บทที่ 1

1. 1
บทที่ 1
บทนา
ที่มาและความสาคัญของโครงงาน
โดยทั่วไปแล้วรายวิชาคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นนามธรรม มีโครงสร้างที่ประกอบด้วย
คานิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ที่เป็นข้อตกลงเบื้องต้น จากนั้นจึงใช้การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผลสร้าง
ทฤษฎีบทต่าง ๆ ขึ้นและนาไปใช้อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์มีความถูกต้องเที่ยงตรง คงเส้นคงวา
มีระเบียบแบบแผนเป็นเหตุเป็นผล และมีความสมบูรณ์ในตัวเอง หรือกล่าวได้ว่าคณิตศาสตร์เป็น
ศาสตร์และศิลป์ ที่ศึกษาเกี่ยวกับแบบรูปและความสัมพันธ์ เพื่อให้ได้ข้อสรุปและนาไปใช้
ประโยชน์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่ทุกคนเข้าใจตรงกันในการสื่อสาร (สถาบัน
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. 2544 : 2) สามารถนาประสบการณ์ทางด้านความรู้
ความคิดและทักษะที่ได้ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ และใช้ในชีวิตประจาวัน
ในการเรียนคณิตศาสตร์มีบทนิยาม ทฤษฏีบท และสูตรต่าง ๆ มาใช้อย่างหลากหลาย
โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรายวิชาคณิตศาสตร์ของระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย รวมการประยุกต์กับ
เรื่องอื่น ๆ ความรู้ความเข้าใจจะเป็นพื้นฐานที่สาคัญในการเรียนต่อในระดับที่สูงขึ้น
เนื่องจากในชีวิตประจาวันของผู้ศึกษาเองได้นาอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลม เช่น
ส้ม,แตงโม,ส้มโอ,เค้ก,พิซซ่า,โดนัส เป็นต้น มาโรงเรียนเพื่อที่จะแบ่งให้เพื่อนๆ ให้ได้คนละ
เท่าๆ กัน โดยไม่ให้ใครมากหรือน้อยโดยการใช้มีดผ่าซึ่งเป็นการคาดปริมาณเองแล้วในใน
บางครั้งปริมาณของแต่ละบุคคลที่แบ่งก็ไม่เท่ากัน เราจึงคิดที่จะนาความรู้เรื่องมุมใน
ตรีโกณมิติมาประยุกต์ใช้ในการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลมให้ได้ปริมาณอาหารที่
เท่า ๆ กัน
วัตถุประสงค์
1. เพื่อหาวิธีการในการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลมให้ได้ในปริมาณที่
เท่าๆ กัน กับจานวนคน
2. เพื่อนาวิชาคณิตศาสตร์เรื่องตรีโกณมิติในระดับชั้น ม. 5 มาประยุกต์ใช้ใน
ชีวิตประจาวัน
3. เพื่อสร้างแนวคิดในการพัฒนาสิ่งประดิษฐ์ทางด้านวิทยาศาสตร์ต่อไป

2. 2
ขอบเขตของการศึกษา
1. จัดทาโครงงานระหว่างวันที่ 26 ธันวาคม 2558 ถึง วันที่ 20 กุมภาพันธ์ 2559
2. เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับวิชาคณิตศาสตร์
2.1 เรื่องวงกลม ม.3
2.2 เรื่องตรีโกณมิติในระดับชั้น ม.5
นิยามศัพท์เฉพาะ
1. อาหารรูปทรงกลม หมายถึง คืออาหารที่รูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งทุกๆ จุดบนรูป
เรขาคณิตนี้อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากันเรียกจุดคง
2. ฟังก์ชัน ตรีโกณมิติ หมายถึง ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสาคัญในการศึกษารูป
สามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ
3. เส้นสัมผัสวงกลม หมายถึง คือเส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัด
นั้น
4. เส้นผ่าศูนย์กลางวงกลม หมายถึง คือความยาวเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมโดย
ที่ปลายทั้งสอง
ผลที่คาดว่าจะได้รับ
1. ได้รู้ถึงสิ่งในการแบ่งของที่มีลักษณะเป็นทรงกลมให้ได้ในปริมาณที่เท่าๆ กับ
กับจานวนคน
2. ได้นาความรู้ทางด้านวิชาคณิตศาสตร์ เรื่องตรีโกณมิติมาประยุกต์ใช้ใน
ชีวิตประจาวัน
3. ได้รู้ถึงแนวคิดในการสร้างสิ่งประดิษฐ์ทางด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์
ต่อไป

