izvodi

1. ЧЕТВРТИ РАЗРЕД
Предмет:
Математика
Наставна јединица:
Извод сложене функције
Име и презиме предавача:
Катарина Максимовић
Час:
28.

2. Извод сложене
функције

3. Да се подсетимо,
Теорема
Нека су дате функције f(x) и g(x) и композиција тих функција g◦f(x), тј. g(f(x))
тако да је функција f(x) диференцијабилна у тачки x, а функција g(x)
диференцијабилна у тачки y=f(x).
Тада је и функција g◦f(x) диференцијабилна у тачки x и важи
𝑔 ◦ 𝑓 𝑥
′
= 𝑔 𝑓 𝑥
′
= 𝑔′(𝑦) · 𝑓′(𝑥)
Другим речима, радимо све исто као да је у питању извод елементарне
функције и још помножимо са изводом онога што је сложено.

4. Таблица извода сложене функције 𝑦 = 𝑓(𝑢), а 𝑢 = 𝑔(𝑥) па је 𝑦’ = 𝑓’(𝑢)𝑔’(𝑥)
• (𝑢𝑛
)′
= 𝑛𝑢𝑛−1
· 𝑢′
• 𝑎𝑢 ′ = 𝑎𝑢 ln 𝑎 · 𝑢′
• 𝑒𝑢 ′ = 𝑒𝑢 · 𝑢′
• log𝑎 𝑢 ′
=
1
u ln 𝑎
· 𝑢′
• ln 𝑢 ′ =
1
𝑢
· 𝑢′
•
1
𝑢
′
=
−1
𝑢2 · 𝑢′
• ( 𝑢)
′
=
1
2 𝑢
· 𝑢′

5. Таблица извода сложене функције 𝑦 = 𝑓(𝑢), а 𝑢 = 𝑔(𝑥) па је 𝑦’ = 𝑓’(𝑢)𝑔’(𝑥)
• (sin 𝑢)′ = cos 𝑢 · 𝑢′
• (cos 𝑢)′ = − sin 𝑢 · 𝑢′
• (t𝑔 𝑢)′ =
1
cos2 𝑢
· 𝑢′
• (ctg 𝑢)′ =
−1
sin2 𝑢
· 𝑢′
• (arcsin 𝑢)′ =
1
1−𝑢2
· 𝑢′
• (arccos 𝑢)′ =
−1
1−𝑢2
· 𝑢′
• (arct𝑔 𝑢)′ =
1
1+𝑢2 · 𝑢′
• (arcc𝑡𝑔 𝑢)′ =
−1
1+𝑢2 · 𝑢′

6. Задатак 1. Одредити извод функције
y = (
2𝑥−1
𝑥+2
)2
𝑦′ = ((
2𝑥−1
𝑥+2
)2)′= 2(
2𝑥−1
𝑥+2
)2−1· (
2𝑥−1
𝑥+2
)′=
=
2(2𝑥−1)
𝑥+2
·
2𝑥−1 ′ 𝑥+2 −(2𝑥−1)(𝑥+2)′
(𝑥+2)2 =
=
2(2𝑥−1)
𝑥+2
·
2 𝑥+2 −(2𝑥−1)
(𝑥+2)2 =
=
2(2𝑥−1)(2𝑥+4−2𝑥+1)
(𝑥+2)3 =
10(2𝑥−1)
(𝑥+2)3

7. Задатак 2. Одредити извод функције
𝑦 = (𝑥2 − 𝑥 + 1)5
𝑦′ = ( (𝑥2 − 𝑥 + 1)5)
′
= ((𝑥2 − 𝑥 + 1)
5
2)′=
=
5
2
(𝑥2 − 𝑥 + 1)
5
2
−1
· 𝑥2 − 𝑥 + 1 ′ =
=
5
2
(𝑥2 − 𝑥 + 1)
3
2· (2𝑥 − 1) =
=
5
2
(2𝑥 − 1) (𝑥2 − 𝑥 + 1)3

8. Задатак 3. Одредити извод функције
𝑦 = 𝑒 𝑥+5
𝑦′ = 𝑒 𝑥+5
′
= 𝑒 𝑥+5 · 𝑥 + 5
′
=
= 𝑒 𝑥+5 ·
1
2 𝑥+5
· (𝑥 + 5)′ =
= 𝑒 𝑥+5
·
1
2 𝑥+5
=
𝑒 𝑥+5
2 𝑥+5

