Assignment on Integration

1. CHAPTER – 7
INTEGRALS
Basic Concepts and Formulae :
1.List of Some Standard Integrals :
(i) 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 (𝑛 ≠ 1) (ii)
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝐶
(iii) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 (iv) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶
(v) 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 (vi) 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶
(vii) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 (viii) 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶
(ix) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 (x) 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶
(xi) 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
𝑎 𝑥
𝑙𝑜𝑔 𝑎
+ 𝐶
(xii) (a)
1
1−𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1
𝑥 + 𝐶 (b)
𝑑𝑥
𝑎2−𝑥2
= sin−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
(xiii) (a)
1
1+𝑥2 𝑑𝑥 = sin−1
𝑥 + 𝐶 (b)
1
𝑎2+𝑥2 dx =
1
𝑎
tan−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
(xiv)
1
𝑥 𝑥2−1
𝑑𝑥 = sec−1
𝑥 + 𝐶 (xv) −
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2−1
= cosec−1
𝑥 + 𝐶
(xvi) −
1
𝑎2−𝑥2 𝑑𝑥 =
1
𝑎
cot−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶 (xvii)
1
𝑥 𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
sec−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
(xviii) −
1
𝑥 𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
cosec−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
1. More Standard Results :
𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶, provided x is not an odd multiple of
𝜋
2
.
𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶.
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐
𝜋
4
+
𝑥
2
+ 𝐶 .
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑡𝑎𝑛
𝑥
2
+ 𝐶
2. Results of Some Special Integrals :
𝑑𝑥
𝑎2 + 𝑥2
=
1
𝑎
tan−1
𝑥
𝑎
+ 𝐶
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝑎2
=
1
2𝑎
log
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+ 𝐶
𝑑𝑥
𝑎2 − 𝑥2
=
1
2𝑎
log
𝑎 + 𝑥
𝑎 − 𝑥
+ 𝐶
1
𝑎2+𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
𝑥+ 𝑥2+𝑎2
𝑎
+ 𝐶 𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 +C
1
𝑥2−𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
𝑥+ 𝑥2−𝑎2
𝑎
+ 𝐶 𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2 +C
1
𝑎2 + 𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1
𝑥
𝑎
+ 𝐶

2. 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑎2 − 𝑥2 +
𝑎2
2
sin−1 𝑥
𝑎
+ 𝐶
𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑥2 + 𝑎2 +
𝑎2
2
𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 +C
𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥 =
𝑥
2
𝑥2 − 𝑎2 -
𝑎2
2
𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2 +C
3. Properties of Definite Integrals :
(i) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(change of variable)
(ii) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
(change of limits)
(iii) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
where a < c < b
(iv) 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
0
𝑎
0
(b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑏 − 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(v) (a) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,
𝑎
0
2𝑎
𝑎
if f (2a – x) = f(x)
(b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
2𝑎
𝑎
, if f (2a – x) = - f(x)
1 Mark Questions
1. Integrate the following w.r.t.x.
(i)
1
𝑥3 𝑑𝑥. (ii)
1
𝑥
dx. (iii) 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥.
(iv) 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 (v) 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥 (vi)
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
.
(vii)
2 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑𝑥. (viii) 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑡 𝑥 2
𝑑𝑥.
(ix) 𝑥3
𝑠𝑖𝑛 𝑥4
𝑑𝑥 (x)
𝑠𝑒𝑐 2 𝑙𝑜𝑔 𝑥
𝑥
dx (xi)
𝑥
𝑒 𝑥2 dx
(xii)
1+𝑙𝑜𝑔𝑥 2
𝑥
dx (xiii)
𝑥2
1+𝑥3 dx (xiv)
𝑥+𝑐𝑜𝑠 6𝑥
3𝑥2+ 𝑠𝑖𝑛 6𝑥
dx
(xv) 2𝑥 + 4 𝑥2 + 4𝑥 + 3 dx (xvi)
1+𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
dx
(xvii)
1+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑥+𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐𝑥
dx (xviii)
𝑑𝑥
𝑥+ 𝑥
(xix)
𝑑𝑥
4𝑥2−9
(xx)
𝑥3
1+𝑥8 dx (xxi)
𝑥2+4𝑥
𝑥3+6𝑥2+5
dx (xxii)
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
3+𝑡𝑎𝑛 𝑥
dx
2. Evaluate the following integrals :
(𝑖) 𝑠𝑖𝑛7
𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
dx (ii)
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
dx (iii) 𝑠𝑒𝑐2
(7 − 4𝑥) 𝑑𝑥

3. (iv)
𝑥 𝑒−1+𝑒 𝑥−1
𝑥 𝑒+𝑒 𝑥 dx (v) 𝑙𝑜𝑔
3+5𝑐𝑜𝑠 𝑥
3+5 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
2
0
dx (vi) 𝑐𝑜𝑠5
𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
(vii)
𝑑𝑥
1+𝑥2
1
0
(viii)
2𝑥
5𝑥2+1
1
0
dx (ix)
𝑥
𝑥
1
−2
dx
(x) 𝑒3 𝑙𝑜𝑔 𝑥
𝑥41
0
dx (xi) 𝑥
1.5
0
dx (xii) 𝑥 𝑥
2
0
dx
(xiii)
1
1+𝑒 𝑥 dx (xiv) 𝑠𝑖𝑛2
𝑥
𝜋
2
0
dx (xv)
𝑥
𝑥2+1
4
2
dx
(xvi) 𝑥(1 − 𝑥)2
𝑑𝑥
1
0
(xvii)
1−𝑡𝑎𝑛 𝑥
1+𝑡𝑎𝑛 𝑥
dx (xviii)
𝑑𝑥
𝑥2+1
∞
0
dx
(xix) 𝑠𝑒𝑐4
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 (xx) 𝑥
2
−1
dx (xxi)
𝑒 𝑥
4−𝑒2𝑥
dx
(xxii) 𝑙𝑜𝑔 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
(xxiii) 𝑠𝑖𝑛75
𝑥 + 𝑥125𝜋
−𝜋
dx (xxiv) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
(xv)
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥
dx (xvi) 𝑎 𝑥
𝑒 𝑥
dx (xvii)
1−𝑐𝑜𝑡 𝑥
𝑥+ 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
dx
(xviii)
𝑑𝑥
9−𝑥2
3
0
(xix)
𝑒 𝑥
1+𝑒2𝑥
1
0
dx
4 Marks Questions.
3. Evaluate the following:
(i)
𝑥2+1
𝑥+1 2 dx (ii)
𝑑𝑥
1+𝑡𝑎𝑛 𝑥
(iii)
𝑑𝑥
1+𝑐𝑜𝑡 𝑥
(iv) 𝑠𝑖𝑛4
𝑥 𝑑𝑥 (v) 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑑𝑥 (vi)
𝑐𝑜𝑠 2𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 dx
(vii)
𝑐𝑜𝑠5 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
dx (viii)
𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
dx (ix)
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝛼)
dx
(x)
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝑎)
dx (xi)
𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼
dx (xii)
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑎 𝑐𝑜𝑠 (𝑥−𝑏)
(xiii) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 𝑑𝑥 (xiv)
𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑏2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
dx
(xv)
𝑥+2
2𝑥2+6𝑥+5
dx (xvi)
𝑑𝑥
7−6𝑥−𝑥2
(xvii)
5𝑥+3
𝑥2+4𝑥+10)
dx

