康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形

搭配課本第 6 頁
在第二冊時，我們曾經學過函數的概
念：在 x、y 兩個變量的關係式中，如果對
於每一個 x 值，恰好都有一個 y 值與它對
應，就說 y 是 x 的函數。

我們也學過形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函
數，其中變數 x 的最高次數為一次，稱為一
次函數。例如：y＝4x－1、y＝
－3
4 x＋5、
y＝－22x 等。

除了一次函數外，還有很多其他的函
數，例如：若正方形的邊長為 x 公分，面積
為 y 平方公分，則正方形面積和邊長的關係
可以用 y＝x2
表示。此時 x 與 y 之間的某些對
應關係，如下表：
邊長 x( 公分 ) 1 2 3 4 5 …
面積 y( 平方公
分 )
1 4 9 16 25 …

像 y＝x2
這樣的關係式中，x 和 y 都是
變數。當 x 的值確定時，y 的值也隨著唯一
確定，所以 x、y 的關係式 y＝x2
中，y 是 x
的函數。

判斷下列 x、y 的關係式中，y 是否為 x 的函
數？
(1)y＝2x2
＋1
是

數？
(2)y＝－x2
＋3x－
1
2
是

數？
(3)y＝(x－10)2
是

像隨堂練習中，y＝2x2
＋1、y＝－x2
＋3x
－
1
2 、y＝(x－10)2
都是函數，且這類函數中，
變數 x 的最高次數都是二次，我們稱為二次函
數。一般來說，經過化簡後形如
y＝ax2
＋bx＋c(a≠ 0)的關係式都是二次函數。

以下哪些是常數函數？哪些是一次函數？哪
些是二次函數？
(A)y＝3x＋2 (B)y＝5
(C)y＝4x2
＋1 (D)y＝－
1
3 (x－2)2
＋3
(E)y＝0 (F)y＝x
(G)y＝ 3x2
(H)y＝2(x－1)2
－2x2

常數函數：。
一次函數：。
二次函數：。
(B)、(E)
(A)、(F)、(H)
(C)、(D)、(G)
(A)y＝3x＋2 (B)y＝5
(C)y＝4x2
＋1 (D)y＝－
1
3 (x－2)2
＋3
(E)y＝0 (F)y＝x
(G)y＝ 3x2
(H)y＝2(x－1)2
－2x2

在第二冊時，我們也曾學過如何畫一次
函數 y＝ax＋b 的圖形：將一次函數中變數 x
的值當作橫坐標，變數 y 的值當作縱坐標，
再將數對(x , y)所對應的點，描在坐標平面
上。發現一次函數的圖形是一條直線，如圖
1：

O
1
1
x
y
圖 1

二次函數在坐標平面上所描出的圖形會
是什麼呢？
讓我們從探討二次函數 y＝x2
的圖形開
始。

首先選擇變數 x 的值，再求出所對應的
y 值。通常我們會先選擇較容易計算的數為
x 值，例如：－3、－2、－1、0、1、2、3 等
來代入關係式，並求出所對應的 y 值。

x … － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
這個找 x 值和求 y 值的步驟，常以列表的方
式呈現如下：

再將這些數對(x , y)所對應的點，描在坐
標平面上，如圖 2：
(0,0)O
1
1
(1,1)
(2,4)
(3,9)(－3,9)
(－2,4)
(－1,1)
圖 2
x
y

為使圖形更準確，我們在本節中將所有
圖形都畫在方格紙上。

為了能更清楚的觀察這個圖形，我們可
以再多取一些 x 的值，並求出所對應 y 的值，
如下表：
x … －
5
2
－
3
2
－
1
2
1
2
3
2
5
2
…
y …
25
4
9
4
1
4
1
4
9
4
25
4
…

再將各數對(x , y)所對應的點，描在同一
坐標平面上，如圖 3：

(0,0)O
1
1
(
1
2
,
1
4
)
(1,1)
(
3
2
,
9
4
)
(2,4)
(
5
2
,
25
4
)
(3,9)(－3,9)
(－
5
2
,
25
4
)
(－2,4)
(－
3
2
,
9
4
)
(－1,1)
(－
1
2
,
1
4
)
圖 3
x
y

同樣的，我們可以取更多 x 的值，並求
出對應的 y 值，再將這些數對(x , y)所對應的
點逐一描在同一坐標平面上，可以看到所描
的點幾乎連成一條平滑的曲線，如圖 4：

O
( 1 ,1) (1 ,1)
(0 ,0)
( 2 ,4) (2 ,4)
(3 ,9)( 3 ,9)
1
1
( , )
5
2
25
4 ( , )
5
2
25
4
( , )
3
2
9
4
( , )
1
2
1
4
( , )
3
2
9
4
( , )
1
2
1
4
y
x
圖 4

