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46 第 3 章多項式函數的積分

3 多項式函數的積分
3-1 黎曼和與面積
1. 下列哪些無窮數列是收斂數列﹖
n 1 1  n2 2n n
(1) 2
﹒ (2) ﹒ (3) ﹒ (4)  1.01 ﹒ (5) 1  0.9n ﹒
n n 1  3n

1 1
 2
n 1
解﹕(1) lim 2  lim n n  0 ﹒
n  n n  1
1
n
1  n2
(2) lim  lim n ﹐
n  n n 1
1
因為當 n 趨向於無限大時﹐  n 會趨向於負無限大﹐
n

1  n2
所以是發散數列﹒
n
2n 2 2
(3) lim  lim  ﹒
n 1  3n n 1 3
3
n
(4)因為公比 r  1.01 ﹐其絕對值大於 1﹐
n
所以  1.01 是發散數列﹒

(5)因為公比 r  0.9 滿足 1  r  1 ﹐所以 lim 0.9 n  0 ﹐
n

即 lim 1  0.9n   1  lim 0.9n  1 ﹒
n  n 

因此﹐由上面的討論可知﹕(1)(3)(5)為收斂數列﹒

第 3 章多項式函數的積分 47

2. 求下列各極限值﹕
n2  1 999  n n  n2 2  3n  4n 2
(1) lim ﹒ (2) lim ﹒ (3) lim ﹒ (4) lim ﹒
n  n 2  1 n  999  n n  n 2  n n  n3  1
1
1 2
n2  1 n 1﹒
解﹕(1) lim 2  lim
n  n  1 n  1
1 2
n
999
1
999  n n
(2) lim  lim  1 ﹒
n  999  n n  999
1
n
1
2 1
nn n
(3) lim 2  lim  1 ﹒
n  n  n n  1
1
n
2 3 4
2  
2  3n  4n n3 n 2 n  0  0 ﹒
(4) lim  lim
n  n3  1 n  1
1 3 1
n
3. 求下列各極限值﹕
 2n  1 n   n2  1 n2 1 
(1) lim   ﹒ (2) lim   ﹒
n 
 n n2 n 
 n 1 n  1 
1 2  3   n 12  22    n 2
(3) lim ﹒ (4) lim ﹒
n  n2  1 n  n 2  2n3
 2n  1 n  2n  1 n
解﹕(1) lim     lim  lim  2 1  1 ﹒
n 
 n n  2  n n n  n  2

 n2  1 n2 1  n3  n 2  n  1  n3  n 2  n  1
(2) lim     lim
n 
 n  1 n  1  n  n2  1

2n 2  2n
 lim  2﹒
n  n 2  1

n  n  1
1 2  3   n 2 n 1
(3) lim 2
 lim  lim  ﹒
n  n 1 n   n  1 n  1 n  2  n  1 2


n  n  1 2n  1
12  22    n 2 6 n 1 1
(4) lim  lim  lim  ﹒
n  n 2  2n3 n  2
n  2n  1 n  6n 6

3  an 1
4. 已知 lim  ﹐求實數 a 的值﹒
n  3n  2 2
3
a
3  an a
解﹕因為 lim  lim n  ﹐
n  3n  2 n  2 3
3
n
a 1 3
所以   ﹐即 a   ﹒
3 2 2
2
5. 已知對於每一個正整數 n ﹐數列 n
n 滿足 n n  1  ﹐求數列 n
n 的極
n
限﹒

解﹕因為對於每一個正整數 n ﹐1  n n

2
1  n n  1 ﹐
n
 2
又 lim  1 
  1
n 
 n

lim n n  1 ﹒
n 


6. 將閉區間 1, 3 等分成 4 個線段﹐求出 f  x   x 3  1 的圖形﹐直線 x  1 ﹐  3
x
與 x 軸所圍成區域之面積的下和 L4 與上和 U 4 ﹒
1
解﹕(1)將區間 1, 3 等分成 4 個線段﹐每一個線段長 ﹐
2
3 5
其分割點分別為 1﹐ ﹐2﹐ ﹐3﹒
2 2
(2)因為函數 f  x   x 3  1 在 1, 3 是遞增函數﹐

所以 f  x  在每個區間的左端點有最小值﹐

右端點有最大值﹐因此﹐下和 L4 與上和 U 4 可以計算如下﹕
1   3  5 
L4    f 1  f    f  2   f   
2   2  2 
1  3   3 3    5 3  
   1  1      1   2  1      1 
3

