Tài liệu này có tính phí xin vui lòng liên hệ facebook để được hỗ trợ Liên hệ page để nhận link download sách và tài liệu: https://www.facebook.com/garmentspace https://www.facebook.com/garmentspace.blog My Blog: http://garmentspace.blogspot.com/ Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
ĐỖ THẮNG
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH
NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
Chuyên ngành: Xây dựng đường ô tô và đường thành phố.
Mã số: 62.58.02.05.01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. HÀ HUY CƯƠNG
2. TS. VŨ ĐỨC SỸ
Hà Nội - 2014

2. i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.
Tác giả luận án
Đỗ Thắng

3. ii
LỜI CẢM ƠN
Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới GS.TSKH
Hà Huy Cương và TS Vũ Đức Sỹ đã tận tình hướng dẫn về khoa học, tạo điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận án.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Giáo sư, Phó Giáo sư, Tiến sỹ, các
chuyên gia, các nhà khoa học trong và ngoài Trường Đại học Giao thông Vận tải đã
có nhiều ý kiến đóng góp và chỉ dẫn quý báu cho luận án.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giảng viên của Bộ môn Đường bộ,
Khoa Công trình, Phòng Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Giao thông Vận tải
đã tạo điều kiện, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu tại Nhà
trường.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Kiến trúc & Công trình -
Trường Đại học Dân lập Phương Đông, nơi tác giả đang công tác, đã tạo điều kiện
để tác giả có thể hoàn thành được luận án.
Cuối cùng, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn đối với những người thân trong
gia đình đã động viên khích lệ và chia sẻ khó khăn với tác giả trong suốt thời gian
thực hiện luận án.
Tác giả luận án
Đỗ Thắng

4. iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN.....................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN .........................................................................................................ii
MỤC LỤC .............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ................................................................................vi
DANH MỤC CÁC BẢNG ....................................................................................vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ...............................................................viii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.................................................................3
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .......................................................3
5. Bố cục của luận án ........................................................................................4
6. Đóng góp mới của luận án.............................................................................5
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP
TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN ...................................................................................7
1.1. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước..........................7
1.1.1. Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên..........................7
1.1.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường ....................................9
1.1.2.1. Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng ......................9
1.1.2.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất..............................16
1.1.2.3. Cường độ giới hạn nền thiên nhiên.........................................17
1.1.2.4. Phương pháp nghiên cứu ổn định mái dốc..............................27
1.2. Những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp
trên nền thiên nhiên......................................................................................... 33
1.3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án...........................................34
Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP
TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN ................................................................................. 36

5. iv
2.1. Lý thuyết min (max) ................................................................................. 36
2.1.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất.................................................. 37
2.1.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max).................................40
2.2. Xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong đất.............................. 44
2.3. Phương pháp sai phân hữu hạn để giải bài toán ........................................46
2.4. Lời giải bài toán Flamant bằng số............................................................. 48
2.5. Lời giải bài toán phẳng theo lý thuyết min (max) ......................................52
2.6. Kết quả và bàn luận.................................................................................. 54
Chương 3
BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ ỔN ĐỊNH MÁI DỐC ....56
3.1. Trạng thái ứng suất tự nhiên của nền đất trong nửa không gian vô hạn.....56
3.2. Bài toán Prandtl........................................................................................ 57
3.3. Bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô............................................... 61
3.4. Kết quả và bàn luận.................................................................................. 67
Chương 4
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH KHỐI ĐẤT CÓ MÁI DỐC THẲNG ĐỨNG ..............69
4.1. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài...................... 69
4.2. Nghiên cứu ổn định mái dốc thẳng đứng do trọng lượng bản thân ............ 77
4.3. Kết quả và bàn luận.................................................................................. 83
Chương 5
PHƯƠNG PHÁP MỚI NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP
TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN ................................................................................. 85
5.1. Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên..................... 85
5.1.1. Xây dựng bài toán...........................................................................85
5.1.2. Khảo sát ảnh hưởng của lưới sai phân đến chiều cao giới hạn
nền đắp.....................................................................................................87
5.1.3. Khảo sát ảnh hưởng của bề rộng nền đắp đến chiều cao giới hạn
nền đắp.....................................................................................................87
5.1.4. Khảo sát ảnh hưởng của độ dốc taluy đến chiều cao giới hạn nền
đắp............................................................................................................ 88