事實上，y＝x2
的圖形是一條平滑的
曲線，如圖 5：

1
1
圖 5
x
y
(0,0)O

觀察圖 4，我們發現在 y 軸右側的點，
例如(1 , 1)、(2 , 4)、(3 , 9)等，它們以 y 軸為
對稱軸的對稱點(－1 , 1)、(－2 , 4)、(－3 , 9)
也都落在圖形上。事實上，y＝x2
的圖形是以
y 軸為對稱軸的線對稱圖形，而這個圖形有
一個最低點(0 , 0)。

當所選取的 x 絕對值愈大時，所對應的 y 值
也愈大，即整個圖形從最低點處的兩邊開始
向上無限延伸，此時我們說這個圖形的開口
向上。

美國聖路易大拱門
聖路易大拱門(Gateway Arch)
於西元 1965 年完成，座落在美國
密蘇里州，這座雄偉壯觀的不銹鋼
拋物線結構的建築物，拱門寬和高
各約為 190 公尺，是美國最具傳奇
的城市建築之一。

在美國還是英國殖民地時期，移民們便
紛紛向西尋找謀生之路，而聖路易是這些拓
荒者西進的必經之路，走過它便意味著進入
美國西部大地，故聖路易大拱門也被人們譽
為是通往美國西部的大門。

接著我們來探討形如 y＝ax2
(a≠ 0)的
二次函數圖形，觀察當 a 改變時，y＝ax2
的
圖形會產生什麼變化？

描繪 y＝2x2
的圖形。
例 1描繪二次函數 y ＝ ax2
(a ＞ 0) 的圖形
(1)首先找一些點列表如下：
x …
－
3
－
2
－
1
0 1 2 3 …
y … 18 8 2 0 2 8 18 …
… …
… …
－
8
3
－
1
2
1
2
3
2
7
3
8
3－
7
3
－
3
2
128
9
128
9
98
9
98
9
9
2
9
2
1
2
1
2

(a ＞ 0) 的圖形
(2)在坐標平面上描出表格中的點，
再用平滑曲線依序把各點連接起來，
就得到 y＝2x2
的圖形，如下圖：

(a ＞ 0) 的圖形

描繪 y＝
1
2 x2
的圖形。
(1)先取一些 x 的值，並求出對應的 y 值，完
成下表。
x
－
4
－
3
－
2
－
1
0 1 2 3 4
y 8
9
2
2
1
2
0
1
2
2
9
2
8

描繪 y＝
1
2 x2
的圖形。
(2)在坐標平面上描出表格中的點，再用平滑
曲線依序把各點連接起來。

O
x
y
(4 , 8)( 4 , 8)
(0 , 0)
2
1—
(2 , 2)
(1 , )
2
9—(3 , )
( 2 , 2)
( 1 , )2
1—
( 3 , )
2
9—
,( 4 , 8)
1
(1 , )
,
( 2 , 2)
, )
( 3 , )9

觀察例 1 及隨堂練習，我們發現 y＝2x2
和
y＝
1
2
x2
的圖形都是
(1)平滑曲線，且以 y 軸為對稱軸的線對稱圖
形，
(2)開口向上，
(3)以原點(0 , 0)為最低點。

接著我們來看二次函數 y＝－x2
的圖形。
描繪 y ＝－ x2
的圖形。
(a ＜ 0) 的圖形
(1) 仿照例 1 的步驟，先找一些點列表如下：
x … － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 …
y … － 9 － 4 － 1 0 － 1 － 4 － 9 …

(2) 在坐標平面上描出表格中的點，
(a ＜ 0) 的圖形
再用平滑曲線依序把各點連接起來，
就得到 y＝－x2
的圖形，如下圖：

(－1,－1)
(0,0)
x
y
O
(1,－1)
(－2,－4) (2,－4)
(－3,－9) (3,－9)
(a ＜ 0) 的圖形

在同一坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2x2
和 y＝－
1
2 x2
的圖形。
(1)先取一些 x 的值，並求出對應的 y 值，完
成下表。

y＝－
1
2 x2
x － 6 － 4 － 2 0 2 4 6
y － 18 － 8 － 2 0 － 2 － 8 － 18
x － 3 － 2 － 1 0 1 2 3
y － 18 － 8 － 2 0 － 2 － 8 － 18
y＝－2x2

在同一坐標平面上，描繪二次函數 y＝－2x2
和 y＝－
1
2 x2
的圖形。
(2)在坐標平面上描出表格中的點，再用平滑
曲線依序把各點連接起來。

O x
y
(0 , 0)
(2 , －2)
y＝－2x2
(1 , －2)(－1 , －2)
(－2 , －2)
(4 , －8)
(2 , －8)(－2 , －8)
(－4 , －8)
y＝－
1
2
x2
(6 , －18)
(3 , －18)(－3 , －18)
(－6 , －18)