2   2    2  
    
1
  24  12 ,
2
1   3  5 
U 4    f    f  2   f    f  3 
2   2  2 
3
1  3     5 3  
       1   23  1      1   33  1 
2  2 



 2 





1
  50  25 .
2


7. 將閉區間 1, 5 等分成 8 個線段﹐

設 f  x   x 2 的圖形與直線 x  1 ﹐ x  5 及 x 軸

所圍成之區域面積的上和為 U 8 ﹑下和為 L8 ﹐求 U 8  L8 ﹒
1
解﹕(1)將區間 1, 5 等分成 8 個線段﹐每一個線段長 ﹐
2
3 5 7 9
其分割點分別為 1﹐ ﹐2﹐ ﹐3﹐ ﹐4﹐ ﹐5﹒
2 2 2 2
(2)因為函數 f  x   x 2 在 [1, 5] 是遞增函數﹐所以

f  x  在每個區間的左端點有最小值﹐右端點有最大值﹐

因此﹐下和 L8 與上和 U 8 可以計算如下

1  3 5 7  9 
L8   f 1  f    f  2  f    f  3  f    f  4  f   ﹐
2  2  2 2  2 

1 3 5 7 9 
U8   f    f  2  f    f  3  f    f 4  f    f 5  ﹒
2 2  2  2  2 
1
計算 U 8  L8 
2
 f  5  f 1   1  25  1  12 ﹒
2

1
8. 求 f  x   1  x 2 的圖形與直線 x  0 ﹐ x  及
2
x 軸所圍成之區域的面積﹒

解﹕(1)依題意畫出其圖形﹐如圖所示﹕

 1
將閉區間  0,  等分成 n 個線段﹐其分割點分別
 2


1 2 n 1
為0﹐ ﹐ ﹐…﹐  ﹐
2n 2n 2n 2
1
並設 f  x   1  x 2 的圖形與直線 x  0 ﹐ x  及
2
x 軸所圍成之區域面積的下和為 Ln ﹑上和為 U n ﹒

 1
(2)因為函數 f  x   1  x 2 在  0,  是遞減函數
 2
所以 f  x  在每個區間的左端點有最大值﹐

右端點有最小值﹐因此﹐下和 Ln 與上和 U n 可以計算如下﹕
1   1   2   n 1   n 
Ln   f   f     f  f  
2n   2n   2n   2n   2n  
2 2
1   1     2     n 2  
   1      1         1     
2 n    2 n     2n  
   
  2n   
 
1  1 
   n  2 12  22    n 2  
2n  4n 
1 1 n  n  1 2n  1
  
2 8n 3 6
11 1 1
   ,
24 16n 48n 2
1   1   2   n 1  
Un    f 0  f   f     f 
2n   2n   2n   2n  
1    1 2    2 2    n 1 2  
   1  0    1      1         1   
2n    2 n     2n     2n   
 
      
1  1 2 

2n  4n

  n  2 12  22     n  1 


1 1  n  1 n  2n  1
  3
2 8n 6
11 1 1
   .
24 16n 48n 2
(3)因為
 11 1 1  11
lim Ln  lim     ﹐
n  n  24
 16n 48n 2  24


 11 1 1  11
lim U n  lim     ﹐
n  n  24
 16n 48n 2  24
1
所以 f  x   1  x 2 的圖形與直線 x  0 ﹐ x  及
2
11
x 軸所圍成之區域的面積為 ﹒
24


3-2 定積分與反導函數
1. 求下列各函數的反導函數﹕
2
(1) x 3  2 x ﹒ (2) 2 x  x 2  1 ﹒

x4
解﹕(1)   x 3  2 x  dx   x 2  c ﹐其中 c 是一個常數﹒
4
2 x6
(2)  2 x  x 2  1 dx    2 x 5  4 x 3  2 x  dx   x4  x 2  c ﹐
3
其中 c 是一個常數﹒
2
2. 已知圖中三個區域 R1 ﹐ R2 ﹐ R3 的面積分別為 1 ﹐ ﹐1﹐求
3
3
(1)  f  x  dx ﹒
0

3
(2)  f  x  dx ﹒
0

1 2 3
(3)  f  x  dx  3 f  x  dx   f  x  dx ﹒
0 1 2

3 2 4
解﹕(1)  f  x  dx  1  1   ﹒
0 3 3
3 2 8
(2)  f  x  dx  1   1  ﹒
0 3 3
1 2 3 2
(3)  f  x  dx  3 f  x  dx   f  x  dx  1  3   1  0 ﹒
0 1 2 3


3. 求下列各定積分的值﹕
2 1
(1)   30 x 2  60 x  30  dx ﹒ (2)  4x 3
 2 x  dx ﹒
0 3

2 2
解﹕(1)   30 x 2  60 x  30  dx  30   x 2  2 x  1 dx
0 0

2
 x 3   2
2
 30   x  x    30   20 ﹒
 3
  0
3
1 1
(2) 
3
4x 3
 2 x  dx   x 4  x 2 
3
 1  1   81  9   72 ﹒

4. 求下列各定積分的值﹕
2 3 2
(1)   x  1 dx ﹒
1
(2) 
2
x 5
 x 3  x  1 dx ﹒
2
 4 
 x  3x  3x  1 dx   x4  x3  3 x 2  x 
2 3 2
3 2
解﹕(1)   x  1 dx  
1 1
 2 1

 1 1
 0   ﹒
 4 4
2
2  x6 x 4 x 2 
(2)   x  x  x  1 dx      x 
5 3
2
 6 4 2  2

 64   64 
   4  2  2    4  2  2  4 ﹒
 6   6 


5. 下列哪些定積分的值是一個正數﹖
3 1 0
(1)   x 3  4  dx ﹒ (2)   x 2  x  dx ﹒ (3)  3dx ﹒
2 0 100

0 4 3 3
(4) 
2
 x  1 dx ﹒ (5) 
5
 x  1 dx ﹒

解﹕(1)因為 f  x   x3  4 在閉區間  2,3 的函數值大於 0﹐
3
所以   x 3  4  dx 是一個正數﹒
2

(2)因為 f  x   x 2  x  x  x  1 在閉區間  0,1 的
1
函數值小於 0﹐所以   x 2  x  dx 是一個負數﹒
0

(3)因為 f  x   3 在閉區間  100, 0 的函數值大於 0﹐
0
所以  3dx 是一個正數﹒
100

4
(4)因為 f  x    x  1 在閉區間  2, 0 的函數值
0 4
大於 0﹐所以 
2
 x  1 dx 是一個正數﹒
3
(5)因為 f  x    x  1 在閉區間  5, 3 的函數值
3 3
小於 0﹐所以 
5
 x  1 dx 是一個負數﹒
因此正確的選項為(1)(3)(4)﹒


6. 求 f  x   x 2  4 的圖形與 x 軸所圍成之區域的面積﹒

解﹕(1)由 f  x   x 2  4   x  2  x  2  得 f  x  的圖形

與 x 軸交於  2, 0  ﹐ 2, 0  兩點﹐
 其圖形
如圖所示﹒

(2)因為在區間  2, 2 上﹐

f  x   0 ﹐所以 f  x  的圖

形與 x 軸所圍成區域的面積為
2
2  x3 
   x  4  dx     4 x 
2
2
 3  2

  8   8   32
     8     8   ﹒
  3   3  3

7. 求 f  x   x3  4 x 的圖形與 x 軸所圍成之區域的面積﹒

解﹕(1)由 f  x   x 3  4 x  x  x  2  x  2  得 f  x  的圖形與 x 軸交於原點﹐  2, 0  ﹐

 2, 0  三點﹐其圖形如圖所示﹒
(2)因為在區間  2, 0 上﹐ f  x   0 ﹐

而在區間  0, 2 上﹐ f  x   0 ﹐所以

f  x  的圖形與 x 軸所圍成區域的面

積為
0 2
 x  4 x  dx    x 3  4 x  dx
3
2 0

0 2
 x4 2  x4 
   2 x     2 x 2   4   4   8 ﹒
 4  2  4 0


9
8. 已知函數 f  x   a  x 2 （ a  0 ）的圖形與 x 軸所圍成之區域的面積為 ﹐
2
求 a 的值﹒

解﹕(1)令 f  x   0 ﹐解得 x   a ﹐得函數

f  x   a  x 2 的圖形與 x 軸交於

   
a , 0 ﹐  a , 0 兩點﹐其圖形如圖

所示﹒

(2)因為在區間   a , a  上﹐ f  x   0 ﹐所以
 
f  x  的圖形與 x 軸所圍成區域的面積為
a
a  x3 

 a
 a  x  dx   ax  
2

3 
 a

 a a  a a 4
 a a 
    a a 
   a a﹒
 3   3  3

4 9 27 9
因此 a a  a a ﹐解得 a  ﹒
3 2 8 4


3-3 定積分的應用
1. 求下列各區域的面積﹕
(1)拋物線 y  4 x  x 2 與直線 y  x 所圍成的區域﹒
(2)拋物線 y  x 2 與直線 y  2 x  3 所圍成的區域﹒