9. Задатак 4. Одредити извод функције
𝑦 = l𝑛 𝑡𝑔𝑥
𝑦′ = l𝑛 𝑡𝑔𝑥 ′ =
1
𝑡𝑔𝑥
· (𝑡𝑔𝑥)′ =
=
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
1
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
=
1
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
=
1
2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
2
=
2
𝑠𝑖𝑛2𝑥

10. Задатак 5. Одредити извод функције
𝑦 =
1
3
𝑡𝑔3𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 + 𝑥
𝑦′ = (
1
3
𝑡𝑔3𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 + 𝑥)′ =
1
3
𝑡𝑔3𝑥
′
− 𝑡𝑔𝑥 ′ + 𝑥′ =
=
1
3
3𝑡𝑔2𝑥 · (𝑡𝑔𝑥)′ −
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 1 = 𝑡𝑔2𝑥 ·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
−
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 1 =
=
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
−
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 1 =
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
−
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
+
𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
=
𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
=
1−2𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
(1−𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
(𝑠𝑖𝑛2𝑥)2
𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
𝑠𝑖𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥
= 𝑡𝑔4𝑥

11. Задатак 6. Одредити извод функције
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2𝑥
1+𝑥2
𝑦′ = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2𝑥
1+𝑥2
′
=
1
1−(
2𝑥
1+𝑥2)2
·
2𝑥
1+𝑥2
′
=
=
1
(1+𝑥2)2−4𝑥2
(1+𝑥2)2
·
2𝑥 ′ 1+𝑥2 −2𝑥(1+𝑥2)′
(1+𝑥2)2 =
=
1
1+2𝑥2+𝑥4−4𝑥2
(1+𝑥2)2
·
2+2𝑥2−4𝑥2
(1+𝑥2)2 =
1
1
1−2𝑥2+𝑥4
(1+𝑥2)2
·
2−2𝑥2
(1+𝑥2)2 =
=
(1+𝑥2)2
(1−𝑥2)2
·
2(1−𝑥2)
(1+𝑥2)2 =
1+𝑥2
1−𝑥2 ·
2(1−𝑥2)
(1+𝑥2)2 =
2
1+𝑥2

12. Задатак 7. Одредити извод функције
𝑦 =
1
2
𝑡𝑔2𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦′ = (
1
2
𝑡𝑔2𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥)′ =
1
2
𝑡𝑔2𝑥
′
+ (𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥)′ =
=
1
2
· 𝑡𝑔2𝑥 ′ +
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
· (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ =
1
2
· 2𝑡𝑔𝑥 · 𝑡𝑔𝑥 ′ +
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
· (−sinx) =
=
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
·
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
−
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
(
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
− 1) =
=
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
· (
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
−
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
) =𝑡𝑔𝑥 ·
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
= 𝑡𝑔𝑥 ·
𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑡𝑔𝑥 · 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑡𝑔3𝑥

13. Задаци за самосталан рад
Одредити извод следећих функција
1) 𝑦 =
1−𝑥
1+𝑥
2) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑡𝑔
1+𝑥
1−𝑥
3) 𝑦 = 𝑙𝑛
1−𝑠𝑖𝑛𝑥
1+𝑠𝑖𝑛𝑥
Решења
1) 𝑦′ = −
1
𝑥+1 2
1−𝑥
1+𝑥
2) 𝑦′ =
1
1+𝑥2
3) 𝑦′
= −
1
𝑐𝑜𝑠𝑥

14. ОВА ПРЕЗЕНТАЦИЈА ЈЕ НЕКОМЕРЦИЈАЛНА!
Слајдови могу да садрже материјале, фотографије и слике преузете
са Интернета који су заштићени Законом о ауторским и сродним
правима. Ова презентација се може користити само у циљу
информисања и образовања ученика у току наставе на даљину и у
друге сврхе се не сме користити.
Члан 44. – Дозвољено је да без дозволе аутора и без плаћања
ауторске накнаде за некомерцијалне сврхе наставе (1) јавно
извођење или представљање објављених дела у облику
непосредног поучавања на настави ЗАКОН О АУТОРСКИМ И
СРОДНИМ ПРАВИМА (Сл. Гласник РС бр 104/2009 и 99/2011)