Pr i-8

1. §8. Гладкая задача с равенствами и неравенствами 8.1 Постановка задачи X, Y — линейные нормированные пространства, fi : X → R, i = 0, 1, . . . , m, F : X → Y. Гладкая задача с ограничениями типа равенств и неравенств: f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P) Допустимые точки — точки, удовлетворяющие ограничениям задачи. D(P) — множество допустимых точек в задаче (P). Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

14. Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locminP, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx) (гладкость), Im F (ˆx) — замкнутое подпространство в Y (ослабленное условие регулярности) ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 : для функции Лагранжа L (x) = m i=0 λifi(x) + y∗, F(x) выполняются условия: a) стационарности: L (ˆx) = 0 ⇔ m i=0 λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0 ∀ h ∈ X ⇔ m i=0 λifi (ˆx) + F (ˆx) ∗ y∗ = 0 ; b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m; c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

35. f0(x) → min; fi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m, F(x) = 0. (P) Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) — замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 : a) стационарности: m i=0 λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0; b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m; c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m. ¡ НеОО f0(ˆx) = 0, иначе f0(x) = f0(x) − f0(ˆx). Если fi(ˆx) = 0 (1 ≤ i ≤ m) ⇒ fi(ˆx) < 0 ⇒ fi(x) < 0 ∀ x ∈ O(ˆx). Для локального экстремума такие ограничения несущественны и полагаем λi = 0. Таким образом, считаем, что условия дополняющей нежесткости уже выполнены. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

44. Теорема (принцип Лагранжа) ˆx ∈ locmin P, X, Y — банаховы, fi, F ∈ SD(ˆx), Im F (ˆx) — замкнуто в Y ⇒ ∃ (λ, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 : a) стационарности: m i=0 λifi (ˆx) + (F (ˆx))∗y∗ = 0; b) дополняющей нежесткости: λifi(ˆx) = 0, i = 1, . . . , m; c) неотрицательности: λi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , m. A) Im F (ˆx) = Y ⇒ Im F (ˆx) — замкнутое собственное подпространство Y ⇒ по лемме о нетривиальности аннулятора ∃ y∗ ∈ (Im F (ˆx))⊥ ⊂ Y∗, y∗ = 0. Это означает, y∗, y = 0 ∀ y ∈ Im F (ˆx) ⇔ y∗, F (ˆx)[h] = 0 ⇔ F (ˆx) ∗ y∗ , h = 0 ∀ h ∈ X ⇔ F (ˆx) ∗ y∗ = 0. Остается положить λi = 0, i = 0, 1, . . . , m. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

55. B) Im F (ˆx) = Y. Положим b = (b0, . . . , bm), B := {(b, y) ∈ Rm+1 × Y | ∃ h∈X : fi (ˆx), h ≤ bi, i = 0, . . . , m; y = F (ˆx)[h]}. B — непустое выпуклое множество. Непустота: возьмем (b, y), где b ∈ Rm+1 + , y = 0 ⇒ (b, y) ∈ B (в определении B надо взять h = 0). Выпуклость: (b, y), (b , y ) ∈ B def B ⇒ ∃ h и соответственно h . Тогда для вектора (bα, yα) = α(b, y) + (1 − α)(b , y ), α ∈ [0, 1], надо взять вектор hα = αh + (1 − α)h . Значит, (bα, F (ˆx)[hα]) ∈ B. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

77. 0 ∈ int B. Предположим противное, и придем к противоречию с тем что ˆx ∈ locmin. Действительно, если 0 ∈ int B ⇒ при достаточно малом β < 0 (β, . . . , β, 0) ∈ B ⇒ ∃ h : F (ˆx)[h] = 0, fi (ˆx), h ≤ β, i = 0, 1, . . . , m. F (ˆx)[h] = 0 ⇒ по т. о касательном пространстве Ker F (ˆx) = Tˆx M, где M := {x ∈ X | F(x) = F(ˆx) = 0}. Значит, ∃ r : [−ε, ε] → X (ε > 0) : r(t) = o(t), ˆx + th + r(t) ∈ M ⇔ F ˆx + th + r(t) = 0 ∀ t ∈ [−ε, ε]. (1) При малых t > 0 для i = 0, 1, . . . , m имеем неравенства fi ˆx + th + r(t) = fi(ˆx) + t fi (ˆx), h + o(t) < 0. (1i) (1), (1i), i = 1, . . . , m ⇒ ˆx + th + r(t) ∈ D(P). Но при этом (10) f0 ˆx + th + r(t) < 0 = f0(ˆx) противоречит тому, что ˆx ∈ locmin. Значит, 0 ∈ int B. Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

104. По I теореме отделимости в нормированных пространствах множество B и точку 0 можно отделить ⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 : inf (b,y)∈B { (λ, y∗), (b, y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0) ⇐⇒ λ, b + y∗, y ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗) Условие неотрицательности: (Rm+1 + , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B, где ei = (0, . . . , 0, 1 i , 0, . . . , 0) ∈ B (∗) ⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m. Условие стационарности: ( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X (∗) ⇒ m i=0 λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде равенства: m i=0 λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £ Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

105. По I теореме отделимости в нормированных пространствах множество B и точку 0 можно отделить ⇒ ∃ (λ, y∗) = (λ0, λ1, . . . , λm, y∗) ∈ Rm+1 × Y∗, (λ, y∗) = 0 : inf (b,y)∈B { (λ, y∗), (b, y) } ≥ (λ, y∗), (0, 0) ⇐⇒ λ, b + y∗, y ≥ 0 ∀ (b, y) ∈ B. (∗) Условие неотрицательности: (Rm+1 + , 0) ⊂ B ⇒ (ei, 0) ∈ B, где ei = (0, . . . , 0, 1 i , 0, . . . , 0) ∈ B (∗) ⇒ λi ≥ 0, i = 0, . . . , m. Условие стационарности: ( f0(ˆx), h , . . . , fm(ˆx), h , F (ˆx)[h]) ∈ B ∀ h ∈ X (∗) ⇒ m i=0 λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] ≥ 0. Поскольку в неравенстве можно взять и h, и −h, то неравенство выполняется в виде равенства: m i=0 λi fi (ˆx), h + y∗, F (ˆx)[h] = 0. £ Галеев Э. М. МГУ Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

Pr i-8

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to Pr i-8

Similar to Pr i-8 (20)

Pr i-8