從例 2 及隨堂練習中，我們發現
y＝－x2
、y＝－2x2
及 y＝－
1
2 x2
等 x2
項係數
皆為負數，其函數圖形都是
(1)平滑曲線，且以 y 軸為對稱軸的線對稱圖
形，
(2)開口向下，
(3)以原點(0 , 0)為最高點。

二次函數 y ＝ ax2
的圖形
a ＞ 0 a ＜ 0
以 y 軸為對稱軸以 y 軸為對稱軸
開口向上開口向下
有最低點 (0 , 0) 有最高點 (0 , 0)

1.將 y＝x2
和 y＝－x2
的圖形描在同一坐
標平面上，如下圖，
若將 y＝x2
的圖形沿
著 x 軸往下對摺，是
否會和 y＝－x2
的圖
形重合呢？
x
y
O
y＝x2
y＝－x2
是

2.如果換成是 y＝3x2
和 y＝－3x2
，仿照前面
的步驟對摺，此時兩圖形是否重合？說說
你的看法。
是，因為二次函數 y ＝ ax2
與 y ＝－ ax2
的
圖形對稱於 x 軸

1.圖 6 是將三個二次函數
甲：y＝
1
2 x2
、
乙：y＝x2
、
丙：y＝2x2
的圖形畫在同一坐標平面上，試比較：
(1) 三個二次函數 x2
項係數的大小關係。
(2) 三個二次函數圖形開口的大小關係。
問題探索 1二次函數圖形的開口大小

O
x
y
y＝2x2
y＝x2
y＝
1
2
x2
圖 6
丙乙甲
項
係數的大小關係。
(2) 三個二次函數圖形
開口的大小關係。
丙＞乙＞甲
甲＞乙＞丙

圖 7 是將三個二次函數
甲：y＝－
1
2 x2
、
乙：y＝－x2
、
丙：y＝－2x2
的圖形畫在同一坐標平面上，試比較：
項係數的大小關係。
(2) 三個二次函數圖形開口的大小關係。

y
O
x
y＝－2x2
y＝－x2
y＝－
1
2 x2
圖 7
丙乙甲
項
係數的大小關係。
(2) 三個二次函數圖形
開口的大小關係。
甲＞乙＞丙
甲＞乙＞丙

從問題探索 1 我們發現：
二次函數 y＝ax2
圖形的開口大小
1. 當│ a│ 愈大，圖形的開口愈小。
2. 當│ a│ 愈小，圖形的開口愈大。

試寫出下列二次函數圖形的開口方向，
並比較其開口大小。
(A)y＝－5x2
(B)y＝2x2
(C)y＝5x2
(D)y＝－x2
(E)y＝
3
2
x2
(F)y＝－2x2
(1)圖形開口向上的有，
這些開口向上的圖形，其開口由大到小排列
為。
(B) 、 (C) 、 (E)
(E) ＞ (B) ＞ (C)

試寫出下列二次函數圖形的開口方向，
並比較其開口大小。
(A)y＝－5x2
(B)y＝2x2
(C)y＝5x2
(D)y＝－x2
(E)y＝
3
2 x2
(F)y＝－2x2
(2)圖形開口向下的有，
這些開口向下的圖形，其開口由大到小排列
為。
(A) 、 (D) 、 (F)
(D) ＞ (F) ＞ (A)

前面看到的二次函數 y＝ax2
的圖形，其
最高點或最低點都是(0 , 0)，其他的二次函
數圖形是否也是如此呢？我們來看下面的
例題。

描繪 y＝x2
＋1 的圖形。
例 3繪二次函數 y ＝ ax2
＋ k(a ＞ 0 、 k≠0) 的圖形
x … － 2 － 1 0 1 2 …
y … 5 2 1 2 5 …

＋ k(a ＞ 0 、 k≠0) 的圖形
(2)描點後以平滑曲線依序把各點連接起
來，如下圖所示：
(－2,5)
(0,1)
x
y
O
(－1,2) (1,2)
(2,5)

觀察二次函數 y＝x2
＋1 的圖形，發現
圖形右側的點，如(1 , 2)、(2 , 5)，它們以 y
軸為對稱軸的對稱點(－1 , 2)、(－2 , 5)也都
落在圖形上。
也就是說，y＝x2
＋1 的圖形是
(1)以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形，
(2)開口向上，
(3)以(0 , 1)為最低點。

描繪二次函數 y＝2x2
－2 的圖形，並寫出此圖
形的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐標。
x － 2 － 1 0 1 2
y 6 0 － 2 0 6

x
y
O
(2,6)
(－1,0)
(－2,6)
(0,－2)
(1,0)

對稱軸方程式：，
開口方向：，
最低點坐標：。
x ＝ 0
向上
(0 , － 2)

＋ k(a ＜ 0 、 k≠0) 的圖形
描繪 y＝－x2
＋2 的圖形。
x … － 2 － 1 0 1 2 …
y … － 2 1 2 1 － 2 …

＋ k(a ＜ 0 、 k≠0) 的圖形
(2)描點後以平滑曲線依序把各點
連接起來，如下圖：
O
( 2 , 2)
( 1 ,1)
(2 , 2)
(1 ,1)
(0 ,2)
x
y

觀察例 4 的圖形可以發現，y＝－x2
＋2 的圖
形是
(1)以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形，
(2)開口向下，
(3)以(0 , 2)為最高點。

描繪二次函數 y＝－3x2
－1 的圖形，並寫出
此圖形的對稱軸方程式、開口方向與最高點
坐標。
x － 2 － 1 0 1 2
y － 13 － 4 － 1 － 4 － 13

x
y
O
(0,－1)
(1,－4)(－1,－4)
(－2,－13) (2,－13)

開口方向：，
最高點坐標：。
x ＝ 0
向下
(0 , － 1)

＋ k 的圖形
a ＞ 0 a ＜ 0
以 y 軸為對稱軸以 y 軸為對稱軸
有最低點 (0 , k) 有最高點 (0 , k)

1.圖 8 是將三個二次函
數 y＝x2
＋1、y＝x2
、
y＝x2
－2 的圖形畫在
同一坐標平面上。
問題探索 2探討 y ＝ x2
＋ 1 、 y ＝ x2
及 y ＝ x2
－ 2
三個圖形的關係
x
y
y＝x2
＋1
y＝x2
y＝x2
－2
O
圖 8

將附件一的圖形放在圖 8 中與 y＝x2
的圖形
重合，再將此圖形向上平移 1 個單位，是
否會與 y＝x2
＋1 的圖形重合？
＋ 1 、 y ＝ x2
及 y ＝ x2
－ 2
是

2.將附件一的圖形放在圖 8 中與 y＝x2
的圖
形重合，再將此圖形向下平移 2 個單位，
是否會與 y＝x2
－2 的圖形重合？
＋ 1 、 y ＝ x2
及 y ＝ x2
－ 2
是

將 y＝x2
的圖形向上平移 1 個單位，
可以得到 y＝x2
＋1 的圖形；
將 y＝x2
的圖形向下平移 2 個單位，
可以得到 y＝x2
－2 的圖形。

1.圖 9 是將三個二次函數 y＝－2x2
＋2、
y＝－2x2
、y＝－2x2
－3 的圖形畫在同一坐標
平面上。將附件二的圖形放在圖 9 中與
y＝－2x2
的圖形重合，再將此圖形向上平移 2
個單位，是否會與 y＝－2x2
＋2 的圖形重合？
問題探索 3探討 y ＝－ 2x2
＋ 2 、 y ＝－ 2x2
及 y ＝－ 2x2
－

＋ 2 、 y ＝－ 2x2
及 y ＝－ 2x2
－
是
y
y＝－2x2
＋2
y＝－2x2
y＝－2x2
－3
x
O
圖 9

2.將附件二的圖形放在圖 9 中與 y＝－2x2
的
圖形重合，再將此圖形向下平移 3 個單位，
是否會與 y＝－2x2
－3 的圖形重合？
＋ 2 、 y ＝－ 2x2
及 y ＝－ 2x2
－
是

將 y＝－2x2
的圖形向上平移 2 個單位，
可以得到 y＝－2x2
＋2 的圖形；
將 y＝－2x2
的圖形向下平移 3 個單位，
可以得到 y＝－2x2
－3 的圖形。

由問題探索 2、3 可知，形如 y＝ax2
＋k
(a≠ 0、k≠ 0)的二次函數圖形：
(1)當 k＞0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向上
平移 k 個單位而得。
(2)當 k＜0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向下
平移│ k│ 個單位而得。

1.將 y＝5x2
的圖形平移，回答下列問題。
(1)向上平移 7 個單位，會得到哪個二次函數
的圖形？此函數圖形的最低點坐標為何？
y＝5x2
＋7，最低點為(0 , 7)

1.將 y＝5x2
(2)向下平移 2 個單位，會得到哪個二次函數
y＝5x2
－2，最低點為(0 , －2)

2.將 y＝－4x2
(1)向下平移 4 個單位，會得到哪個二次函數
的圖形？此函數圖形的最高點坐標為何？
y＝－4x2
－4，最高點為(0 , －4)

2.將 y＝－4x2
(2)向上平移 9 個單位，會得到哪個二次函數
y＝－4x2
＋9，最高點為(0 , 9)

前面看到的二次函數圖形，都是以 y 軸
為對稱軸的線對稱圖形，其最高點或最低點
也都在 y 軸上，其他的二次函數圖形是否也
如此呢？我們來看下面的例題。

描繪 y ＝ (x － 1)2
的圖形。
例 5二次函數 y ＝ a(x － h)2
(a ＞ 0 、 h≠0) 的圖形
x … － 1 0 1 2 3 …
y … 4 1 0 1 4 …

