1. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

2. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

3. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

4. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

5. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

6. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

7. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

8. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

9. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

10. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

11. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

12. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

13. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами
8.1 Постановка задачи
X, Y — линейные нормированные пространства,
fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y.
Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств:
f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Допустимые точки — точки, удовлетворяющие
ограничениям задачи.
D(P) — множество допустимых точек в задаче (P).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

14. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

15. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

16. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

17. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

18. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

19. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

20. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

21. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

22. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

23. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

24. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

25. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

26. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

27. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

28. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

29. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

30. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

31. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

32. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

33. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

34. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость),
Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное
условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
для функции Лагранжа L (x) =
m
i=0
λifi(x) + y∗, F(x)
выполняются условия:
a) стационарности: L (ˆx) = 0
⇔
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X
⇔
m
i=0
λifi (ˆx) + F (ˆx)
∗
y∗ = 0 ;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

35. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

36. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

37. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

38. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

39. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

40. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

41. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

42. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

43. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P)
Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx).
Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx).
Для локального экстремума такие ограничения
несущественны и полагаем λi = 0.
Таким образом, считаем, что условия дополняющей
нежесткости уже выполнены.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

44. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

45. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

46. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

47. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

48. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

49. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

50. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

51. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

52. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

53. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

54. Теорема (принцип Лагранжа)
ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) —
замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
a) стационарности:
m
i=0
λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0;
b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m;
c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m.
A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное
подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности
аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает,
y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔
F (ˆx)
∗
y∗
, h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx)
∗
y∗
= 0.
Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

55. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

56. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

57. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

58. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

59. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

60. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

61. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

62. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

63. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

64. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

65. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

66. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

67. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

68. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

69. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

70. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

71. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

72. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

73. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

74. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

75. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

76. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, ˜y) ∈
Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; ˜y = F (ˆx)[h]}.
B — непустое выпуклое множество.
Непустота: возьмем (b, ˜y), где b ∈ Rm+1
+ , ˜y = 0 ⇒ (b, ˜y) ∈ B
(в определении B надо взять h = 0).
Выпуклость: (b, ˜y), (b , ˜y ) ∈ B
def B
⇒ ∃ h и соответственно h .
Тогда для вектора (bα, ˜yα) = α(b, ˜y) + (1 − α)(b , ˜y ),
α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h .
Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

77. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

78. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

79. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

80. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

81. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

82. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

83. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

84. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

85. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

86. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

87. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

88. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

89. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

90. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

91. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

92. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

93. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

94. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

95. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

96. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

97. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

98. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

99. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

100. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

101. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

102. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

103. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к
противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если
0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B
⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m.
F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве
Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}.
Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t),
ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1)
При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства
fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i)
(1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом
(10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что
ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

104. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

105. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

106. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

107. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

108. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

109. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

110. По I теореме отделимости в нормированных пространствах
множество B и точку 0 можно отделить
⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 :
inf
(b,˜y)∈B
{ (λ, y∗), (b, ˜y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0)
⇐⇒ λ, b + y∗, ˜y ≥ 0 ∀ (b, ˜y) ∈ B. (∗)
Условие неотрицательности: (Rm+1
+ , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B,
где ei = (0, . . . , 0, 1
i
, 0, . . . , 0) ∈ B
(∗)
⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m.
Условие стационарности:
( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X
(∗)
⇒
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве
можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде
равенства:
m
i=0
λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации