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概率统计各章节总结

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概率统计各章节总结

  1. 1. 概率统计各章节总结
  2. 2. 第一章 概率的计算1)统计定义: f n ( A) n 稳定值  P ( A) 2)概率的性质:1~5 m3)等可能概型:P ( A)  n k P ( AB )4)条件概率:P ( B A)   独立 m P ( A)5)乘法定理: P ( AB )  P ( A) P ( B A)  P( A) P( B)  1  P( A  B ) A  AB1  AB26)全概率公式: ( A)  P ( B1 ) P ( A B1 )  P ( B2 ) P ( A B2 ) P B1 P ( B1 ) P ( A B1 ) A 互斥7)贝叶斯公式:P ( B1 A)  P ( A) B2
  3. 3. 第二章 随机变量概率分布 离散型随机变量 连续型随机变量 分布函数  pk F ( x)   x F ( x)  f ( t )dtF ( x)  P( X  x) xk  x 概率的累加,不直观 右连续 连续 分布律:  pk  1 概率密度:  f ( t )dt  1  X x1 x 2  x k 概率分布 pk p1 p2  pk f ( x) 概率1分布 pk 情况,直观 x x x x1 x 2 x1 x2 x P ( x1  X  x2 )   pk P ( x1  X  x2 )   f (t )dt x2 概率计算 x1  x k  x 2 x1  F ( x2 )  F ( x1 )  F ( x2 )  F ( x1 ) 1 非连续型随机变量
  4. 4. 第二章 随机变量重要分布 离散型随机变量 连续型随机变量 1) (0-1)分布 1) (a , b) U P ( X  k )  p k (1  p)1 k 1 (b  a ), a  x  b f ( x)    0, 其它重要分布 2) ( n, p) B 2)E ( ) 1  e  x  , x0 P ( X  k )  C n p k (1  p ) n  k k f ( x)    0, 其它 3)P ( ) 3)N ( , 2 ) k  ( x   )2 e 1  P( X  k )  f ( x)  e 2 2 k! 2 函数的分布Y  g( X ) X的分布律 Y的分布律 f X ( x) fY ( y )  FY ( y )
  5. 5. 第二章1. 随机变量的分布函数 F ( x )  P ( X  x ) 作用: P ( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 ) 性质1 F(x)是一个不减函数 性质2 0  F ( x )  1 , F ()  0, F ()  1 性质3 F ( x ) 是右连续的函数2. 连续型随机变量的概率密度 F ( x )    f ( t )dt x  性质1、2 f ( x)  0  f ( x )dx  1 性质3 P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )   f ( x )dx x2 x1 性质4 F ( x )  f ( x )
  6. 6. 第三章 二维随机变量(X,Y) (X,Y)离散型 (X,Y)连续型(X,Y) 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 整体 F ( x, y ) P ( X  x i , Y  y j )  pij f ( x, y )(X,Y) 边缘分布函数 边缘分布律  边缘概率密度  FX ( x )  lim F ( x, y ) P ( X  x i )   pij  pi  f X ( x)   f ( x , y )dy个体 y  j 1    FY ( y)  lim F ( x, y) P (Y  y j )   pij  p j fY ( y )   f ( x , y )dx x   i 1X与Y 对x, y P ( X  xi ,Y  y j )独立 F ( x, y )  FX ( x )FY ( y )  P ( X  xi ) P (Y  y j ) f ( x , y )  f X ( x ) fY ( y )概率 P{( X ,Y )  G}计算 P{( X ,Y )  G}   pij ( x i , y j )G   f ( x , y )dxdy G
  7. 7. 一维 X 二维( X,Y ) 边缘 X 关系分布 F ( x) F ( x, y ) FX (x )  P ( X  x ) FX ( x )  lim F ( x, y ) y 函  P( X  x)  P ( X  x, Y  y )  P ( X  x,Y  )数几 第三章 ( x, y )何意 x ( X ,Y ) ( X ,Y ) x义 离 F ( x)散型  p xk  x k F ( x, y )  p xi  x ij FX (x )   P x i  x j 1 ij yj y连 F ( x) F ( x, y ) FX (x ) f X (x ) f X (x )续     f ( u, v )dudv    f ( x , y )dydx   f ( x , y )dy x y x  x型  f ( t )dt       分 P{ X  xi , Y  y j } 布 P { X  x k }  pk P{ X  xi }   pij P{ X  xi }   pij律  pij j 1 j 1概 P( x1  X  x2 )  F ( x2 )  F ( x1 )  x f ( x)dx P{( X , Y )  G }   f ( x , y )dxdx   pij x2率 1 G ( x , y )G i j
