1. 3.2.2 函数模型的应用实例
1 ．根据收集到的数据作出 _______ ，并通过观察 _____ 判断
问题所适用的 ___________ ，利用计算器的数据拟合功能得出具
体的函数解析式．
散点图 图象
函数模型
2 ．已知 y 与 x 是一次函数关系，当 x ＝ 2 时， y ＝ 6 ；当 x ＝
3 时， y ＝ 8 ，则 y 与 x 的函数关系是 _________.y ＝ 2x ＋ 2

2. 重点 利用函数模型解决实际问题
(1) 一般地，函数模型方法为“设变量→找关系→求结果”．
(2) 利用函数模型解应用题的基本步骤：
① 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰
当选择数学模型；
2 400
3．计算机成本不断下降，若每隔 3 年计算机价格降低
1
3，
现在为 8 100 元的计算机，则 9 年后的价格降为_______.
4．平均增长率(减少率)：原产值基础数 N，平均增长(减少)
率为 P，则对于时间 x 的总产量 y＝____________________．N(1 ＋ P)x
( 或 N(1 － P)x
)

3. ② 建模：将文字语言、图形 ( 或者数表 ) 等转化为数学语言，
利用数学知识，建立相应的数学模型；
③ 求模：求解数学模型，得出数学结论；
④ 还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际
问题的意义．
难点 函数模型应用的主要类型
(1) 利用给定的函数模型解决实际问题．其关键是考虑考查
的是何种函数，并注意定义域，结合所给模型，列出函数关系
式，最后结合其实际意义作出解答．

4. (2) 建立确定性函数模型解决实际问题．其关键是抓住几个
步骤：①读懂题意；②正确建立函数关系；③转化为函数问题
解决；④作答．
(3) 建立拟合函数模型解决实际问题．大多数实际问题都不
能事先知道函数模型，需要通过科学观察和测试得到一些数据，
画出散点图，根据散点图的形状通过函数拟合的方法确定函数
模型．

5. 利用给定的函数模型解决实际问题
例 1：设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函
数关系式是 y＝cekx
，其中 c、k 为常量．已知某天海平面的大气
压为 1.01× 105
Pa,1 000 m 高空的大气压为 0.90× 105
Pa，求
600 m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)?
思维突破：已知函数模型，需待定 c、k，根据 x＝0，y＝
1.01× 105
Pa 和 x＝1 000 m，y＝0.90× 105
Pa 来求．

6. 解：将 x＝0，y＝1.01× 105
，x＝1 000，y＝0.90× 105
分别
代入函数 y＝cekx
，得


1.01× 105
＝cek·0
0.90× 105
＝ce1 000k ，∴


c＝1.01× 105
①
0.90× 105
＝ce1 000k
②
.
将①代入②式，得
0.90× 105
＝1.01× 105
× e1 000k
，
∴k＝
1
1 000ln
0.90
1.01，

7. 对于给出函数关系式的应用题，需利用待定
系数法求出具体的函数关系式，再进行下一步的应用．
用 算器算得计 k≈ －1.15× 10
－4
.
∴y＝1.01× 105
× .
将 x＝600 代入上述函数式，
得 y＝1.01× 105
× ，
由 算器算得计 y≈ 0.943× 105
Pa.
故在 600 m 高空的大气 强压 约为 0.943× 105
Pa.

8. 1－1.已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关
系 y＝a





1
2
x
＋b.现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1
万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品的产量为( )
A．1.65 万件 B．1.75 万件
C．1.85 万件 D．2.5 万件
解析：由




1
2a＋b＝1
1
4a＋b＝1.5
，解得


a＝－2
b＝2
.所以 y＝-2·





1
2
x
+2.
当则 x＝3 ，时 y＝－2×
1
8＋2＝1.75.故选 B.
B

9. 1－2.某商品的市场日需求量 Q1 和日产量 Q2 均为价格 P 的
函数，且 Q1＝144·





1
2
P
＋12，Q2＝6× 2P
，日总成本 C 关于日产
量 Q2 的关系式为 C＝10＋
1
3Q2.
(1)Q1＝Q2 时的价格称为均衡价格，求此均衡价格 P0；
(2)当 P＝P0 时，求日利润 L 的大小．

