Lingkaran

1. LINGKARAN

2. a,b
X,Y
0,0
𝑋 − 𝑎 2 + 𝑌 − 𝑏 2 = 𝑟2

3. 0,0
r
𝑋2
+ 𝑌2
= 𝑟2

4. a,b
X,Y
0,0
𝑋 − 𝑎 2
+ 𝑌 − 𝑏 2
= 𝑟2
(𝑋2 − 2𝑎𝑋 + 𝑎2) + (𝑌2−2𝑏𝑌 + 𝑏2) = 𝑟2
𝑋2
+ 𝑌2
− 2𝑎𝑋 − 2𝑏𝑌 + 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑟2
= 0
𝑋2
+ 𝑌2
+ 𝐴𝑋 + 𝐵𝑌 + 𝐶 = 0
𝐴 = −2𝑎
𝐵 = −2𝑏
𝐶 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑟2 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶
𝑟 =
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
𝑝(𝑎, 𝑏)
𝑝
𝑎
−2
,
𝑏
−2

5. Persamaan Garis Singgung
𝑚1
𝑚2
𝑚1 × 𝑚2 = −1
a,b
𝑚1 =
𝑌1 − 𝑏
𝑋1 − 𝑎
Persamaan garis singgung :
𝑚2 = −1( 𝑋1−𝑎
𝑦1−𝑏
)
𝑌 − 𝑌1 = 𝑚2(𝑋 − 𝑋1)
𝑋1, 𝑌1
𝑌 − 𝑌1 = −1
𝑋1 − 𝑎
𝑌1 − 𝑏
(𝑋 − 𝑋1)
𝑝(0,0)
∴ 𝑌 − 𝑌1 = −1
𝑋1
𝑌1
(𝑋 − 𝑋1)
𝑌1 𝑌 − 𝑌1 = −1(𝑋1)(𝑋 − 𝑋1)
𝑌1 𝑌 − 𝑌1
2
= 𝑋1
2
− 𝑋1 𝑋
𝑌1 𝑌 + 𝑋1 𝑋 = 𝑋1
2
+ 𝑌1
2
𝒀 𝟏 𝒀 + 𝑿 𝟏 𝑿 = 𝒓 𝟐

6. Persamaan Garis Singgung
𝑚1 × 𝑚2 = −1
𝑚1 =
𝑌1 − 𝑏
𝑋1 − 𝑎
Persamaan garis singgung :
𝑚2 = −1( 𝑋1−𝑎
𝑦1−𝑏
)
𝑌 − 𝑌1 = 𝑚2(𝑋 − 𝑋1)
𝑌 − 𝑌1 = −1
𝑋1 − 𝑎
𝑌1 − 𝑏
(𝑋 − 𝑋1)
∴
𝑌 − 𝑌1 𝑌1 − 𝑏 = −1(𝑋1 − 𝑎)(𝑋 − 𝑋1)
𝑌1 − 𝑏 𝑌 − 𝑏 − 𝑌1 − 𝑏 = −1(𝑋1 − 𝑎) 𝑋 − 𝑎 − (𝑋1 − 𝑎)
𝑌1 − 𝑏 𝑌 − 𝑏 − 𝑌1 − 𝑏 2
= −1( 𝑋1 − 𝑎 𝑋 − 𝑎 − 𝑋1 − 𝑎 2
)
𝑌1 − 𝑏 𝑌 − 𝑏 + 𝑋1 − 𝑎 𝑋 − 𝑎 = 𝑌1 − 𝑏 2
+ 𝑋1 − 𝑎 2
𝒀 𝟏 − 𝒃 𝒀 − 𝒃 + 𝑿 𝟏 − 𝒂 𝑿 − 𝒂 = 𝐫 𝟐
𝑚1
𝑚2
a,b
𝑋1, 𝑌1

7. What is C ?

8. How to get ±𝑟 𝑚2 + 1
𝑌 = 𝑚𝑋 + 𝐶
𝑋2
+ 𝑌2
= 𝑟2
....1.)
....2.)
𝑋2
+ 𝑚𝑋 + 𝐶 2
= 𝑟2
𝑋2
+ 𝑚2
𝑋2
+ 2𝑚𝐶𝑋 + 𝐶2
= 𝑟2
1 + 𝑚2
𝑋2
+ 2𝑚𝐶 𝑋 + (𝐶2
−𝑟2
) = 0
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
a b c
0 = 2𝑚𝐶 2
− 4(1 + 𝑚2
)(𝐶2
− 𝑟2
)
0 = 4𝑚2
𝐶2
− 4(𝐶2
− 𝑟2
+ 𝑚2
𝐶2
− 𝑚2
𝑟2
)
0 = 𝑚2
𝐶2
− 𝐶2
+ 𝑟2
− 𝑚2
𝐶2
+ 𝑚2
𝑟2
0 = −𝐶2
+ 𝑟2
+ 𝑚2
𝑟2
𝐶2
= 𝑟2
(𝑚2
+ 1)
𝐶 = ±𝑟 𝑚2 + 1
∴

9. a,b
𝑌 − 𝑏 = 𝑚(𝑋 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1

10. a,b
𝑋1, 𝑌1
Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang ditarik dari suatu titik
Persamaan garis singgung 𝑋2
+ 𝑌2
= 25 yang di
tarik dari titik (7,1)
𝑌 − 𝑏 = 𝑚(𝑋 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1
𝑌 = 𝑚𝑋 ± 5 𝑚2 + 1
𝑌 − 𝑌1 = 𝑚(𝑋 − 𝑋1)
𝑌 − 1 = 𝑚(𝑋 − 7)
𝑌 − 𝑚𝑋 = 5 𝑚2 + 1
𝑌 − 1 = 𝑚𝑋 − 7𝑚
𝑌 − 𝑚𝑋 = 1 − 7𝑚
....1.)
....2.)

11. 𝑌 − 𝑚𝑋 = 1 − 7𝑚 ....2.)
𝑌 − 𝑚𝑋 = 5 𝑚2 + 1 ....1.)
a,b
𝑋1, 𝑌1
1 − 7𝑚 = 5 𝑚2 + 1
1 − 7𝑚 2 = 52(𝑚2 + 1)
1 − 14𝑚 + 49𝑚2 = 25𝑚2 + 25
24𝑚2
− 14𝑚 − 24 = 0
×
1
2
12𝑚2
− 7𝑚 − 12 = 0
4𝑚 + 3 3𝑚 − 4 = 0
𝑚1 = −
3
4
𝑚2 =
4
3

12. a,b
𝑋1, 𝑌1
𝑌 −
4
3
𝑋 = 1 − 7
4
3
3𝑌 − 4𝑋 = 3 − 28
3𝑌 − 4𝑋 + 25 = 0....1.)
∴
𝑌 − −
3
4
𝑋 = 1 − 7 −
3
4
𝑌 +
3
4
𝑋 = 1 +
21
4
4𝑌 + 3𝑋 = 4 + 21
4𝑌 + 3𝑋 − 25 = 0....2.)