Jishee bodlogo 3

1. Сэдэв 3. Оновчтой сонголт
3. Дорж Х,Ү бараанд төсвөө бүрэн зарцуулдаг ба ХФ нь U(X,Y)=(X2
+Y2
)байв. Хэрэв Рх=50$, Рү= 100$,
сард m =1000$ бол хэрэглээний оновчтой хослолыг Лагранжийн аргаар ол.
Бодолт:Хэрэглэгчийн ХФ нь U(X,Y) = Х2
+Y2
→ mах , төсвийн тэгшитгэл нь 50Х+100Y =
1000байна.
Лагранжийн аргаар оновчтой хослолыг олохдоо эхлээд төсвийн шулуун ба ханамжийн функцээс
бүрдсэи Лагранжийн функцыг зохионо. Функцын эхнийхэсэгт хэрэглэгчийн зорилгын функц буюу
ханамжийн функц, сүүлийн хэсэгг зорнлгыг хязгаарлаж байгаа функц буюу төсвийн шулууны
тэгшитгэл бичигдэнэ. L = X2
+Y2
- λ (1000 – 50X- 100Y). Зохиосон функцаасаа X, Yхувьсагчдаар
тухайн.уламжлал авч оновчтойсонголтыгтодорхойльё.
𝜕𝐿
𝜕𝑋
= 2𝑋 − 50λ = 0 2X = 50 λ
𝜕𝐿
𝜕𝑌
= 2𝑌 − 100λ = 0 → 2Y = 100λ
𝜕𝐿
𝜕λ
= 1000 − 50𝑋 − 100𝑌 = 0 50X + 100Y = 1000
эхний1-р тэгшитгэлийг 2-рт харьцуулбал
2𝑋
2𝑌
=
50λ
100λ
→ 2X = Y
50X +100 Y = 1000 50X + 100Y = 1000
харьцуулалтын дараа гарч ирсэн тэгшитгэлээ 3 дахь тэгшитгэл буюу төсвийн тэгшитгэлд орлуулбал
50•X+100•2•X =1000 болно. Эндээс 250•X =1000=>X=4, Y=2•4=8 буюу хэрэглээний оновчтой сонголт нь
(4;8) байна гэсэн хариу гарна.
4.Хэрэглэгчийн ханамжийн функц U(x,y) = 2xy + 1, орлого 20$ ба Px = Py =1$ бол
a) Бүтээгдэхүүн тус бүрээс хичнээн хэмжээтэйг хэрэглэх вэ ?
b) X бүтээгдэхүүнд татвар оноосноор үнэ нь 2$ болсон ба бусад үнүүд,орлого тогтмол байхад
хичнээн хэмжээний х бүтээгдэхүүн хэрэглэх вэ ?
Хэрвээ татвар оноож байхад ,түүний орлого 1$ - оор нэмэгдсэн бол татвараас өмнөх байдал нь сайжрах
уу ?
Бодолт:
a) Хэрэглэгчийн оновчтой сонголтон дээр
𝑀𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
нөхцөл хангагдаж байх ёстой.
MUx = 2y →
𝑀𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
2𝑦
2𝑥
=
𝑦
𝑥
𝑀 𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
→
𝑦
𝑥
= 1 → 𝑥 = 𝑦 2x = 20
MUy = 2x
𝑃𝑥
𝑃𝑦
=
1
1
= 1 px x+рyy =20 x*
= 10, y*
= 10
b)
𝑀𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
2𝑦
2𝑥
=
𝑦
𝑥
→
𝑀 𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
→
𝑦
𝑥
= 2 → 2𝑥 = 𝑦 2x + 2x = 20