6. v
5.1.5. Khảo sát ảnh hưởng của lực dính đơn vị đến chiều cao giới hạn
nền đắp.....................................................................................................89
5.1.6. Khảo sát ảnh hưởng của góc nội ma sát đến chiều cao giới hạn
nền đắp.....................................................................................................90
5.1.7. So sánh kết quả tính toán chiều cao giới hạn nền đắp theo
phương pháp phân tích giới hạn với phương pháp cân bằng giới hạn.......92
5.1.8. Khảo sát ảnh hưởng của nền đất không đồng nhất đến chiều cao
giới hạn nền đắp ....................................................................................... 94
5.2. Ứng dụng phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường trong tính
toán thiết kế ....................................................................................................99
5.3. Kết quả và bàn luận................................................................................ 100
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................................102
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ .......................104
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................105

7. vi
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
B Bề rộng nền đường
c Lực dính đơn vị
c0 Lực dính đơn vị của nền thiên nhiên
c1 Lực dính đơn vị của nền đắp
E Môđun đàn hồi
G Môđun trượt
H Chiều cao nền đắp
Hgh Chiều cao giới hạn nền đắp
i, j Thứ tự hàng và cột trong lưới sai phân
K0 Hệ số áp lực đất tĩnh
m, n Số nút lưới sai phân theo trục y và theo trục x
Nc, Nq, N Hệ số tải trọng giới hạn
p Tải trọng tác dụng
pgh Tải trọng giới hạn
x, y Kích thước ô lưới sai phân theo trục x và trục y
 Góc nội ma sát
0 Góc nội ma sát của nền thiên nhiên
1 Góc nội ma sát của nền đắp
 Trọng lượng thể tích
 Biến dạng tương đối
 Hệ số Poisson
 Ứng suất nén
x, y Ứng suất pháp theo phương x, y
1, 2 Các ứng suất chính
 Ứng suất tiếp
f Ứng suất tiếp giới hạn
max Ứng suất tiếp lớn nhất
xy, yx Các ứng suất tiếp

8. vii
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Ứng suất pháp y theo lý thuyết đàn hồi tại vị trí giữa dải tải trọng .......50
Bảng 4.1. Tải trọng giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng................................71
Bảng 4.2. Tải trọng giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng................................73
Bảng 4.3. Chiều cao giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng...............................79
Bảng 4.4. Chiều cao giới hạn khối đất có mái dốc thẳng đứng...............................80
Bảng 5.1. Chiều cao giới hạn nền đường theo bề rộng ô lưới sai phân...................87
Bảng 5.2. Chiều cao giới hạn nền đường theo chiều rộng nền đường ....................88
Bảng 5.3. Chiều cao giới hạn nền đường theo độ dốc taluy...................................88
Bảng 5.4. Chiều cao giới hạn nền đường theo lực dính đơn vị...............................89
Bảng 5.5. Chiều cao giới hạn nền đường theo góc nội ma sát................................91
Bảng 5.6. Chiều cao giới hạn nền đường theo phương pháp phân tích giới hạn.....92
và phương pháp cân bằng giới hạn đối với trường hợp đất dính lý tưởng (m) ........92
Bảng 5.7. Chiều cao giới hạn nền đường theo phương pháp phân tích giới hạn.....93
và phương pháp cân bằng giới hạn đối với trường hợp đất thông thường (m) ........93
Bảng 5.8. Quan hệ giữa tỷ số Hgh*/c0 với góc nội ma sát và tỷ số lực dính
đơn vị.................................................................................................................... 97

9. viii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Các hiện tượng mất ổn định nền đường đắp.............................................7
Hình 1.2. Mô hình đàn dẻo lý tưởng .....................................................................10
Hình 1.3. Vòng tròn Mohr ....................................................................................11
Hình 1.4. Điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb.......................................................12
Hình 1.5. Mặt chảy dẻo và vectơ tốc độ biến dạng dẻo..........................................14
Hình 1.6. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn dưới.............................................17
Hình 1.7. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn trên ..............................................19
Hình 1.8. Sơ đồ tải trọng và vùng cân bằng giới hạn .............................................19
Hình 1.9. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Terzaghi......................................20
Hình 1.10. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Berezansev................................21
Hình 1.11. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng
phân bố đều...........................................................................................................22
Hình 1.12. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất trường hợp tải trọng hình băng
phân bố dạng tam giác........................................................................................... 24
Hình 1.13. Đường đẳng Kmin và bề rộng vùng dẻo R.............................................26
Hình 1.14. Sơ đồ tính ổn định mái dốc..................................................................28
Hình 1.15. Trường ứng suất giả thiết.....................................................................31
Hình 1.16. Mặt trượt giả thiết dạng xoắn ốc logarit...............................................32
Hình 2.1. Đầm chặt đất .........................................................................................36
Hình 2.2. Ứng suất trên phân tố đất.......................................................................37
Hình 2.3. Ứng suất tiếp max (max)........................................................................40
Hình 2.4. Sơ đồ tính nền đắp hình thang ...............................................................44
Hình 2.5. Mặt thoáng nằm ngang..........................................................................45
Hình 2.6. Mặt thoáng nghiêng...............................................................................45
Hình 2.7. Ô lưới sai phân tính toán .......................................................................46
Hình 2.8. Sơ đồ giải bài toán Flamant...................................................................48
Hình 2.9. Sơ đồ tính toán theo phương pháp sai phân ...........................................49
Hình 2.10. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết
đàn hồi .................................................................................................................. 50

