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康軒 國中數學 3下 課本ppt 1-2 二次函數的最大值、最小值
- 2. 搭配課本第 42 頁
在 1-1 中,我們對於像 y=a(x-h)2
+k
這樣的二次函數圖形,其對稱軸方程式、開
口方向及頂點坐標都已經能掌握。
- 3. 搭配課本第 42 頁
那麼,對於像 y=x2
+6x、y=2x2
+12x+9
這樣形如 y=ax2
+bx+c (a≠ 0)的二次函數,
如果能以第三冊學過的配方法化成像
y=a(x-h)2
+k 這樣的式子,也就能掌握它
的圖形。接下來,我們以一些例題說明如何
利用配方法操作。
- 5. 例 1利用配方法求二次函數的圖形
(1)y=x2
+4x 將 x2
+4x 加(
4
2 )2
配成
完全平方式,再減(
4
2
)2
=x2
+4x+22
-22
=(x2
+4x+22
)-22
=(x+2)2
-4
搭配課本第 42 頁
Hint
x2
± px+(
p
2 )2
=(x ±
p
2 )2
- 21. 例 3 二次函數圖形的應用
二次函數 y=3x2
+bx+c 的 x2
項係數為 3,
且頂點坐標為(2 , -5),
得此函數為 y=3(x-2)2
-5
=3(x2
-4x+4)-5
=3x2
-12x+12-5
=3x2
-12x+7
與 y=3x2
+bx+c 比較係數,
故 b=-12、c=7。
搭配課本第 46 頁
- 23. 二次函數 y=-x2
+bx+c 的 x2
項係數為-1
且頂點坐標為(-3 , 1)
得此函數為 y=-(x+3)2
+1
=-(x2
+6x+9)+1
=-x2
-6x-9+1
=-x2
-6x-8
與 y=-x2
+bx+c 比較係數
故 b=-6、c=-8
搭配課本第 46 頁
- 25. 另外,不論 x 的值是多少,
(x+3)2
≥ 0
2(x+3)2
≥ 0
2(x+3)2
-9 ≥ -9
當 x+3=0(或 x=-3)時,
二次函數 y=2(x+3)2
-9 有最小值-9。
由此可知(-3 , -9)就是此函數圖形的最低點。
兩邊同時減 9
搭配課本第 47 頁
- 27. 另外,不論 x 的值是多少,
(x-3)2
≥ 0
-2(x-3)2
≤ 0
-2(x-3)2
+4 ≤ 4
當 x-3=0(或 x=3)時,
二次函數 y=-2(x-3)2
+4 有最大值 4。
由此可知(3 , 4)就是此函數圖形的最高點。
兩邊同時加 4
搭配課本第 47 頁
- 28. 二次函數 y = a(x - h)2
+ k 的最大值與
最小值1. 當 a>0 時,函數 y=a(x-h)2
+k 在
x-h=0(或 x=h)時有最小值 k,
(h , k)為此函數圖形的最低點。
2. 當 a<0 時,函數 y=a(x-h)2
+k 在
x-h=0(或 x=h)時有最大值 k,
(h , k)為此函數圖形的最高點。
搭配課本第 47 頁
- 35. 判斷下列二次函數在 x 為多少時,y 有最大
值或最小值,並求其值。
(2)y=-(x+4)2
+7
由二次函數 y=-(x+4)2
+7
可知此二次函數圖形開口向下
當 x=-4 時,
二次函數 y=-(x+4)2
+7 有最大值 7
搭配課本第 48 頁
- 47. 例 6二次函數圖形與兩軸的交點坐標
(1)由於 y 軸上的點,其 x 坐標都為 0,
所以要求二次函數圖形與 y 軸交點坐標,
可以令 x=0,
代入 y=x2
-3x+2 中,得 y=2,
即二次函數 y=x2
-3x+2 的圖形與 y 軸的
交點坐標為(0 , 2)。
搭配課本第 50 頁
- 49. 例 6二次函數圖形與兩軸的交點坐標
(2)由於 x 軸上的點,其 y 坐標都為 0,
所以要求二次函數圖形與 x 軸交點坐標,
可以令 y=0,
得 0=x2
-3x+2,(x-2)(x-1)=0,
搭配課本第 50 頁
故 x=2 或 x=1,
- 61. 例 7二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(1)y=2x2
-3x+1
(1)判別式:(-3)2
-4×2×1=1>0,
可知二次函數 y=2x2
-3x+1 的圖形
與 x 軸有兩個交點。
搭配課本第 52 頁
- 62. 例 7二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(2)y=12x+9+4x2
(2)判別式:122
-4×4×9=0,
可知二次函數 y=12x+9+4x2
的圖形
與 x 軸恰有一個交點。
搭配課本第 52 頁
- 63. 例 7二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(3)y=-x2