 y  4 x  x2
解﹕(1)解聯立方程組 
y  x
得兩圖形相交於  0, 0  ﹐  3,3 兩點﹐

如圖所示﹕由圖可知﹕所求面積為

3 3
  4x  x  x  dx     x 2  3 x  dx
2
0 0
3
 x3 3 2  9
   x   .
 3 2 0 2

 y  x2
(2)解聯立方程組 
 y  2x  3
得兩圖形相交於  1,1 ﹐

 3,9  兩點﹐如圖所示﹕
由圖可知﹕所求面積為

3
3

 2 x  3  x  dx    x3  x 2  3x 
3
2
1 


 1
 5  32
 9   .
 3 3


2. 求 y  x3 與 y  x 5 的圖形所圍成之區域的面積﹒

 y  x3

解﹕解聯立方程組  5
y  x

得兩圖形相交於  1, 1 ﹐

 0, 0  ﹐ 1,1 三點﹐如圖所示﹕
由圖可知﹕所求面積為
0 1
 x  x 3  dx    x 3  x 5  dx
5
1 0

0 1
 x 6 x4   x 4 x6  1 1 1 1 1 1 1
                 2    ﹒
 6 4  1  4 6  0 6 4  4 6 4 6 6

3. 求 y  x 2  2 x 的圖形與 x 軸圍成區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體的體積﹒

解﹕因為 y  x 2  2 x  x  x  2  ﹐所以知道曲

線 y  x 2  2 x 與 x 軸相交於  0, 0  ﹐  2, 0 

兩點﹐如圖所示
此旋轉體的體積為

2 2 2
   x 2  2 x  dx     x 4  4 x3  4 x 2  dx
0 0

2
 x5 4 4 x3  16
   x    ﹒
 5 3  0 15

4. 求 y  x 2 的圖形與直線 x  1 ﹐x  2 及 x 軸所圍成的區域繞 x 軸旋轉所得之
旋轉體的體積﹒


解﹕ y  x 2 的圖形與直線 x  1 ﹐ x  2 及 x 軸所圍成的區域如圖所示﹕
此旋轉體的體積為
2
2
2 2
2 x5 31
  x 
4
dx    x dx    ﹒
1 1 5 1 5


y2 2
5. 求橢圓 x   1 繞 x 軸旋轉所得之旋轉體的體積﹒
4

解﹕考慮函數 y  f  x   4  4 x 2 ﹒將 f  x  的圖形
與直線 x  1 及 x  1 及 x 軸所圍成的區域
（是一個橢圓的上半部）繞 x 軸旋轉﹐所得的
y2
旋轉體就是橢圓 x 2 
 1 繞 x 軸旋轉所得之
4
旋轉體的體積﹐如圖所示﹕ 利用
旋轉體的體積公式﹐得此旋轉體的體積為
1 1
  y 2 dx     4  4 x 2  dx
1 1

1
 4   8  8   16
    4 x  x3            ﹒
 3  1  3  3 3

x
6. 求y 的圖形與直線 x  2 ﹐x  4 及 x 軸所圍成的區域繞 x 軸旋轉所得之
2
旋轉體的體積﹒

解﹕利用旋轉體的體積公式﹐得此旋轉體的
2 2
4  x2
4 x
4
體積為   y dx      dx    dx
2 2
 2 2 4

4
x3  14
   64  8    ﹒
12 2 12 3


7. 已知一物體作直線運動﹐ x 秒時此物體的速度為 V  x   x 2  2 x  2 （公尺
／秒）﹐求此物體由 1 秒至 3 秒移動的距離﹒

解﹕此物體移動的距離即為速度函數 V  x   x 2  2 x  2 的圖形﹐

直線 x  1 ﹐ x  3 與 x 軸所圍成之區域的面積﹒
因此移動的距離為
3
3  x3 
1  x  2 x  2 dx   3  x 2  2 x 
2

