1. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

2. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

3. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

4. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

5. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

6. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

7. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

8. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

9. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

10. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

11. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

12. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

13. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

14. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

15. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

16. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

17. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

18. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

19. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

20. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

21. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

22. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

23. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

24. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

25. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

26. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

27. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

28. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

29. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

30. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

31. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

32. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

33. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

34. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

35. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

36. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

37. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

38. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

39. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

40. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

41. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

42. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

43. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

44. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

45. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

46. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

47. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

48. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

49. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации

50. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации