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実験計画法入門 Part 4

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実験計画法入門のレクチャースライド,4部構成のうちの第4部です.

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実験計画法入門 Part 4

  1. 1. © Hajime Mizuyama An Introduction to Design of Experiments (DOE) 青山学院大学 経営システム工学科 水山 元 mizuyama@ise.aoyama.ac.jp
  2. 2. © Hajime Mizuyama Agenda Part 1 古典的な実験計画法の 基本概念と要因計画 Part 2 直交表と 一部実施要因計画 Part 3 応答曲面法と 最適計画 Part 4 直積実験と ロバスト設計
  3. 3. © Hajime Mizuyama ロバスト設計における対象システムの捉え方 y 特性 s 信号因子 対象システム x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
  4. 4. © Hajime Mizuyama 制御因子 特性に影響を与え得る要因のうち,その値を容易に操作可能な もの.実験によって,それらの最適水準を見出したい. 誤差因子 特性に影響を与え得る要因のうち,生産や使用の場ではその値 を指定することが困難であり,特性のばらつきの原因になると 考えられるもの. 実験では,可能であれば,母数因子として扱うことが多いが, そうでない場合などには,変量因子として扱ってもよい. 制御因子と誤差因子
  5. 5. © Hajime Mizuyama 制御因子と誤差因子の交互作用 特性値 A (誤差因子) B2 B1 (制御因子) 制御因子と誤差因子の 交互作用を利用して, 特性のばらつきを低減 することができる.
  6. 6. © Hajime Mizuyama • 取り上げた因子が特性の値に影響を及ぼしているかどうか,を 判断したい. • 影響を及ぼしていると判断された因子について,その値をどの 水準に設定すればよいか,を判断したい(主に特性値の最大化 や最小化の問題). • 因子水準を操作することによる影響の大きさや,操作した後の 特性の値を推定したい. 古典的な実験計画法の狙いと役割 これらを,統計的検定や推定の枠組みで実施できるようにする ことが古典的な実験計画法の役割である.
  7. 7. © Hajime Mizuyama • 数多くの候補の中から,特性のばらつきに有意な影響を与える 制御因子を見出したい. • 影響を及ぼしていると判断された制御因子,その値をどの水準 に設定すればよいか,を判断したい(主に特性のロバスト化の 問題). • 特性のばらつきを抑えたまま,特性の平均や感度を適切な値に 調整したい. ロバスト設計の狙いと役割 これらを,なるべく効率的な実験に基づいて実施できるように することがロバスト設計の役割である.
  8. 8. © Hajime Mizuyama • ロバスト設計には,実験の場だけで成り立つ知見には価値がな いという哲学があり,実際の生産や使用の場で役に立つ(下流 再現性のある)知見を得ることが重視される. • 多因子が絡み合う効果よりも,単純な主効果の方が下流再現性 につながりやすいという経験的な仮説がおかれている. • ばらつき低減の効果を得るために,実験では,なるべく多くの 制御因子の候補を取り上げることが望まれる. ロバスト設計と混合系直交表 混合系直交表の利用
  9. 9. © Hajime Mizuyama ロバスト設計とは 構造モデル (特性の分類,およ び因子と特性の間の 因果関係モデル) 性能評価尺度 (ロバスト性の尺度 であるSN比と,特性 の平均や感度) 制御因子,調整 因子の同定法と 因子水準の設計 主に,分散分析 と2段階設計法 実験の計画・実施 上のテクニック 基本は 直積実験や 誤差因子の調合
  10. 10. © Hajime Mizuyama 静特性と動特性 静特性 • ある固定された目的値が与え られている特性. • 静特性では,信号因子は考え ない 動特性 • 目的値が信号因子の値に応じ て変化する特性. • 信号因子と特性との間には一 次式や比例式の関係を仮定す ることが多い.
  11. 11. © Hajime Mizuyama 静特性の実験対象 y 特性 𝑦 = 𝜇 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子 y pdf
  12. 12. © Hajime Mizuyama a. 間隔尺度のSN比(ばらつきが平均に依存しない) 母SN比:𝜂 = 1 𝜎𝑒 2 標本SN比:𝛾 = 10log⁡(1 𝑉𝑒) b. 比尺度のSN比(ばらつきが平均と共に増大する) 母SN比:𝜂 = 𝜇2 𝜎𝑒 2 標本SN比: *どちらも大きければ大きいほど望ましい尺度になっている. 静特性のSN比 𝛾 = 10log 𝑦2 − 𝑉𝑒 𝑁 𝑉𝑒 ≈ 10log 𝑦2 𝑉𝑒
  13. 13. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 誤差因子 z1, z2, ... x1, x2, ... z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J ・ ・ ・ ・ ・ ・
  14. 14. © Hajime Mizuyama 直積実験の計画 I×J 個 の実験点 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・
  15. 15. © Hajime Mizuyama 静特性の直積実験の例 A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 630.2 591.6 590.1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 604.3 640.3 675.2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 550.7 557.4 552.1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 651.1 641.9 651.4 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 523.3 531.0 531.3 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 564.4 572.4 564.6 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 641.0 625.9 623.5 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 621.1 621.6 582.7 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 594.5 607.5 598.3 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 601.7 582.7 586.6 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 592.0 609.1 581.7 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 701.2 716.6 703.0
  16. 16. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ 行ごとに, 標本SN比と 標本平均を 算出する.
  17. 17. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 平均 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1y Iy iy ・ ・ ・ ・ ・ ・
  18. 18. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 平均 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1y Iy iy ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 平均に関する 分散分析
  19. 19. © Hajime Mizuyama 静特性の直積実験の例 A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 𝜂 𝑦 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 28.49 603.9 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 25.12 639.9 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 43.92 553.4 4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 41.54 648.2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 41.33 528.5 6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 41.83 567.1 7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 36.46 630.1 8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 28.70 608.5 9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 39.03 600.1 10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 35.41 590.3 11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 32.65 594.3 12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 38.46 707.0
  20. 20. © Hajime Mizuyama SN比の分散分析表 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 11.07 1 11.07 0.919 0.3921 B 72.54 1 72.54 6.022 0.0701 C 41.65 1 41.65 3.458 0.1365 D 119.92 1 119.92 9.955 0.0343 E 90.82 1 90.82 7.54 0.0516 F 20.32 1 20.32 1.687 0.2638 G 6.29 1 6.29 0.523 0.5097 残差 48.18 4 12.05
  21. 21. © Hajime Mizuyama 平均の分散分析表 要因 平方和 自由度 平均平方 F値 P値 A 2980 1 2980 44.514 0.0026 B 0 1 0 0 0.9845 C 8289 1 8289 123.812 0.0004 D 602 1 602 8.986 0.0400 E 33 1 33 0.493 0.5214 F 3153 1 3153 47.09 0.0024 G 9082 1 9082 135.653 0.0003 残差 268 4 67
  22. 22. © Hajime Mizuyama B E D A C F G 調整因子の選択 SN比に影響を 及ぼす因子 平均に影響を 及ぼす因子
  23. 23. © Hajime Mizuyama 調整因子ばらつき低減に利用 調整因子の選択 SN比に影響を 及ぼす因子 平均に影響を 及ぼす因子
  24. 24. © Hajime Mizuyama ばらつきの制御 制御因子の水準を操作することにより,特性のばらつきを低減 させる(誤差因子に対するロバスト性の向上). 平均の調整 調整因子を用いて,特性の平均値を,ばらつきを抑えたまま, 目的値に調整する. 二段階設計法
  25. 25. © Hajime Mizuyama ばらつきの制御(制御因子) 1 2 2530354045 B sn 1 2 2530354045 D sn 1 2 2530354045 E sn (B, D, E) = (2, 2, 2)
  26. 26. © Hajime Mizuyama 平均の調整(調整因子) 1 2 560580600620640 A mean 1 2560580600620640 C mean 1 2 560580600620640 D mean 1 2 560580600620640 F mean 1 2560580600620640 G mean
  27. 27. © Hajime Mizuyama 複数の誤差因子を,2水準(あるいは3水準)の調合誤差因子にま とめること.負側最悪条件と正側最悪条件(さらにそれらの中間の 標準条件)を用いる. 誤差因子の調合 A1 B1 C3 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C1 D3 yN1 N2 N3 調合誤差因子 A B C D 誤差因子
  28. 28. © Hajime Mizuyama 複数の誤差因子を,2水準(あるいは3水準)の調合誤差因子にま とめること.負側最悪条件と正側最悪条件(さらにそれらの中間の 標準条件)を用いる. 誤差因子の調合 外側 直交表 1 2 J ・ ・ ・ z1, z2, ... N1 A1, B1, C3, D1 N2 A2, B2, C2, D2 N3 A3, B3, C1, D3 A, B, C, D 実験規模の縮小
  29. 29. © Hajime Mizuyama 静特性と動特性 静特性 • ある固定された目的値が与え られている特性. • 静特性では,信号因子は考え ない 動特性 • 目的値が信号因子の値に応じ て変化する特性. • 信号因子と特性との間には一 次式や比例式の関係を仮定す ることが多い.
  30. 30. © Hajime Mizuyama 動特性の一次式モデル y 特性 s 信号因子 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
  31. 31. © Hajime Mizuyama 動特性の一次式モデル y s (通常の単回帰モデル) 例) 得られた y の値から s を求める計測器. 校正後の計測誤差は e/βとなる. 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒
  32. 32. © Hajime Mizuyama 一次式モデルのSN比(特性のばらつきが平均に依存しない) 関係式: 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑠 + 𝑒 (通常の単回帰モデル) 母SN比: 𝜂 = 𝛽2 𝜎𝑒 2 (校正後の誤差分散の逆数) 標本SN比: *大きければ大きいほど望ましい尺度になっている. 動特性のSN比(一次式モデル) 𝛾 = 10log 𝛽2 − 𝑉𝑒 𝑆𝑠𝑠 𝑉𝑒 ≈ 10log 𝛽2 𝑉𝑒
  33. 33. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 回帰直線 標本誤差分散 最小2乗法によるパラメータ推定 𝑁𝛼 + 𝛽 𝑠𝑗 𝐽 𝑗=1 = 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝛼 𝑠𝑗 𝐽 𝑗=1 + 𝛽 𝑠𝑗 2 ⁡ 𝐽 𝑗=1 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝛼 = 𝑦 − 𝛽 𝑠 𝛽 = (𝑠𝑗 − 𝑠)(𝑦𝑗 − 𝑦) 𝐽 𝑗=1 𝑠𝑗 − 𝑠 2𝐽 𝑗=1 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑆 𝑒 = 𝑦𝑗 − 𝛼 + 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 𝑦 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠 − 𝑠 + 𝑦 𝑉𝑒 = 𝑆 𝑒 𝐽 − 2 𝑦𝑗 − 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠𝑗 − 𝑠 − 𝑦 2𝐽 𝑗=1
  34. 34. © Hajime Mizuyama 動特性の比例式モデル y 特性 s 信号因子 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 x1 x2 xM 制御因子 z1 z2 zL 誤差因子
  35. 35. © Hajime Mizuyama 動特性の比例式モデル N3 N1 N2 誤差因子によって 傾き β が変動する 交互作用 N×β が 隠れている. 例)入出力関係で表される技術システムの機能性評価. 交互作用N×βによる変動と誤差eの分散とを共に減少させたい. s1 s2 s3 s4 ... y 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 (原点回帰モデル)
  36. 36. © Hajime Mizuyama 一次式モデルのSN比(特性のばらつきが平均と共に増大) 関係式: 𝑦 = 𝛽𝑠 + 𝑒 (原点回帰モデル) 母SN比: 𝜂 = 𝛽2 𝜎 𝐸 2 標本SN比: *大きければ大きいほど望ましい尺度になっている. *VE や σE は,純粋な誤差eの分散に加え,交互作用N×βも含む. 動特性のSN比(比例式モデル) 𝛾 = 10log 𝛽2 − 𝑉𝐸 𝑆𝑠𝑠 𝑉𝐸 ≈ 10log 𝛽2 𝑉𝐸
  37. 37. © Hajime Mizuyama 残差平方和 正規方程式 回帰直線 標本誤差分散 最小2乗法によるパラメータ推定 𝛽 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1 𝑠𝑗 2𝐽 𝑗=1 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑆 𝐸 = 𝑦𝑗 − 𝛽 𝑠𝑗 2 𝐽 𝑗=1 𝑦 = 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠 𝑉𝐸 = 𝑆 𝐸 𝐽 − 1 𝑦𝑗 − 𝑆𝑠𝑦 𝑆𝑠𝑠 𝑠𝑗 2𝐽 𝑗=1 𝜕𝑆 𝐸 𝜕𝛽 = −2 𝑠𝑗(𝑦𝑗 − 𝛽 𝑠𝑗)⁡ 𝐽 𝑗=1 = 0 𝛽 𝑠𝑗 2 ⁡ 𝐽 𝑗=1 = 𝑠𝑗 𝑦𝑗 𝐽 𝑗=1
  38. 38. © Hajime Mizuyama 原点まわりの全平方和 全平方和の分解 純粋な誤差分散の推定値 平方和の分解と純粋な誤差分散(参考) 𝑆 𝑇 = 𝑦𝑗 2 𝐽 𝑗=1 = 𝑦𝑢𝑣 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 ただし,信号因子の水準数を U, (調合)誤差因子の水準数を V, 𝐽 = 𝑈 × 𝑉とする. 𝑆 𝑇 = 𝑉𝛽2 𝑠 𝑢 2 𝑈 𝑢=1 + 𝑠 𝑢 2 𝛽𝑣 − 𝛽 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 + 𝑦𝑢𝑣 − 𝛽𝑣 ∙ 𝑠 𝑢 2 𝑉 𝑣=1 𝑈 𝑢=1 残差平方和 Se 回帰平方和 Sβ 交互作用N×β の変動 SN×β SE 𝑉𝑒 = 𝑆 𝑒 𝑉(𝑈 − 1)
  39. 39. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 信号因子 s (U水準)と(調合) 誤差因子 z1, z2, ... (V水準)の直積 x1, x2, ... s, z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J = U×V ・ ・ ・ ・ ・ ・
  40. 40. © Hajime Mizuyama yi1, yi2, ... ..., yiJ 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ 行ごとに, 回帰分析し 標本SN比と 標本感度を 算出する.
