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实验五 用Mathematica软件计算一元函数的积分

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实验五 用Mathematica软件计算一元函数的积分

  1. 1. 实验五 用 Mathematica 软件计算一元函数的积分 实验目的: 1. 掌握用 Mathematica 软件作求不定积分和定积分语句和方法。 2. 熟悉软件在建模中应用 实验准备: 数学概念 1. 不定积分 2. 定积分 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 一、利用 Mathematica 软件包计算不定积分 在 Mathematica 系统中用 Integrate 函数求函数的不定积分,基本格式为: Integrate [f[x],x] 其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式. 3 实验 求 ∫ ( x − 4 sin x + 2 arctan x − 9)dx . 解 In[1]:= Integrate[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x] 注意结果中省略了常数 C. x + sin x 实验 求 ∫ 1 + cos x dx . In[2]:= Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos[x]),x] 解 课后实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分: (1) ∫ ( 2 + 3 ) dx 2 (2) ∫ x 2 x + 1dx x x 2 arcsin x arctan x (3) ∫ (4) ∫ 1 + x 2 dx dx 1− x 2
  2. 2. cos x 1 (5) ∫ 3 + 4 sin x dx (6) ∫ e − x + e x dx e2x + 1 (7) ∫ sin x cos xdx (8) ∫ 2 2 dx ex 二、求定积分和广义积分 在 Mathematica 系统中定积分的计算也用 Integrate 函数,基本格式为: Integrate [f[x],{x,a,b}] 其中表{x,a,b}中, x 为积分变量, a,b 分别代表积分下限和上限,当 b 为 ∞时,即为广义积分. 1 2 实验 求 ∫0 x cos xdx . 解 In[3]:= Integrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] +∞ −2 x 实验 求 ∫0 e dx . 解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x],{x,0,+Infinity}] 1 Out[4]= 2 如果要得积分值的近似值,可将 N 函数作用于上,对于某些已经被证明其 原函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用 Nintegrate 求其数值解. 1 2 实验 求 ∫0 x cos xdx 的近似值. 解 In[5]:= NIntegrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}] Out[5]= 0.239134 1 sin x 实验 求 ∫0 x dx 的数值解. 解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}] Out[6]= 0.946083 实验 用笔算和机算两种方法求下列各积分: 3 1.∫ x 2 − 2e x + ( + 5 x )dx 2.∫ sin 7 xdx 1+ x2 2 1 x e 3.∫ dx 4.∫ x ln xdx 0 1+ x2 1 2 x2 −1 +∞ 5.∫ dx 6.∫ e − x sin xdx 1 x 0 三、应用实验
  3. 3. 本实验研究转售机器的最佳时间问题 人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段 时间后再转售出去买更好的机器。 那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获 得最大的利润是使用机器者最想知道的。 现有一种机器由于折旧等因素其转售价 t 3 A − 96 格 R(t)服从如下函数关系 R (t ) = e (元),这里 t 是时间,单位是周,A 是 4 t A − 机器的最初价格。此外,还知道在任何时间 t,机器开动就能产生 P = e 48 的利 4 润,问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大?最大利润是多少? 机器卖了多少钱? 1)问题分析 设机器总共使用了 x 周,总收入为 S(x)。因为总收入 S(x)为使用和卖出机器获 x 3 A − 96 得的利润之和。由题意当机器使用了 x 周卖出后,获得的转售利润为 e , 4 t x A − 48 使用机器创造的利润为 ∫0 e dt ,因此有总收入 4 x t 3a − 96 x A − S ( x) = e + ∫ e 48 dt , 0 x< + ∞ < 4 0 4 于是问题变为求函数 S(x)在区间 (0,+∞)最大值问题。对函数 S(x)在求导 x x 1 3 A − 96 A − 48 S ′( x) = − e + e =0 96 4 4 求出函数 S(x)在区间(0,+∞)的驻点,然后进行讨论即可。如果 S(x)在 x1 取得最 x 3 A − 96 1 大值,则有总最大利润为 S(x1),最大利润为 S(x1)-A,机器卖的钱数为 e 。 4
  4. 4. 2)实验步骤 In[1]:= s[x_]:=3a/4*Exp[-x/96]+Integrate[a/4*Exp[-t/48],{t,0,x}] In[2]:= D[s[x],x] x x a − 96 a − 48 Out[2]= − e + e 128 4 In[3]:= Exp[x/48-x/96]==128/4 Out[3]= E x/96 == 32 In[4]:= x1=96*Log[32] Out[4]= 96 Log[32] In[5]:= D[s[x],{x,2}]/.x->x1 Out[5]= -a/393216 In[6]:= x1//N Out[6]= 332.711 In[7]:= s[x1]//N Out[7]= 12.0117 a In[8]:= p=s[x1]-a//N Out[8]= 11.9883 a In[9]:= 3a/4*Exp[-x1/96] 3a Out[9]= 128 由计算结果可知,驻点 x1=96ln32。函数 S″(x1)= -a/393216<0,(因为 a>0), 因此 S (x)在 x1 取得最大值。在使用时间为 x1=96ln32≈333 周获得最大总利润约 3a 为 12.0117 a,最大利润越为 11.9883 a,机器卖了 元钱。 128

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