2. Y=ax²+bx+c
1. Është I përkufizuar për çdo X E (-∞, ∞) , sepse për çdo χ
E R edhe f(x) E R.
2. Zerot e funksionit:
Kur y=0 ose f(x)=0, ax²+bx+c është e barabartë me zero.
a) D<0 => f(x) nuk ka zero (grafiku I funksionit nuk ka pikë të përbashkët
me boshtin):
x
y
0
3. b) D=0 => f(x) ka zgjidhje të dyfishtë X1 dhe X2 (grafiku I funksionit ka një pikë
të përbashkët me boshtin X), fig.a.
X1=X2
y
c) D>0 => f(x) ka dy zgjidhje X1 dhe X2 ( grafiku I funksionit e pret boshtin X në
dy pika X1 dhe X2), fig.b.
X2X1 x
y
00
Fig.a) Fig. b)
5. Varësisht nga koeficenti a, dallojmë dy mënyra:
1. a>0 , f(x)= ax² + bx + c, (-∞ , -b/2a) (-b/2a , ∞)
2. a<0 , f(x)= ax² + bx + c, (-∞ , -b/2a) (-b/2a , ∞)
Shembull: Të gjenden intervalet në të cilat f(x)= 3x²- 4x+5 është rritës dhe
zvogëlues.
a=3, a>0
-b/2a=-(-4) /2·3= 4/6 = 2/3
Zgjidhje:
(-∞ , 2/3) , (2/3 , ∞)
6. Funksioni kuadratik y=ax²+bx+c arrin vlerën ekstreme për pikën x=-b/2a, ;
numri –b/2a intervalin e përkufizimit e ndan në dy intervale, në njërin është rritës e në
tjetrin zvogëlues:
a>0 , ka minimum min (-b/2a , 4ac-b²/4a)
a<0 , ka maksimum max (-b/2a , 4ac-b²/4a)
8. Konkaviteti dhe konveksiteti I funksionit f(x) = ax² + bx +c , a ≠ 0 ,
varet nga koeficenti a:
a>0 , f(x) është konkav (lugor);
a<0 , f(x) është konveks (bregor).
x
y
0
y
x0
10. Shenja e funksionit kuadratik varet nga dallori dhe nga shenja e koeficentit a.
Dallojmë 3 raste:
1. D < 0 , f(x) ka zgjidhje të njëjtë me koeficentin a:
a) y > 0 për a > 0
b) y < 0 për a < 0
+
f(x) > 0
a > 0
x
y
0
-
x
y
0
11. 2. D = 0 , f(x) ka zgjidhje të dyfishtë. Shenja e funksionit varet
nga koeficenti a , përveç x = -b / 2a ku f(x) = 0.
D = 0
a > 0
x
y
0
0
x
y
D = 0
a < 0
12. 3. D > 0 , f(x) ka dy zero reale të ndryshme:
X1 dhe X2 dhe f(x) mund të shenohet :
f(x) = y = a ( x – x1 ) · ( x – x2 )
X1 < X2
X - ∞ , X1 X1 X1 , X2 X2
X2 , ∞
X – X1
X – X2
(X – X1) · (X – X2)
0 ·(X – X1)·(X – X2)
- 0 + + +
- - - 0 +
+ 0 - 0 +
shenja e y
është
si e a
0 0
Shenja e y,
e kundërt
me a
shenja e y
është
si e a
13. 1. Të caktuarit e intervalit të përkufizimit;
2. Të caktuarit e zerove të funksionit;
3. Të caktuarit e rritjes dhe zvogëlimit të funksionit;
4. Të caktuarit e vlerave ekstreme të funksionit;
5. Të caktuarit e konkavitetit dhe konveksitetit të
funksionit;
6. Të caktuarit e shenjës së funksionit;
7. Vizatimi I grafikut të funksionit.
15. Inekuacionet kuadratike kanë formën:
ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≤ 0 ax² + bx + c ≥ 0
Zgjidhje të inekuacionit quajmë bashkësine e të gjitha vlerave reale të x-it për të cilat
f(x) ka shenjë pozitive apo negative .