10. ix
Hình 2.11. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo
phương pháp sai phân hữu hạn và giải tích ............................................................ 51
Hình 2.12. Biểu đồ các đường đẳng ứng suất pháp y (kPa) theo lý thuyết
min (max) .............................................................................................................. 53
Hình 2.13. Biểu đồ ứng suất pháp y (kPa) tại vị trí giữa dải tải trọng theo
lý thuyết đàn hồi và lý thuyết min (max) ................................................................ 53
Hình 3.1a. Biểu đồ ứng suất x (kPa)....................................................................56
Hình 3.1b. Biểu đồ ứng suất y (kPa)....................................................................56
Hình 3.2. Ứng suất tiếp xúc dưới móng cứng........................................................58
Hình 3.3. Sơ đồ giải bài toán Prandtl.....................................................................60
Hình 3.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................61
Hình 3.5. Sơ đồ tính toán góc dốc giới hạn ...........................................................62
Hình 3.6. Sơ đồ giải bài toán góc dốc giới hạn của khối cát khô............................64
Hình 3.7. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................65
Hình 3.8. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................65
Hình 3.9. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................66
Hình 3.10. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo....................................67
Hình 4.1. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng do tải trọng ngoài...............69
Hình 4.2. Sơ đồ giải bài toán tải trọng giới hạn của mái dốc thẳng đứng...............71
Hình 4.3. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................72
Hình 4.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................73
Hình 4.5. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng trong trường hợp đặt
tải trọng rải đều vào phía trong.............................................................................. 74
Hình 4.6. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................75
Hình 4.7. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................76
Hình 4.8. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................77
Hình 4.9. Sơ đồ tính ổn định của mái dốc thẳng đứng do trọng lượng bản thân.....77
Hình 4.10. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo....................................79
Hình 4.11. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo....................................81
Hình 4.12. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo....................................82

11. x
Hình 4.13. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo....................................83
Hình 5.1. Sơ đồ xác định chiều cao giới hạn nền đắp ............................................85
Hình 5.2. Sơ đồ lưới sai phân dùng để tính chiều cao giới hạn nền đắp .................86
Hình 5.3. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................90
Hình 5.4. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................91
Hình 5.5. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................95
Hình 5.6. Biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo......................................96
Hình 5.7. Toán đồ xác định tỷ số Hgh*/c0.............................................................98
Hình 5.8. Trắc dọc thiết kế..................................................................................100

12. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nền đường là bộ phận quan trọng của đường ôtô. Bảo đảm ổn định nền
đường là điều kiện tiên quyết để bảo đảm ổn định của kết cấu áo đường. Hai vấn đề
quan trọng nhất đối với nền đường là ổn định và lún. Theo tiêu chuẩn thiết kế nền
đường ôtô hiện hành, nền đường đắp trên nền thiên nhiên phải đảm bảo các yêu cầu
sau đây:
- Nền đường phải đảm bảo ổn định toán khối, không bị sụt trượt mái taluy;
trượt trồi, lún sụt nền đắp trên đất yếu; trượt phần đắp trên sườn dốc,…
- Nền đường phải đảm bảo đủ cường độ, không xuất hiện vùng biến dạng dẻo
nguy hiểm có thể gây cho kết cấu mặt đường bị lượn sóng, thậm chí gây phá hoại
kết cấu mặt đường bên trên.
Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường được sử dụng rộng rãi trong
thiết kế hiện nay là phương pháp cân bằng giới hạn. Hệ phương trình cơ bản của
phương pháp này bao gồm hai phương trình cân bằng (bài toán ứng suất phẳng) và
điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Vì không coi đất là vật liệu đàn hồi nên phải
đưa thêm điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb để có đủ phương trình để xác định
trạng thái ứng suất trong đất. Những điểm trong khối đất thỏa mãn ba phương trình
trên là những điểm ở trạng thái chảy dẻo. Sự xuất hiện một điểm chảy dẻo hoặc
nhiều điểm chảy dẻo cục bộ chưa thể gây phá hoại khối đất. Khối đất chỉ bị phá
hoại khi xuất hiện các lưới đường trượt (lưới các điểm chảy dẻo) cho phép các phần
khối đất trượt tự do tương đối với nhau.
Rankine (1857) là người đầu tiên giải hệ phương trên theo ứng suất để tìm
phân bố lực ngang và hệ số áp lực ngang trong đất, áp lực chủ động và áp lực bị
động tác dụng lên tường chắn [48]. Prandtl (1920) dựa trên ứng suất tìm được
cường độ giới hạn của nền đất dưới tác dụng của áp lực truyền qua móng cứng
(trình bày trong chương 1). Chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng cũng có thể
tìm được từ việc xét trạng thái ứng suất trong khối đất (trình bày trong chương 1).

13. 2
Tuy nhiên phương pháp sử dụng trạng thái ứng suất để nghiên cứu ổn định khối đất
cho ta rất ít kết quả.
Phương pháp nghiên cứu hiệu quả và được dùng rộng rãi là phương pháp mặt
trượt. Coulomb (1776) là người đầu tiên dùng giả thiết mặt trượt phẳng để nghiên
cứu áp lực đất tác dụng lên tường chắn. Felenius (1926) dùng mặt trượt trụ tròn để
đánh giá ổn định mái dốc (trường phái Thụy điển). Tuy nhiên, để có được mặt trượt
đúng, thì cần biến đổi hệ phương trình trên về hệ phương trình trong tọa độ cong mà
tiếp tuyến của đường cong trùng với vectơ đường trượt như Koiter (1903) đã làm.
Prandtl (1920) là người đầu tiên tìm được hàm giải tích của đường trượt cho trường
hợp móng cứng đặt trên nền đất không trọng lượng (trình bày trong chương 1): đó
là họ các mặt trượt phẳng và họ các mặt trượt xoắn ốc logarit... Sokolovski (1965)
dùng phương pháp sai phân hữu hạn để giải hệ phương trình vi phân đường trượt và
nhận được kết quả số cho nhiều trường hợp tính toán khác nhau. Terzaghi (1943) và
Berezansev (1958) cũng sử dụng họ các mặt trượt trong nghiên cứu ổn định khối
đất. Chú ý rằng điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb đối với đất có ma sát làm thay
đổi thể tích khối đất khi chảy dẻo, vi phạm quy tắc chảy dẻo kết hợp. Để tránh điều
này, W. F. Chen đã dùng mặt trượt xoắn ốc logarit khi tính ổn định mái dốc [34].
Mặt trượt giữ vai trò quan trọng trong nghiên cứu ổn định khối đất cho nên
W. F. Chen (1975) đã đưa ra phương pháp xây dựng mặt trượt giữa các khối đất
cứng, giữa các khối bê tông và khối đá [34]. Từ cách làm đó đã hình thành nên lý
thuyết đường trượt (slip-line field theory) hiện nay [41], [44].
Những vấn đề trên là cơ sở lý thuyết của các phương pháp tính toán thực
hành và nghiên cứu ổn định khối đất được trình bày trong chương tổng quan của
luận án.
Phương pháp cân bằng giới hạn với hai cách giải nêu trên, như W. F. Chen
đã nhận xét [34], chưa phải là ứng dụng đúng đắn của phương pháp phân tích giới
hạn (limit analysis) của lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng bởi vì chưa xét đến hiện tượng
thể tích khối đất bị thay đổi khi dùng điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb. Mặt khác,
hệ phương trình cơ bản nêu trên không cho phép xác định trạng thái ứng suất tại
những điểm chưa chảy dẻo, tức là không xét được trạng thái ứng suất của toàn khối

14. 3
đất. Vì vậy, trong luận án “Nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên
nhiên” được trình bày sau đây, bằng cách sử dụng lý thuyết min (max), tác giả có
thể áp dụng trực tiếp định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định của khối đất nói chung
và ổn định của nền đất đắp trên nền thiên nhiên.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng phương pháp mới (phương pháp áp dụng trực tiếp định lý giới
hạn) đánh giá ổn định nền đất phù hợp với sự làm việc thực của môi trường đất, góp
phần phát triển nghiên cứu về ổn định nền đường.
Áp dụng phương pháp trên để xây dựng một số chương trình tính, lập được
bảng tra và toán đồ giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định được chiều cao và độ
dốc giới hạn của nền đắp. Ngoài ra, sử dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết
phân tích giới hạn cho ta biết được phân bố ứng suất trong khối đất trước khi phá
hỏng và các mặt trượt xảy ra trong khối đất, từ đó có thể đưa ra các biện pháp phù
hợp nâng cao ổn định nền đất khi cần thiết.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nền đường đắp đất trên nền thiên nhiên.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu vấn đề ổn định của nền đường đắp đất trên
nền thiên nhiên xét trong trường hợp bài toán phẳng.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đất không phải là vật liệu đàn hồi nên trong bài toán phẳng, hai phương trình
cân bằng không đủ để xác định được ba thành phần ứng suất. Tác giả dùng thêm
điều kiện min (max) để có đủ phương trình xác định trạng thái ứng suất trong toàn
khối đất và áp dụng trực tiếp định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định đồng thời nền
đắp và nền thiên nhiên.
Trong luận án trình bày các bài toán ổn định khác nhau: cường độ giới hạn
của nền đất nằm ngang dưới tải trọng móng cứng (bài toán Prandtl), mái dốc của
khối cát khô, mái dốc thẳng đứng trên nền thiên nhiên dưới tác dụng của tải ngoài
và trọng lượng bản thân, nền đắp hình thang trên nền thiên nhiên dưới tác dụng của

15. 4
trọng lượng bản thân. Từ những nghiên cứu đó có thể rút ra các kết luận và nhận xét
định tính và định lượng sau đây:
- Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb cho biết vật liệu có nội ma sát càng lớn
thì sức chịu tải càng lớn. Tuy nhiên đối với vật liệu xây dựng nền đắp như đất, cát
các loại, đá dăm vụn... thì vật liệu có lực dính đơn vị lớn mới là vật liệu bảo đảm ổn
định mái dốc tốt hơn. Thực tiễn xây dựng nền đường đắp ở nước ta đã chứng thực
điều đó.
- Mặt trượt xuất hiện trên mái dốc và mặt nền đắp khi có tải trọng ngoài tác
dụng.
- Khi nghiên cứu ổn định nền đường đắp mà chỉ xét trọng lượng bản thân của
đất thì không xuất hiện mặt trượt trên mái dốc và mặt nền đắp.
- Tùy theo cường độ (c, ) của vật liệu nền đắp và nền thiên nhiên mà xảy ra
các trường hợp phá hoại: cường độ vật liệu đắp càng lớn thì chiều cao giới hạn nền
đắp càng lớn, độ dốc taluy càng lớn. Khi nền đắp có cường độ (c, ) bằng hoặc nhỏ
hơn cường độ nền thiên nhiên thì mặt trượt chỉ xuất hiện ở chân taluy nền đắp, Khi
nền đắp có cường độ lớn hơn nền thiên nhiên thì mặt trượt ăn sâu vào nền thiên
nhiên.
- Những tính toán so sánh cho thấy chiều cao giới hạn nền đắp theo phương
pháp của tác giả xấp xỉ với chiều cao có chiết giảm theo các phương pháp mặt trượt
(lấy hệ số an toàn lớn hơn 1). Điều này giải thích được bởi vì phương pháp mặt
trượt cho ta giới hạn trên của chiều cao nền đắp.
Tác giả đã xây dựng một số chương trình tính, lập được bảng tra và toán đồ
giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định được chiều cao và độ dốc giới hạn của nền
đắp. Ngoài ra, từ biểu đồ các đường đẳng trị khả năng chảy dẻo sẽ xác định được
lưới mặt trượt nên có thể đưa ra được các biện pháp gia cường phù hợp, đúng vị trí
để nâng cao ổn định nền đường khi cần.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm những phần và chương sau:
- Mở đầu

