Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to PRODUCTOS NOTABLES PRE.pdf
Similar to PRODUCTOS NOTABLES PRE.pdf (20)
PRODUCTOS NOTABLES PRE.pdf
- 2. CUADRADO DE UN BINOMIO 1. (𝒂 ± 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝑻𝑹𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶 𝑪𝑼𝑨𝑫𝑹𝑨𝑫𝑶 𝑷𝑬𝑹𝑭𝑬𝑪𝑻𝑶 IDENTIDADES DE LEGENDRE 2. (𝒂 + 𝒃)𝟐+(𝒂 − 𝒃)𝟐= 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 −(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝟒𝒂𝒃 (𝒂 + 𝒃)𝟒 −(𝒂 − 𝒃)𝟒 = 𝟖𝒂𝒃 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 DIFERENCIA DE CUADRADOS 3. 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝒂 𝒂 𝒂𝟐 𝒃 𝒃 𝒃𝟐 𝒂 𝒂 𝒃 𝒃 𝒂𝒃 𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃) =(𝒂 + 𝒃)𝟐 (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 +𝒃𝟐
- 3. CUBO DE UN BINOMIO 4. 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 𝒂 − 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 − 𝟑𝒂𝒃 𝒂 − 𝒃 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN (IDENTIDAD DE STEVEN) 5. 𝒙 ± 𝒂 𝒙 ± 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒂 ± 𝒃 𝒙 ± 𝒂𝒃 Forma Desarrollada Forma Semi Desarrollada
- 4. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS 6. 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 CUADRADO DE UN TRINOMIO 7. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 CUBO DE UN TRINOMIO 8. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑= 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑= 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒄 (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)𝟑 = 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐(𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 ) + +𝟔𝒂𝒃𝒄
- 5. IDENTIDAD DE ARGAND 9. 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟒 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝒃𝟒 IDENTIDAD DE GAUSS 10. 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 (𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝒂𝒃 − 𝒃𝒄 − 𝒂𝒄) IDENTIDAD DE LAGRANGE 11. (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚)𝟐+(𝒂𝒚 − 𝒃𝒙)𝟐= 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
- 6. IDENTIDADES CONDICIONALES 12. Si: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎 , entonces se cumple: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟑𝒂𝒃𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = −𝟐 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 Si: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄, entonces se cumple: 𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 𝒌 Si: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟎 , entonces se cumple: 𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 𝟎
- 7. Solución: Simplifique: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝟐 + 𝒂𝒚 − 𝒃𝒙 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝒃 01 Por la identidad de Lagrange: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝟐 + 𝒂𝒚 − 𝒃𝒙 𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 𝟐 + 𝒂𝒚 − 𝒃𝒙 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝒃 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝒃 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝒃 𝒂𝟐 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒂𝒃 Reemplazando:
- 8. Solución: Si: 𝒙𝒚 = 𝟑 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟏 ; 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟏𝟎 Hallar: 𝑹 = 𝒙 − 𝒚 𝟒 − 𝒙 + 𝒚 𝟒 02 Por la 3ra identidad de Legendre: 𝑹 = 𝒙 − 𝒚 𝟒 − 𝒙 + 𝒚 𝟒 𝑹 = − 𝟖𝒙𝒚 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 + 𝟑 𝟏𝟎 𝒙𝒚 = 𝟑 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟏 𝑹 = − 𝟖( 𝟑 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟏 ) 𝟏 + 𝟑 𝟏𝟎 𝑹 = − 𝒙 + 𝒚 𝟒 − 𝒙 − 𝒚 𝟒 𝑹 = − 𝟖𝒙𝒚 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝑹 = − 𝟖 𝟏𝟑 + 𝟑 𝟏𝟎 𝟑 𝑹 = − 𝟖 𝟏 + 𝟏𝟎
- 9. Solución: Si: 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟓 y 𝒂 + 𝒃 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒄 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 − 𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 − 𝒂𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝟒𝟎 Hallar: 𝒂𝟗 + 𝒃𝟗 + 𝒄𝟗 . 03 𝒂 + 𝒃 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒄 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 − 𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 − 𝒂𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝟒𝟎 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒃 + 𝒄 𝒃𝟐 − 𝒃𝒄 + 𝒄𝟐 𝒂 + 𝒄 𝒂𝟐 − 𝒂𝒄 + 𝒄𝟐 = 𝟒𝟎 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝒂𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟒𝟎 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟓 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝟑 = 𝟓𝟑 𝒂𝟗 + 𝒃𝟗 + 𝒄𝟗 + 𝟑 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝒂𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 𝒂𝟗 + 𝒃𝟗 + 𝒄𝟗 + 𝟑 𝟒𝟎 = 𝟏𝟐𝟓
- 10. Solución: Si: 𝟏 𝒂 + 𝟏 𝒃 + 𝟏 𝒄 = 𝟏 𝒂+𝒃+𝒄 Reducir: 𝑹 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 04 𝟏 𝒂 + 𝟏 𝒃 + 𝟏 𝒄 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒃𝒄 𝒂𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 𝒂𝒃𝒄 + 𝒂𝒃 𝒂𝒃𝒄 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 = 𝟑𝒂𝒃𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 = 𝒂𝒃𝒄 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 𝒂𝒃𝒄 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟑𝒂𝒃𝒄 − 𝟑𝒂𝒃𝒄 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝑹 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑
- 11. Solución: Si: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 Donde: 𝒂, 𝒃, 𝒄 ⊂ ℝ+ − 𝟎 Simplifique: 𝑹 = 𝟓 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟔 𝒂𝟔 + 𝒃𝟔 + 𝒄𝟔 05 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 𝒂 = 𝒃 = 𝒄 = 𝒌 𝑹 = 𝟓 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟔 𝒂𝟔 + 𝒃𝟔 + 𝒄𝟔 𝑹 = 𝟓 𝒌 + 𝒌 + 𝒌 𝟔 𝒌𝟔 + 𝒌𝟔 + 𝒌𝟔 𝑹 = 𝟓 𝟑𝒌 𝟔 𝟑𝒌𝟔 𝑹 = 𝟓 𝟑𝟔𝒌𝟔 𝟑𝒌𝟔 𝑹 = 𝟓 𝟑𝟔 𝟑 𝑹 = 𝟓 𝟑𝟓
- 12. Solución: Si: 𝒙 = 𝟐 + 𝟏 y 𝒚 = 𝟐 − 𝟏 Calcule: 𝑹 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 + 𝟏 𝟏 + 𝒚𝟑 06 𝒙𝒚 = 𝟐 + 𝟏 𝟐 − 𝟏 𝒙𝒚 = 𝟏 𝑹 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 𝒚𝟑 + 𝒚𝟑 𝟏 + 𝒚𝟑 𝒙𝒚 = 𝟐 𝟐 − 𝟏 𝑹 = 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟏 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 + 𝟏 𝟏 + 𝒚𝟑 𝒙𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 𝒙𝟑𝒚𝟑 = 𝟏 𝑹 = 𝟏 + 𝒙𝟐 𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝒚𝟑 𝟏 + 𝒚𝟑
- 13. Solución: Si: 𝒙 = 𝒂 − 𝒃 𝒚 = 𝒃 − 𝒄 𝒛 = 𝒄 − 𝒂 Calcular: 𝑹 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝒛𝟑 𝒙𝒚𝒛 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 07 𝒙 = 𝒂 − 𝒃 𝒚 = 𝒃 − 𝒄 𝒛 = 𝒄 − 𝒂 + 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = −𝟐 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝒛𝟑 = 𝟑𝒙𝒚𝒛 𝑹 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝒛𝟑 𝒙𝒚𝒛 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 𝑹 = −𝟐 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 𝟑𝒙𝒚𝒛 𝒙𝒚𝒛 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛
- 14. Solución: Si: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 Hallar: 𝑹 = 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 08 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 = 𝟏𝟑 𝟑 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 + 𝟔𝒂𝒃𝒄 = 𝟏 𝟑 𝟏 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 𝟑 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 = 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = − 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 𝑹 = 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 𝟐 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝒄𝟑 − 𝟑 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 𝑹 = 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄 − 𝟏 − 𝟔𝒂𝒃𝒄
- 15. Solución: Si se cumple que: 𝟑 𝒙 = 𝟑 𝒚 + 𝟏; 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ Determine el valor de: 𝑴 = 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 𝟑 𝒙𝒚 09 𝟑 𝒙 = 𝟑 𝒚 + 𝟏 𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒚 = 𝟏 (𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒚)𝟑= 𝟏𝟑 𝟑 𝒙 𝟑 − 𝟑 𝒚 𝟑 − 𝟑𝟑 𝒙. 𝟑 𝒚 𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒚 = 𝟏 𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝟑 𝒙𝒚 𝟏 = 𝟏 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 + 𝟑𝟑 𝒙𝒚 𝑴 = 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 𝟑 𝒙𝒚 𝑴 = 𝟏 + 𝟑𝟑 𝒙𝒚 − 𝟏 𝟑 𝒙𝒚 𝑴 = 𝟑𝟑 𝒙𝒚 𝟑 𝒙𝒚