  41. 41. © Hajime Mizuyama 信号因子 誤差因子 特性値 1 1 y11 1 2 y12 1 3 y13 2 1 y21 2 2 y22 2 3 y23 3 1 y31 3 2 y32 3 3 y33 4 1 y41 4 2 y42 4 3 y43 行ごとの実験データ 信号因子の水準数 U = 4 誤差因子の水準数 V = 3 の場合 これらのデータを図示すると 例えば,下図のようになる. s y
  42. 42. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 感度 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ 1 ˆ Iˆ iˆ ・ ・ ・ ・ ・ ・
  43. 43. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 感度 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 感度に関する 分散分析 1 ˆ Iˆ iˆ ・ ・ ・ ・ ・ ・
  44. 44. © Hajime Mizuyama 調整因子ばらつき低減に利用 調整因子の選択 SN比に影響を 及ぼす因子 感度に影響を 及ぼす因子
  45. 45. © Hajime Mizuyama ばらつきの制御 制御因子の水準を操作することにより,特性のばらつきを低減 させる(誤差因子に対するロバスト性の向上). 感度の調整 調整因子を用いて,信号因子に対する特性の感度を望ましい値 に調整する. 二段階設計法
  46. 46. © Hajime Mizuyama 機能窓 あるパラメータの値が大きすぎるとある不具合が,小さすぎる とそれとは別の不具合がそれぞれ生じることがある.このよう に,あるパラメータの下側と上側に相反するエラーモードが存 在するとき,どちらのエラーモードも生じないパラメータの範 囲を機能窓と呼ぶ. 機能窓法 当該パラメータ以外の制御因子を用いて,機能窓をできるだけ 大きくすることのできる条件を実験によって見出す方法. 機能窓と機能窓法
  47. 47. © Hajime Mizuyama 内側直交表と外側直交表 制御因子 x1, x2, ... 当該パラメータ(U水準)と (調合)誤差因子(V水準)の直積 x1, x2, ... s, z1, z2, ... 内側 直交表 外側 直交表 1 2 I 1 2 J = U×V ・ ・ ・ ・ ・ ・
  48. 48. © Hajime Mizuyama 直積実験の計画 各条件でそれぞれ ある回数試行し, エラー発生回数を 記録する. 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ 行ごとに 機能窓の SN比を 求める.
  49. 49. © Hajime Mizuyama パラメータ 誤差因子 下側モード 上側モード 1 1 nL11 nU11 1 2 nL12 nU12 1 3 nL13 nU13 2 1 nL21 nU21 2 2 nL22 nU22 2 3 nL23 nU23 3 1 nL31 nU31 3 2 nL32 nU32 3 3 nL33 nU33 ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 行ごとの実験データ パラメータの水準数 U はなるべく多くとる. 左は誤差因子の水準数 V = 3 の場合 所定の試行数のうち, 何回下側,上側の エラーモードが 発生したかを カウントする.
  50. 50. © Hajime Mizuyama 機能窓のSN比 5 4 3 2 1 0 発 生 回 数 パラメータ 上側エラーモード 下側エラーモード LBv UBv 機能窓のSN比 誤差因子の水準ごとに両モードの境界LB,UBを定義し,それらを 用いて次式で求める(上の例では 5回中2回発生を境界としている). 𝛾 = −10𝑙𝑜𝑔 1 𝑉 𝐿𝐵𝑣 2 𝑉 𝑣=1 − 10𝑙𝑜𝑔 1 𝑉 1 𝑈𝐵𝑣 2 𝑉 𝑣=1
  51. 51. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... s,z1,z2,... 外側 直交表 1 2 J=U×V ・ ・ ・ y11, y12, ... ..., yIJ SN比 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・
  52. 52. © Hajime Mizuyama 直積実験の結果の解析 内側 直交表 1 2 I ・ ・ ・ x1, x2, ... SN比 1 I i ・ ・ ・ ・ ・ ・ SN比に関する 分散分析 SN比ができる だけ大きくなる 設定を採用する

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