4. (xviii)
𝑠𝑖𝑛( 𝑥− 𝛼
𝑠𝑖𝑛 (𝑥+ 𝛼)
dx (xix)
𝑥
𝑥4−𝑥2+1
dx (xx)
2𝑥
1−𝑥2−𝑥4
dx
(xxi)
𝑒 𝑥
5−4𝑒 𝑥 −𝑒2𝑥
dx (xxii)
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥−2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−3
dx (xxiii)
𝑥
1−𝑥2+𝑥4
dx
(xxiv)
2𝑥−1
𝑥−1 𝑥+2 𝑥−3)
dx (xxv)
3𝑥−2
𝑥+1 2(𝑥+3)
dx (xxvi)
𝑠𝑖𝑛 𝑥
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥 2−𝑐𝑜𝑠 𝑥
dx
(xxvii)
𝑥
𝑥2+1 (𝑥+1)
dx (xxviii)
𝑑𝑥
𝑥 𝑥5+1
dx (xxix) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
(xxx)
2𝑥
𝑥2+1 (𝑥2+3)
dx (xxxi)
𝑥2
1+𝑥3 (2+𝑥3)
dx (xxxii)
𝑑𝑥
𝑥[6 𝑙𝑜𝑔 𝑥 2+7 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2
dx
4. Integrate the following:
(i)
𝑥2+1
𝑥4+1
dx (ii)
𝑑𝑥
1+𝑥+𝑥2+𝑥3 dx (iii) 𝑥 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑥 𝑑𝑥
(iv) 𝑥 tan−1
𝑑𝑥(v) sin−1
𝑥 2
dx (vi) 𝑠𝑒𝑐3
𝑥 𝑑𝑥
(vii) 𝑒 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 (viii)
sin −1 𝑥
𝑥2 dx (ix) 𝑒 𝑥
[tan−1
𝑥 +
1
1+𝑥2]dx
(x)
𝑥
𝑥+1 2 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 (xi)
1
𝑙𝑜𝑔 𝑥
−
1
𝑙𝑜𝑔 𝑥 2 dx (xii) 𝑒 𝑥 1
𝑥
−
1
𝑥2 dx
(xiii)
𝑥2+1
𝑥+1 2 𝑒 𝑥
dx (xiv) 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 𝑥 +
1
𝑙𝑜𝑔 𝑥
dx (xv) 𝑒 𝑥 1
𝑥2 −
1
𝑥3 dx
(xvi) 𝑒 𝑥 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
dx (xvii)
1− 𝑥
1+ 𝑥
dx (xviii)
2+𝑠𝑖𝑛 2𝑥
1+𝑐𝑜𝑠 2𝑥
𝑒 𝑥
dx
(xix)
𝑠𝑖𝑛8 𝑥−𝑐𝑜𝑠8 𝑥
1−2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
dx (xx)
sin −1 𝑥−cos −1 𝑥
sin −1 𝑥+cos −1 𝑥
dx (xxi)
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑𝑥
(xxii)
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 (5−4 𝑐𝑜𝑠 𝑥)
(xxiii)
𝑥
𝑥3−1
𝑑𝑥 (xxiv) 𝑥 sin−1
𝑥 𝑑𝑥
(xxv) 𝑥2
tan−1
𝑥 𝑑𝑥 (xxvi)
1−𝑥
1+𝑥
dx (xxvii)
1−𝑥2
𝑥(1−2𝑥)
dx
4. Evaluate the following integrals :
(i)
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 (ii)
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥 (iii)
𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥
1+ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥

5. (iv)
𝑑𝑥
1+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜋
3
𝜋
6
(v) 𝑥 + 2
5
−5
𝑑𝑥 (vi) 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
4
0
(vii) (2 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑛 2𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
0
(viii) 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 𝑑𝑥
𝜋
4
−
𝜋
4
(ix)
𝑑 𝑥
1+ 𝑡𝑎𝑛 3 𝑥
𝜋
2
0
(x)
𝑥
1+𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 (xi)
𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥
1+𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
𝑑𝑥
(xii)
𝑥
𝑥+ 𝑎−𝑥
𝑎
0
dx (xiii) 𝑥 − 1
4
0
𝑑𝑥 (xiv)
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
𝜋
3
𝜋
6
dx
(xv)
𝑥
1+𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 (xvi)
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 (xvii) 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝜋
4
−
𝜋
4
𝑑𝑥
(xviii)
𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑐 𝑥+𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜋
0
𝑑𝑥 (xix) 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑥
1
−1
𝑑𝑥 (xx) 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥−4
1−𝑐𝑜𝑠 4𝑥
𝑑𝑥
6 Marks Questions :
5. Using properties of definite, evaluate.
(i)
𝑥 𝑑𝑥
4−𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝜋
0
(ii)
𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝑒−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
0
dx (iii)
𝑥 𝑑𝑥
𝑎2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝜋
0
(iv)
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
9+16 𝑠𝑖𝑛 2𝑥
𝜋
4
0
𝑑𝑥 (v) 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
2
0
(vi) sin−1 2𝑥
1+𝑥2
1
0
dx
(vii)
𝑑 𝑥
3+2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
(viii) Show that 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝜋
𝜋
2
0
(ix) sin−1 𝑥
𝑎+𝑥
𝑎
0
(x)
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝜋
2
0
dx
(xi) 𝑥 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 5
0
−5
dx (xii)
𝑙𝑜𝑔 𝑥
1−𝑥
1
0
dx (xiii) 𝑡𝑎𝑛 𝑥
𝜋
4
0
𝑑𝑥
6. Evaluate as the limit of sums :
(i) 2𝑥2
− 5 𝑑𝑥
3
0
(ii) 𝑥2
+ 5𝑥 𝑑𝑥
3
1
(iii) 𝑥2
+ 𝑥 + 1 𝑑𝑥
2
0
(v) 3𝑥2
+ 2𝑥 𝑑𝑥
3
1
(vi)
𝑥2
𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 dx