Ejercicios para cumplir con la asignatura programada para el 18-07-2015 Matemática IV.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE. EDO. LARA
Estudiantes:
Jesus Arroyo CI: 25143483
Maria Vegas CI: 23814971
José Nieves CI: 25854232
Profesor: José Morillo

2. Ejercicios Unidad III
1. Utilizando la definición de transformada calcule:
a) 𝐿{𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑡}
Solución:
lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡. 𝑑𝑡
𝑎
0
Integramos por la forma de coseno hiperbólico:
lim
𝑎→∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 − 22
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑡) |
𝑎
0
lim
𝑎→∞
𝑒−𝑠𝑎
𝑠2 − 4
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎) −
1
𝑠2 − 4
(−𝑠)
lim
𝑎→∞
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎)
𝑒 𝑠𝑎(𝑠2 − 4)
+
𝑠
𝑠2 − 4
Ya que 𝑒∞
=0 entonces lim
𝑎→∞
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑎−2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑎)
𝑒 𝑠𝑎(𝑠2−4)
= 0, por lo tanto:
𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =
𝑠
𝑠2 − 4
b) 𝐿{𝑡 𝐶𝑜𝑠ℎ3𝑡}
Solución:
𝐿{𝑡]. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡}
lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑡. 𝑑𝑡
𝑎
0
. lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡
𝑎
0
Integramos por partes:
𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 𝑣 =
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
lim
𝑎→∞
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
𝑡 − ∫
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
𝑑𝑡
𝑎
0
. lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡
𝑎
0
lim
𝑎→∞
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
𝑡 +
1
𝑠
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡. lim
𝑎→∞
∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡. 𝑑𝑡
𝑎
0
𝑎
0
Resolvemos las integrales:

3. lim
𝑎→∞
−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
𝑡 −
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 |
𝑎
0
. lim
𝑎→∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑠2 − 32
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑡) |
𝑎
0
lim
𝑎→∞
−
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
𝑎 −
𝑒−𝑠𝑎
𝑠2
− (0 −
1
𝑠2
) . lim
𝑎→∞
𝑒−𝑠𝑎
𝑠2 − 9
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑎 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑎) −
1
𝑠2 − 4
(−𝑠)
lim
𝑎→∞
−
𝑒−𝑠𝑎
𝑠
𝑎 −
𝑒−𝑠𝑎
𝑠2
+
1
𝑠2
. lim
𝑎→∞
(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑎 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑎)
𝑒 𝑠𝑎(𝑠2 − 9)
+
𝑠
𝑠2 − 9
1
𝑠2
.
𝑠
𝑠2 − 9
𝑠
𝑠4 − 9𝑠2
2. Calcule las siguientes transformadas:
a) 𝐿{𝑡2
𝐶𝑜𝑠ℎ2𝑡}
𝐿{𝑡2}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡}
Aplicamos función hiperbólica para resolver por transformada directa de Laplace:
𝐿{𝑡2}. 𝐿 {
𝑒2𝑡
+ 𝑒−2𝑡
2
}
2
𝑠3
(
1
2
{𝑒2𝑡} +
1
2
{𝑒−2𝑡})
Sustituimos por las funciones elementales de transformada directa:
2
𝑠3
.
1
2
(
1
𝑠 − 2
+
1
𝑠 + 2
)
Sumamos las fracciones:
2
𝑠3
.
1
2
(
(𝑠 + 2) + (𝑠 − 2)
(𝑠 − 2)(𝑠 + 2)
)
2
𝑠3
.
1
2
(
2𝑠
𝑠2 − 22
)
Simplificando tenemos:
2
𝑠3
.
𝑠
𝑠2 − 4
Multiplicamos las fracciones:

4. 2𝑠
𝑠5 − 4𝑠3
b) 𝐿{𝑒4𝑡
𝑆𝑒𝑛5𝑡}
Solución:
𝐿{𝑒4𝑡}. 𝐿{𝑠𝑒𝑛5𝑡}
Aplicamos la fórmula de Euler para resolver por transformada directa de Laplace:
𝐿{𝑒4𝑡}. 𝐿 {
𝑒 𝑖5𝑡
− 𝑒−𝑖5𝑡
2𝑖
}
𝐿{𝑒4𝑡}. (
1
2𝑖
𝐿{𝑒 𝑖5𝑡
} −
1
2𝑖
𝐿{𝑒−𝑖5𝑡
})
Sustituimos por las funciones elementales:
1
𝑠 − 4
.
1
2𝑖
(
1
𝑠 − 5𝑖
−
1
𝑠 + 5𝑖
)
Sumamos las fracciones:
1
𝑠 − 4
.
1
2𝑖
(
(𝑠 + 5𝑖) − (𝑠 − 5𝑖)
𝑠2 − 25𝑖2 )
1
𝑠 − 4
.
1
2𝑖
(
10𝑖
𝑠2 + 25
)
Simplificamos:
1
𝑠 − 4
.
5
𝑠2 + 25
Multiplicamos las fracciones:
5
𝑠3 − 4𝑠2 + 25𝑠 − 100
c) 𝐿{𝑡2
𝐶𝑜𝑠2
2𝑡}
Solución:
Ya que 𝑐𝑜𝑠ℎ2
2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡. 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡

5. 𝐿{𝑡2}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡}. 𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡}
Aplicamos funciones hiperbólicas:
𝐿{𝑡2}. 𝐿 {
𝑒 𝑖2𝑡
+ 𝑒−𝑖2𝑡
2
} . 𝐿 {
𝑒 𝑖2𝑡
+ 𝑒−𝑖2𝑡
2
}
2
𝑠3
.
1
2
({𝑒 𝑖2𝑡
} + {𝑒−𝑖2𝑡
}).
1
2
({𝑒 𝑖2𝑡
} + {𝑒−𝑖2𝑡
})
Aplicamos las funciones elementales:
2
𝑠3
.
1
4
(
1
𝑠 − 2𝑖
+
1
𝑠 + 2𝑖
) . (
1
𝑠 − 2𝑖
+
1
𝑠 + 2𝑖
)
Sumamos y multiplicamos las fracciones:
2
𝑠3
.
1
4
(
(𝑠 + 2𝑖) + (𝑠 − 2𝑖)
𝑠2 − 4𝑖2 )
2
2
𝑠3
.
1
4
(
2𝑠
𝑠2 + 4
)
2
Resolvemos la función elevada al cuadrado por producto notable:
2
𝑠3
.
1
4
.
4𝑠2
𝑠4 + 8𝑠2 + 16
Simplificamos:
2
𝑠3
.
𝑠2
𝑠4 + 8𝑠2 + 16
2
𝑠
.
1
𝑠4 + 8𝑠2 + 16
Multiplicamos:
2
𝑠5 + 8𝑠3 + 16𝑠
3. Utilizando fracciones parciales determine la siguiente transformada inversa:
𝐿−1
{
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
}
Solución:

6. Usamos el método de fracciones parciales y obtenemos:
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
=
𝐴
(𝑠 − 1)
+
𝐵
(𝑠 − 1)2
+
𝐶
(𝑠 + 1)
+
𝐷
(𝑠 − 2)
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)(𝑠 − 1) + 𝐵(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠 − 1)2(𝑠 − 2)
+ 𝐷(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)
Aplicamos distributiva:
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠2
− 2𝑠 + 𝑠 − 2)(𝑠 − 1) + 𝐵(𝑠2
− 2𝑠 + 𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠2
− 2𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
+ 𝐷(𝑠2
− 2𝑠 + 1)(𝑠 + 1)
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠3
− 𝑠2
− 2𝑠2
+ 2𝑠 + 𝑠2
− 𝑠 − 2𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠2
− 𝑠 − 2)
+ 𝐶(𝑠3
− 2𝑠2
− 2𝑠2
+ 4𝑠 + 𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠3
+ 𝑠2
− 2𝑠2
− 2𝑠 + 𝑠 + 1)
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = 𝐴(𝑠3
− 2𝑠2
− 𝑠 + 2) + 𝐵(𝑠2
− 𝑠 − 2) + 𝐶(𝑠3
− 4𝑠2
+ 5𝑠 − 2) + 𝐷(𝑠3
− 𝑠2
− 𝑠
+ 1)
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = (𝐴𝑠3
− 2𝐴𝑠2
− 𝐴𝑠 + 2𝐴) + (𝐵𝑠2
− 𝐵𝑠 − 2𝐵) + (𝐶𝑠3
− 4𝐶𝑠2
+ 5𝐶𝑠 − 2𝐶)
+ (𝐷𝑠3
− 𝐷𝑠2
− 𝐷𝑠 + 𝐷)
Agrupamos términos semejantes:
𝑠2
+ 2𝑠 + 2 = (𝐴 + 𝐶 + 𝐷)𝑠3
+ (−2𝐴 + 𝐵 − 4𝐶 − 𝐷)𝑠2
+ (−𝐴 − 𝐵 + 5𝐶 − 𝐷)𝑠 + (2𝐴 − 2𝐵
− 2𝐶 + 𝐷)
Para hallar los valores de A, B, C y D agrupamos con 𝑠2
+ 2𝑠 + 2
{
𝐴 + 𝐶 + 𝐷 = 0
−2𝐴 + 𝐵 − 4𝐶 − 𝐷 = 1
−𝐴 − 𝐵 + 5𝐶 − 𝐷 = 2
2𝐴 − 2𝐵 − 2𝐶 + 𝐷 = 2
Resolvemos por sistema de ecuaciones y obtenemos:
𝐴 = −
31
12
𝐵 = −
13
6
𝐶 = −
1
12
𝐷 =
8
3
Sustituimos:
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
=
𝐴
(𝑠 − 1)
+
𝐵
(𝑠 − 1)2
+
𝐶
(𝑠 + 1)
+
𝐷
(𝑠 − 2)
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
=
−31
12
(𝑠 − 1)
+
−13
6
(𝑠 − 1)2
+
−1
12
(𝑠 + 1)
+
8
3
(𝑠 − 2)
Por Doble C sabemos que:
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
=
−31
12
(
1
𝑠 − 1
)
−13
6
(
1
(𝑠 − 1)2
)
−1
12
(
1
𝑠 + 1
) +
8
3
(
1
𝑠 − 2
)
Por lo tanto:

7. 𝐿−1
{
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
}
= −
31
12
𝐿−1
{
1
𝑠 − 1
} −
13
6
𝐿−1
{
1
(𝑠 − 1)2} −
1
12
𝐿−1
{
1
𝑠 + 1
} +
8
3
𝐿−1
{
1
𝑠 − 2
}
𝐿−1
{
𝑠2
+ 2𝑠 + 2
(𝑠 − 1)2(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
} = −
31
12
𝑒 𝑡
−
13
6
𝑡 𝑛−1
𝑒 𝑡
(𝑛 − 1)!
−
1
12
𝑒−𝑡
+
8
3
𝑒2𝑡
4) Utilice el teorema de convolución para determinar la transformada inversa:
𝐿−1
{
1
𝑠3(𝑠 + 1)2}
Solución:
𝐿−1
{
1
𝑠3(𝑠 + 1)2} = 𝐿−1
{
1
𝑠3
1
(𝑠 + 1)2}
Tenemos que:
𝐹(𝑠) =
1
𝑠3 𝐺(𝑠) =
1
(𝑠+1)2
Entonces:
𝑓(𝑡) =
𝑡2
2!
=
𝑡2
2
𝑔(𝑡) =
𝑡𝑒−𝑡
1!
= 𝑡𝑒−𝑡
Sustituimos en la siguiente formula, con cambio de variable:
𝐿−1{𝐹(𝑠)𝐺(𝑠)} = ∫ 𝑓(𝑤)𝑔
𝑡
0
(𝑡 − 𝑤)𝑑𝑤
𝐿−1
{
1
𝑠3(𝑠 + 1)2} = ∫
𝑤2
2
(𝑡 − 𝑤)𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤
Aplicamos distributiva:
1
2
∫ 𝑤2
(𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
− 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
)
𝑡
0
𝑑𝑤
1
2
∫ (𝑤2
𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
− 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
)
𝑡
0
𝑑𝑤
1
2
[∫ 𝑤2
𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤
𝑡
0
]
∫ 𝑤2
𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤

8. 𝑡 ∫ 𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤
Integramos por partes a 𝑡 ∫ 𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡
0
𝑑𝑤
𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2 ∫ 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤
𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2 [𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
− ∫ 𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤]
𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2(𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
− 𝑒−(𝑡−𝑤)
)
𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
+ 2𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡(𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
+ 2𝑒−(𝑡−𝑤)
)
𝑡𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2𝑡𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
+ 2𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2𝑡𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
+ 2𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
|
𝑡
0
(𝑡3
− 2𝑡2
+ 2𝑡) − (0 − 0 + 2𝑡𝑒−𝑡)
𝑡3
− 2𝑡2
+ 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡
Integramos por partes a ∫ 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡
0
𝑑𝑤
𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 3 ∫ 𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤
𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 3 [𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 2 ∫ 𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤]
𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 3𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 6 [𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
− ∫ 𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤]
𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)
− 3𝑤2
𝑒−(𝑡−𝑤)
+ 6𝑤𝑒−(𝑡−𝑤)
− 6𝑒−(𝑡−𝑤)
|
𝑡
0
(𝑡3
− 3𝑡2
+ 6𝑡 − 6) − (0 − 0 + 0 − 6𝑒−𝑡
)
𝑡3
− 3𝑡2
+ 6𝑡 − 6 + 6𝑒−𝑡
Sustituimos los resultados en
1
2
[∫ 𝑤2
𝑡𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑑𝑤 − ∫ 𝑤3
𝑒−(𝑡−𝑤)𝑡
0
𝑑𝑤
𝑡
0
]
1
2
[𝑡3
− 2𝑡2
+ 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡
− (𝑡3
− 3𝑡2
+ 6𝑡 − 6 + 6𝑒−𝑡)]
1
2
[𝑡3
− 2𝑡2
+ 2𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡
− 𝑡3
+ 3𝑡2
− 6𝑡 + 6 − 6𝑒−𝑡]
Agrupamos términos semejantes:

9. 1
2
[𝑡2
− 4𝑡 − 2𝑡𝑒−𝑡
− 6𝑒−𝑡
+ 6]
Distributiva:
𝑡2
2
−
4𝑡
2
−
2𝑡𝑒−𝑡
2
−
6𝑒−𝑡
2
+
6
2
Simplificamos:
𝑡2
2
− 2𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡
− 3𝑒−𝑡
+ 3
Por lo tanto:
𝐿−1
{
1
𝑠3(𝑠 + 1)2} = ∫
𝑤2
2
(𝑡 − 𝑤)𝑒−(𝑡−𝑤)
𝑡
0
𝑑𝑤 =
𝑡2
2
− 2𝑡 − 𝑡𝑒−𝑡
− 3𝑒−𝑡
+ 3