f  x  的圖形恰有一個反曲點﹒
(5) f  x  的圖形與 x 軸恰有一個交點﹐
即方程式 f  x   0 恰有一個實數解﹒
因此正確的選項為(3)(5)﹒
4. 已知三次函數 f  x  在 x  1 處有水平切線﹐且 1, 2  為其反曲點﹐又
f  2   3 ﹐求 f  x  ﹒
解﹕設 f  x   ax 3  bx 2  cx  d ﹐
計算 f   x   3ax 2  2bx  c ﹐ f   x   6ax  2b ﹒
因為 f  x  在 x  1 處有水平切線﹐
且 1, 2  為其反曲點﹐又 f  2   3 ﹐
所以 f  1  0 ﹐ f  1  0 ﹐ f 1  2 ﹐ f  2   3 ﹒
3a  2b  c  0
6a  2b  0

得方程組  ﹐
a  b  c  d  2
8a  4b  2c  d  3

解得 a  1 ﹐ b  3 ﹐ c  3 ﹐ d  1 ﹐即 f  x   x 3  3 x 2  3 x  1 ﹒

13. 第 2 章 導函數的應用 33

14. 34 第 2 章 導函數的應用
5. 求方程式 x 3  6 x 2  9 x  2  0 的實根個數﹒
解﹕設 f  x   x 3  6 x 2  9 x  2 ﹐計算
f   x   3 x 2  12 x  9  3  x  1 x  3 ﹐
得兩個極值﹕ f  1  2 ﹐ f  3  2 ﹒
因為 f  1 f  3  0 ﹐
所以方程式 f  x   0 有三個相異實根﹒
6. 已知方程式 x 3  3kx 2  4  0 有三個相異實根﹐求實數 k 的範圍﹒
解﹕設 f  x   x3  3kx 2  4 ﹐計算
f   x   3 x 2  6kx  3 x  x  2k  ﹒
因為方程式 f  x   0 有三個相異實根﹐
所以 f  x  有兩個極值﹕
f  0   4 ﹐ f  2k   8k 3  12k 3  4  4k 3  4 ﹐
且 f  0  f  2k   0 ﹒
4  4k 3  4   0  k 3  1  0   k  1  k 2  k  1  0 ﹐
因為 k 2  k  1 恆為正數﹐所以得 k  1 ﹒

15. 第 2 章 導函數的應用 35
7. 已知兩曲線 y  x3 與 y  a  3 x 2 有三個相異交點﹐求 a 的範圍﹒
解﹕因為 y  x3 與 y  a  3 x 2 有三個相異交點﹐
所以方程式 x 3  a  3x 2 有三個相異實根﹒
設 f  x   x 3  3 x 2  a ﹐計算
f   x   3x2  6 x  3x  x  2 ﹐
得兩個極值﹕ f  0    a ﹐ f  2   4  a ﹒
因為方程式 f  x   0 有三個相異實根﹐
所以 f  0  f  2   0 ﹐
解得 0  a  4 ﹒
8. 已知 1 為 x 3  ax 2  5 x  b  0 的二重根﹐求實數 a ﹐ b ﹒
解﹕設 f  x   x3  ax 2  5 x  b ﹐計算
f   x   3x 2  2ax  5 ﹒
因為 1 為 x 3  ax 2  5 x  b  0 的二重根﹐
所以 f  x  在 x  1 處有水平切線﹐
即 f  1  0 且 f 1  0 ﹒
由 f  1  0 可得 f  1  3  2a  5  0 ﹐解得 a  4 ﹐
又 f 1  1  4  5  b  0 ﹐
解得 b  2 ﹒

16. 36 第 2 章 導函數的應用
2-4 極值的應用
1. 品冠便當店的招牌便當每個 120 元﹐每天限量推出 1200 個均能銷售一
空﹒根據問卷調查顯示﹐若將便當價格每調高 5 元﹐便當銷售數量就會
減少 40 個﹒問﹕當便當價格訂為多少元時﹐招牌便當有最大的收入﹖
解﹕設調高 5 x 元﹐此時便當售價為 120  5x 元﹐
銷售數量為 1200  40x 個﹐總收入為
f  x   120  5 x 1200  40 x   200 x 2  1200 x  144000 元﹒
計算 f  x  的導函數 f   x  ﹐得
f   x   400 x  1200  400  x  3  ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  3 ﹐並將導數 f   x  的正﹑負整理成下表﹕
x 3
f  x   0 
f  x 145800
由上表可知當 x  3 時﹐ f  x  有最大值 145800﹐
即當便當價格為 135 元時﹐
招牌便當有最大的收入 145800 元﹒

17. 第 2 章 導函數的應用 37
2. 已知一電力摩托車進行道路測試時﹐其速度函數為 V  t   60t  3  t 2  （公
里／小時）﹐其中 t 是測試時間（小時）﹒求此摩托車在測試過程中的最
高速度﹒
解﹕計算 V   t   180t 2  180  180  t  1 t  1 ﹒
當 V   t   0 時﹐解得 t  1 ﹐ t  1 ﹐因為時間 t  0 ﹐
所以將導數 V   t  的正﹑負整理成下表﹕
t 1
V  t   0 
V t  120
可知當 t  1 時﹐ V  t  的最大值為 120﹐
即摩托車在測試過程中的最高速度為每小時 120 公里﹒
3. 已知坐標平面上有兩個運動質點 P ﹑ Q ﹒其中質點 P 由原點  0, 0  出發﹐
其運動軌跡為 f  t   t 3 ﹐而質點 Q 由點  0, a  出發﹐其運動軌跡為
g  t   12t  a ﹐其中 t 表示時間（秒）
﹒若此兩質點在運動過程中最接近的
距離為 3﹐則 a 的值為何﹖
解﹕設 h  t   f  t   g  t   t 3  12t  a ﹐計算
h  t   3t 2  12  3  t  2  t  2  ﹒
因為質點 P 由原點  0, 0  出發﹐所以 t  0 ﹐
當 h  t   0 時﹐解得 t  2 ﹐並將導數 h  t  的正﹑負整理成下表﹕
t 2
h  t   0 
h t  16  a
可知當 t  2 時﹐ h  t  的最小值為 16  a ﹐
即 16  a  3 ﹐ a  19 ﹒

18. 38 第 2 章 導函數的應用
4. 將長 8 公分﹑寬 5 公分的矩形紙片之四個角各截去一個面積相等的正方
形﹐然後再將各邊摺起來﹐做成一個無蓋的長方體紙盒﹒設截去的正方
形邊長為 x 公分﹐長方體的容積為 f  x  立方公分﹒
(1)求 x 的範圍﹒
(2)寫出函數 f  x  ﹒
(3)當 x 為多少時﹐長方體的容積 f  x  會最大﹖
解﹕(1)因為截去的正方形邊長小於原矩形寬的一半﹐且邊長為正數﹐所以
5
0 x ﹒
2
(2)因為長方體的底面積為  8  2 x  5  2 x  平方公分﹐高為 x 公分﹐
所以長方體的容積 f  x  為
f  x   x  8  2 x  5  2 x   4 x 3  26 x 2  40 x ﹒
(3)計算 f  x  的導函數 f   x  ﹐得
f   x   12 x 2  52 x  40  4  3 x 2  13 x  10   4  3 x  10  x  1 ﹒
10
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 或 ﹒
3
5 10
因為 0  x  ﹐所以 x  不在範圍內﹒
2 3
將導數 f   x  的正﹑負整理成下表﹕
5
x 0 1
2
f  x   0 
f  x 18
可知當 x  1 時﹐ f  x  的最大值為 18﹐
即當截去的正方形邊長為 1 公分時﹐
所得長方體有最大容積 18 立方公分﹒

19. 第 2 章 導函數的應用 39
 1
5. 求拋物線 y  x 2 上與點 A  2,  距離最近的點坐標及最近的距離﹒
 2
解﹕設 P  x, x 2  為拋物線 y  x 2 上任意一點﹒
(1)因為 P 是拋物線 y  x 2 上任意一點﹐
所以 x 為任意實數﹒
(2)由兩點間的距離公式﹐得
2

2 1 17
PA   x  2    x 2    x 4  4 x  ﹒
 2 4
17
(3)設 f  x   x 4  4 x  ﹐ x 為實數﹒計算 f  x  的導函數 f   x  ﹐得
4
f   x   4 x 3  4  4  x  1  x 2  x  1 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 ﹐並將導數 f   x  的正﹑負整理成下表
x 1
f  x  0 
5
f  x
4
5
可知當 x  1 ﹐ f  x  有最小值 ﹐即當 P 點的坐標為 1,1 時﹐
4
5
P 點與 A 點的距離最近為 ﹒
2

20. 40 第 2 章 導函數的應用
6. 已知一直圓錐內接於半徑 3 公分的球面內﹐如圖所
示﹒求此直圓錐的最大體積﹒
（直圓錐的體積為底面
積乘以高的三分之一）
解﹕設 BC  r ﹐ OC  x ﹐直圓錐的體積為
1
V  x   r2 3  x ﹒
3
由圖可知﹕ r 2  x 2  9  r 2  9  x 2 ﹐
1 1
即 V  x     9  x 2   3  x      x 3  3 x 2  9 x  27  ﹒
3 3
1
計算 V   x     3 x 2  6 x  9     x  3 x  1 ﹒
3
當 V   x   0 時﹐解得 x  1 或 x  3 ﹒
因為 x 是一個正數﹐所以我們考慮 x  1 ﹐
並將導數 V   x  的正﹑負整理成下表﹕
x 1
V  x  0 
32
V  x 
3
32
可知當 x  1 時﹐ V  x  有最大值 ﹐
3
32
即直圓錐的最大體積為  立方公分﹒
3

21. 第 2 章 導函數的應用 41
7. 已知△ ABC 為一直角三角形﹐其兩股 AB  8 ﹐
AC  4 ﹒今在斜邊 BC 上取一點 P ﹐並作一矩
形 PQAR ﹐如圖所示﹒求此矩形 PQAR 的最大
面積﹒
解﹕設 AQ  x ﹐ PQ  y ﹐則 QC  4  x ﹐矩形 PQAR 的面積為 xy ﹒
因為△ QPC 與△ ABC 相似﹐
QC AC 4 x 4
所以  ﹐即  ﹐得 2 x  y  8 ﹒
QP AB y 8
將 y  8  2 x 代入 xy ﹐
得矩形 PQAR 的面積為 x  8  2 x   2 x 2  8 x ﹒
設 f  x   2 x 2  8 x ﹐
計算 f   x   4 x  8  4  x  2  ﹐
當 f   x   0 時﹐解得 x  2 ﹐並將導數 f   x  的正﹑負整理成下表﹕
x 2
f  x  0 
f  x 8
由上表可知當 x  2 時﹐ f  x  有最大值 8﹐
即矩形 PQAR 的最大面積為 8﹒

22. 42 第 2 章 導函數的應用
8. 已知一直圓柱內接於半徑 3 公分的半球面內﹐如圖
所示﹒求此直圓柱的最大體積﹒
解﹕設此直圓柱的底面半徑為 r ﹐高為 x ﹐則其體積為
 r2x ﹒
因為 x 2  r 2  3 ﹐所以體積為   3  x 2  x ﹒
設 f  x      x 3  3x  ﹐
計算 f   x     3x 2  3  3  x  1 x  1 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 或 x  1 ﹐
因為 x  0 ﹐所以將導數 f   x  的正﹑負整理成下表﹕
x 1
f  x  0 
f  x 2
可知當 x  1 時﹐ f  x  的最大值為 2 ﹐
即直圓柱的最大體積為 2 立方公分﹒

23. 第 2 章 導函數的應用 43
第2章 總習作
1. 函數 f  x   x 3  3 x 在下列哪些區間上為遞增函數﹖
(1)  3, 2 ﹒ (2)  2, 1 ﹒ (3)  1, 0 ﹒ (4)  0,1 ﹒ (5) 1, 2 ﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   3 x 2  3  3  x  1 x  1 ﹒
當 f   x   0 時﹐解得 x  1 或 1﹒
將關於導數的正﹑負列表如下﹕
x 1 1
f  x  0  0 
因此﹐當 x  1 或 x  1 時﹐ f   x   0 ﹐
於是 f  x  在區間  , 1 與 1,   上為遞增函數﹒
故選(1)(2)(5)﹒
2. 右圖為三次函數 f  x   ax 3  bx 2  cx  d
的圖形﹐  0, 2  為 f  x  的反曲點﹐選出
正確的選項﹕
(1) a  0 ﹒ (2) b  0 ﹒ (3) c  0 ﹒
(4) d  0 ﹒ (5) f  x   100 恰有一實數解﹒
解﹕計算 f   x   3ax 2  2bx  c ﹐ f   x   6ax  2b ﹐

24. 44 第 2 章 導函數的應用
可得﹕ d  f  0   2 ﹐ f   0   c ﹐ f   0   2b ﹒
觀察圖形﹐有以下的結論﹕
(1)由三次函數的圖形特性可知﹕ a  0 ﹒
(2)因為 2b  f   0  ﹐而且  0, 2  為 f  x  的反曲點﹐
所以 b  0 ﹒
(3)因為 c  f   0  ﹐而且 f  x  為遞減函數﹐所以 c  0 ﹒
(4)因為 d  2 ﹐所以 d  0 ﹒
(5)因為 f  x  為遞減函數﹐所以 f  x  與所有水平線 y  k 都恰有一個交
點﹐因此 f  x   100 恰有一實數解﹒
綜合上面的討論可知﹕正確的選項為(5)﹒
3. 若 f  x   x3  bx 2  3 x  4 的圖形沒有水平切線﹐
則 b 的值可能為
(1)1﹒ (2)2﹒ (3)3﹒ (4)4﹒ (5)5﹒
解﹕若 f  x   x3  bx 2  3 x  4 的圖形沒有水平切線﹐即
f   x   3 x 2  2bx  3
2
恆為一個正數﹐其判別式  2b   4  3  3  0 ﹐計算得 b 2  9 ﹒
故 b 的值可能為 1﹐2﹐即正確的選項為(1)(2)﹒
4. 已知三次函數 f  x  在 x  1 處有極大值 1﹐
且  0, 0  為其圖形的反曲點﹐求 f  x  ﹒
解﹕設 f  x   ax 3  bx 2  cx  d ﹐則
f   x   3ax 2  2bx  c ﹐
f   x   6ax  2b ﹒

25. 第 2 章 導函數的應用 45
因為 f  x  在 x  1 處有極大值 1﹐
且  0, 0  為其圖形的反曲點﹐所以
 f  1  0 3a  2b  c  0
 a  b  c  d  1
 f 1  1 
   ﹒
 f   0   0 2b  0
 f 0  0 d  0


1 3
解得 a   ﹐ b  0 ﹐ c  ﹐ d  0 ﹒
2 2
1 3
故 f  x    x3  x ﹒
2 2

26. 46 第 2 章 導函數的應用
5. 設函數 f  x   2 x 3  ax 2  bx  5 在 x  1 處有極大值 c ﹐在 x  2 處有極小值
d ﹐求實數 a ﹐ b ﹐ c ﹐ d 的值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   6 x 2  2ax  b ﹒
因為 f  x  在 x  1 與 x  2 處有極值﹐所以
 f  1  0
 6  2 a  b  0
   ﹒
 f  2  0
 24  4a  b  0
解得 a  9 ﹐ b  12 ﹐
即 f  x   2 x 3  9 x 2  12 x  5 ﹒
因此﹐
c  f 1  2  9  12  5  10 ﹐
d  f  2   16  36  24  5  9 ﹒
故 a  9 ﹐ b  12 ﹐ c  10 ﹐ d  9 ﹒
6. 設三次函數 f  x   ax 3  bx 2  cx  d ﹐ f  x  在 x  1 處有極大值 6﹐ x  2
且 在
處有極小值 5﹐求實數 a ﹐ b ﹐ c ﹐ d 的值﹒
解﹕函數 f  x  的導函數為
f   x   3ax 2  2bx  c ﹒
因為 f  x  在 x  1 處有極大值 6﹐
在 x  2 處有極小值 5﹐所以
 f  1  0 3a  2b  c  0
 a  b  c  d  6
 f 1  6 
   ﹒
 f  2  0 12a  4b  c  0
 f  2  5 8a  4b  2c  d  5