16. 5
- Chương 1: Tổng quan về nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền
thiên nhiên
- Chương 2: Cơ sở lý thuyết nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền
thiên nhiên
- Chương 3: Bài toán cơ bản về tải trọng giới hạn và ổn định mái dốc
- Chương 4: Nghiên cứu ổn định khối đất có mái dốc thẳng đứng
- Chương 5: Phương pháp mới nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên
nền thiên nhiên
- Kết luận và kiến nghị
- Phần phụ lục
6. Đóng góp mới của luận án
1- Khác với các phương pháp truyền thống của cơ học đất, tác giả sử dụng lý
thuyết min (max) để có thể áp dụng trực tiếp lý thuyết phân tích giới hạn vào nghiên
cứu ổn định nền đất (không cho trước trạng thái ứng suất và hoặc dạng mặt trượt).
Sử dụng định lý giới hạn dưới của lý thuyết phân tích giới hạn cho ta biết được phân
bố ứng suất trong khối đất trước khi phá hỏng và các mặt trượt xảy ra trong khối
đất, từ đó có thể đưa ra các biện pháp phù hợp nâng cao ổn định nền đất khi cần
thiết.
2- Khác với phương pháp truyền thống là phương pháp nghiên cứu tách rời
ổn định mái dốc với cường độ giới hạn của nền thiên, tác giả xây dựng bài toán ổn
định tổng thể của nền đắp trên nền thiên nhiên để có thể xét được ảnh hưởng qua lại
giữa chúng.
3- Các bài toán ổn định khối đất trình bày trong luận án là đúng đắn về cơ
học, chặt chẽ về toán học và mới. Xét về mặt toán thì đó là các bài toán quy hoạch
phi tuyến do có ràng buộc là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Phương pháp giải
số là phương pháp sai phân hữu hạn và để sử dụng các hàm tối ưu có sẵn, tác giả lập
trình trên phần mềm Matlab để giải. Sơ đồ sai phân dùng trong luận án cho kết quả
với độ chính xác cao, ví dụ như bài toán Flamant bằng số, góc dốc giới hạn của vật
liệu có nội ma sát không dính đúng bằng góc nội ma sát của vật liệu, tải trọng giới

17. 6
hạn của mái dốc thẳng đứng trùng với công thức lý thuyết (kết quả này cũng là
mới), v.v...
4- Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên
trình bày trong luận án là phương pháp mới. Tác giả đã xây dựng một số chương
trình tính, lập được bảng tra và toán đồ giúp người kỹ sư nhanh chóng xác định
được chiều cao và độ dốc giới hạn của nền đắp. Ngoài ra, từ biểu đồ các đường
đẳng trị khả năng chảy dẻo sẽ xác định được lưới mặt trượt nên sẽ đưa ra được các
biện pháp gia cường phù hợp, đúng vị trí để nâng cao ổn định nền đường khi có yêu
cầu.

18. 7
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH
NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
Trong chương này trình bày các nghiên cứu về ổn định nền đường đất đắp
trên nền thiên nhiên đã và đang được áp dụng ở Việt Nam và các nước trên thế giới.
Tiếp theo, tác giả phân tích ưu, nhược điểm và các tồn tại của các phương pháp đó.
Cuối cùng trình bày mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài luận án.
1.1. Phân tích các nghiên cứu liên quan ở trong và ngoài nước
1.1.1. Các dạng mất ổn định nền đắp trên nền thiên nhiên
Theo tiêu chuẩn thiết kế đường ôtô TCVN 4054-2005 [7], nền đường phải
đảm bảo ổn định, duy trì được các kích thước hình học, có đủ cường độ để chịu
được các tác động của tải trọng xe và các yếu tố thiên nhiên trong suốt thời gian sử
dụng. Do đó, với nền đường đắp phải đảm bảo không bị các hiện tượng như: trượt
lở mái taluy, trượt phần đắp trên sườn dốc, trượt trồi, lún sụt nền đắp trên đất
yếu…(hình 1.1).
Hình 1.1. Các hiện tượng mất ổn định nền đường đắp
a. Trượt mái dốc nền đắp b. Trượt phần đắp trên sườn dốc
c. Lún sụt trên đất yếu d. Trượt trồi trên đất yếu
Tiêu chuẩn hiện hành ở nước ta có các quy định để đảm bảo ổn định nền đắp
trên nền thiên nhiên cho từng trường hợp như sau:

19. 8
Trường hợp chiều cao mái dốc đắp lớn
Khi chiều cao mái dốc đắp lớn hơn 12m phải kiểm toán ổn định [7], [8]. Với
mái dốc bằng vật liệu rời rạc, ít dính thì nên áp dụng phương pháp mặt trượt phẳng;
với đất dính kết thì nên dùng phương pháp mặt trượt tròn, hệ số ổn định nhỏ nhất
phải bằng hoặc lớn hơn 1,25.
Trên thực tế thường sử dụng phương pháp phân mảnh cổ điển do Fellenius
đề xuất từ năm 1926 [38] và phương pháp Bishop (1955) [32] để kiểm toán ổn định
mái dốc. Phương pháp phân mảnh cổ điển giả thiết khối đất trên mái dốc khi mất ổn
định sẽ trượt theo mặt trượt hình trụ tròn nhưng không xét đến tác dụng của các lực
giữa các phân mảnh, còn phương pháp Bishop có xét đến các lực đẩy ngang tác
dụng từ hai phía của mảnh trượt (không quan tâm đến điểm đặt của hai lực ngang
đó).
Trường hợp nền đắp trên sườn dốc
Khi xây dựng nền đường trên sườn dốc [5], để đảm bảo điều kiện ổn định,
việc tính toán, thiết kế cần đáp ứng được hai yêu cầu sau:
- Nền đường phải đặt trên một sườn dốc ổn định và bản thân sườn dốc đó vẫn
ổn định sau khi xây dựng nền đường.
- Trên cơ sở một sườn dốc chắc chắn ổn định, nền đắp phải không bị trượt
trên mặt dốc đó và bản thân mái ta luy của nền đường phải đảm bảo ổn định.
Đánh giá sự ổn định của sườn dốc thường dựa vào cách tính toán trên cơ sở
xét điều kiện cân bằng tĩnh của khối trượt trên mặt trượt dự kiến (hoặc mặt trượt đã
điều tra được). Các phương pháp thường được sử dụng là phương pháp Maslov,
phương pháp Shakhunyants cho mặt trượt gẫy khúc và phương pháp mặt trượt trụ
tròn khi khó xác định mặt trượt.
Trường hợp nền đắp trên đất yếu
Nền đắp trên đất yếu [6] phải đảm bảo ổn định, không bị phá hoại do trượt
trồi trong quá trình thi công đắp (đắp phần nền theo thiết kế hoặc đắp cao hơn cao
độ thiết kế để gia tải trước) và trong suốt quá trình đưa vào khai thác sử dụng sau
đó.

20. 9
Phương pháp được sử dụng để tính toán đánh giá mức độ ổn định của nền
đắp trên đất yếu là phương pháp phân mảnh cổ điển hoặc phương pháp Bishop với
mặt trượt tròn khoét xuống vùng đất yếu.
Có thể nói yêu cầu vừa nêu trên của quy trình khảo sát thiết kế nền đường
ôtô đắp trên đất yếu không đảm bảo điều kiện an toàn và không phù hợp với truyền
thống nghiên cứu ổn định khối đất.
1.1.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường
Đất là vật liệu phức tạp, chúng ta chưa biết được đầy đủ các đặc trưng cơ lý
của nó. Tuy nhiên, nghiên cứu mẫu đất trong phòng thí nghiệm cũng như thí
nghiệm tấm ép ở hiện trường cho thấy có thể coi đất là vật liệu đàn dẻo lý tưởng
tuân theo điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb [34] để có thể sử dụng phương pháp
cân bằng giới hạn hoặc tổng quát hơn là các định lý về phân tích giới hạn để nghiên
cứu ổn định của khối đất. Vì vậy, trong mục này, trước khi giới thiệu các phương
pháp nghiên cứu ổn định nền đất, tác giả trình bày các liên hệ cơ bản của vật liệu
đàn dẻo lý tưởng.
1.1.2.1. Các liên hệ cơ bản của vật liệu đàn dẻo lý tưởng
Để trình bày ngắn gọn, ta sẽ dùng các quy tắc chỉ số sau:
321kk
2
3
2
2
2
1ii
aaaa
aaaaa


(1.1a)
Hệ số Kronecker
0ij  nếu ji  (1.1b)
1ij  nếu ji 
Tenxơ môđun đàn hồi
)
21
(
1
E
E klijijlkijkl 




 (1.1c)
Biến dạng dẻo
Trên hình 1.2 trình bày quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu đàn dẻo lý
tưởng khi chịu ứng suất một chiều [2], [41]. Ứng suất tăng từ không đến giới hạn

21. 10
đàn hồi E thì ta có biến dạng đàn hồi, khi đạt giới hạn này thì ứng suất không tăng
nhưng biến dạng vẫn tăng. Khi dỡ tải, đường dỡ tải song song với đường đặt tải và
biến dạng không hồi phục hoàn toàn, đó là biến dạng dẻo. Ta thấy biến dạng dẻo
phụ thuộc vào quá trình (lịch sử) đặt tải. Ứng suất E còn được gọi là giới hạn
dẻo.Vật liệu đất được xem là vật liệu đàn dẻo lý tưởng.


