1. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

2. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

3. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

4. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

5. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

6. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

7. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

8. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

9. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

10. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

11. §1. Конечномерные гладкие задачи без ограничений.
1.1 Постановка задачи
f : Rn → R. Гладкость — определенная дифференцируемость.
Запись f ∈ Dk (ˆx) означает, что f дифференцируема k раз в
точке ˆx. Гладкая конечномерная задача без ограничений:
f(x) → extr.
Определение
Точка ˆx является точкой локального минимума функции f,
если существует окрестность Uε = {x | |x − ˆx| < ε} точки ˆx
такая, что f(x) ≥ f(ˆx) ∀ x ∈ Uε.
При этом мы пишем ˆx ∈ locmin f. Аналогично определяется
локальный максимум функции – locmax f. Если речь идет о
минимуме или максимуме, то пишем ˆx ∈ locextr f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

12. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

13. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

14. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

15. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

16. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

17. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

18. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

19. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

20. 1.2 Необходимые и достаточные условия экстремума
1.2.1 Функции одной переменной
Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
Это соотношение мы называем условием стационарности или
необходимым условием экстремума I порядка.
Точки, удовлетворяющие условию стационарности,
называются стационарными.
Геометрически теорема Ферма утверждает, что в точке
экстремума дифференцируемой функции касательная к ее
графику горизонтальна.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

21. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

22. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

23. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

24. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

25. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

26. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

27. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

28. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

29. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

30. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

31. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

32. Теорема (Ферма)
Пусть f : R → R. Если ˆx ∈ locextr f и f ∈ D(ˆx), то f (ˆx) = 0.
¡ По определению дифференцируемости f
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + r(h), r(h) = o(h) = o(1)h
при малых h. Значит, f(ˆx + h) − f(ˆx) = (f (ˆx) + o(1))h.
Если f (ˆx) = 0, то при h достаточно близких к нулю,
величина f (ˆx) + o(1) имеет знак f (ˆx), поскольку o(1) → 0
при h → 0. Само же h может принимать как положительные,
так и отрицательные значения. Следовательно, разность
f(ˆx + h) − f(ˆx) может быть как меньше, так и больше нуля.
Это противоречит тому, что f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при
ˆx ∈ locmin f и f(ˆx + h) − f(ˆx) ≤ 0 при ˆx ∈ locmax f. £
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

33. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

34. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

35. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

36. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

37. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

38. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

39. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

40. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

41. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

42. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

43. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

44. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

45. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

46. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

47. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

48. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

49. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

50. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

51. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

52. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

53. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

54. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и f ∈ D2
(ˆx),
то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Необходимость. Пусть ˆx ∈ locmin f. Тогда по теореме Ферма
f (ˆx) = 0, следовательно, по формуле Тейлора
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h).
Поскольку ˆx ∈ locmin f, то f(ˆx + h) − f(ˆx) ≥ 0 при достаточно
малых h. Поэтому
1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ 0.
Разделим обе части последнего неравенства на h2
и устремим h к
нулю. Поскольку
r(h)
h2
→ 0, то получим f (ˆx) ≥ 0.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

55. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

56. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

57. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

58. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

59. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

60. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

61. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

62. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

63. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

64. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

65. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

66. Теорема (необходимые и достаточные условия экстремума)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f и
f ∈ D2(ˆx), то f (ˆx) = 0, f (ˆx) ≥ 0.
Достаточные условия экстремума: если f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0,
то ˆx ∈ locmin f.
¡ По формуле Тейлора
f(ˆx + h) = f(ˆx) + f (ˆx)h + 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h), r(h) = o(h2
).
Достаточность. Пусть f (ˆx) = 0, f (ˆx) > 0.
Поскольку r(h) = o(h2), то ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :
−εh2 < r(h) < εh2 при |h| < δ. Тогда
f(ˆx + h) − f(ˆx) = 1
2 f (ˆx)h2
+ r(h) ≥ f (ˆx)
2 − ε h2
≥ 0
при ε ≤ f (ˆx)
2 . Следовательно, ˆx ∈ locmin f. £
Для локального максимума неравенства имеют
противоположный вид: f (ˆx) ≤ 0 и f (ˆx) < 0 соответственно.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

67. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

68. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

69. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

70. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

71. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

72. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

73. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

74. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

75. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

76. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

77. Теорема (условия экстремума n-ого порядка)
Необходимые условия экстремума: если ˆx ∈ locmin f, и
f ∈ Dn(ˆx), то либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0, либо
f (ˆx) = . . . = f(2m−1)
(ˆx) = 0, f(2m)
(ˆx) > 0 (1)
при некотором m : 2 ≤ 2m ≤ n.
Достаточные условия экстремума: если (1), то ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

78. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

79. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

80. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

81. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

82. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

83. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

84. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

85. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

86. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

87. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

88. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

89. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

90. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

91. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

92. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление

93. ¡ По ф. Тейлора f(ˆx + h) =
n
k=0
f(k)(ˆx)
k!
hk + r(h), r(h) = o(hn).
Необходимость при n = 1 следует из т. Ферма.
Пусть далее n > 1. Тогда либо f (ˆx) = . . . = f(n)(ˆx) = 0
(в этом случае выполняется утверждение теоремы), либо
f (ˆx) = . . . = f(l−1)(ˆx) = 0, f(l)(ˆx) = 0, l ≤ n. Во втором случае
f(ˆx + h) − f(ˆx) =
n
k=l
f(k)(ˆx)
k!
hk
+ r(h) =
f(l)(ˆx)
l!
hl
+ r1(h) ≥ 0
при малых h, поскольку ˆx ∈ locmin f, а r1(h) = o(hl). Так как
f(l)(ˆx) = 0, то отсюда следует, что l — четно и f(l)(ˆx) > 0.
Действительно, если бы l было нечетно, то слагаемое f(l)(ˆx)
l! hl,
а вместе с ним и сумма f(l)(ˆx)
l! hl + r1(h) принимали бы знаки
как больше, так и меньше нуля при разных знаках h.
А это противоречит условию ˆx ∈ locmin f.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Вариационное исчисление и оптимальное управление