 1

1  14
  9  9  6     1  2   （公尺）﹒
3  3

8. 已知由拋物線 y  4 x  x 2 與直線 y  x 所圍成的區域為 R ﹐ R 繞 x 軸旋轉
求
所得之旋轉體的體積﹒

 y  4 x  x2
解﹕解聯立方程組  得兩圖形相交於
y  x
 0, 0  ﹐  3,3 兩點﹐如圖所示﹕ 利用旋
轉體的體積公式﹐得此旋轉體的體積為


0
3
 4x  x   x  dx     x  8x  16x  x  dx
2 2 2
0
3
4 3 2 2

3
    x 4  8 x3  15 x 2  dx
0

3
 x5 
    2 x 4  5 x3 
 5 0

 243  108
   162  135   ﹒
 5  5


第3章總習作
1. 設函數 f  x   1  x 2 的圖形與 x 軸所圍成區域為 R ﹒已知 f  x   1  x 2 的圖

形與 x 軸交於  1, 0  ﹐1, 0  兩點﹐將閉區間  1,1 等分成 n 等分﹐並設 R 的
面積之下和為 Ln ﹐上和為 U n ﹒選出正確的選項﹕
(1) U 6  U 3 ﹒ (2) L6  L3 ﹒ (3) L6  U 6 ﹒ (4) lim Ln  lim U n ﹒
n  n 

2
(5) R 的面積為 ﹒
3

解﹕

由圖可知﹕ L3  L6  U 6  U 3 ﹒
因為 f  x   1  x 2 是一個多項式﹐所以
1
1  x3   1  1 4
lim Ln  lim U n   1  x  dx   x    1     1    ﹒
2
n  n  1
 3  1  3   3 3
因此正確的選項為(1)(3)(4)﹒


2. 設 f  x  是一個多項式﹐且已知  f  x  dx  g  x   c ﹐其中 c 是一個常數﹒

選出正確的選項﹕
(1)  f  x  dx  g  x   10  c ﹒ (2)   f  x   3 dx  g  x   3  c ﹒
2 2
(3)  2 f  x  dx  2 g  x   c ﹒ (4)   f  x   dx   g  x    c ﹒

(5)   f  x   g  x   dx  f  x   g  x   c ﹒

解﹕因為  f  x  dx  g  x   c ﹐所以 g   x   f  x  ﹒

(1)因為  g  x   10   g   x   f  x  ﹐

所以  f  x  dx   g  x   10   c ﹒

(2)因為  3 x   3 ﹐所以

 g  x   3x   g   x   3  f  x   3 ﹐
因此

  f  x   3 dx  g  x   3x  c ﹒
(3)因為  2 g  x    2 f  x  ﹐所以  2 f  x  dx  2 g  x   c ﹒
2 2
(4)   f  x   dx   g  x    c 不正確﹐

例如 f  x   2 x ﹐ g  x   x 2 ﹐
2 4 3 2
  f  x  dx   4 x 2 dx 
3
x  c  x4  c   g  x   c ﹒

(5)   f  x   g  x   dx  f  x   g  x   c 不正確﹐

例如 f  x   2 x ﹐ g  x   x 2 ﹐

  f  x   g  x   dx    2 x  x  dx
2

1
 x 2  x 3  c  2 x  x 2  c  f  x   g  x   c.
3
由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)﹒


3. 下列哪一個積分值最大﹖
0.9 0.9 0.9 0.9 0.9
(1)  x 9 dx﹒ (2)  x10 dx﹒ (3)  x11dx ﹒ (4)  x12 dx﹒ (5)  x13 dx ﹒
0.9 0.9 0.9 0.9 0.9

解﹕因為多項式 x9 ﹐ x11 ﹐ x13 的圖形均對稱於原點﹐
0.9 0.9 0.9
所以  x 9 dx ﹐  x11dx ﹐  x13 dx 均為 0﹒
0.9 0.9 0.9

0.9 0.9
而在閉區間  0.9, 0.9 ﹐ x10  x12 ﹐因此  x10 dx   x12 dx ﹐
0.9 0.9

故選項(2)的積分值最大﹒
an 1  3n 2
4. 關於數列 an ﹐已知 lim  2 ﹐求 lim 2 ﹒
n  n  n 2 n  n  a
n

an
an 2 a
解﹕因為 lim 2
 lim n  2 ﹐所以 lim n  2 ﹒
n  n  n n  1 n  n 2
1
n
1
23
1  3n 2 3
計算 lim 2  lim n   3﹒
n  n  a n  an 1  2
n 1 2
n


 1 B  x  dx  1 B  x  dx  0
 1 0 2
5. 已知 B1  x  及 B2  x  是多項式函數﹐而且  0 ﹐若
 B2  x   2 B1  x 

B1  x   x  a ﹐則

(1) a 的值﹒ (2) B2  x  ﹒
1
1 1  x2  1
解﹕(1)因為  B1  x  dx    x  a  dx    ax    a ﹐
0 0
 2 0 2
1 1
又  B1  x  dx  0 ﹐所以 a   ﹒
0 2