16. Dallojmë këto raste:
1.
a) a >0 , D >0
x
y
0
a > 0
D>0
ax² + bx + c < 0 x E (X1 , X2)
ax² + bx + c ≤ 0 x E [X1 , X2]
ax² + bx + c > 0 x E ( -∞ , X1) U (X2 , ∞)
ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , X1] U [X2 , ∞)
X1 X2
17. b) a>0 , D = 0
x
y
0 X1 , X2
a>0
D=0
ax² + bx + c < 0 x E Ø
ax² + bx + c ≤ 0 x E [ - b / 2a ]
ax² + bx + c > 0 x E ( -∞ ,- b / 2a) U (- b /2a , ∞)
ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , ∞ )
18. c) a>0 , D <0
x
y
0
ax² + bx + c < 0 x E Ø
ax² + bx + c ≤ 0 x E Ø
ax² + bx + c > 0 x E ( -∞ , ∞ )
ax² + bx + c ≥ 0 x E ( -∞ , ∞ )
19. 2. a) a<0 , D>0
y
x0
ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ , X1) U (X2 , ∞)
ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , X1] U [X2 , ∞)
ax² + bx + c > 0 x E (X1 , X2)
ax² + bx + c ≥ 0 x E [X1 , X2]
a<0
D >0
X1 X2
20. b) a<0 , D=0
X1 , X2
x
y
0
ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ ,- b / 2a) U (- b /2a , ∞)
ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , ∞ )
ax² + bx + c > 0 x E Ø
ax² + bx + c ≥ 0 x E [ - b / 2a]
21. c) a<0 , D<0
x
y
0
ax² + bx + c < 0 x E ( -∞ , ∞ )
ax² + bx + c ≤ 0 x E ( -∞ , ∞ )
ax² + bx + c > 0 x E Ø
ax² + bx + c ≥ 0 x E Ø
22. Shembull:
X² + 2x - 3
Zgjidhje:
a=1 , a>0 ,
D = 16 , D > 0
D = b² - 4ac
D = 2² - 4 · 1 · (-3)
D= 4 +12
D = 16
X1 = -3 , X2 = 1
1 2 3-3 -2 -1
X1 X2
x
y
0
x² + 2x - 3 < 0 x E (-3 , 1)
x² + 2x -3 ≤ 0 x E [ -3 , 1 ]
x² + 2x -3 > 0 x E ( -∞ , -3 ) U ( 1 , ∞)
x² + 2x -3 ≥ 0 x E ( - ∞ , -3 ] U [ 1 , ∞ )
X½= -b ± √D / 2a
X½= -2 ± √16 / 2 · 1
X½= -2 ± 4 /2
23. Funksioni:
ƒ(x) = bx , b > 0 Λ b ≠ 1
quhet funksion eksponencial;
ndërsa grafiku I tij quhet lakore eksponenciale.
Varësisht nga baza b , dallojmë:
24. 1. b>1 ,
f(x) = bx është rritës dhe kalon nëpër pikën 0 , 1, fig.a.
( 0 , 1 )
x
y
0
2. b = 1 ,
grafiku I funksionit është konstant (është drejtëzë paralele me boshtin x), fig.b.
x
y
0
Fig.a Fig.b
3. b < 1 , b = 1 /a , bx = 1 / ax ku a > 1 Nëse x rritet , atëherë
grafiku I funksionit ka gjithnjë rënie dhe kalon nëpër pikën 0 , 1.
y
x0
26. Ekuacionet e formës : bx = by , ku b > 0 , b ≠ 1
paraqet ekuacion eksponencial.
Ekuacioni eksponencial bx = by është ekuivalent me x = y
Për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve nuk ekziston ndonjë metodë e
përgjithshme që do të zbatohej në secilin rast.