2. 𝑃𝑥
𝑃𝑦
=
2
1
= 2 px x+ рyy = 20 x*
= 5, y*
= 10
b) Татвараас өмнөх ханамжийн хэмжээ U( x = 10,y =10) = 2∙10∙ 10 +1 = 201
Татвар оноосон болон орлого нэмэгдсэний дараа:
𝑀𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
2𝑦
2𝑥
=
𝑦
𝑥
→
𝑀 𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
𝑃𝑥
𝑃𝑦
→
𝑦
𝑥
= 2 → 2𝑥 = 𝑦 → 2x + 2x = 21
𝑃𝑥
𝑃𝑦
=
2
1
= 2 px x+ рyy = 21 x*
= 5.25, y*
= 10.5
U( x = 5.25,y =10.5) = 2∙ 5.25 ∙ 10.5 +1 = 111.25
5. Бат х,у гэсэн бие биенээ орлуулдаг бараанд орлогоо бүрэн зарцуулдаг ба ханамжийн функц нь
U(x,y) = 15x + 9y гэж өгөгджээ. Хэрэв хэрэглэгчийн орлого 100$ ба x - барааны үнэ 5$,y – барааны
үнэ 3$ бол
a) Ханамж хамгийн их байх x,y барааны хэмжээг ол.
b) Батын оновчтой хэрэглээг графикаар харуул.
Бодолт:
a) Төсвийн шулууны тэгшитгэл 5x + 3y = 100 юм. Төсвийн шулууны налалт
𝑃𝑥
𝑃𝑦
=
5
3
байна.
Ялгаагүйн муруйн налалт
𝑀 𝑈𝑥
𝑀𝑈𝑦
=
5
3
байна. Төсвийн шулууны налалт нь ялгаагүйн муруйн
налалттай давхцаж байна. Иймд ханамж хамгийн их байх x,y барааны хослол төсвийн
шулууны дурын цэг юм. Өөрөөр хэлбэл,оновчтой сонголт хязгааргүй олон байна.
b) y
100/3
20 x
6.Хэрэглэгчийн орлого 80$ байв. x,y,z бүтээгдэхүүний үнүүд харгалзан4$,5$,2$ байв.Хэрэв
ханамжийн функц
a) U = 12x + 10y + 8zбол тэнцвэрт сагсыг ол
Бодолт:
Бүтээгдэхүүнтус бүрийн ахиу ханамжийг үнэд харьцуулсан харьцааг ольё
Х бүтээгдэхүүний хувьд
𝑀𝑈𝑥
𝑃𝑥
=
12
4
Y бүтээгдэхүүний хувьд
𝑀𝑈𝑦
𝑃𝑦
=
10
5
Z бүтээгдэхүүнийхувьд
𝑀𝑈𝑧
𝑃𝑧
=
8
2
Эдгээр харьцаанууд тэнцүү биш байна. Иймд тэнцвэрт сагс нь ахиу ханамжийг үнэд харьцуулсан
харьцаа хамгийн их байх бүтээгдэхүүнийг агуулсан төсвийн хавтгайдээрх сагс юм. Ийм бүтээгдэхүүн
нь z бүтээгдэхүүнболно. 8/2 > 10/5 ба 8/2> 12 /4 Энэ үед хэрэглэгч бүх бүтээгдэхүүнээ z
бүтээгдэхүүнд зарцуулах ба 2z =80 ; z = 40 нэгж бүтээгдэхүүнсонгох болно. Тэнцвэрт сагс (0;0;40)

3. 4. Даваагийн ханамжийн функц U(x,y) = Xa
Y4
тэрээр төмс,сонгинийг хүнсэндээ хэрэглэдэг. Төмс 8$,
сонгино 2$ байв. Эдгээр бараанд 300$-ийг сард зарцуулах ба төмсөнд орлогынхоо 45%-ийг зарцуулна.
Тэгвэл түүний оновчтой сонголтыг тодорхойл.
Бодолт:
Бодлогыг бодохын тулд эхлээд а-ийн утгыг олно.
a
a+4
= 0.45; a = 0.45a + 1,8; a - 0.45a = 1.8;
0.55a = 1.8; a =1.8/0.55 = 3.2
Дээрх ханамжийн функцээс уламжлал авч ахиу ханамжийг гаргана. Өөрөөр хэлбэл ханамж хамгийн их
байх нөхцөлийн томьёонд орлуулах замаар Х,У бүтээгдэхүүний оновчтой сонголтыг тодорхойлно.
MUx
MUy
=
Px
Py
;
axa−1y4
4xay3 =
8
2
;
3.2y2
4x
=
8
2
6.4y = 3.2x; X=
6.4y
32
= 0.2y үүнийг төсвийн шулууны тэгшитгэлд 8X + 2y = 300 -д орлуулна.
8*0.2y+2y=300 байдалтай болж, 3.6у=300 эндээс У бүтээгдэхүүний хэмжээ нь y=
300
3.6
= 83,
X бүтээгдэхүүний хэмжээ нь X = 0.2*83.3 = 16.6