10. 解：(1)根据 意有题 Q1＝Q2，
则 144·





1
2
P
＋12＝6× 2P
，
即(2P
)2
－2·2P
－24＝0，
解得 2P
＝6, 2P
＝－4(舍去)，∴P＝log26.
故 P0＝P＝log26，即均衡价格为 log26 元．
(2)由于利 ＝收益－成本，故润
L=Q1P-C=Q2P-C=6× × log26-
=36log26－22.
故 P＝P0 ，利时 润为(36log26－22)元．

11. 建立确定性的函数模型解决问题
例 2 ：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过
4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00
元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用
水量分别为 5x 、 3x( 吨 ) ．
(1) 求 y 关于 x 的函数；
(2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两
户该月的用水量和水费．
思维突破：用水量的不同，收费标准不同，需分段列函数
式．

12. 解：(1)当甲的用水量不超过 4 ，即吨 5x≤ 4 ，乙的用水时
量也不超过 4 ，吨 y＝(5x＋3x)× 1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过 4 ，乙的吨 用水量不超过 4 ，即吨时 3x≤ 4
且 5x＞4，y＝4× 1.8＋3x× 1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；
当乙的用水量超过 4 ，即吨时 3x＞4，
y＝2× 4× 1.8＋3(3x－4)＋3(5x－4)＝24x－9.6.
所以 y= .

13. (2)由于 y＝f(x)在各段区 上均 增，间 为单调递
当 x∈






0，
4
5 ，时 y≤ f





4
5 ＜26.4；
当 x∈





4
5，
4
3 ，时 y≤ f





4
3 ＜26.4；
当 x∈





4
3，＋∞ ，时
令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.
所以甲 用水量户 为 5x＝7.5(吨)，
水费 S1＝4× 1.8＋3.5× 3＝17.7(元)；
乙 用水量户 为 3x＝4.5(吨)，
水费 S2＝4× 1.8＋0.5× 3＝8.7(元)．

14. 2 － 1. 设不法商贩将彩电先按原价提高 40% ，然后在广告上
写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚 270
元，那么每台彩电的原价为 ______ 元．2 250
解析： 原价设 为 a 元，依 意有题 a(1＋40%)× 80%＝a+270，
解得 a＝2 250.

15. 2－2.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天内
的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满
足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足 f(x)＝20－
1
2|t－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤ t≤ 20)的函数
表达式；
(2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值．
解：(1)y＝g(t)·f(t)
＝(80－2t)






20－
1
2|t－10| ＝(40－t)(40－|t－10|)
＝


(30＋t)(40－t)(0≤ t<10)
(40－t)(50－t)(10≤ t≤ 20.
.

16. (2)当 0≤ t<10 ，时 y 的取 范 是值 围 [1 200,1 225]，
在 t＝5 ，时 y 取得最大值为 1 225；
当 10≤ t≤ 20 ，时
y 的取 范 是值 围 [600,1 200]，
在 t＝20 ，时 y 取得最小值为 600.
∴第 5 天，日 售销 额 y 取得最大值为 1 225 元．
第 20 天，日 售销 额 y 取得最小值为 600 元．

17. 年度 2003 2004 2005 2006 2007 2008
收入
( 万元 )
25 899 30 504 37 997 48 898 66 800 85 000
建立拟合函数模型解应用题
例 3 ：某县经济委员会调查得来的 2003 ～ 2008 年县财政收
入情况：
(1) 请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2) 计算这个县财政收入的平均增长率；
(3) 由 (1)(2) 分别预测 2009 年这个县的财政收入，并讨论哪
种预测结果更有可能性．假如你是县长，将会采用哪种模型？

18. 解： (1) 通过题意画出散点图，如图 1.
图 1
由图可知此数学模型为二次函数或指数函数，但是具体是
哪个模型，需要求出两个函数模型进行比较．
思维突破：根据散点图，选择适当的模型

19. 设 f(x)＝ax2
＋bx＋c(a≠0，x≥1)，
将已知数据代入，得 f(1)＝a＋b＋c≈2.59，
f(2)＝4a＋2b＋c≈3.05，
f(3)＝9a＋3b＋c≈3.8.
解得 a＝0.145，b＝0.025，c＝2.42.
∴ f(x)＝0.145x2
＋0.025x＋2.42.
算得计 f(4)＝4.84，f(5)＝6.17，f(6)＝7.79，与 差分实际误
别为 0.05,0.51,0.71.

20. 设 g(x)＝ax
＋b，将已知数据代入，得
g(1)＝a＋b≈2.59，g(2)＝a2
＋b≈3.05，
解得 a≈1.35，b≈1.25.∴ g(x)＝1.35x
＋1.25.
算得计 g(4)≈4.57，g(5)≈5.73，g(6)≈7.30，与 差分实际误 别
为 0.32,0.95,1.20.
对两个函数模型 行 价，进 评 f(x)＝0.145x2
＋0.025x＋2.42 与
的 差 小．实际 误 较
(2)设 2003～2008 年 政收入的年平均年增 率县财 长 为 a，则
2.59(1＋a)5
＝8.5，解得 a≈26.83%.

21. (3) 从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型，可以
得到 h(x) ＝ 2.59(1 ＋ 26.83%)x.
用 f(x) 和 h(x) 分别预测 2009 年的财政收入，
f(7) ＝ 9.7 ， h(6)≈10.78.
经过分析知这个县经济发展形势，两种预测都有可能性，
但是 f(x) 比较稳定，所以选用 f(x) 较好．
对于完全未建立模型的函数应用题，其建模
步骤为：①收集数据；②画散点图；③选择函数模型；④求解
函数模型；⑤检验；⑥检验符合实际，用函数模型解释实际问
题；若检验不符合实际，则返回③，重复上述步骤即可．

22. x － 2.0 － 1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
C ． y ＝ ax ＋ b
3 － 1. 在一次数学实验中，运用图形、计算器采集到如下一
组数据：
则 x 、 y 的函数关系与下列哪类函数最接近 ( 其中 a 、 b 为待
定系数 )( )B
A ． y ＝ a ＋ bx B ． y ＝ a ＋ bx
2
D ． y ＝ a ＋
b
x
解析：由表可知， y 的增长速度越来越快．

23. t( 年 ) 1 2 3 4 5 6
h( 米 ) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
3 － 2. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高
度 h( 米 ) 与生长时间 t( 年 ) 的相关数据，选择 y ＝ at ＋ b 与 y ＝
loga(t ＋ 1) 来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8
年的松树高度 .
解：据表中数据做出散点图如图 13.
图 13

24. 由 可以看出用一次函数模型不吻合， 用 数型函数比图 选 对
合理．较
不妨将(2,1)代入到 y＝loga(t＋1)中，
得 1＝loga3，解得 a＝3.
故可用函数 y＝log3(t＋1)来 合 个 ．拟 这 实际问题
当 t＝8 ，求得时 h＝log3(8＋1)＝2.
故可 第预测 8 年松 的高度树 为 2 米．

25. 例 4 ：如图 2 ，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝ a ， BC ＝ b(a ＞ b)
在 AB 、 AD 、 CD 、 CB 上分别截取 AE 、 AH 、 CG 、 CF 都等于 x ，
当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求出这个最大面积．
图 2
错因剖析：忽略自变量 x 的取值范围，或误认为其范围为
0 ＜ x≤a.

26. 正解： 四 形设 边 EFGH 的面积为 S，由 意得题
S△AEH＝S△CFG＝
1
2x2
，S△BEF＝S△DHG＝
1
2(a－x)(b－x)．
由此得 S＝ab－2





1
2x2
＋
1
2(a－x)(b－x)
＝－2x2
＋(a＋b)x
＝－2






x－
a＋b
4
2
＋
(a＋b)2
8 .
由 意可得函数的定 域题 义 为{x|0＜x≤ b}．
∵a＞b＞0，∴0＜b＜
a＋b
2
.

27. 当
a＋b
4 ≤ b，即 a≤ 3b ，时 x＝
a＋b
4 ，使面积 S 取得最大值
(a＋b)2
8 ；
当
a＋b
4 ＞b，即 a＞3b，函数 S(x)在(0，b]上是增函数，
∴当 x＝b ，面时 积 S 取得最大值 ab－b2
.
上可知，若综 a≤ 3b，当 x＝
a＋b
4 ，四 形时 边 EFGH 的面积
S 取得最大值
(a＋b)2
8 ；若 a＞3b，当 x＝b ，四 形时 边 EFGH 的
面积 S 取得最大值 ab－b2
.