Statistika per biznes.

1. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 1
TREGUESIT E VARIACIONIT PËR SERITË E THJESHTA
1) Gjerësia e variacionit gjv=Xmax-Xmin
Shembull 1. 4,5,2,7,9,12,1,3,3,13,4,1,5
Gjv=13-1=12
2) Devijimi mesatar absolut dma=
n
xxi 
n – numri i të dhëna
x - mesatarja aritmetike
 - Sigma (Shuma)
- Vlere absolute
3) Varianca
n
xxi
n
i


 1
2
2
)(

4) Devijimi standard 2
 
Shembull 2. Le të kemi të dhënat në formë të serisë së thjeshtë (që nuk përsëritet asnjë e dhënë)
4,5,9,3,7,12,6
Gjv=12-3=9 gjerësia e variacionit
Vlerat e dhëna xi xxi  xxi  ( xxi  )2
4 -2,57 2,57 6,6
5 -1,57 1,57 2,46
9 2,43 2,43 5,9
3 -3,57 3,57 12,74
7 0,43 0,43 0,18
12 5,43 5,43 29,48
6 -0,57 0,57 0,32
46 0 16,57 57,68
87.224.8
24.8
7
68.57
37.2
7
57.16
57.6
7
46
7
61273954
2
2








dma
x

2. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 2
TREGUESIT E VARIACIONIT PËR SERITË E GRUPUARA (NË FREKUENCA)
x1, x2, ......., xn
f1, f2, ......., fn
Atëherë për treguesit e variacionit kemi formën
1) Gjerësia e variacionit gjv=xmax-xmin
2) Devijimi mesatar absolut




 n
i
i
fi
xxfi
dma
1
3) Varianca





 n
i
n
i
fi
xxifi
1
2
12
)(

4) Devijimi standard 2
 
Shembull 3) Janë pyetur 18 familje nga sa anëtarë i kanë dhe përgjigjet janë të shprehura me të dhëna
3, 5, 2, 1, 3, 7, 2, 4, 5, 1, 4, 7, 7, 5, 2, 3, 5
Te grupohen këto të dhëna sipas numrit të familjeve dhe të gjenden treguesit e
Gjv=? Dma=? 2
 ? Dhe ?
Frekuenca fi xx  xx  xxfi  2
)( xx  2
)( xxfi 
1 2 -2.89 2.89 5.78 8.33 16.7
2 3 -1.89 1.89 5.67 3.57 10.71
3 3 -0.89 0.89 2.67 0.79 2.37
4 3 -0.11 0.11 0.33 0.01 0.03
5 4 1.11 1.11 4.44 1.23 4.92
7 3 3.11 3.11 0.33 2.67 29.01
 18 0 12.4 28.22 28.07 63.74
88.3
18
70
18
212012962
18
735443332312




x

3. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 3
1) Gjerësia e variacionit
Gjv=xmax-xmin=7-1=6
2) Devijimi mesatar absolut
57.1
18
22.28
1
1







n
i
n
i
i
fi
xxfi
dma
3) Varianca
54.3
18
74.63
)(
1
2
12







n
i
n
i
fi
xxifi

4) Devijimi standard
88.154.32
 
Koeficienti i variacionit
%33.48100
89.3
88.1
100 
x
Kv


4. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 4
STATISTIKË – USHTRIME
Detyra 1: Janë anketuar 80 familje për numrin e anëtarëve dhe janë fituar këto përgjigje.
3 4 2 2 5 1 4 3 7 5 4
6 3 4 4 3 4 1 2 7 6 8
3 4 5 4 3 4 6 2 4 5 2
6 8 7 4 3 4 4 1 2 4 6
6 5 8 2 4 3 4 4 3 4 4
5 4 6 2 3 1 4 5 7 4 6
2 4 3 5 4 8 6 4 5 5 3
4 3 5
a) Paraqitni në mënyrë tabelore dhe në mënyrë grafike nëpërmjet shumëkëndëshit apo poligonit, frekuencat
absolute, relative kumulative ritës dhe zbritës.
b) Njehsoni mesataren aritmetike modën, medianën, kuartilën e parë dhe të tretë.
c) Njehsoni intervalin e variacionit, ndryshimin e intervali kuartileve, devijimin mesatar absolut nga mesatarja
aritmetike, nga moda dhe mediana, variancën dhe devijimin standard.
d) Njehsoni koeficientin e variacionit dhe devijimin nga numri 7 i anëtarëve të familjes.
ZGJIDHJA
Numri i anëtarëve
të familjes xi
Frekuenca absolute
fi
Frekuenca relative
Frekuenca
kumulative rritëse
Frekuenca
kumulative zbritëse
1 4 0,05 4 80
2 9 0,1125 13 76
3 13 1625 26 67
4 26 0,325 52 54
5 11 0,1375 63 28
6 9 0,1125 72 17
7 4 0,05 76 8
8 4 0,05 80 4
xi fi 80 1 / /
Frekuenca relative formula është si vijon: 

if
relativeFrekuenca
Frekuenca kumulative rritëse: Përshkruhet katërshi 4+9=13 pastaj 13+13=26 deri në numër 80
Frekuenca kumulative zbritëse: Përshkruhet tetëdhjetëshi (shuma) 80-4=76 pastaj 76-9+67 deri ne fund.

5. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 5
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 Numri i anetareve te familjes
Frekuenca absolute fi
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8 10 Numri i antarëve të familjes
Frekuenca komulative
rritëse

6. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 6
b) MESATARJA ARITMETIKE
175.4
80
334
80
3632545510439184
80
4847961152641339241





x
MODA : 4, sepse frekuenca absolute me e madhe është 26 qe i përgjigjet numrit 4 të anëtarëve të familjes
Dhe numri 4 përsëritet më së shumti.
MEDIANA: Pozita e medianës është 5.40
2
81
2
180
2
1



n
Ky numër i takon frekuencës kumulative 52 që i
përgjigjet numrit 4 të anëtarëve të familjes. Prandaj mediana është 4
2
44
2
4140





xx
Me
KUARTILI I PARË: Pozita 25.20
4
81
4
180
4
1



n
i takon klasës 26 të frekuencës kumulative që i përgjigjet
numrit 3 të anëtarëve të familjes.
3
2
33
2
2120
1 




xx
Q
KUARTILI I TRETË: Pozita 25.60
4
241
4
1803
4
13



n
I takon klasës 63 të frekuencës kumulative rritëse
qëi përgjigjet nr.5 të anëtarëve të familjes.
5
2
55
2
6160
3 




xx
Q
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8 10 Numri i antarëve të familjes
Frekuenca komulative
zbritëse

7. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 7
C) INTERVALI I VARIACIONIT
Iv=xmax-xmin=8-1=7
INTERVALI I KUARTILEVE
IQ=Q3-Q1=5-3=2
DEVIJIMI MESATAR ABSOLUT
Dma ( x )=
80
9175.4611175.4526175.4413175.439175.424175.41
1
1







n
i
n
i
i
fi
xx
3025.1
80
2.104
80
5.153.113.7075.955.4275.15575.197.12
80
4175.484175.47





MESATARJA NGA MODA DHE MEDIANA
Dma (Me)= 25.1
80
448447946114526441343942441


Dma (Me)=1.25

8. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 8
VARIANCA
 







n
i
n
i
fi
fixxi
1
2
12

           
             
      91.2
80
31.233
80
52.5892.3198.2949.755.495.1758.4232.40
80
4825.34825.29825.1
80
11825.026175.013175.19825.24175.3
80
4175.484175.47
80
9175.4611175.4526175.4413175.439175.424175.41
222
2222222
222222








DEVIJIMI STANDARD
70.191.22
 
KOEFICIENTI I VARIACIONIT
407.0
175.4
70.1

x
Kv

Në % %40vK
KOEFICIENTI I INTERKUARTILIT
%2525.0
4
1
8
2
35
35
13
13







QQ
QQ
Kq
DEVIJIMI NGA NUMRI I ANËTARËVE TË FAMILJES 7
66.1
70.1
825.2
70.1
175.477
7 

 

xx
Z

9. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 9
TREGUESIT RELATIV TË VARIACIONIT
Sipas entit të statistikës në vitin 2013 paga mesatare për orë të një punëtori në prodhim është 8,90 € ndërsa në
shtator 12,39 €.
Cili është indeksi i pagës për orë të punëtorëve për shtator të vitit 2014 bazuar në janar të vitit 2013.
%2.391002.139100
9.8
39.12
2013........
2014........


