Matematika

1. TUGAS MATEMATIKA 3
Disusun Oleh
Nama : Faizal
Kelas : 1 EA
POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG
Kawasan Industri Air Kantung, Sungailiat-Bangka 33211
Telp : 0717-93586, 95252 Faks : 0717-93585
E-mail : polman@polman-babel.ac.id
Website : http://polman-babel.ac.id

2. 1. Hitunglah ∫ (𝒙 𝟏𝟐
−
𝟏𝟐
𝒙 𝟓 + √𝒙 𝟏𝟎𝟑
)𝒅𝒙
Jawaban :
∫(𝒙 𝟏𝟐
−
𝟏𝟐
𝒙 𝟓
+ √ 𝒙 𝟏𝟎𝟑
)𝒅𝒙
= ∫ 𝒙 𝟏𝟐
− 𝟏𝟐𝒙−𝟓
+ 𝒙
𝟏𝟎
𝟑 𝒅𝒙
=
𝟏
𝟏𝟑
𝒙 𝟏𝟑
−
𝟏𝟐
−𝟒
𝒙−𝟒
+
𝟏
𝟏𝟑
𝟑
𝒙
𝟏𝟑
𝟑 + 𝑪
=
𝟏
𝟏𝟑
𝒙 𝟏𝟑
+ 𝟑𝒙−𝟒
+
𝟑
𝟏𝟑
𝒙
𝟏𝟑
𝟑 + 𝑪
=
𝟏
𝟏𝟑
𝒙 𝟏𝟑
+
𝟑
𝒙 𝟒
+
𝟑
𝟏𝟑
√ 𝒙 𝟏𝟑𝟑
+ 𝑪
2. Hitunglah ∫[ 𝐜𝐨𝐬( 𝟕𝒙 − 𝟏𝟐) + 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝟗𝒙− 𝟏𝟓)] 𝒅𝒙
Jawaban :
∫[ 𝐜𝐨𝐬( 𝟕𝒙 − 𝟏𝟐) + 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝟗𝒙− 𝟏𝟓)] 𝒅𝒙
=
𝟏
𝟕
𝐬𝐢𝐧( 𝟕𝒙 − 𝟏𝟐) +
𝟏
𝟗
𝐭𝐚𝐧( 𝟗𝒙 − 𝟏𝟓)+ 𝑪
3. Dengan menggunakan cara substitusi hitunglah ∫
𝒙 𝟐
√ 𝟑+𝒙 𝟑
𝒅𝒙
Jawaban :
∫
𝒙 𝟐
√𝟑 + 𝒙 𝟑
𝒅𝒙
= ∫ 𝒙 𝟐
.( 𝟑 + 𝒙 𝟑)−
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝒖 = 𝟑 + 𝒙 𝟑
→
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝟑𝒙 𝟐
→ 𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝟑𝒙 𝟐
∫ 𝒙 𝟐
. ( 𝟑 + 𝒙 𝟑)−
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 𝟐
. 𝒖
−
𝟏
𝟐 .
𝒅𝒖
𝟑𝒙 𝟐
=
𝟏
𝟑
∫ 𝒖
−
𝟏
𝟐 𝒅𝒖 =
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟏
𝟐
𝒖
𝟏
𝟐 + 𝑪
=
𝟐
𝟑
√ 𝒖 + 𝑪 =
𝟐
𝟑
√ 𝟑 + 𝒙 𝟑 + 𝑪

3. 4. Dengan menggunakan cara substitusi hitunglah ∫( 𝟐𝒙 + 𝟐) 𝐜𝐨𝐬( 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 +
𝟖) 𝒅𝒙
Jawaban :
∫( 𝟐𝒙+ 𝟐) 𝐜𝐨𝐬( 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙
𝒖 = 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖 →
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟎 → 𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟎
∫( 𝟐𝒙+ 𝟐) 𝐜𝐨𝐬( 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖) 𝒅𝒙 = ∫( 𝟐𝒙 + 𝟐). 𝐜𝐨𝐬 𝒖 .
𝒅𝒖
𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟎
= ∫( 𝟐𝒙 + 𝟐). 𝐜𝐨𝐬 𝒖 .
𝒅𝒖
𝟓( 𝟐𝒙+ 𝟐)
=
𝟏
𝟓
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒖 𝒅𝒖
=
𝟏
𝟓
𝐬𝐢𝐧 𝒖 + 𝑪 =
𝟏
𝟓
𝐬𝐢𝐧( 𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟖) + 𝑪
5. Hitunglah integral parsil dari ∫ 𝟐𝒙. 𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙
Jawaban :
∫ 𝟐𝒙. 𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙
𝒖 = 𝟐𝒙 →
𝒅𝒖
𝒅𝒙
= 𝟐 → 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 → 𝒗 = ∫ 𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟏𝟐
𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒)
∫ 𝒖. 𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
∫ 𝟐𝒙. 𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙
= 𝟐𝒙. −
𝟏
𝟏𝟐
𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟐𝒙+ 𝟒) − ∫ −
𝟏
𝟏𝟐
𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟐𝒙+ 𝟒). 𝟐𝒅𝒙
= −
𝟏
𝟔
𝒙 𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) + 𝟐 [
𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒)] + 𝑪
= −
𝟏
𝟔
𝒙 𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) +
𝟏
𝟕𝟐
𝐬𝐢𝐧( 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒) + 𝑪
6. Dengan menggunakan bantuan tabel hitunglah integral dari ∫ 𝒙 𝟑
𝒆−𝟓𝒙
𝒅𝒙
Jawaban :
+ 𝒙 𝟑
(turunan) 𝒆−𝟓𝒙
(integral)
- 𝟑𝒙 𝟐
−
𝟏
𝟓
𝒆−𝟓𝒙

4. + 𝟔𝒙
𝟏
𝟐𝟓
𝒆−𝟓𝒙
- 6 −
𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝒆−𝟓𝒙
+ 0
𝟏
𝟔𝟐𝟓
𝒆−𝟓𝒙
= −
𝟏
𝟓
𝒙 𝟑
𝒆−𝟓𝒙
−
𝟑
𝟐𝟓
𝒙 𝟐
𝒆−𝟓𝒙
−
𝟔
𝟏𝟐𝟓
𝒙𝒆−𝟓𝒙
−
𝟔
𝟔𝟐𝟓
𝒆−𝟓𝒙
+ 𝑪
7. Hitung integral fungsi rasional dari ∫
𝟑𝒙
𝒙 𝟐−𝟐𝒙−𝟏𝟓
𝒅𝒙
Jawaban :
𝟑𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
=
𝟑𝒙
(𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟑)
=
𝑨
( 𝒙 − 𝟓)
+
𝑩
( 𝒙 + 𝟑)
𝒙 − 𝟓 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟓 → 𝑨 =
𝟑. 𝟓
( 𝟓 + 𝟑)
=
𝟏𝟓
𝟖
𝒙 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟑 → 𝑩 =
𝟑. −𝟑
(−𝟑 − 𝟓)
=
𝟗
𝟖
∫
𝟑𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓
𝒅𝒙 = ∫
𝟏𝟓
𝟖
( 𝒙 − 𝟓)
𝒅𝒙 + ∫
𝟗
𝟖
( 𝒙 + 𝟑)
𝒅𝒙
=
𝟏𝟓
𝟖
𝐥𝐧| 𝒙 − 𝟓| +
𝟗
𝟖
𝐥𝐧| 𝒙 + 𝟑| + 𝑪
8. Hitunglah integral tentu dari ∫ (𝒙 𝟒
+ 𝟓𝒙 +
𝟏
𝒙 𝟑 )
𝟒
𝟏
𝒅𝒙
Jawaban :
∫(𝒙 𝟒
+ 𝟓𝒙 +
𝟏
𝒙 𝟑
)
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 = ∫(𝒙 𝟒
+ 𝟓𝒙 + 𝒙−𝟑
)
𝟒
𝟏
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟓
𝒙 𝟓
+
𝟓
𝟐
𝒙 𝟐
−
𝟏
𝟐
𝒙−𝟐
=
𝟏
𝟓
𝒙 𝟓
+
𝟓
𝟐
𝒙 𝟐
−
𝟏
𝟐𝒙 𝟐
= (
𝟏
𝟓
. 𝟒 𝟓
+
𝟓
𝟐
. 𝟒 𝟐
−
𝟏
𝟐. 𝟒 𝟐
)− (
𝟏
𝟓
. 𝟏 𝟓
+
𝟓
𝟐
. 𝟏 𝟐
−
𝟏
𝟐. 𝟏 𝟐
)
= (
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓
+ 𝟒𝟎 −
𝟏
𝟑𝟐
) − (
𝟏
𝟓
+
𝟓
𝟐
−
𝟏
𝟐
)
=
𝟏𝟎𝟐𝟒
𝟓
−
𝟏
𝟓
−
𝟏
𝟑𝟐
−
𝟒
𝟐
+ 𝟒𝟎 =
𝟏𝟎𝟐𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟑𝟐
+ 𝟑𝟖
=
𝟑𝟐𝟕𝟑𝟔 − 𝟓 + 𝟔𝟎𝟖𝟎
𝟏𝟔𝟎
=
𝟑𝟖𝟖𝟏𝟏
𝟏𝟔𝟎

5. 9. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 𝒚 = 𝒙 𝟐
+ 𝟒 dan garis 𝒚 = −𝒙 + 𝟏𝟔
Jawaban :
𝒚 𝟏 = 𝒚 𝟐 → 𝒙 𝟐
+ 𝟒 = −𝒙 + 𝟏𝟔
𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎
( 𝒙 + 𝟒)( 𝒙 − 𝟑) = 𝟎
𝒙 = −𝟒 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = 𝟑
𝑳 = ∫(−𝒙 + 𝟏𝟔) − ( 𝒙 𝟐
+ 𝟒)
𝟑
−𝟒
𝒅𝒙
= ∫(−𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟏𝟐)
𝟑
−𝟒
𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟑
𝒙 𝟑
−
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟐𝒙
= (−
𝟏
𝟑
. 𝟑 𝟑
−
𝟏
𝟐
. 𝟑 𝟐
+ 𝟏𝟐. 𝟑) − (−
𝟏
𝟑
. −𝟒 𝟑
−
𝟏
𝟐
. −𝟒 𝟐
+ 𝟏𝟐.−𝟒)
= (−𝟗 −
𝟗
𝟐
+ 𝟑𝟔) − (
𝟔𝟒
𝟑
− 𝟖 − 𝟒𝟖)
= 𝟐𝟕 −
𝟗
𝟐
−
𝟔𝟒
𝟑
+ 𝟓𝟔 = −
𝟔𝟒
𝟑
−
𝟗
𝟐
+ 𝟖𝟑
=
−𝟏𝟐𝟖 − 𝟐𝟕 + 𝟒𝟗𝟖
𝟔
=
𝟑𝟒𝟑
𝟔
𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒍𝒖𝒂𝒔
10. Tentukanlah volume benda yang terbentukdengan memutar mengelilingi sumbu-
y dari daerah yang dibatasi oleh 𝒚 = 𝟑𝒙, 𝒚 = 𝒙, 𝒚 = 𝟎 dan garis 𝒚 = 𝟑
Jawaban :
𝒚 = 𝟑𝒙 → 𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒚
𝒚 = 𝒙 → 𝒙 = 𝒚
𝑽 = 𝝅∫( 𝒙 𝟏
𝟐
− 𝒙 𝟐
𝟐)
𝟑
𝟎
𝒅𝒚
= 𝝅 ∫(𝒚 𝟐
− (
𝟏
𝟑
𝒚)
𝟐
)
𝟑
𝟎
𝒅𝒚 = 𝝅 ∫(𝒚 𝟐
−
𝟏
𝟗
𝒚 𝟐
)
𝟑
𝟎
𝒅𝒚
= 𝝅 ∫
𝟖
𝟗
𝒚 𝟐
𝟑
𝟎
𝒅𝒚 = 𝝅[
𝟖
𝟗
𝟑
𝒚 𝟑
]
= 𝝅 [
𝟖
𝟐𝟕
𝒚 𝟑
] = 𝝅 [
𝟖
𝟐𝟕
. 𝟑 𝟑
−
𝟖
𝟐𝟕
. 𝟎 𝟑
]
= 𝝅[ 𝟖 − 𝟎] = 𝟖𝝅 𝒔𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