3. 3
บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
ในการทาโครงงาน เรื่อง อาหารทรงกลมแบ่งให้เท่าเพราะเรารู้ตรีโกณฯ มีเนื้อหาวิชา
คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง ดังนี้
1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
2. วงกลม
2.1 รัศมี
2.2 เส้นผ่านศูนย์กลาง
2.3 เส้นสัมผัสวงกลม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function)
คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสาคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ใน
ลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรือ
อัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือ
สมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นามาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุม
จึงเท่ากับ 180° เสมอ
ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชัน
สุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)
ตาราง 1 แสดงความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ
ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine) sin
โคไซน์ (Cosine) cos
แทนเจนต์ (Tangent) Tan
(หรือ tg)

4. 4
ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot
(หรือ ctg หรือ ctn)
ซีแคนต์ (Secant) sec
โคซีแคนต์ (Cosecant) csc
รูปภาพ 1 แสดงมุมเรเดียน
วงกลม(Circle)
1. วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งทุกๆ จุดบนรูปเรขาคณิตนี้อยู่ห่างจากจุดคงที่จุด
หนึ่งบนระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากันเรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลาง (Center)
2. รัศมี (Radius) คือระยะจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง
3. เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter) คือความยาวเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมโดยที่
ปลายทั้งสอง
4. เส้นสัมผัสวงกลม (Tangent line) คือเส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียก
จุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส (point of tangency)

5. 5
รูปภาพ 2 แสดงเส้นของวงกลมต่าง ๆ
O เป็นจุดศูนย์กลาง
OA เป็นรัศมีวงกลม
BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม
DE เป็นคอร์ดของวงกลม
L1 เป็นเส้นตัดวงกลม โดยตัดวงกลมที่จุด F และ G
L2 เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด H
ทฤษฎี เส้นสัมผัสวงกลม จะตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส
รูปภาพ 3 แสดงเส้นสัมผัสลากมาตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

6. 6
บทที่ 3
วิธีการดาเนินการ
วิธีดาเนินการโครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง อาหารทรงกลมแบ่งให้เท่าเพราะเรารู้ตรีโกณฯ
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการดังนี้
1. ขั้นการวางแผนการดาเนินงาน
กลุ่มผู้จัดทาโครงงานได้วางแผนการดาเนินงาน ดังนี้
1. รวบรวมสมาชิกที่มีความสนใจในเรื่องเดียวกัน เพื่อเข้ากลุ่มทาโครงงานคณิตศาสตร์
2. ตั้งชื่อเรื่องโครงงานคณิตศาสตร์
3. เขียนเค้าโครงโครงงานคณิตศาสตร์
4. กาหนดแผนปฏิบัติงานโครงงานคณิตศาสตร์
5. แบ่งหน้าที่ให้ทุกคนไปศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับโครงงานคณิตศาสตร์
6. รวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับการทาโครงงานคณิตศาสตร์ ได้แก่ มุมทาง
ตรีโกณมิติ และเส้นสัมผัสวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
7. การวิเคราะห์ข้อมูล โดยการหารูปแบบการคานวณในการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็น
ทรงกลม
8. สรุปการดาเนินงาน
9. จัดทารูปเล่มโครงงาน
10. ตรวจสอบความถูกต้องของโครงงาน
11. นาเสนอโครงงาน

7. 7
2. ขั้นการดาเนินงาน
1. ค้นคว้า ศึกษาข้อมูล หลักการ เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ บทนิยามและทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง
กับมุมทางตรีโกณมิติ และเส้นสัมผัสวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
2. รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับการพิสูจน์และการให้เหตุผล
3. วิเคราะห์ข้อมูล โดยการหารูปแบบการคานวณในการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรง
กลมให้ได้ในจานวนที่เท่ากัน
4. นาเสนอข้อมูลในรูปแบบของตาราง การหาวิธีการคานวณในการแบ่งอาหารที่มี
ลักษณะเป็นทรงกลมให้ได้ในปริมาณที่เท่ากัน
5. จัดทารายงานรูปเล่มโครงงานคณิตศาสตร์ และแผงสาหรับแสดงโครงงาน
คณิตศาสตร์โดยกาหนดให้แผงสาหรับแสดงโครงงานคณิตศาสตร์ตามขนาดมาตรฐาน
6. นาเสนอการจัดทาโครงงาน คณิตศาสตร์ ให้กับผู้ที่สนใจ
3. ปฏิทินปฏิบัติงาน
วันที่/เดือน/ปี การดาเนินงาน ผู้รับผิดชอบ
26 ธันวาคม 2558 รวบรวมสมาชิกที่มีความสนใจในเรื่องเดียวกัน เพื่อเข้า
กลุ่มทาโครงงานคณิตศาสตร์
สมาชิกทุกคน
9-10 มกราคม 2559 ตั้งชื่อเรื่องโครงงานคณิตศาสตร์ สมาชิกทุกคน
12-13 มกราคม 2559 เขียนเค้าโครงโครงงานคณิตศาสตร์ สมาชิกทุกคน
16 มกราคม 2559 กาหนดแผนปฏิบัติงานโครงงานคณิตศาสตร์ สมาชิกทุกคน
18-24 มกราคม 2559 แบ่งหน้าที่ให้ทุกคนไปศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับโครงงาน
คณิตศาสตร์
สมาชิกทุกคน
25-30 มกราคม 2559 รวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับการทาโครงงาน
คณิตศาสตร์ ได้แก่ มุมทางตรีโกณมิติ และเส้นสัมผัส
วงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
สมาชิกทุกคน
2-8 กุมภาพันธ์ 2559 การวิเคราะห์ข้อมูล โดยการหารูปแบบการคานวณใน
การแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลม
สมาชิกทุกคน
8-10 กุมภาพันธ์ 2559 สรุปการดาเนินงาน สมาชิกทุกคน
10-15กุมภาพันธ์ 2559 จัดทารูปเล่มโครงงาน สมาชิกทุกคน