來，如下圖：
(a ＞ 0 、 h≠0) 的圖形
O
(－1,4) (3,4)
(2,1)(0,1)
(1,0)
x
y

觀察例 5 的圖形
可以發現，此二次函
數圖形在直線 x＝1 左
右兩側的部分可以完
全疊合。
O
(3,4)
x
x＝1
y
(－1,4)
(0,1) (2,1)
(1,0)

因此，二次函數 y＝(x－1)2
的圖形是
(1)以直線 x＝1 為對稱軸的線對稱圖形，
(2)開口向上，
(3)以(1 , 0)為最低點。

描繪二次函數 y＝(x＋2)2
的圖形，並寫出此
圖形的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐
標。
x － 4 － 3 － 2 － 1 0
y 4 1 0 1 4

O
x
y
(－3,1) (－1,1)
(－4,4) (0,4)
(－2,0)

開口方向：，
最低點坐標：。
x ＝－ 2
向上
( － 2 , 0)

描繪 y＝－(x－1)2
的圖形。
(a ＜ 0 、 h≠0) 的圖形
x …
－
1
0 1 2 3 …
y …
－
4
－ 1 0 － 1
－
4
…

(a ＜ 0 、 h≠0) 的圖形
來，如下圖：
(2,－1)
(3,－4)(－1,－4)
(0,－1)
(1,0)O x
y

觀察例 6 的圖形可以發現，此二次函數
圖形在直線 x＝1 左右兩側的部分可以完全
疊合。
x
x＝1
y
(2,－1)
(3,－4)(－1,－4)
(0,－1)
(1,0)O

因此，二次函數 y＝－(x－1)2
的圖形是
(2)開口向下，
(3)以(1 , 0)為最高點。

描繪二次函數 y＝－(x＋3)2
的圖形，並寫出
此圖形的對稱軸方程式、開口方向及最高
點坐標。
x － 5 － 4 － 3 － 2 － 1
y － 4 － 1 0 － 1 － 4

O x
y
(－4,－1) (－2,－1)
(－1,－4)
(－5,－4)
(－3,0)

開口方向：，
最高點坐標：。
x ＝－ 3
向下
( － 3 , 0)

二次函數 y ＝ a(x － h)2
的圖形
a ＞ 0 a ＜ 0
以 x ＝ h 為對稱軸以 x ＝ h 為對稱軸
有最低點 (h , 0) 有最高點 (h , 0)

1.圖 10 是將三個二次
函數 y＝(x＋2)2
、
y＝x2
、y＝(x－1)2
的圖形畫在同一坐
標平面上。
問題探索 4探討 y ＝ (x ＋ 2)2
、 y ＝ x2
、 y ＝ (x － 1)2
O
y＝(x＋2)2
y＝(x－1)2
y＝x2
x
y
圖 10

將附件一的圖形放在圖 10 中與 y＝x2
的圖形
重合，再將此圖形向右平移 1 個單位，是否
會與 y＝(x－1)2
的圖形重合？
問題探索 4探討 y ＝ (x ＋ 2)2
、 y ＝ x2
、 y ＝ (x － 1)2
是

2.將附件一的圖形放在圖 10 中與 y＝x2
的圖
形重合，再將此圖形向左平移 2 個單位，是
否會與 y＝(x＋2)2
的圖形重合？
問題探索 4探討 y ＝ (x ＋ 2)2
、 y ＝ x2
、 y ＝ (x － 1)2
是

將 y＝x2
的圖形向右平移 1 個單位，
可以得到 y＝(x－1)2
的圖形；
將 y＝x2
的圖形向左平移 2 個單位，
可以得到 y＝(x＋2)2
的圖形。

1.圖 11 是將三個二次函
數圖形 y＝－
1
2 (x＋3)2
、
y＝－
1
2 x2
、
y＝－
1
2 (x－1)2
畫在同
一個坐標平面上。
問題探索 5 探討 y＝－
1
2
(x＋3)2
、y＝－
1
2
x2
、
y＝－
1
2
(x－1)2
O
y＝－
1
2
(x＋3)2
y＝－
1
2
(x－1)2
y＝－
1
2
x2
x
y
圖 11

將附件三的圖形放在圖 11 中與 y＝－
1
2
x2
的圖形重合，再將此圖形向右平移 1 個單位，
觀察是否會與 y＝－
1
2
(x－1)2
的圖形重合？
1
2
(x＋3)2
、y＝－
1
2
x2
、
y＝－
1
2
(x－1)2
是

2.將附件三的圖形放在圖 11 中與 y＝－
1
2 x2
的圖形重合，再將此圖形向左平移 3 個單
位，觀察是否會與 y＝－
1
2 (x＋3)2
的圖形
重合？
1
2
(x＋3)2
、y＝－
1
2
x2
、
y＝－
1
2
(x－1)2
是

由問題探索 5 我們發現：
將 y＝－
1
2 x2
的圖形向右平移 1 個單位，
可以得到 y＝－
1
2 (x－1)2
的圖形；
將 y＝－
1
2 x2
的圖形向左平移 3 個單位，
可以得到 y＝－
1
2 (x＋3)2
的圖形。

由問題探索 4、5 可知，形如 y＝a(x－h)2
(a≠ 0、h≠ 0)的二次函數圖形：
(1)當 h＞0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向右
平移 h 個單位而得。
(2)當 h＜0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向左
平移│ h│ 個單位而得。

1.將 y＝3x2
(1)向右平移 5 個單位，會得到哪個二次函數
y＝3(x－5)2
，最低點為(5 , 0)

1.將 y＝3x2
(2)向左平移 3 個單位，會得到哪個二次函數
y＝3(x＋3)2
，最低點為(－3 , 0)

2. 將 y＝－2x2
(1)向左平移 7 個單位，會得到哪個二次函數
y＝－2(x＋7)2
，最高點為(－7 , 0)

2. 將 y＝－2x2
(2)向右平移 4 個單位，會得到哪個二次函數
y＝－2(x－4)2
，最高點為(4 , 0)

接著來看二次函數 y＝a(x－h)2
＋k
(a≠ 0、h≠ 0、k≠ 0)的圖形。

描繪 y＝2(x－3)2
＋5 的圖形。
例 7繪二次函數 y ＝ a(x － h)2
＋ k(a ＞ 0) 的圖形
(1)找一些點列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 13 7 5 7 13 …

例 7繪二次函數 y ＝ a(x － h)2
＋ k(a ＞ 0) 的圖形
來，如下圖：
(1,13) (5,13)
(3,5)
x
y
O
(2,7) (4,7)

觀察例 7 的圖形可以發現，y＝2(x－3)2
＋5
的圖形是
(2)開口向上，
(3)以(3 , 5)為最低點。

接下來，我們把 y＝2x2
、y＝2(x－3)2
、
y＝2(x－3)2
＋5 的圖形描繪在同一坐標平面
上，如圖 12：

y
y＝2x2
y＝2(x－3)2
＋5
y＝2(x－3)2
x
O
圖 12

觀察圖 12 可以發現，二次函數 y＝2x2
、
y＝2(x－3)2
、y＝2(x－3)2
＋5 的圖形中，只
要把 y＝2x2
的圖形向右平移 3 個單位，可得
到 y＝2(x－3)2
的圖形，再把此圖形向上平移
5 個單位，就可以得到 y＝2(x－3)2
＋5 的圖
形了。

二次函數 y＝－2(x＋1)2
－3 的圖形可由
y＝－2x2
的圖形如何平移得到？
把 y＝－2x2
向左平移 1 個單位
可得 y＝－2(x＋1)2
的圖形
再把此圖形向下平移 3 個單位
就可得到 y＝－2(x＋1)2
－3 的圖形

像第 4 頁中，投籃時籃球經過的路線，
如圖 13-1；或噴水池中，一水柱噴出後到
落下所經過的路線，如圖 13-2，我們稱之為
拋物線。

圖 13-1 圖 13-2

前面的例 2、例 4、例 6 所描繪開口向下
的二次函數的圖形，其實就是拋物線。如果將
例 1、例 3、例 5、例 7 開口向上的二次函數
圖形上下顛倒，其圖形也是拋物線。一般來
說，我們稱二次函數 y＝a(x－h)2
＋k (a≠ 0)的
圖形為拋物線。

拋物線是線對稱圖形，開口向上的拋物
線有最低點，開口向下的拋物線有最高點。
不論是最高點或最低點，都是拋物線與其對
稱軸的交點，此交點稱為拋物線的頂點。

二次函數 y＝a(x－h)2
＋k (a≠ 0)的圖形
＋k (a≠ 0)的圖形為
拋物線，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)
為對稱軸的線對稱圖形。
(1)當 a＞0 時，圖形開口向上，
其頂點(h , k)為此拋物線的最低點。
(2)當 a＜0 時，圖形開口向下，
其頂點(h , k)為此拋物線的最高點。

求下列各二次函數圖形的頂點坐標。
(1)y＝－3(x－5)2
－9
(1)(5 , － 9)

求下列各二次函數圖形的頂點坐標。
(2)y＝7(x＋4)2
＋6
(2)( － 4 , 6)

有一個二次函數，其圖形頂點為(－2 , 5)，
且通過點(1 , －4)，求此二次函數。
例 8y ＝ a(x － h)2
＋ k 圖形的應用
Hint
已知二次函數的頂點 (h , k) ，可以假設二
次函數為 y ＝ a(x － h)2
＋ k 。