  8. 8. 第三章 第四节 两个随机变量的函数的分布Z  g( X , Y ) f ( X ,Y ) f Z (z)  ?  f Z ( z )  FZ ( z )  1) Z  X  Y f Z (z)   f ( z  y , y )dy   f X ( z  y ) fY ( y )dy  2) Z  max{ X , Y } X , Y独立 FZ ( z )  FX ( z )FY ( z ) 独立 Z  min{X , Y } X , Y独立 FZ ( z )  1  [1  FX ( z )][1  FY ( z )] X 1 , X 2 , , X n独立,FX i ( x )  F (x ) M  max( X 1 , X 2 ,  X n ) 与 N  min( X 1 , X 2  X n ) Fmax (m)  FX1 (m)  FX2 (m)FXn (m)  [F ( z )]n z z z z Fmin (n)  1  [1  FX1 (n)] [1  FX2 (n)][1  FXn (n)]  1  [1  F ( z )]n z z z z
  9. 9. 第三章 计算难点1)F ( x, y )    f ( u, v )dudv x y2) {( X , Y )  G }   f ( x, y )dxdx P G 3)f X ( x )   f ( x , y )dy 独立   4) f Z ( z )    f ( z  y , y )dy    f X ( z  y ) fY ( y )dy5) Z  g( X ,Y ) f ( X ,Y ) f Z ( z )  ? f Z ( z )  FZ ( z )  FZ ( z )  P ( Z  z )  P{ g( X , Y )  z }  g ( x , y ) z f ( x , y )dxdy   D( z ) f ( x , y )dxdy D是积分区域g ( x , y )  z与f ( x , y ) 取值非零区域的交集
  10. 10. 第四章 随机变量的数学期望与方差 离散型随机变量 连续型随机变量   X E( X )  x k 1 k pk E( X )   xf ( x )dx Y  g( X ) E (Y )  E[ g( X )] E (Y )  E[ g( X )]   g连续   g( x k 1 k ) pk   g ( x ) f ( x )dx Z  g( X , Y ) E ( Z )  E[ g( X , Y )]   E ( Z )  E[ g( X , Y )]      g ( x i , y j ) pij    g ( x , y ) f ( x , y )dxdy g连续 j 1 i 1   D( X )   D( X )   ( x k  E ( X )) 2 pk D( X )   ( x  E ( X )) 2 f ( x )dx E[ X  E ( X )]2 k 1 
  11. 11. 第四章 随机变量的数字特征 E ( c )  c E (c X )  c E ( X ) E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )E(X)性质 X,Y独立 E ( XY )  E ( X ) E (Y ) D( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )]2 D(c )  0 D(c X )  c 2 D( X )D(X)性质 X,Y独立, ( X  Y )  D( X )  D(Y ) D( X )  0 P ( X  c )  1 D Cov( X , Y )  E{[ X  E ( X )][(Y  E (Y )]}协方差  E ( XY )  E ( X ) E (Y ) 独立 D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y )  D( X )  D(Y ) Cov ( X , Y ) XY  D( X )  D(Y )相关系数 (1).  XY  1 (2).  XY  1  存在常数 a , b 使得: (Y  a X  b )  1 , P
  12. 12. 第四章 几种常见分布的数学期望和方差 概率分布 E( X ) D( X ) (0-1)分布 X ~ B(1, p) p pq离 二项分布 X ~ B(n, p) np npq散型 泊松分布 X ~ P ( )   均匀分布 X ~ U (a, b) (a  b) 2 (b  a )2 12连续 指数分布 X ~ Exp( )  2型 正态分布 X ~ N (  ,  2 )  2
  13. 13. 第五章 大数定律及中心极限定理 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 1 n定理1  X k P   E( X k )   D( X k )   2 n k 1定理2 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 n 1 n A   X k P p (贝努利) ~ (0  1)分布(参数p) n n k 1定理3 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 1 n(辛钦) E( X k )   同分布  X k P  n k 1  n定理1 X 1 , X 2 ,  , X n , 相互独立 X k 1 k  n 近 似(林德) 同分布E ( X k )   D( X k )   2 n ~ N (0,1)定理2 X n  np 近似 X n ~ B( n, p) ~ N (0,1)(德莫弗) np(1  p)
  14. 14. 第六章 常用统计量及抽样分布 X i ~ N (0,1) i  1,2,, n 独立 n  n  45  分布 2    X ~  ( n) 2 2 i 2   ( n) 2 i 1 2 E (  )  n D(  )  2 n 2 2  (n)  1 2( z  2n  1 ) 2 X ~ N (0,1), Y ~  2 ( n), 独立  t分布 X t (n) n  45 t ~ t ( n) Y n t ( n)   t1 ( n), t ( n )  z U ~  2 ( n1 ), V ~  2 ( n2 ), 独立 F分布 U n1  F ~ F ( n1 , n2 ) F (n1 , n2 ) V n2 1 F ~ F ( n2 , n1 ) F1 ( n1 , n2 )  1 F ( n2 , n1 ) X ~ N (  ,  2 ) Th1 X ~ N (  ,  2 n), Th2 X  ~ t ( n  1)X 1 , X 2 , , X n ( n  1) S 2  2 ~  2 ( n  1) 独立 S n n 1 1 n X   Xi  ( X i  X )2 2 X,S S  2 n i 1 n  1 i 1
  15. 15. 第六章 常用统计量及抽样分布 X ~ N ( , 2 ) X 1 , X 2 ,, X n n 统计量2    X i2 2 ~  2 ( n) i 1 Xt 统计量 t ~ t ( n) Y n U n1F 统计量 F ~ F ( n1 , n2 ) V n2 1 n 2 X 样本均值 X  Xi n i 1 ~ N ( , ) n  n ~ N (0,1) ( n  1) S 2 1 n样本方差 ~  2 ( n  1) S  2  n  1 i 1 ( X i  X )2 2 X  ~ t (n  1) S n
  16. 16. 第六章 连续型随机变量及其分布  1  1 a xb baX ~ U (a , b) f ( x)   b  a     0 a 其它 0 b 1  x  e x0X ~ E ( ) f ( x )    1  0 其它  x ( x   )2 1 X ~ N ( , )2 f ( x)  e 2 2  2    1  1 1   x  x e x0X ~ ( ,  ) f ( x )   ( 1 )   0 x0
  17. 17. 第六章 常用统计量及抽样分布  1 n 1  x  n2 x2 e 2 x0  ~  ( n) f ( x )   2 ( n 2) 2 2  x0  0  [( n  1) 2] x 2  n2 1 t ~ t ( n) t ( x)  (1  ) ( n 2) n n  ( n1  n2 ) n1 n1 n21 1 n1  n2    ( n2 )( n2 x ) 1  n12 x ,x0 n  n1 2 2F ~ F ( n1 , n2 )  ( x )   ( 2 ) ( 2 ) n2  0 x0
  18. 18. 第七章 总体X ~ F ( x, ), X 1 X 2 , , X n x1 x 2 ,  , x n 对进行估计 统计量 ˆ   ( X1 , X 2 ,, X n )  估计量  ˆ点估计 1)矩估计法:求解: i  Ai , i  1,2,, k  2)极大似然估计法:求解:L( )  max L( ) ˆ  H E ˆ估计量的 1)无偏性: ( )  优良性 D ˆ ˆ 2)有效性: ( 1 )  D( 2 ) P (     )  1   ( ,  )是置信度为1  的置信区间 X ~ N (  ,  2 ),  ,  2 进行区间估计 对区间估计 1)求的置信区间,为已知 2 2) 求的置信区间,  2为未知 3) 求 2的置信区间
  19. 19. 第七章 X ~ N (  ,  2 ),  ,  2 进行区间估计 对 置信度   1 统计量 置信区间1)求的置信区间, X    ~ N (0,1) (X  z 2 )  为已知 2  n n2) 求的置信区间, X   (X  S t 2 ( n  1)) ~ t ( n  1)  2为未知 S n n ( n  1) S 2 ( n  1) S 2 ( n  1) S 23) 求 2的置信区间 ~  2 ( n  1) ( 2 , 2 ) 2  2 (n  1) 1 2 (n  1) ( p1 , p2 ) (0-1)分布 nX  np ~ N (0,1) 1 p的置信区间 np(1  p) p1, 2  (  b  b 2  4ac ) 2a
  20. 20. 第八章 X ~ N (  ,  2 ), 对 ,  2 进行假设检验显著性水平 , 原假设 H 0备择假设 H1 检验统计量 拒绝域 的检验   0   0 X  0 U  z 2 U  为已知   0   0  n U  z1) 2   0   0 U   z ~ N (0,1)   0   0 X  0 t  t 2 (n  1)2) 的检验 t   0   0 S n t  t ( n  1)  为未知 2   0   0 ~ t ( n  1) t   t ( n  1)  2  0 2  2  0 2  2   2 (n  1)或 2 ( n  1) S 23) 2的检验   2  2  12 2 (n  1)   2   2 2 2  02 0 0  2    ( n  1) 2  2  0  2   ~  2 (n  1) 2 2 0  2   12 ( n  1)

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