2. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο
ΚΑΙ 3.1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β1 / Β2 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 /
Δ1/ Δ2/ Δ3/
ΣΥΝΟΛΟ /
ΘΕΜΑ Α (16 + 9 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Για κάθε α,βR να αποδείξετε ότι: α β α β .
Α2. Ισχύει κάτι ανάλογο με το Α1 ερώτημα στις:
i. νιοστές ρίζες; Δηλαδή νν να β α β για κάθε α,βR και *
νn ;
ii. δυνάμεις; Δηλαδή
ν ν ν
α β α β για κάθε α,βR και νn;
iii. ταυτότητες; Δηλαδή
ν ν ν
α β α β για κάθε α,βR και νn;
Να γράψετε αν είναι Αληθής ή Ψευδής οι παραπάνω προτάσεις.
ΘΕΜΑ Β (15 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνονται οι αριθμοί α 2 5 και β 3 5 . Να αποδείξετε ότι:
Β1. 2
α 9 4 5 και 2
β 14 6 5
Β2. 9 4 5 14 6 5 1
ΘΕΜΑ Γ (9 + 6 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η παράσταση Α x 1 x 1 1
Γ1. Να αποδείξετε ότι Α x
Γ2. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2018 2020 1 είναι φυσικός.
Γ3. Να λύσετε την εξίσωση x 1 x 1 1 2x 1 .
ΘΕΜΑ Δ (5 + 10 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η παράσταση
2 3 2
3
x x1
Α x
x x 1
Δ1. Να βρείτε τις τιμές του x που ορίζεται η παράσταση Α.
Δ2. Να αποδείξετε ότι
2
Α x 1 .
Δ3. Να λύσετε την εξίσωση A 1 .
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 13
3. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο
: ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β1 / Β2 / Β3 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 /
ΣΥΝΟΛΟ
ΟΜΑΔΑ Α
ΘΕΜΑ Α (16 + 9 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Να αποδείξετε ότι: «Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια
χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της».
Α2. Να συμπληρώσετε τα κενά με τις κατάλληλες λέξεις για να μας προκύψει ένα
γνωστό θεώρημα – πρόταση – ορισμός της θεωρίας.
i. Αν μια ευθεία (ε) εφάπτεται σε κύκλο (Κ, ρ) στο σημείο Μ, τότε η ακτίνα ΚΜ
είναι ………. στην ευθεία (ε).
ii. Η ευθεία που δεν έχει κανένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται
………………….. ευθεία του κύκλου.
iii. Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ανήκει
στη …………….. του.
ΘΕΜΑ Β (12 + 8 + 15 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα
Κ, Λ και από το μέσο Μ του ΚΛ ευθεία ε
που τέμνει τους κύκλους στα σημεία Α, Β
και Γ, Δ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
Β1. Τα Κ και Λ ισαπέχουν από την ευθεία
(ε).
Β2. ΑΒ ΓΔ
Β3. Το Μ είναι μέσο των ευθυγράμμων
τμημάτων ΒΓ και ΑΔ.
ΘΕΜΑ Γ (15 + 15 + 10 = 40 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ 0
Α 90 και ΔΕΖ 0
Δ 90 με ίσες
περιμέτρους και ΑΒ = ΕΔ. Προεκτείνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΔΖ κατά
τμήματα ΓΗ = ΒΓ και ΖΘ = ΕΖ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα:
Γ1. ΑΒΗ και ΔΕΘ είναι ίσα.
Γ2. ΒΓΗ και ΖΕΘ είναι ίσα.
Γ3. ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 13
4. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο
: ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β1 / Β2 / Β3 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 /
ΣΥΝΟΛΟ
ΟΜΑΔΑ Β
ΘΕΜΑ Α (16 + 9 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Να αποδείξετε ότι: «δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα
αποστήματά τους είναι ίσα».
Α2. Να συμπληρώσετε τα κενά με τις κατάλληλες λέξεις για να μας προκύψει ένα
γνωστό θεώρημα – πρόταση – ορισμός της θεωρίας.
i. Μια ευθεία δεν μπορεί να έχει περισσότερα από ………. κοινά σημεία με έναν
κύκλο.
ii. Το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος ενός τριγώνου λέγονται …………….
στοιχεία.
iii. Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ………….. .
ΘΕΜΑ Β (12 + 8 + 15 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το
μέσο της βάσης του ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:
Β1. το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου.
Β2. τα Β και Γ ισαπέχουν από τις ίσες πλευρές του
τριγώνου.
Β3. η διχοτόμος της γωνίας ΕΜΖ διέρχεται από το
σημείο Α.
ΘΕΜΑ Γ (15 + 13 + 12 = 40 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Αν Α, Β είναι τα κοινά σημεία δύο ίσων κύκλων
με κέντρα Ο, Κ και ακτίνα ρ = ΟΚ.
Να αποδείξετε ότι:
Γ1. Οι γωνίες ΑΟΒ και ΑΚΒ είναι ίσες.
Γ2. Η ΟΚ είναι διχοτόμος των γωνιών του Γ1
ερωτήματος.
Γ3. ΟΚ ΑΒ
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 13
6. ΘΕΜΑ Γ (10 + 15 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η εξίσωση: 2 3
144εφ ω 25 εφ ω 0 για
π
ω π
2
.
Γ1. Να αποδείξετε ότι:
5
εφω
12
Γ2. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΘΕΜΑ Δ (9 + 6 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η εξίσωση 4 4 7 3π
ημ x συν x , x π,
8 2
(1).
Δ1. Να αποδείξετε ότι
1
ημxσυνx
4
.
Δ2. Να αποδείξετε ότι
1
ημx
2
και συνx 0 .
Δ3. Αν x είναι μια οποιαδήποτε γωνία της εξίσωσης (1) τότε να αποδείξετε ότι η
παράσταση
6 6
2 2
ημ x συν x
Α
π 3π
13ημ 13ημ
8 8
είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη της
γωνίας x.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 13
7. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8Ο
& 9Ο
: ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β /
Γ1 / Γ2 /
Δ /
Σύνολο
ΟΜΑΔΑ Α
ΘΕΜΑ Α (20 + 5 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ
Α 90 με ΑΔ το ύψος του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι:
2
ΑΒ ΒΓ ΒΔ
Α2. Να διατυπώσετε την παραπάνω πρόταση.
ΘΕΜΑ Β (25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Να διατυπώσετε το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης και να αποδείξετε ότι ισχύει.
ΘΕΜΑ Γ (10 + 15 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται κύκλο Ο,ρ με διάμετρο ΒΓ όπως φαίνεται στο
παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε:
Γ1. την ακτίνα ρ
Γ2. τα x και y.
ΘΕΜΑ Δ (25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ έχουν λόγο 2 . Να αποδείξετε ότι οι
προβολές των κορυφών Α και Γ στη διαγώνιο ΒΔ διαιρούν τη διαγώνιο αυτή σε τρία
ίσα μέρη.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 13
8. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8Ο
& 9Ο
: ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β /
Γ1 / Γ2 /
Δ /
Σύνολο
ΟΜΑΔΑ Β
ΘΕΜΑ Α (20 + 5 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ
Α 90 με ΑΔ το ύψος του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι:
2
ΑΓ ΒΓ ΓΔ
Α2. Να διατυπώσετε την παραπάνω πρόταση.
ΘΕΜΑ Β (25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Να διατυπώσετε το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης και να αποδείξετε ότι ισχύει.
ΘΕΜΑ Γ (20 + 5 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 0
Α 90 ) φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν είναι ΑΒ = 5 και
25
ΒΔ
13
τότε:
Γ1. Να διατάξετε κατά αύξουσα σειρά μήκους τα τμήματα: ΑΓ, ΒΓ, ΓΔ και ΑΔ
Γ2. Να υπολογίσετε το αμ .
ΘΕΜΑ Δ (25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ έχουν λόγο 2 . Να αποδείξετε ότι οι
προβολές των κορυφών Α και Γ στη διαγώνιο ΒΔ διαιρούν τη διαγώνιο αυτή σε τρία
ίσα μέρη.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 13
9. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ / ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ – ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 / Α3 /
Β1 / Β2 / B3 /
Γ1 / Γ2 /
Δ1 / Δ2/
ΣΥΝΟΛΟ /
ΘΕΜΑ Α (13 + 6 + 6 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Αν 1 1 2 2α x , y , β x , y διανύσματα του επιπέδου Oxy να αποδείξετε ότι:
1 2 1 2α β x x , y y
Α2. Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α,β,γ και *
κ,μR τότε να επιλέξετε ποια
από τα παρακάτω δεν είναι διάνυσμα:
i.α β ii. κα μβ iii. α β iv. αβ γ v. 2
α
vi. αβ γα vii. α,β viii. αλ ix. det α,β
Α3. Για καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας δίπλα από
το κάθε ερώτημα τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη
ΛΑΘΟΣ, αν είναι λανθασμένη.
i) Για δύο μη μηδενικά διανύσματα α,β ισχύει: 0 α,β 2π
ii) Για τη γωνία ω που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα x x τότε 0 ω π .
iii) Αν α / /x x τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α
ΘΕΜΑ Β (7,5 + 7,5 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Αν α κ,1 και β 4,3 , να υπολογίσετε στις παρακάτω περιπτώσεις τον κR ,
ώστε να ισχύει:
Β1. α β Β2. α / /β Β3. π
2019α,2020β
4
ΘΕΜΑ Γ (18 + 7 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνονται τα σημεία A 2,3 B 3,4 , Γ 4,2 και Δ είναι η τέταρτη κορυφή του
παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.
Γ1. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ και του κέντρου παραλ/μου ΑΒΓΔ.
Γ2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα ΑΒ με τον άξονα x x .
ΘΕΜΑ Δ (15 + 10 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Αν για τα διανύσματα α,β ισχύουν
β 1, β 1
2
α i j
2
τότε
Δ1. Να αποδείξετε ότι: α β 1 Δ2. Να υπολογίσετε τη γωνία α,β
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 13
10. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
: ΑΝΑΛΥΣΗ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β1 / Β2 / B3 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 /
ΣΥΝΟΛΟ /
ΟΜΑΔΑ Α
ΘΕΜΑ Α (16 + 9 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Να αποδείξετε ότι x 1 .
Α2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g.
f x g x ...................... f x g x ........................... f x ...........................
ΘΕΜΑ Β (5 + 20 + 10 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 4 x
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
Β2. Να βρείτε την πρώτη παράγωγος της f.
Β3. Να υπολογίσετε τον αριθμό f 3 f 3
ΘΕΜΑ Γ (20 + 10 + 10 = 40 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε 4 3
x f x x 3x για κάθε xR . Αν
η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 0 τότε:
Γ1. Να υπολογίσετε τον αριθμό f 0
Γ2. Να αποδείξετε ότι 3 2
f x x 3x
Γ3. Να υπολογίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα σημεία ακροτάτων της
συνάρτησης f.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 13
11. ΤΕΤΡΑΜΗΝΙΑΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΉΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
: ΑΝΑΛΥΣΗ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 /
Β1 / Β2 / B3 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 /
ΣΥΝΟΛΟ /
ΟΜΑΔΑ Β
ΘΕΜΑ Α (16 + 9 = 25 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Να αποδείξετε ότι c 0 .
Α2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g.
f x g x ...........................
f x
................................
g x
v
f x ..............................
ΘΕΜΑ Β (5 + 20 + 10 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f x x 1 3 x
Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.
Β2. Να βρείτε την πρώτη παράγωγος της f.
Β3. Να υπολογίσετε τον αριθμό f 2 f 2
ΘΕΜΑ Γ (20 + 10 + 10 = 40 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε 4 3
x f x x 3x για κάθε xR . Αν
η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 0 τότε:
Γ1. Να υπολογίσετε τον αριθμό f 0
Γ2. Να αποδείξετε ότι 3 2
f x x 3x
Γ3. Να υπολογίσετε τα διαστήματα μονοτονίας και τα σημεία ακροτάτων της
συνάρτησης f.
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 13
12. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΩΤΟΥ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο
: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΌΡΙΑ - ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 / Α2 / Α3 / -
Β1 / Β2 / B3 / Β4 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 / Γ4 /
ΣΥΝΟΛΟ /
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 55 ΛΕΠΤΑ
ΘΕΜΑ Α (15 + 10 + 5 = 30 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Α1. Να αποδείξετε ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς, δηλαδή αν
v
ν 1 0P x α x .... α x α τότε
0x x
0P x P xlim
.
Α2. Έστω ο ισχυρισμός: «Κάθε συνεχής συνάρτηση f : R R δεν έχει κατακόρυφες
ασύμπτωτες». Αληθής ή Ψευδής; Αν είναι αληθής να αποδείξετε τον ισχυρισμό,
αν είναι Ψευδής να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Α3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
3 x
1 2 3f x αx , α 0, f x x , f x α , 0 α 1
ΘΕΜΑ Β [5 + 5 + (8 + 7) + 10 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ]
Έστω συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε 2
x f x x x για κάθε xR .
Β1. Να αποδείξετε ότι f 0 0 .
Β2. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0x 0 .
Β3. Να βρείτε, αν υπάρχουν τα όρια: i.
x 0
f x f 0
x
lim
ii.
x 0
ln x
x f x
lim
.
B4. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα 1,0 και
0, .
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 13
13. ΘΕΜΑ Γ (10 + 8 + 7 + 10 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f : R R , για την οποία ισχύει
x 0
x 2
f x 4
2 x
1
ημ ημ2x
lim
Να αποδείξετε ότι:
Γ1. η γραφική παράσταση της f έχει μοναδική ασύμπτωτη την ευθεία ε : y 4x 2 .
Γ2.
x
f(x)lim
και
x
f(x)lim
.
Γ3. f R R , αν η f είναι συνεχής.
Γ4. η συνάρτηση g x f f x έχει ασύμπτωτη την ευθεία y 16x 10 .
01.02.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 13