例 8y ＝ a(x － h)2
∴ 將(1 , －4)代入 y＝a(x＋2)2
＋5，
得－4＝a×9＋5，
a＝－1，
故此二次函數為 y＝－(x＋2)2
＋5。
∵ 二次函數圖形的頂點為(－2 , 5)，
∴ 可設此二次函數為 y＝a[x－(－2)]2
＋5
＝a(x＋2)2
＋5，
又圖形通過點(1 , －4)，

有一頂點為(0 , －2)的二次函數圖形，通過
點(－1 , 2)，求此二次函數。
∵ 二次函數圖形的頂點為(0 , －2)
∴ 設此二次函數為 y＝a(x－0)2
－2＝ax2
－2
又圖形通過點(－1 , 2)
∴ 將(－1 , 2)代入 y＝ax2
－2
得 2＝a×(－1)2
－2，a＝4
故此二次函數為 y＝4x2
－2 搭配課本第 35 頁

已知二次函數 y＝a(x－h)2
＋k 圖形的最低點
為(－1 , －3)，且｜a｜＝2，求此二次函數及
其對稱軸方程式。
例 9y ＝ a(x － h)2

例 9y ＝ a(x － h)2
∵ 圖形有最低點，表示此圖形的開口向上，
∴ a＞0，
又｜a｜＝2，
∴ a＝2，
且頂點坐標為(－1 , －3)，
故二次函數為 y＝2[x－(－1)]2
＋(－3)
＝2(x＋1)2
－3，
其對稱軸方程式為 x＝－1(或 x＋1＝0)。

＋k 圖形的最高點
為(－2 , 3)，且｜a｜＝3，求此二次函數及
其對稱軸方程式。

∵ 圖形有最高點，表示此圖形的開口向下
∴ a＜0
又｜a｜＝3，∴ a＝－3
且頂點坐標為(－2 , 3)
故二次函數為 y＝－3[x－(－2)]2
＋3
＝－3(x＋2)2
＋3
其對稱軸方程式為 x＝－2(或 x＋2＝0)

＋k 的圖形可由二
次函數 y＝－3x2
平移後得到，其對稱軸為直
線 x－1＝0，且圖形通過點(2 , 1)，則此二次
函數圖形的頂點為何？
例 10y ＝ ax2
圖形平移的應用

例 10y ＝ ax2
∵ y＝a(x－h)2
＋k 的圖形可由
y＝－3x2
平移後得到，
∴ a＝－3。
∵ 對稱軸為直線 x－1＝0，
∴ h＝1，
即此二次函數為 y＝－3(x－1)2
＋k。

例 10y ＝ ax2
又圖形通過點(2 , 1)，
將(2 , 1)代入 y＝－3(x－1)2
＋k，
得 1＝－3(2－1)2
＋k，k＝4，
故此二次函數為 y＝－3(x－1)2
＋4，圖形頂
點為(1 , 4)。 Hint
二次函數圖形平移不會改變
其開口大小。

＋k 的圖形可由
二次函數 y＝2x2
平移後得到，其對稱軸為
直線 x＋2＝0，且圖形通過點(1 , 13)，則此
二次函數圖形的頂點為何？

∵ y＝a(x－h)2
＋k 的圖形可由 y＝2x2
平移後得到
∴ a＝2
∵ 對稱軸為直線 x＋2＝0
∴ h＝－2
即此二次函數為 y＝2(x＋2)2
＋k

又圖形通過點(1 , 13)
將(1 , 13)代入 y＝2(x＋2)2
＋k
得 13＝2(1＋2)2
＋k，k＝－5
故此二次函數為 y＝2(x＋2)2
－5
圖形頂點為(－2 , －5)

二次函數1
經化簡後形如 y＝ax2
＋bx＋c(a≠ 0)
的函數稱為二次函數。
例 y＝x2
－2x＋1、y＝－
1
3
(x＋1)2
＋6、
y＝5－2x2
等均稱為二次函數。

的圖形及其開口方
向
2
(1)當 a＞0，y＝ax2
的圖形是以 y 軸為對稱
軸的線對稱圖形，圖形的開口向上，其
最低點為原點。
y＝2x2
的圖形開口向上，
其圖形有最低點(0 , 0)。
例

的圖形及其開口方
向
2
(2)當 a＜0，y＝ax2
的圖形是以 y 軸為對稱
軸的線對稱圖形，圖形的開口向下，其
最高點為原點。
y＝－2x2
的圖形開口向下，
其圖形有最高點(0 , 0)。
例

圖形的開口大小3
(1)當｜a｜愈大，圖形的開口愈小。
(2)當｜a｜愈小，圖形的開口愈大。
甲：y＝
1
2
x2
乙：y＝x2
丙：y＝2x2
丁：y＝－
1
2
x2
戊：y＝－x2
己：y＝－2x2
例

