Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial orde dua homogen dan non homogen. Pembahasan meliputi bentuk umum persamaan diferensial orde dua, solusi homogen, dan metode penyelesaian persamaan diferensial non homogen dengan metode koefisien tak tentu.

1. [Pickthe date] [TYPE THE DOCUMENT TITLE]
[ T y p e t h e c o m p a n y a d d r e s s ] 1
A. Persamaan Differensial Orde II
Bentuk umum :
y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x)
p(x), g(x) disebut koefisien jika r(x) = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut
homogen, sebaliknya disebut non homogen.
Persamaan Differensial Biasa linier orde dua homogen dengan koefisien konstan,
memiliki bentuk umum :
y”+ ay’ + by = 0
dimana a, b merupakan konstanta sebarang.
B. Solusi Homogen
Diketahui y”+ ay’ + by = 0
Misalkan y = 𝑒 𝑟𝑥
Persamaannya berubah menjadi 𝑟2
+ ar + b = 0, sebuah persamaan kuadrat.
Jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu:
1. Akar real berbeda ( 𝑟1, 𝑟2 ; dimana 𝑟1 ≠ 𝑟2 )
Memiliki solusi basis 𝑦1 = 𝑒 𝑟1𝑥
dan 𝑦1 = 𝑒 𝑟1𝑥
dan mempunyai solusi umum
y =𝐶1 𝑒 𝑟1𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑟2𝑥
2. Akar real kembar ( 𝑟1, 𝑟2 dimana r = 𝑟1 = 𝑟2 )
Memiliki solusi basis 𝑦1= 𝑒 𝑟𝑥
dan 𝑦1 = x 𝑒 𝑟𝑥
dan mempunyai solusi umum
y = 𝐶1 𝑒 𝑟𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑟𝑥
3. Akar kompleks kojugate ( 𝑟1 = u + wi, 𝑟2 = u – wi )
Memiliki solusi basis 𝑦1 = 𝑒 𝑢𝑥
cos wx ; dan 𝑦2 = 𝑒 𝑢𝑥
sin wx dan mempunyai
solusi umum
y = 𝑒 𝑢𝑥
(𝐶1 cos wx + 𝐶2 sin wx )

2. [Pickthe date] [TYPE THE DOCUMENT TITLE]
[ T y p e t h e c o m p a n y a d d r e s s ] 2
Contoh soal :
1. y” + 5y’ + 6y = 0
Persamaan karakteristiknya: ( r + 2 ) ( r + 3 ) = 0
𝑟1 = -2 atau 𝑟2 = -3
maka solusinya : y = 𝐶1 𝑒−2𝑥
+ 𝐶2 𝑒−3𝑥
2. y” + 6y’ + 9y = 0
Persamaan karakteristiknya: ( r + 3 ) ( r + 3 ) = 0
𝑟1 = 𝑟2 = -3
maka solusinya : y = 𝐶1 𝑒−3𝑥
+ 𝐶2 𝑒−3𝑥
3. y” + 4y = 0
Persamaan karakteristiknya: 𝑟2
+ 4 = 0
𝑟12 =
± √−4.1.4
2
= ± 2i
maka solusinya : y = 𝐶1 cos 2x + 𝐶2 sin 2x
C. Persamaan Differensial Non Homogen
Bentuk umum:
y” + p(x)y’ + g(x)y = r(x) , dengan r(x) ≠ 0
Solusi total : y = 𝑦ℎ + 𝑦 𝑝
Dimana 𝑦ℎ = solusi P D homogen
𝑦 𝑝 = solusi P D non homogen
Menentukan 𝑦 𝑝 :
1. Metode koefisien tak tentu
2. Metode variasi parameter