(2)因為 B2  x   2 B1  x   2 x  1 ﹐

所以 B2  x   x 2  x  b ﹐其中 b 是一個常數﹒
1
1 1  x3 x 2  1
又  B2  x  dx    x  x  b  dx     bx   b   0 ﹐
2
0 0
 3 2 0 6

1
所以 b  ﹒
6
1
故 B2  x   x 2  x  ﹒
6
6. 已知由拋物線 y 2  4 x 與直線 y  x 所圍成的區域為 R ﹐求 R 繞 x 軸旋轉所
得之旋轉體的體積﹒

 y2  4x
解﹕解聯立方程組  得兩圖形相
y  x

交於  0, 0  ﹐  4, 4  兩點﹐如圖所示﹕

由圖及旋轉
4
4  x3   64  32
體的體積公式得    4 x  x  dx    2 x 2      32     ﹒
2
0
 3 0  3  3

7. 求將 y  x 2 的圖形與直線 y  1 所圍成之區域繞 y 軸旋轉一周所得之旋轉


體的體積﹒

解﹕如圖所示﹕

將 y  x 2 的圖形與直線 y  1 所圍成之區域繞 y 軸旋轉所得之旋轉體的體
積﹐與將 x  y 2 的圖形與直線 x  1 所圍成之區域繞 x 軸旋轉所得之旋轉體
的體積是一樣的﹐因此﹐計算
1
1
2
1 x2 1
0  y dx    xdx     ﹒
0 2 0 2


8. 已知點 P  1, 0  為函數 f  x   x 3  x 2 的圖形上一點﹐直線 L 為以 P 為切點
之切線﹐求
(1) L 的方程式﹒
(2) f  x  的圖形與 L 所圍成之區域 R 的面積﹒
(3)將區域 R 繞 x 軸旋轉一圈所得旋轉體的體積﹒

解﹕(1)計算 f   x   3x 2  2 x ﹐得

f   1  1 ﹐即 L 的方程式為

y  0  1 x   1  ﹐

整理得 y  x  1 ﹒

 y  x3  x 2
(2)解聯立方程組 
 y  x 1
得兩圖形相交於  1, 0  ﹐ 1, 2  兩點﹐如圖所示﹕
由圖可知﹕ R 的面積為
1 1
   x  1   x 
 x 2  dx   x  x 2  x  1 dx
3 3
1 1

1
 x4 x3 x 2 
     x
 4 3 2  1

 1 1 1   1 1 1 
      1       1
 4 3 2   4 3 2 
4
 ﹒
3
(3)利用旋轉體的體積公式﹐得體積為


1

1  x  1   x  x   dx      x  2x  x  x  2x  1 dx
2 3 2 2
1
1
6 5 4 2

1
 x7 x6 x5 x3 
        x2  x 
 7 3 5 3  1
208
 ﹒
105


9. 已知拋物線 y  x  x  a （其中 a  0 ）與直線 y  x 所圍成之區域的面積為
36﹐求 a 的值﹒

y  x  x  a

解﹕解聯立方程組  得兩圖形
y  x


相交於  0, 0  ﹐ a  1, a  1 兩點﹐如圖所

示﹕
計算拋物線 y  x  x  a  與直線 y  x 所圍成之區域的面積為
a 1 3
a 1  x 3  a  1 x 2   a  1 ﹐
  x  x  ax  dx    
2
 
 3 2 6
0
0
3

即
 a  1  36 ﹐解得 a  5 ﹒
6

10. 右圖為一單位圓﹐求鋪色部分繞 x 軸旋轉一周所得
之旋轉體的體積﹒

解﹕鋪色部分繞 x 軸旋轉所得之旋轉體可看成﹕

上圖中兩塊區域 R1 ﹑ 2 分別繞 x 軸旋轉一周所得之旋轉體的體積的總和﹐
R
因此分別計算﹕
1 1 1
2 1
區域 R1 的旋轉體體積為  
0
2
 3x  0
2
dx    3x dx   x 2 3 2
0
 ﹒
8
1
1  x3 
1 5
區域 R2 的旋轉體體積為 1  y dx   1 1  x  dx    x     ﹒
2 2

2 2  3  1 24
2

1 5 1
故得體積的總和為      ﹒
8 24 3

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