(1)圖形開口向上的有甲、乙、丙，
這些開口向上的圖形，
其開口由大到小排列為甲＞乙＞丙。
O
x
y 甲乙丙

(2)圖形開口向下的有丁、戊、己，
這些開口向下的圖形，
其開口由大到小排列為丁＞戊＞己。
O
x
y
丁戊己

＋ k 的圖形4
形如 y＝ax2
＋k (a≠ 0、k≠ 0)的二次函數圖
形，是以 y 軸為對稱軸，以(0 , k)為頂點的線
對稱圖形：
(1)當 k＞0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向
上平移 k 個單位而得。
(2)當 k＜0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向
下平移│ k│ 個單位而得。

的圖形5
形如 y＝a(x－h)2
(a≠ 0、h≠ 0)的二次函數圖
形，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)為對稱軸，
以(h , 0)為頂點的線對稱圖形：
(1)當 h＞0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向
右平移 h 個單位而得。
(2)當 h＜0 時，其圖形可由 y＝ax2
的圖形向
左平移│ h│ 個單位而得。

＋ k (a≠0) 的
圖形
6
＋k (a≠ 0)的圖形為拋
物線，是以直線 x＝h(或 x－h＝0)為對稱軸
的線對稱圖形。
(1)當 a＞0 時，圖形開口向上，
其頂點(h , k)為此拋物線的最低點。
(2)當 a＜0 時，圖形開口向下，
其頂點(h , k)為此拋物線的最高點。

＋ k (a≠0) 的
圖形
6
(1)二次函數 y＝2(x－3)2
＋5 的圖形為拋物線，
直線 x－3＝0 為此拋物線的對稱軸，頂點
(3 , 5)為此拋物線的最低點。
(2)二次函數 y＝－2(x－1)2
－2 的圖形為拋物
線，直線 x－1＝0 為此拋物線的對稱軸，
頂點(1 , －2)為此拋物線的最高點。
例

1 描繪下列各二次函數的圖形，並寫出其圖形
的對稱軸方程式、開口方向與最高點或最低
點坐標。
(1)y＝－3x2
x － 2 － 1 0 1 2
y －
12
－ 3 0 － 3
－
12

1
x
y
O
(－2 , －12) (2 , －12)
(－1 , －3) (1 , －3)
(0 , 0)
此圖形是以 x＝0 為對稱軸，開口向下，
最高點為(0 , 0)的拋物線

點坐標。
(2)y＝x2
－4
x － 2 － 1 0 1 2
y 0 － 3 － 4 － 3 0

1
x
y
O(－2 , 0) (2 , 0)
(1 , －3)(－1 , －3)
(0 , －4)
此圖形是以 x＝0 為對稱軸，開口向上，
最低點為(0 , －4)的拋物線

點坐標。
(3)y＝(x＋5)2
x － 7 － 6 － 5 － 4 － 3
y 4 1 0 1 4

1
x
y
O
(－7 ,4) (－3 ,4)
(－6 , 1) (－4 , 1)
(－5 , 0)
此圖形是以 x＝－5 為對稱軸，開口向上，
最低點為(－5 , 0)的拋物線

點坐標。
(4)y＝－(x－2)2
＋3
x 0 1 2 3 4
y －
1
2 3 2
－
1

1
x
y
O
(2 , 3)
(1 , 2) (3 , 2)
(4 , －1)(0 , －1)
此圖形是以 x＝2 為對稱軸，開口向下，
最高點為(2 , 3)的拋物線

2 若將二次函數 y＝－
1
2 x2
＋5 的圖形向上平移
3 個單位，可得到二次函數
的圖形。
y＝－
1
2 x2
＋8

3 二次函數 y＝3x2
＋4 的圖形是由二次函數
y＝3(x＋7)2
＋4 的圖形向
平移個單位得到的圖形。
右
7

4 已知二次函數 y＝a(x－h)2
＋5 圖形的對稱
軸為直線 x＋2＝0，且圖形通過點(0 , 1)，
求此二次函數及其頂點。

4 ∵ 直線 x＋2＝0 為拋物線的對稱軸
∴ 此二次函數為 y＝a(x＋2)2
＋5
將(0 , 1)代入 y＝a(x＋2)2
＋5
得 1＝a(0＋2)2
＋5，a＝－1
故此二次函數為 y＝－(x＋2)2
＋5
圖形頂點為(－2 , 5)

5 已知二次函數 y＝
1
5 (x－h)2
＋k 圖形的對稱
軸為直線 x＋1＝0，且圖形通過點(4 , 8)，
則此二次函數圖形的頂點為何？

5 ∵ 直線 x＋1＝0 為拋物線的對稱軸
∴ 此二次函數為 y＝
1
5 (x＋1)2
＋k
將(4 , 8)代入 y＝
1
5 (x＋1)2
＋k
得 8＝
1
5 (4＋1)2
＋k，k＝3
故此二次函數為 y＝
1
5 (x＋1)2
＋3
圖形頂點為(－1 , 3)

康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

Similar to 康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形

Similar to 康軒國中數學 3下課本ppt 1-1 二次函數的圖形 (13)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)