8. 8
วันที่/เดือน/ปี การดาเนินงาน ผู้รับผิดชอบ
15-16กุมภาพันธ์ 2559 ตรวจสอบความถูกต้องของโครงงาน สมาชิกทุกคน
20 กุมภาพันธ์ 2559 นาเสนอโครงงาน สมาชิกทุกคน

9. 9
บทที่ 4
ผลการดาเนินการ
จากการดาเนินการหารูปแบบความสัมพันธ์การแบ่งอาหารทรงกลมด้วยตรีโกณมิติ
นาเสนอรูปแบบความสัมพันธ์ได้ดังนี้
1. หาเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยการทาบไม้บรรทัดสัมผัสกับขอบของอาหาร แล้วลากจาก
จุดสัมผัสให้ตั้งฉากกับอาหารที่เราจะใช้แบ่ง จากนั้นให้ ̅̅̅̅ แทนเส้นผ่านศูนย์กลาง
A A
B
รูปภาพ 4 แสดงเส้นสัมผัสไปตั้งฉาก
2. แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยหา รัศมี ( r ) จาก r =
̅̅̅̅
โดย
ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
A
B
รูปภาพ 5 แสดงจุดกึ่งกลาง

10. 10
3. การผ่าในแต่ละครั้ง สามารถหาได้จาก =
คนที่ 1 ได้ 1 ครั้งที่
คนที่ 2 ได้ 2 ครั้งที่
คนที่ 3 ได้ 3 ครั้งที่ เมื่อ คือ จานวนคน
คือ มุม
คนที่ ได้ ครั้งที่
เช่น
คุณครูซื้อพิซซ่ามาหนึ่งถาดให้นักเรียนทุกคนในห้อง ม.5/10 ซึ่งมีนักเรียน 12 คน ต้องการ
แบ่งให้กับทุก ๆ คน โดยให้ได้คนละ เท่า ๆ กัน
จากโจทย์
A A
B
รูปภาพ 6 แสดงเส้นสัมผัสไปตั้งฉากของพิซาซ่า
ระยะ ̅̅̅̅ ยาว 30 เชนติเมตร
หาเส้นผ่านศูนย์กลาง
̅̅̅̅
= = 15
15 cm
รูปภาพ 7 แสดงจุดกึ่งกลางของพิซซ่า

11. 11
= เมื่อ คือ คน
คนที่ 1 ได้ 1 ครั้งที่
คนที่ 2 ได้ 2 ครั้งที่
คนที่ 3 ได้ 3 ครั้งที่
คนที่ 4 ได้ 4 ครั้งที่
คนที่ 5 ได้ 5 ครั้งที่
คนที่ 6 ได้ 6 ครั้งที่
คนที่ 7 ได้ 7 ครั้งที่
คนที่ 8 ได้ 8 ครั้งที่
คนที่ 9 ได้ 9 ครั้งที่
คนที่ 10 ได้ 10 ครั้งที่
คนที่ 11 ได้ 11 ครั้งที่
คนที่ 12 ได้ 12 ครั้งที่
มุมที่ได้ จากการแบ่ง
คนที่ 2 คนที่ 1 คนที่ 12
15 cm
คนที่ 3 คนที่ 11
คนที่ 4 30° 30° คนที่ 10
30°
คนที่ 5 คนที่ 9
คนที่ 6 คนที่ 7 คนที่ 8
รูปภาพแสดง 8 มุมในการแบ่งแต่ละคน