- 16. Solución: Si se cumple que: 𝒙 − 𝒚 𝟐 + 𝒙𝟑 𝒚 − 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟑 = 𝟏; 𝒙 ≠ 𝒚 Determine el valor de: 𝑴 = 𝒙 𝒚 + 𝒚 𝒙 10 𝒙 − 𝒚 𝟐 + 𝒙𝟑 𝒚 − 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟑 = 𝟏 𝒙 − 𝒚 𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝒙 − 𝒚 𝟐 + 𝒚𝟑 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 = 𝟎 𝒙 − 𝒚 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = −𝒙𝒚 𝑴 = 𝒙 𝒚 + 𝒚 𝒙 𝑴 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝒙𝒚 𝑴 = −𝒙𝒚 𝒙𝒚
- 17. Solución: Si: 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝒃 Calcule el valor de: 𝑴 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 11 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝒃 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 = 𝒂𝒃 𝟐 𝒂𝟒 + 𝟐𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝒃𝟒 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 = −𝒂𝟐𝒃𝟐 𝑴 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 𝑴 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 −𝒂𝟐𝒃𝟐
- 18. Solución: Si: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 Donde: 𝒙, 𝒚, 𝒛 ⊂ ℝ+ − 𝟎 Simplifique: 𝑹 = 𝟗 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟎 + 𝒚𝟏𝟎 + 𝒛𝟏𝟎 12 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛 𝒙 = 𝒚 = 𝒛 = 𝒌 𝑹 = 𝟗 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟎 + 𝒚𝟏𝟎 + 𝒛𝟏𝟎 𝑹 = 𝟗 𝒌 + 𝒌 + 𝒌 𝟏𝟎 𝒌𝟏𝟎 + 𝒌𝟏𝟎 + 𝒌𝟏𝟎 𝑹 = 𝟗 𝟑𝒌 𝟏𝟎 𝟑𝒌𝟏𝟎 𝑹 = 𝟗 𝟑𝟏𝟎𝒌𝟏𝟎 𝟑𝒌𝟏𝟎 𝑹 = 𝟗 𝟑𝟏𝟎 𝟑 𝑹 = 𝟗 𝟑𝟗
- 19. Solución: Si: 𝒂 ≠ 𝟏 Hallar: 𝑹 = 𝟏 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂 + 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂 − 𝒂𝟐 − 𝟏 − 𝒂 − 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂 + 𝒂𝟐 − 𝟏 13 𝑹 = 𝟏 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂 + 𝒂𝟐 − 𝟏 𝟐 − 𝒂 − 𝒂𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒂 − 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂 + 𝒂𝟐 − 𝟏 𝑳𝒆𝒈𝒆𝒏𝒅𝒓𝒆 𝑹 = 𝟏 𝒂𝟐 − 𝟏 𝟒𝒂 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 − 𝒂𝟐 − 𝟏 𝟐 𝑹 = 𝟒𝒂 𝒂𝟐 − 𝒂𝟐 + 𝟏 𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑪𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
- 20. UNSA Miguel tiene: “𝒙 + 𝒚” amigos; si se sabe que: 𝒙 − 𝒚 = 𝟕; 𝒙𝒚 = 𝟗 𝟐 ¿Cuántos amigos tiene Miguel? Solución: 𝒙 − 𝒚 = 𝟕 𝒙 − 𝒚 𝟐 = 𝟕 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟕 𝒙𝟐 − 𝟐 𝟗 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟕 𝒙𝟐 − 𝟗 + 𝒚𝟐 = 𝟕 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟐𝒙𝒚 𝒙 + 𝒚 𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟐 𝟗 𝟐 𝒙 + 𝒚 𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟗 𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟓 𝒙 + 𝒚 = 𝟓
- 21. 01 Si: 𝒂 + 𝒃 = 𝟓; 𝒂𝒃 = 𝟐 Hallar: 𝑹 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐 Solución: 𝒂 + 𝒃 = 𝟓 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝟓 𝟐 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝒂𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝒂𝟐 + 𝟒 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟏 𝒂 + 𝒃 𝟑 = 𝟓 𝟑 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 = 𝟓 𝟑 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑. 𝟐. 𝟓 = 𝟓 𝟑 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 + 𝟑𝟎 = 𝟏𝟐𝟓 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = 𝟗𝟓 𝑹 = 𝟗𝟓 𝟐𝟏 − 𝟐 𝑹 = 𝟗𝟓 𝟏𝟗 𝑹 = 𝟓
- 22. 02 Reducir: 𝑹 = 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 − 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 + 𝒙 − 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟗 Solución: 𝒙 + 𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 = 𝒙𝟑 + 𝟏𝟑 𝒙 − 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟑 𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝟑 𝒙 − 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟗 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝟑 𝑹 = 𝒙𝟑 + 𝟏𝟑 − 𝒙𝟑 − 𝟏𝟑 𝒙𝟑 + 𝟑𝟑 + 𝒙𝟑 − 𝟑𝟑 𝑹 = 𝒙𝟑 + 𝟏 − 𝒙𝟑 + 𝟏 𝒙𝟑 + 𝟐𝟕 + 𝒙𝟑 − 𝟐𝟕 𝑹 = 𝟐 𝟐𝒙𝟑 𝑹 = 𝒙−𝟑
