1. 实验五 用 Mathematica 软件计算一元函数的积分
实验目的:
1. 掌握用 Mathematica 软件作求不定积分和定积分语句和方法。
2. 熟悉软件在建模中应用
实验准备：
数学概念
1. 不定积分
2. 定积分
实验过程与要求:
教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:
一、利用 Mathematica 软件包计算不定积分
在 Mathematica 系统中用 Integrate 函数求函数的不定积分，基本格式为：
Integrate [f[x],x]
其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式.
3
实验 求 ∫ ( x − 4 sin x + 2 arctan x − 9)dx .
解 In[1]:= Integrate[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x]
注意结果中省略了常数 C.
x + sin x
实验 求 ∫ 1 + cos x dx .
In[2]:= Integrate[(x+Sin[x])/(1+Cos[x]),x]
解
课后实验
用笔算和机算两种方法求下列各积分：
（1） ∫ ( 2 + 3 ) dx
2
（2） ∫ x 2 x + 1dx
x x 2
arcsin x arctan x
（3） ∫ （4） ∫ 1 + x 2 dx
dx
1− x 2

2. cos x 1
（5） ∫ 3 + 4 sin x dx （6） ∫ e − x + e x dx
e2x + 1
（7） ∫ sin x cos xdx （8） ∫
2 2
dx
ex
二、求定积分和广义积分
在 Mathematica 系统中定积分的计算也用 Integrate 函数，基本格式为：
Integrate [f[x],{x,a,b}]
其中表{x,a,b}中， x 为积分变量， a,b 分别代表积分下限和上限，当 b 为
∞时，即为广义积分.
1 2
实验 求 ∫0 x cos xdx .
解 In[3]:= Integrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}]
+∞ −2 x
实验 求 ∫0 e dx .
解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x],{x,0,+Infinity}]
1
Out[4]= 2
如果要得积分值的近似值，可将 N 函数作用于上，对于某些已经被证明其
原函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用 Nintegrate 求其数值解.
1 2
实验 求 ∫0 x cos xdx 的近似值.
解 In[5]:= NIntegrate[(x^2)Cos[x],{x,0,1}]
Out[5]= 0.239134
1 sin x
实验 求 ∫0 x dx 的数值解.
解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}]
Out[6]= 0.946083
实验
用笔算和机算两种方法求下列各积分：
3
1.∫ x 2 − 2e x +
（ + 5 x )dx 2.∫ sin 7 xdx
1+ x2
2
1 x e
3.∫ dx 4.∫ x ln xdx
0 1+ x2 1
2 x2 −1 +∞
5.∫ dx 6.∫ e − x sin xdx
1 x 0
三、应用实验

3. 本实验研究转售机器的最佳时间问题
人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。通常是把购买的机器使用一段
时间后再转售出去买更好的机器。 那么一台机器使用多少时间再转售出去才能获
得最大的利润是使用机器者最想知道的。 现有一种机器由于折旧等因素其转售价
t
3 A − 96
格 R(t)服从如下函数关系 R (t ) = e （元），这里 t 是时间，单位是周，A 是
4
t
A −
机器的最初价格。此外，还知道在任何时间 t,机器开动就能产生 P = e 48 的利
4
润，问该机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？最大利润是多少？
机器卖了多少钱？
1)问题分析
设机器总共使用了 x 周，总收入为 S(x)。因为总收入 S(x)为使用和卖出机器获
x
3 A − 96
得的利润之和。由题意当机器使用了 x 周卖出后，获得的转售利润为 e ，
4
t
x A − 48
使用机器创造的利润为 ∫0 e dt ，因此有总收入
4
x t
3a − 96 x A −
S ( x) = e + ∫ e 48 dt , 0 x＜ + ∞
＜
4 0 4
于是问题变为求函数 S(x)在区间 (0,+∞)最大值问题。对函数 S(x)在求导
x x
1 3 A − 96 A − 48
S ′( x) = − e + e =0
96 4 4
求出函数 S(x)在区间(0,+∞)的驻点，然后进行讨论即可。如果 S(x)在 x1 取得最
x
3 A − 96
1
大值，则有总最大利润为 S(x1)，最大利润为 S(x1)-A,机器卖的钱数为 e 。
4

4. 2）实验步骤
In[1]:= s[x_]:=3a/4*Exp[-x/96]+Integrate[a/4*Exp[-t/48],{t,0,x}]
In[2]:= D[s[x],x]
x x
a − 96 a − 48
Out[2]= − e + e
128 4
In[3]:= Exp[x/48-x/96]==128/4
Out[3]= E x/96 == 32
In[4]:= x1=96*Log[32]
Out[4]= 96 Log[32]
In[5]:= D[s[x],{x,2}]/.x->x1
Out[5]= -a/393216
In[6]:= x1//N
Out[6]= 332.711
In[7]:= s[x1]//N
Out[7]= 12.0117 a
In[8]:= p=s[x1]-a//N
Out[8]= 11.9883 a
In[9]:= 3a/4*Exp[-x1/96]
3a
Out[9]= 128
由计算结果可知，驻点 x1=96ln32。函数 S″(x1)= -a/393216<0,(因为 a>0),
因此 S (x)在 x1 取得最大值。在使用时间为 x1=96ln32≈333 周获得最大总利润约
3a
为 12.0117 a，最大利润越为 11.9883 a，机器卖了 元钱。
128