Ip
vitittejanarneorepermesatarepaga
vititteshtatorneorepermesatarepaga
Ip
Të gjenden indekset bazë (Bazë le të jetë viti 2005) si dhe vargu zingjiror për shitjen për shitjen e televizorëve në
kompaninë x
100
0
1

N
N
I b
%0%1001001001100
100
100
100
05
00
00 
N
N
I b
%20%1001201002.1100
100
120
100
05
01
01 
N
N
I b
VITET
Sasia e TV të
shitura
2000 100
2001 120
2002 90
2003 130
2004 80
2005 100

10. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 10
Në bazë të dhënave statistikore mbi prodhimin e energjisë elektrike në Kosovë janë paraqitur ketë të dhëna:
42.108100
380
412
%100
100100
380
380
1995
1994
1994



I
I
I
108,42-100=8,42% prodhimi në vitin 1995 është më i madh
se sa në vitin 1994
%74.9%100%74.109
74.109100
380
417
1996

I
Prodhimi më i madh në vitin 1996 se sa në vitin 1994
b) Nëse bëhet krahasimi në vitin 2003 kemi 34.68100
556
380
1994 I 100%-68,34%=31,66% kemi zvogëlim
të prodhimit në vitin 1994 në krahasim me vitin 2003
%67.13%33.86%100
33.86100
556
480
2001

I
më pak se në vitin
c) INDEKSET VARGORE (ZINGJIRORE)
1994I - nuk krahasohet
42.108100
380
412
1995 I
1994
1996
1996
I
I
I 
108-42-100=8,42% prodhimi më i madh në vitin 1995 në krahasim me vitin 1994
21.101100
412
417
1996 I
101,21-100=1,21% më e madhe në vitin 1996 se sa në vitin 1995
64.1021997 I 39.1161999 I 74.1132001 I
91.861998 I 45.972000 I 12.1132002 I
39.1022003 I
VITI Prodhimi i
energjisë
Indeksi
1999
Indeksi
2000
1994 380 100 68,34
1995 412 108,42 74,1
1996 417 109,74 75
1997 428 112,60 76,97
1998 433 97,89 66,9
1999 422 113,94 77,87
2000 480 111,05 75,89
2001 543 126,31 86,33
2002 556 142,89 97,66
2003 598 146,31 100
2004 157,36 105,93

11. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 11
Shembull. Një ndërmarrje gjatë vitit 1999 deri 2000 ka realizuar këtë qarkullim.
a) Të njehsohet Indeksi agregat i sasisë
b) Indeksi agregat i çmimit
c) Indeksi agregat i vlerës
00 qp  01 pq  01 qp  11 qp 
180 264 210 308
300 225 240 180
630 700 666 740
 1110 1193  1116  1228
a) Indeksi i sasisë në vitin 2000 në krahasim me vitin 1999
48.107100
1110
1193
100
00
01






pq
pq
Iq
Në përqindje 107,48%
107,48-100=7,48%
Sasia më e madhe në vitin 2000 se sa në vitin 1999 e prodhimit të shitur.
b) INDEKSI I ÇMIMIT TË PRODUKTEVE TË SHITURA
Dmth. 0,54% është çmimi i produkteve të shitura më i madh në
Vitin 2000 se sa në vitin 1999.
Produktet e
shitura
1999
Sasia Çmimi
2000
Sasia Çmimi
Vaj 150 1,2 220 1,4
Qumësht 200 1,5 150 1,2
Kafe 180 3,5 200 3,7
Produktet e
shitura
1999
q0 p0
2000
q1 p1
Vaj 150 1,2 220 1,4
Qumësht 200 1,5 150 1,2
Kafe 180 3,5 200 3,7
%54.0100%54.100
%54.100100
1110
1116
00
01







qp
qp
Ip

12. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 12
c) INDEKSI I VLERËS SË PRODUKTEVE TË SHITURA
%63.110100
1110
1228
100
00
11






qp
qp
Iv
Dmth. 10,63% është sasia e vlerës (sasia e çmimit) më e madhe e produkteve të shitura në vitin 2000 se sa
në vitin 1999.
2
Lp
i
II
I

 Mesatarja aritmetike
Lpi III  - Gjeometrike
Sipas pashe – s
100
10
11






qp
qp
I p

13. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 13
USHTRIME NË DETYRA PËR INDEKSET
AKTIVITETI
EKONOMIK
PAGA MUJORE
2014 2015
INDUSTRIA 360 385
NDËRTIMTARIA 455 470
TRANSPORTI
TELEKOMUNIKAC.
375 395
TREGTI 480 510
SHËRBIME 340 360
Gjithsej 402 424
a) Llogaritni indeksin e pagës mesatare sipas aktivitetit ekonomik
b) Në cilën degë rritja e pagës mesatare është më e lartë dhe në cilën është më e ulët
c) Llogaritni indeksin zingjiror të pagës mesatare për një të punësuar në vitin 2014
ZGJIDHJE
Mesatarja e pagës së një të punësuari në vitin 2014
402
5
2010
5
340480375455360


€ (2014)
424
5
2120
5
360510395470385


€ (2015)
a) Shënojmë me 54321 ,,,, IIIII Indekset e pagës mesatare të një punësuari gjatë muajit me aktivitet ekonomik
përkatës
069.1
360
385
1 I 032.1
455
470
2 I
0533.1
375
395
3 I 0625.1
480
510
4 I
0588.1
340
360
5 I
Këto indekse të shprehura në % janë:
%88.5100%88.10510088.105
%25.6100%25.1061000625.1
%33.5100%33.1051000533.1
%3.3100%3.103100033.1
%9.6100%9.106100069.1
5
4
3
2
1





I
I
I
I
I

14. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 14
Rritja e pagës mesatare nga viti 2014 në 2015 në industri është 6,9 %
b) Rritja më e madhe e pagës mesatare mujore nga viti 2014 në vitin 2015 është në lëmin e industrisë për 6,9%
Kurse rritja më e vogël është në ndërtimtari me 3,3 %
INDEKSET ZINGJIROR NË VITIN 2014
%8.70708.0
480
340
%12828.1
375
480
%4.82824.0
455
375
%12626.1
360
455
24
23
22
21




I
I
I
I
2) Prodhimi i një firme në mijë copë sipas viteve paraqitet
VITI 2011 2012 2013 2014 2015
PRODHIMI 20 24 29 30 36
a) Llogaritni indekset e prodhimit duke marrë si periudhë bazë vitin 2011
b) Llogaritni indekset e prodhimit në formë zingjirore
c) Gjeni koeficientin mesatar të rritjes vjetore (normë mesatare zhvillimore) të prodhimit të firmës
%1808.1
20
36
%1505.1
20
30
%14545.1
20
29
%1202.1
20
24
11/2015
11/2014
2011/2013
2011/2012




I
I
I
I

15. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 15
%1202.1
30
36
%10303.1
29
30
%8.120208.1
24
29
%1202.1
20
24
2014
2015
24
2013
2014
23
2012
2013
22
2011
2012
21




I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
c) Koeficienti mesatar i rritjes vjetore të prodhimit ose norma mesatare zhvillimore njehsohet me mesin
gjeometrik të indekseve zingjirore.
Mesi gjeometrik i të dhënave x1,x2,x3,....xn
Gjendet me formulën: n
nxxxGj ......21  Km=Nmqh
Nmqh=KmGj= 4
204.38.2020
Nmqh=Km= 158.179.12.1034.1208.12.14

Ose veprojmë 115.8%-100%=15.8%
logKm= 063737.02549.0
4
1
79866368.1log
4
1

Km=anti log 0.063737*1.158 ose 115.8%
3) Çmimi i një produkti në vitin 2001 në krahasim me vitin 1995 është ritur për 75%, ndërsa në vitin 2002 në
krahasim me 1995 është rritur për 64%
Sa është rritur çmimi i produktit nga viti 1999 në vitin 2002
VITET 1999 2001 2002
Çmimi X Y Z
x
y
I 05/2001 ose 175% sepse rritja është 75%
75.12005/2001 
x
y
I
0.11996/2002 
x
z
I ose 184% sepse rritja është 84%
75.1
x
y
84.1
x
z
051.1
75.1
84.1
2001/2002 
x
y
x
z
x
z
I ose 105,1% rritja është 5,1%

16. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 16
DETYRA NGA KOLLOKFIUMI
Frekuenca kumulative zbritëse
352.5
17
91
17
109814122012321
17
110191827264534131211





x
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Numri i anëtarëve të familjes
Frekuenca absolute fi
Nr i anëtareve të
familjes
Frekuenca
absolute fi
Frekuenca relative Frekuenca
kumulative rritëse
Frekuenca
kumulative zbritëse
1 1 0.058 1 17
2 1 0.058 2 16
3 1 0.058 3 15
4 3 0.176 6 14
5 4 0.235 10 11
6 2 0.117 12 7
7 2 0.117 14 5
8 1 0.058 15 3
9 1 0.058 16 2
10 1 0.058 17 1
 17 1

17. Statistika për ekonomi dhe biznes Faqe 17
MODA - është 5, sepse frekuenca absolute më e madhe është 4 që i përgjigjet numrit 5 të anëtarëve të familjes.
MEDIANA -
9
9
2
18
2
117
2
1





eM
n
Ky numër i takon frekuencës kumulative 10
KUARTILI I PARË - 5.4
4
18
4
117
4
1



n
I takon klasës gjashtë të frekuencës kumulative rritëse që i
përgjigjet numrit 4 të anëtarëve të familjes
4
2
8
2
44
2
54
1 




xx
Q
KUARTILI I TRETË - 13
4
52
4
1)173(
4
13



n
I takon klasës 14 të frekuencës kumulative rritëse që i takon numri i anëtarëve te familjes
133 Q