- 23. 03 Calcular el VN de: 𝑹 = 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒂 − 𝒃 𝟐 + 𝟐𝒃𝟑 Cuando: 𝒂 = 𝟑 𝟒 , 𝒃 = 𝟑 𝟑 𝟐 + 𝟏 Solución: 𝑹 = 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 + 𝒂 − 𝒃 𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟑 𝑹 = 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟑 𝑹 = 𝟐 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟑 𝑹 = 𝟐 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 + 𝟐𝒃𝟑 𝑹 = 𝟐𝒂𝟑 − 𝟐𝒃𝟑 + 𝟐𝒃𝟑 𝑹 = 𝟐𝒂𝟑 𝑹 = 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝑹 = 𝟐 𝟒 𝑹 = 𝟖
- 24. 04 Reducir: 𝑹 = 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 + 𝟏𝟑 − 𝟏 𝟐 𝟖 + 𝟐 𝟐 − 𝟖 − 𝟐 𝟐 Solución: 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 + 𝟏𝟑 − 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟖 + 𝟐 𝟐 − 𝟖 − 𝟐 𝟐 = 𝟒. 𝟖. 𝟐 𝑹 = 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 + 𝟏𝟐 𝟒. 𝟖. 𝟐 𝑹 = 𝟐 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟒. 𝟏𝟔 𝑹 = 𝟐 𝟏𝟒 𝟒. 𝟒 𝑹 = 𝟐𝟖 𝟏𝟔 𝑹 = 𝟕 𝟒
- 25. 05 Reducir: 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 − 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 + 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝟒𝒂𝒃 Solución: 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 + 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝟒𝒂𝒃 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝟐 + 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝟒𝒂𝒃 𝑹 = 𝟒𝒂𝒃 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝟒𝒂𝒃 𝑹 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝑹 = 𝟏 𝟐
- 26. 06 Si: 𝒂 + 𝒃 = 𝟒 , 𝒂𝒃 = 𝟏 Hallar: 𝑹 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 Solución: 𝒂 + 𝒃 = 𝟒 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝟒 𝟐 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟔 𝒂𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟔 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟏𝟒 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐 = 𝟏𝟒 𝟐 𝑹 = 𝟏𝟗𝟔
- 27. 07 Calcular el valor de: 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟓 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 𝟑𝟒 + 𝟐𝟒 𝟑𝟖 + 𝟐𝟖 𝟑𝟏𝟔 + 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟑𝟐 Solución: 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟐 − 𝟐𝟐 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 𝟑𝟒 + 𝟐𝟒 𝟑𝟖 + 𝟐𝟖 𝟑𝟏𝟔 + 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟑𝟐 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟒 − 𝟐𝟒 𝟑𝟒 + 𝟐𝟒 𝟑𝟖 + 𝟐𝟖 𝟑𝟏𝟔 + 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟑𝟐 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟖 − 𝟐𝟖 𝟑𝟖 + 𝟐𝟖 𝟑𝟏𝟔 + 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟑𝟐 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟏𝟔 − 𝟐𝟏𝟔 𝟑𝟏𝟔 + 𝟐𝟏𝟔 + 𝟐𝟑𝟐 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟑𝟐 − 𝟐𝟑𝟐 + 𝟐𝟑𝟐 𝑹 = 𝟏𝟔 𝟑𝟑𝟐 𝑹 = 𝟗
- 28. 08 Si se tiene un triángulo rectángulo de catetos “a ; b” e hipotenusa “c”, hallar el valor del siguiente cociente: 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒂𝒃 Solución: 𝒂 𝒃 𝒄 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒂𝒃 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝒄𝟐 𝒂𝒃 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝑹 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 𝒂𝒃 𝑹 = 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝒄𝟐 𝒂𝒃 𝑹 = 𝟐𝒂𝒃 𝒂𝒃 𝑹 = 𝟐
- 29. 09 Si: 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 hallar el valor de: 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒃 + 𝒄 − 𝒂 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒃𝟐𝒄𝟐 Solución: 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 𝒄 − 𝒂 − 𝒃 𝒄 + 𝒂 − 𝒃 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝑹 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 − 𝒄𝟐 𝒄𝟐 − 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐 𝑹 = 𝒂𝟐 − 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 −𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟐 −𝟐𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝟐𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐𝒃 𝒂 − 𝒃 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝟒𝒃𝟐 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝟒𝒃𝟐 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 𝒃𝟐𝒄𝟐 𝑹 = 𝟐
- 30. 10
- 31. 11