+2x-4
(3)判別式:22
-4×(-1)×(-4)=-12<0,
可知二次函數 y=-x2
+2x-4 的圖形
與 x 軸沒有交點。
搭配課本第 52 頁
- 68. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(1)y=-2(x-3)2
+5
搭配課本第 53 頁
- 69. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
(1)二次函數 y=-2(x-3)2
+5 的圖形開口
向下,
而頂點(3 , 5)在 x 軸的上方,
根據這些資料可以約略畫出此二次函數的
圖形,
搭配課本第 53 頁
- 70. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
O
x
y
(3,5)
搭配課本第 53 頁
如下圖,
故可知此二次函數圖形與 x 軸有兩個交點。
- 71. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(2)y=-(x+1)2
搭配課本第 53 頁
- 72. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
(2)二次函數 y=-(x+1)2
的圖形開口向下,
而頂點(-1 , 0)恰在 x 軸上,
根據這些資料可以約略畫出此二次函數
的圖形,
搭配課本第 53 頁
- 73. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
O x
y
(-1,0)
搭配課本第 53 頁
如下圖,
故可知此二次函數圖形與 x 軸恰有一個
交點。
- 74. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。
(3)y=3(x-4)2
+1
搭配課本第 53 頁
- 75. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
(3)二次函數 y=3(x-4)2
+1 的圖形開口向上,
而頂點(4 , 1)在 x 軸的上方,
根據這些資料可以約略畫出此二次函數的
圖形,
搭配課本第 53 頁
- 76. 例 8二次函數圖形與 x 軸的交點個數
O
x
y
(4,1)
搭配課本第 53 頁
如下圖,
故可知此二次函數圖形與 x 軸沒有交點。
- 84. 二次函數 y = ax2
+ bx + c 的圖形與兩
軸的交點
3
(1)令 x=0,可得 y 軸的交點坐標為(0 , c)。
(2)令 y=0,求與 x 軸的交點坐標,
即求 ax2
+bx+c=0 的解。
(3)與 x 軸的交點個數,
可由判別式 b2
-4ac 來判斷。
(4)與 x 軸的交點個數,可由函數圖形的
頂點及開口方向來判斷。
搭配課本第 55 頁
- 85. 二次函數 y = ax2
+ bx + c 的圖形與兩軸
的交點
3
例 二次函數 y=x2
-6x+5,
(1)令 x=0,得 y=5,
故與 y 軸的交點坐標為(0 , 5)。
(2)令 y=0,得 x=5 或 x=1,
故與 x 軸的交點座標為(5 , 0)與(1 , 0)。
搭配課本第 55 頁
- 86. 二次函數 y = ax2
+ bx + c 的圖形與兩軸
的交點
3
(3)判別式 b2
-4ac=(-6)2
-4×1×5=
16>0,故與 x 軸有兩個交點。
(4)二次函數 y=x2
-6x+5=(x-3)2
-4
的圖形開口向上,
其頂點(3 , -4)在 x 軸的下方,
故與 x 軸有兩個交點。
搭配課本第 55 頁
- 98. 3
搭配課本第 57 頁
二次函數 y=-2x2
+bx+c 的 x2
項係數為
-2,且頂點坐標為(4 , 6)
故此二次函數為 y=-2(x-4)2
+6
=-2(x2
-8x+16)+6
=-2x2
+16x-32+6
=-2x2
+16x-26
與 y=-2x2
+bx+c 比較係數
可得 b=16、c=-26
- 100. 4
搭配課本第 57 頁
(1) 令 x=0,得 y=-3
其圖形與 y 軸的交點坐標為(0 , -3)
(2) 令 y=0,得 0=2x2
-5x-3
(2x+1)(x-3)=0,x=-
1
2 或 x=3
其圖形與 x 軸的交點坐標為
(-
1
2 , 0)與(3 , 0)
- 101. 5
搭配課本第 57 頁
若二次函數 y=-x2
+bx-c 的圖形頂點為
(1 , -3),則此二次函數圖形與 x 軸有幾個
交點?
二次函數 y=-x2
+bx-c 的圖形開口向下
而頂點(1 , -3)在 x 軸的下方
故可知此二次函數圖形與 x 軸沒有交點