3. [Pickthe date] [TYPE THE DOCUMENT TITLE]
[ T y p e t h e c o m p a n y a d d r e s s ] 3
D. Metode Koefisien Tak Tentu
Pilihlah 𝑦 𝑝 yang serupa dengan r(x), lalu substitusikan ke dalam persamaan.
r(x) 𝐲 𝐩
r(x) = emx yp = A emx
r(x) = Xn yp = AnXn
+ An−1Xn−1
+ ........ + A1X + A0
r(x) = sin wx yp = A cos wx + B sin wx
r(x) = cos wx yp = A cos wx + B sin wx
r(x) = eux
sin wx yp = eux
(A cos wx + B sin wx )
r(x) = eux
cos wx yp = eux
(A cos wx + B sin wx )
Ctt: Solusi Parsial tidak boleh muncul pada solusi homogennya. Jika hal ini terjadi,
kalikan solusi khususnya dengan faktor x atau x2
sehingga tidak memuat lagi solusi
homogennya.
Contoh soal :
1. y” – 3y’ + 2y = e−x
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
r2
– 3r + 2 = 0 (r – 2) (r – 1) = 0
Sehingga didapat 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = 1
Jadi solusi homogennya adalah yh = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
Untuk yp dipilih yp = A 𝑒−𝑥
yp’ = - A 𝑒−𝑥
yp” = A 𝑒−𝑥

4. [Pickthe date] [TYPE THE DOCUMENT TITLE]
[ T y p e t h e c o m p a n y a d d r e s s ] 4
Kemudian masukan ke PD di atas:
A 𝑒−𝑥
+ 3 A 𝑒−𝑥
+ 2 A 𝑒−𝑥
= 𝑒−𝑥
6 A 𝑒−𝑥
= 𝑒−𝑥
A =
1
6
Jadi solusi umum PD di atas adalah
y = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
+
1
6
𝑒−𝑥
2. y” – 3y’ + 2y = cos x
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
r2
– 3r + 2 = 0 (r – 2) (r – 1) = 0
Sehingga didapat 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = 1
Jadi solusi homogennya adalah y = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
Untuk yp dipilih yp = A cos x + B sin x
yp’ = - A sinx + B cos x yp” = - A cos x – B sin x
Kemudian masukan ke PD di atas:
( -A cos x – B sin x ) – 3( -A sin x + B cos x ) + 2( A cos x +B sin x ) = cos x
( -A - 3B + 2A ) cos x + ( -B + 3A + 2B ) sin x = cos x
( -3B + A ) cos x + ( 3A + B ) sin x = cos x
-3B + A = 1 dan 3A + B= 0
Didapat
A =
1
10
dan B =
−3
10
Jadi solusi umum PD di atas adalah
y = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
+
1
10
cos x – (
−3
10
) sin x

5. [Pickthe date] [TYPE THE DOCUMENT TITLE]
[ T y p e t h e c o m p a n y a d d r e s s ] 5
3. y” – 3y’ + 2y = 𝑒 𝑥
, y(0) = 1, y’(0) = -1
Jawab:
Persamaan karakteristiknya:
r2
– 3r + 2 = 0 (r – 2) (r – 1) = 0
Sehingga didapat 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = 1
Jadi solusi homogennya adalah yh = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
Untuk yp dipilih yp = A x ex
yp’ = A 𝑒 𝑥
+ A x 𝑒 𝑥
yp” = 2A 𝑒 𝑥
+ A x 𝑒 𝑥
Kemudian masukan ke PD di atas:
2 A 𝑒 𝑥
+ A x 𝑒 𝑥
– 3 (A 𝑒 𝑥
+ A x 𝑒 𝑥
) + 2 A x 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
-A 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
A = -1
Jadi solusi umum PD di atas adalah y = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
– x 𝑒 𝑥
Kita punya y(0) = 1 dan y’(0) = -1
y = 𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
– x 𝑒 𝑥
_ 1 = 𝐶1 + 𝐶2
y’ = 2𝐶1 𝑒2𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
– 𝑒 𝑥
– x 𝑒 𝑥
_ 0 = 2𝐶1 + 𝐶2
Didapat 𝐶1 = -1, dan 𝐶2 = 2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah
y = – 𝑒2𝑥
+ 2 𝑒 𝑥
– x 𝑒 𝑥