解得 a  2 ﹐ b  9 ﹐ c  12 ﹐ d  1 ﹒

27. 第 2 章 導函數的應用 47
7. 已知三次函數 f  x   ax 3  3  a  2  x 2  12ax  6 ﹐
(1)若 f  x  是遞增函數﹐則實數 a 的範圍為何﹖
(2)若 f  x  是遞減函數﹐則實數 a 的範圍為何﹖
解﹕計算 f   x   3ax 2  6  a  2  x  12a ﹒
(1)若 f  x  是遞增函數﹐則 3a  0 ﹐
且 f   x  的判別式小於或等於 0﹐即
2
 6  a  2    4  3a  12a  0   36  3a  2  a  2   0 ﹐
 
2
解得 a  2 或 a   ﹒因為 3a  0 ﹐
3
2
所以 a   不合﹐即 a  2 ﹒
3
(2)若 f  x  是遞減函數﹐則 3a  0 ﹐
且 f   x  的判別式小於或等於 0﹐即
2
 6  a  2    4  3a  12a  0   36  3a  2  a  2   0 ﹐
 
2
解得 a  2 或 a   ﹒因為 3a  0 ﹐
3
2
所以 a  2 不合﹐即 a   ﹒
3

28. 48 第 2 章 導函數的應用
8. 已知 f  x   x 3  2ax 2  3ax  a 2 在 x  1 時有極小值﹐求 f  x  的極大值﹒
解﹕計算 f   x   3x 2  4ax  3a ﹐
因為 f  x  在 x  1 時有極小值﹐
所以 f   1  3  4a  3a  3  a  0 ﹐
即 a  3 ﹐因此
f   x   3 x 2  12 x  9  3  x  1 x  3 ﹐
而且 f  x   x 3  6 x 2  9 x  9 ﹐
故 f  x  的極大值為 f  3   9 ﹒

29. 第 2 章 導函數的應用 49
9. 設 f  x  為三次函數﹐若 f  x  在 x  1 處的切線方程式為 4 x  y  3  0 ﹐且
在 x  1 處有極小值 7 ﹐求 f  x  ﹒
解﹕設三次函數 f  x   ax 3  bx 2  cx  d ﹐則其導函數為
f   x   3ax 2  2bx  c ﹒
因為 f  x  在 x  1 處的切線方程式為
4 x  y  3  0 ﹐即在 x  1 處的切點為 1,1 ﹐切線斜率為 4﹐
所以
 f 1  1
 a  b  c  d  1
   ﹒
 f  1  4
 3a  2b  c  4
又因為 f  x  在 x  1 有極小值 7 ﹐所以
 f  1  7
   a  b  c  d  7
   ﹒
 f   1  0
 3a  2b  c  0
由以上四式解得 a  1 ﹐ b  1 ﹐ c  5 ﹐ d  4 ﹒
故 f  x    x3  x 2  5x  4 ﹒

30. 50 第 2 章 導函數的應用
10. 已知一矩形的一邊 AB 落在 x 軸上﹐另一邊 CD 在 x 軸
的上方﹐且其兩端點 C ﹐ D 在拋物線 y  15  x 2 上﹐如
圖所示﹒求此矩形的最大面積﹒
解﹕設 C ﹐ D 兩點的坐標分別為  x,15  x 2  ﹐   x,15  x 2  ﹒
(1)因為 C 點的 x 坐標為正﹐且小於 15 ﹐所以
0  x  15 ﹒
(2)因為矩形的邊 CD  2 x ﹐高為 15  x 2 ﹐所以矩形的面積為
f  x   2 x 15  x 2   2 x 3  30 x ﹒
(3)函數 f  x  的導函數 f   x  為
 
f   x   6 x 2  30  6 x  5 x  5 ﹒ 
當 f   x   0 時﹐解得 x  5  5﹒
因為 0  x  15 ﹐所以 x   5 不合﹒
將導數 f   x  的正﹑負整理成下表﹕
x 0 5 15
f  x  0 
f  x 20 5
可知 f  x  在 x  5 時有最大值 20 5 ﹐即矩形有最大面積 20 5 ﹒