12. 12
จากการแบ่งอาหาร จะได้ว่า พิซซ่ามีเส้นผ่านศูนย์กลาง 30 เซนติเมตร และจานวน
นักเรียนมี 12 คน จะได้ว่า มีรัศมีเท่ากับ 15 เซนติเมตร แล ะได้มุมคือ 30 ,
m=30 คนที่ 1 ได้ 1 ครั้งที่ , คนที่ 2 ได้ 2 ครั้งที่ คนที่ 3 ได้
3 ครั้งที่ , คนที่ 4 ได้ 4 ครั้งที่ , คนที่ 5 ได้ 5 ครั้งที่
, คนที่ 6 ได้ 6 ครั้งที่ , คนที่ 7 ได้ 7 ครั้งที่ , คนที่ 8 ได้ 8
ครั้งที่ , คนที่ 9 ได้ 9 ครั้งที่ , คนที่ 10 ได้ 10 ครั้งที่
, คนที่ 11 ได้ 11 ครั้งที่ , คนที่ 12 ได้ 12 ครั้งที่
จากการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลม สามารถหาได้โดยการทราบเส้นผ่าน
ศูนย์กลางของอาหารนั้น ๆ โดยการทาบไม้บรรทัดสัมผัสกับขอบของอาหาร แล้วลากจากจุด
สัมผัสให้ตั้งฉากกับอาหารที่เราจะใช้แบ่ง จากนั้นให้ ̅̅̅̅ แทนเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วหารัศมี
( r ) จาก r =
̅̅̅̅
ต่อจากนั้นจะเป็นการหมุน หมุนโดยการหาจาก เมื่อ n คือ จานวนคน
จะได้คนละ = m มื่อ m คือ มุม หมุนไปเลื่อย ๆ จนครบจานวนคน ( n ) คือ ครบ 360
องศา โคยตัดทีละ โดยต้องเริ่มจากจุดสัมผัสกับไม้
บรรทัดเสมอ

13. 13
บทที่ 5
สรุป อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ
สรุปผล
จากการดาเนินการหารูปแบบความสัมพันธ์การแบ่งอาหารทรงกลมด้วยตรีโกณมิติ
นาเสนอรูปแบบความสัมพันธ์ได้ดังนี้
1. หาเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยการทาบไม้บรรทัดสัมผัสกับขอบของอาหาร แล้ว
ลากจากจุดสัมผัสให้ตั้งฉากกับอาหารที่เราจะใช้แบ่ง จากนั้นให้ ̅̅̅̅ แทนเส้นผ่านศูนย์กลาง
2. แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยหา รัศมี ( r ) จาก r =
̅̅̅̅
โดย
ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง
3. การผ่าในแต่ละครั้ง สามารถหาได้จาก =
คนที่ 1 ได้ 1 ครั้งที่
คนที่ 2 ได้ 2 ครั้งที่
คนที่ 3 ได้ 3 ครั้งที่
คนที่ ได้ ครั้งที่
เมื่อ คือ จานวนคน
คือ มุม

14. 14
อภิปรายผล
จากการแบ่งอาหารที่มีลักษณะเป็นทรงกลม สามารถหาได้โดยการทราบเส้นผ่าน
ศูนย์กลางของอาหารนั้น ๆ โดยการทาบไม้บรรทัดสัมผัสกับขอบของอาหาร แล้วลากจากจุด
สัมผัสให้ตั้งฉากกับอาหารที่เราจะใช้แบ่ง จากนั้นให้ ̅̅̅̅ แทนเส้นผ่านศูนย์กลาง แล้วหารัศมี
( r ) จาก r =
̅̅̅̅
ต่อจากนั้นจะเป็นการหมุน หมุนโดยการหาจาก เมื่อ n คือ จานวนคน
จะได้คนละ = m มื่อ m คือ มุม หมุนไปเลื่อย ๆ จนครบจานวนคน ( n ) คือ ครบ 360
องศา โคยตัดทีละ โดยต้องเริ่มจากจุดสัมผัสกับไม้
บรรทัดเสมอ
สามารถสร้างความสัมพันธ์ในการแบ่งอาหารให้ได้ในปริมาณที่เท่ากัน เพื่อช่วยในการ
คานวณในการแบ่งอาหาร สร้างความเข้าใจในการสรุปความเข้าใจทางคณิตศาสตร์อย่างเป็น
รูปธรรม
ข้อเสนอแนะ
1. ควรที่จะมีการจัดแบ่งอาหารในลักษะรูปทรงเรขาคณิตแบบอื่น ๆ
2. ควรที่จะมีการวัดปริมาตรอาหารที่แบ่งให้ได้ในปริมาตรที่เท่ากันด้วย
3. ควรที่จะมีการแบ่งในรูปแบบอื่น ๆ ที่ไม่ให้เท่ากันแล้วแต่ความต้องการ