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Rで実験計画法 前編
- 1. Rで実験計画法（前編） @ito_yan E-mail:1mail2itoh3@gmail.com 2011.08.27 Tokyo.R #16
- 2. 2 はじめに • 所属する組織の意見・見解ではありません • つまらなかったら睡眠学習や復習に当てましょう •コメント歓迎します(メール等も含めて) • 僕と勉強会に出て、実験計画法使いになってよ! • Web上に掲載するに当たり一部修正しています
- 3. 3 自己紹介 • twitterID :@ito_yan • お仕事 • QA（品質保証）がメイン • データマイニングツール開発 • Rに初めて触れて5年 • まどか☆マギカのアニメ版は観てません（爆 • 漫画版読みました（爆
- 4. 4 今日の話題 • 一元配置、二元配置 • 第3回でも出てきているが、1年半ぶりに復習 •交互作用 • 二元配置と方格の関係 • ラテン方格、グレコ・ラテン方格 • 直交表による実験は次回お話します
- 5. 5 実験計画法とは • 少ない実験回数で、効率よく推定する手法 •フィッシャーの農場での実験がはじまり • 肥料のやり方、土壌が作物の成長にどのような影響を与 えるか調べた • 応用例 • 品質管理（長寿命製品の製造） • 自然科学
- 6. 6 一元配置 問題： 素材の強度を上げるため、製造する環境の温度を A1 = 15℃、A2 = 20℃、A3 = 25℃ と変化させて試作し、強度を測定したところ次の結果を得た。 温度によって強度は変わるといえるか。 因子 水準 A1 A2 A3 問題を統計的に言うと… 27.2 33.3 28.5 各水準の平均は一定 28.7 31.5 31.3 水準の平均は一定で 27.7 30.8 29.5 はない 26.4 32.4 27.9
- 7. 7 Rによる分析 lev data • データフレームでデータを表現 A1 27.2 data <- c(27.2,28.7,27.7,26.4, A1 28.7 33.3,31.5,30.8,32.4, A1 27.7 28.5,31.3,29.5,27.9) A1 26.4 lev <- c(rep("A1",4),rep("A2",4),rep("A3",4)) A2 33.3 exp.data <- data.frame(lev=lev,data=data) A2 31.5 A2 30.8 A2 32.4 A3 28.5 A3 31.3 A3 29.5 A3 27.9
- 8. 8 傾向の把握その1 • boxplot関数の利用 boxplot(data~lev,data=exp.data,col="lightblue") 左図より、水準ごとに平均 は違うのではと推測される 第3四分位点から箱の長さの1.5 倍以内の最大値 第3四分位点 中央値 第1分位点 第1四分位点から箱の長さの1.5 倍以内の最小値
- 9. 9 一元配置のデータの分解式 • データ=平均+因子ごとの影響+誤差 A1 A2 A3 27.2 33.3 28.5 水準A1の合計 28.7 31.5 31.3 27.7 30.8 29.5 = 26.4 32.4 27.9 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 29.6 29.6 29.6 -2.1 2.4 -0.3 -0.3 1.3 -0.8 29.6 29.6 29.6 + -2.1 2.4 -0.3 + 1.2 -0.5 2.0 29.6 29.6 29.6 -2.1 2.4 -0.3 0.2 -1.2 0.2 29.6 29.6 29.6 -2.1 2.4 -0.3 -1.1 0.4 -1.4
- 10. 10 データの分解式に関する性質 • 因子の水準による効果の総和は0 • -2.1+2.4-0.3=0 •誤差の総和は各水準毎に0 • -0.3+1.2+0.2-1.1=0 • 1.3-0.5-1.2+0.4=0 • -0.8+2.0+0.2-1.4=0
- 11. 11 変動に関する用語 • 全変動(Sum ofSquare, SS) • 全データの二乗和 • 平均変動(Correlation Term, CT, 修正変動) • 全データの平均の二乗和 • 因子変動（主効果） • 因子による効果の二乗和 • 誤差変動 • 平均変動、主効果で説明できない部分 • 測定器、測定者、偶然による誤差
- 12. 12 データの二乗和 •イメージは下図のように全データに^2をつけるだけ A1 A2 A3 27.2^2 33.3^2 28.5^2 28.7^2 31.5^2 31.3^2 27.7^2 30.8^2 29.5^2 = 26.4^2 32.4^2 27.9^2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 (-0.3)^2 1.3^2 (-0.8)^2 29.6^2 + (-2.1)^2 2.4^2 -0.3^2 1.2^2 + 0.2^2 -0.5^2 2.0^2 -1.2^2 0.2^2 (-1.1)^2 0.4^2 (-1.4)^2
- 13. 13 データに対する分解式 二乗和分解の式 自由度の分解式 (12 = 1 + 2 + 9)
- 14. 14 一元配置の分散分析表 result <- summary(aov(data~lev,data=exp.data)) 有意である > result Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) lev 2 41.04 20.52 14.25 0.001625 ** Residuals 9 12.96 1.44 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 DF・・・自由度 SumSq・・・要因変動 MeanSq・・・1自由度あたりの要因変動(41.04/2、12.96/9) Fvalue・・・MeanSqを誤差の要因変動で割った値(20.52/1.44) Pr・・・P値
- 15. 15 分散分析のイメージ • 水準の違いによる散らばり(σ1^2)は誤差の散ら ばり(σ2^2)よりも大きいと言えるか? • 分散比が1より大きい(σ1^2/σ2^2>1)となれば、水 準の違いによる値の散らばりは、誤差の散らばりよ り大きいと言える →水準により測定値が変化すると言える! (誤差の範囲での変化とはいえない) • 2つのデータ集合の分散比を調べるのはF検定 • データの散らばりは正規分布に従っていると仮定 • F分布はカイ二乗分布から構成されている で二乗和を求めるのはこのため
- 16. 16 区間推定 • 有意な因子による影響を調べる 1.44 • 最適な組に対する推定に興味があるため 各水準の平均 各水準の繰り返し回数4
- 17. 17 なぜ分散分析なのか • t検定の繰り返しで差の有意性を調べるのは? •有意水準5%でn回検定すると1-0.95^nの確率で第 一種の誤り(違うのに正しいと言ってしまう)を犯して しまう →第一種の誤りが5%より大きくなるのでダメ (多重性の問題) • 本当にダメ? 4水準であれば =6 より5/6%が有意水準 • ボンフェローニ法という手法がある • 5%/(t検定を行う回数)を有意水準としたｔ検定 • 手軽だが、かなり厳しめに見積もる傾向がある
- 18. 18 二元配置 • 問題 ある百貨店は食料品店の売上向上のために、 次の因子を組み合わせた実験を行った。 因子A: 水曜日、土曜日、日曜日 因子B：試食の提供をした/しない 各組み合わせに対し2日ずつ実験を行い、1日の売上数を調べ たところ、下のようになった。因子A、Bは効果があると言えるか。 B1（した） B2（しない） A1（水曜日） 64、58 27、31 A2（土曜日） 61、69 56、50 A3（日曜日） 63、57 51、49
- 19. 19 二元配置のデータ作成 levA levB sales sales <- c(64,58,27,31,61,69, A1 B1 64 56,50,63,57,51,49) A1 B1 58 lev.A <- c(rep("A1",4), A1 B2 27 rep("A2",4),rep("A3",4)) A1 B2 31 lev.B <- rep(rep(c("B1","B2"),c(2,2)),3) A2 B1 61 sales.data <- data.frame(levA=lev.A, A2 B1 69 levB=lev.B,sales=sales) A2 B2 56 A2 B2 50 A3 B1 63 A3 B1 57 A3 B2 51 A3 B2 49
- 20. 20 二元配置のデータの分解式 • 一元配置と同様に分解できる • データ=平均+Aの影響+Bの影響+誤差 64、58 27、31 53、53 53、53 -8、-8 -8、-8 61、69 56、50 = 53、53 53、53 + 6、6 6、6 63、57 51、49 53、53 53、53 2、2 2、2 9、9 -9、-9 10、4 -9、-5 + 9、9 -9、-9 + -7、1 6、0 9、9 -9、-9 -1、-7 5、3
- 21. 21 二元配置の変動計算 一元配置と同様に計算可能 やはり二乗和分解できる 自由度も分解可能
- 22. 22 二元配置の分散分析表 summary(aov(sales~levA+levB,data=sales.data)) > summary(aov(sales~levA+levB,data=sales.data)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 有意 levA 2 416 208 4.2449 0.055399 . levB 1 972 972 19.8367 0.002128 ** Residuals 8 392 49 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 結論：試食の提供の有無は売上に 影響があると言える! →これで十分な分析なのか?No!
- 23. 23 交互作用 • 水準の組み合わせにより発生する効果のこと • 繰り返し測定のある場合に測定できる •交互作用も各因子の水準毎に平均を0とする • 交互作用の自由度は因子Aの水準数をm、因子 Bの水準数nとすると、(m-1)(n-1)になる B1 B2 合計 B1 B2 合計 A1 a ? 0 A1 a -a 0 A2 b ? 0 A2 b -b 0 A3 ? ? 0 A3 -(a+b) a+b 0 合計 0 0 0 合計 0 0 0
- 24. 24 傾向の把握その2 • interaction.plot(lev.A,lev.B,sales) •線の間隔が一定でなければ交互作用効果がありそう A1と因子Bの組には極端 な変化がみられる!
- 25. 25 交互作用を考慮したデータの分解 • データ=平均+Aの影響+Bの影響+交互作用+誤差 64、58 27、31 53、53 53、53 -8、-8 -8、-8 61、69 56、50 = 53、53 53、53 + 6、6 6、6 63、57 51、49 53、53 53、53 2、2 2、2 9、9 -9、-9 7、7 -7、-7 3、-3 -2、2 + 9、9 -9、-9 + -3、-3 3、3 + -4、4 3、-3 9、9 -9、-9 -4、-4 4、4 3、-3 1、-1 10と4の平均=7 交互作用を考慮しない場合は 合わせて誤差になる
- 26. 26 交互作用を考慮した分散分析表 summary(aov(sales~levA+levB+levA:levB,data=sales.data)) or summary(aov(sales~levA*levB,data=sales.data)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) levA 2 416 208 13.00 0.0065918 ** levB 1 972 972 60.75 0.0002351 *** levA:levB 2 296 148 9.25 0.0146878 * Residuals 6 96 16 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 • 曜日と試食提供の有無の組合せも効果がある • 交互作用項ができたことで、残差の自由度以上に、 残差変動が減っている→交互作用は無視できない
- 27. 27 多元配置から方格を用いた実験へ • 多元配置の問題点 • 実験回数が指数的に増える • n元配置で、k水準の実験を行うと最低k^n回必要 • ラテン方陣を用いるとある程度解決する • グレコ・ラテン方陣を使うと、更に効率よく実験可能
- 28. 28 ラテン方陣 • n*nの正方格子にn種類の文字を入れる • どの行方向、列方向にもすべての文字が1個ずつ 現れる C1 C2 C3 C2 C3 C1 C3 C1 C2
- 29. 29 ラテン方格と二元配置の関係 B1 B2 B3 ラテン方陣を用いた実験計 画をラテン方格という A1 C1 C2 C3 どの因子のどの水準に着目し A2 C2 C3 C1 ても、他の因子の水準が同数 実験されている A3 C3 C1 C2 （バランスが取れているという） バランスが取れていると、データ ラテン方陣は二元配置 の分解式が容易に作成できる に組み込むことができる
- 30. 30 ラテン方格利用時のデータの分解 B1 B2 B3 • これまでと同様に分解可能 A1 C1 C2 C3 • データ=平均+因子A,B,Cの効果+誤差 A2 C2 C3 C1 A3 C3 C1 C2 B1 B2 B3 A1 21 25 11 17 17 17 2 2 2 A2 5 27 16 = 17 17 17 + -1 -1 -1 A3 13 17 18 17 17 17 -1 -1 -1 -4 6 -2 5 1 6 1 1 0 + -4 6 -2 + -6 5 1 + -1 0 1 -4 6 -2 1 -6 5 0 1 -1
- 31. 31 グレコ・ラテン方陣 バランスが取れている α β γ δ a c d b αa βc γd δb β α δ γ b d c a 重ねる βb αd δc γa γ δ α β c a b d γc δa αb βd δ γ β α d b a c δd γb βa αc 直交・・・重ねたときに同じ文字の組み合わせがない 2個のラテン方陣の関係 • グレコ・ラテン方陣はラテン方陣を重ねたもの • 4水準4因子の実験が16回でできる（4元配置は4^4=256回)
- 32. 32 グレコ・ラテン方格で水準設定 B1 B2 B3 B4 A1 C1D1 C2D3 C3D4 C4D2 A2 C2D2 C1D4 C4D3 C3D1 A3 C3D3 C4D1 C1D2 C2D4 A4 C4D4 C3D2 C2D1 C1D3 グレコ・ラテン方陣で因子Cの水準にはギリシャ文字、 因子Dの水準にはアルファベットを割り当てる。 上の例では、以下のように水準を割り当てた。 α：C1、β：C2、γ：C3、δ：C4、a:D1、b：D2、c:D3、d:D4 データの分解や分散分析表の作り方はこれまでと同じ
- 33. 33 残差の寄せ集め（プーリング） • 分散分析表を作成した後に、不要と判明した因子 を誤差に取り込む • F値が1～2以下のものが対象になる • 測定に伴う誤差程度しか分散がないから →因子が測定にまったく影響していない • 1自由度当たりの誤差変動は増えず、誤差の自由 度が増えるため、検定で有意になるためのF値が 小さくなる • 意味のある実験結果が得られる可能性が増す • 特に誤差の自由度が少ないときに有効
- 34. 34 方格から直交表へ • 二元配置に組み込めるk水準の因子はk-1個まで • k^2回の実験でk水準の因子がk+1個まで調べられる •ただしk=p^s(pは素数、sは正の整数)の場合しか配 置が知られていない • k水準の因子がk+1個まで調べられる配置を整理し たものを直交表とよぶ
- 35. 35 実験計画法の原則(by フィッシャー) • 反復 • 誤差を評価できるようにする • 無作為化 • 慣れを防ぐ • 時間的・空間的な要因を排除する（気温・季節など） • 局所管理 • 要因以外の要素を極力一定にする • 例：生物の成長実験では体格が同じ個体を使う これまでの実験は、実はランダムに実験するべき内容 であることに注意!
- 36. 36 まとめ • 一元配置、二元配置の計算方法を紹介した • Rの出力結果を手計算で求めることもできる •問題によっては交互作用を考えることがある • 方格を用いると、実験回数が多元配置より大幅 に減らせる
- 37. 37 参考資料 • よくわかる実験計画法（著：中村 義作） •Rと分散分析（金明哲先生のWebページ） • http://mjin.doshisha.ac.jp/R/12.html • 統計学入門（東京大学出版会） • 自然科学の統計学（東京大学出版会）
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