O
 E
E
P
E
Hình 1.2. Mô hình đàn dẻo lý tưởng
Hàm giới hạn chảy dẻo
Vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là đưa ra các điều kiện chảy dẻo cho trường
hợp vật liệu làm việc ở trạng thái ứng suất phức tạp. Các điều kiện chảy dẻo cũng
phải được kiểm tra bằng thí nghiệm. Đối với vật liệu đàn dẻo lý tưởng, điều kiện
chảy dẻo được viết dưới dạng sau:
0k)(f ij  (1.2)
trong đó: ij biểu thị trạng thái ứng suất tại một điểm trong vật thể;
k là thông số vật liệu.
Hiện nay, trong tính toán thường dùng các điều kiện chảy dẻo sau: điều kiện
chảy dẻo Tresca, điều kiện chảy dẻo Von Mises, điều kiện chảy dẻo Mohr-
Coulomb, điều kiện chảy dẻo Drucker- Prager [34]. Điều kiện chảy dẻo Mohr-
Coulomb sẽ được dùng trong luận án này nên được giới thiệu ở đây.
Vòng tròn Mohr
Khi biết trạng thái ứng suất tại một điểm thì sử dụng vòng tròn Mohr ta có
thể biết được trạng thái ứng suất trên các bề mặt khác nhau qua điểm đó. Như vậy,
để vẽ vòng tròn Mohr (hình 1.3), trước hết ta vẽ hệ trục tọa độ vuông góc O với

22. 11
trục hoành là ứng suất pháp và trục tung là ứng suất tiếp . Biết trạng thái ứng
suất của một điểm ta có thể xác định được ứng suất chính lớn nhất 1 và ứng suất
chính nhỏ nhất 2. Vẽ vòng tròn Mohr qua hai điểm trên trục hoành có hoành độ 1
và 2, tâm C trên trục hoành có hoành độ bằng 1/2(1+2), bán kính bằng
1/2(1-2).


1
2
A
 
B



2
1
2
1



C
Hình 1.3. Vòng tròn Mohr
Các thành phần ứng suất trên mặt phẳng bất kỳ nghiêng một góc bằng  so
với phương ứng suất chính nhỏ nhất 2 được xác định bởi điểm A trên vòng Mohr
có: ứng suất pháp  là hoành độ điểm A; ứng suất tiếp  là tung độ điểm A. Các giá
trị này được xác định như sau:














2sin
2
2cos
22
21
2121
(1.3)
Điểm B trên vòng tròn Mohr đối xứng với điểm A qua tâm C xác định các
thành phần ứng suất trên mặt vuông góc với mặt đang xét.
Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb
Năm 1776 Charles-Augustin de Coulomb, nhà khoa học người Pháp có
những đóng góp quan trọng vào lý thuyết điện, đã sử dụng sự tương tự với một khối
trượt để đề nghị ứng suất tiếp giới hạn f trong đất như sau [48]:

23. 12
f =tg +c (1.4)
trong đó:  là ứng suất nén vuông góc với mặt phẳng đang xét;
c là lực dính đơn vị;
 là góc nội ma sát.
Hiểu một cách đơn giản là nếu ứng suất tiếp trên tất cả các mặt phẳng nhỏ
hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì biến dạng sẽ bị giới hạn. Nếu ứng suất tiếp trên một
mặt phẳng nào đó lớn hơn ứng suất tiếp giới hạn f thì xuất hiện biến
dạng trượt trong đất.
Bây giờ ta có thể xác định bán kính vòng tròn Mohr khi ứng suất thỏa mãn
điều kiện chảy dẻo Coulomb. Trên hình 1.4, vòng tròn Mohr tiếp xúc với hai đường
ứng suất tiếp giới hạn tạo với trục hoành một góc  và cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng c được gọi là vòng tròn Mohr giới hạn. Chiếu đoạn OC có chiều dài
bằng (1+2)/2 và đoạn OF có chiều dài bằng c lên trục CD ta lần lượt được được
các đoạn CO’ và O’D. Do đó, ta có bán kính vòng tròn Mohr giới hạn được xác
định theo công thức sau:


 cos.csin
2
CDR 21
gh (1.5)
c



tg
c
1
2
D
E
CO
O'

f
F
Hình 1.4. Điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb

24. 13
Do bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất có: 1+2=x+y, nên phương
trình (1.5) có thể viết thông qua ứng suất thành phần như sau:


 cos.csin
2
R yx
gh (1.6)
trong đó: x, y là các ứng suất pháp theo phương x, y.
Khi ứng suất tiếp max (max) trong các mặt phẳng đi qua trọng tâm của một
phân tố thỏa mãn điều kiện:


 cos.csin
2
yx
max (1.7)
thì xuất hiện biến dạng dẻo trong đất.
Trường hợp tổng quát ta có thể viết:
0cos.csin
2
yx
max 

 (1.8)
Điều kiện (1.8) thường gọi là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb.
Nhân cả 2 vế của phương trình (1.5) với cos (chính là phép chiếu đoạn CO’
và đoạn O’D lên trục tung), ta được điều kiện chảy dẻo như (1.4):
ctgf 
Các liên hệ cơ bản giữa ứng suất và biến dạng
Có rất nhiều mô hình toán khác nhau nhằm xác lập quan hệ giữa ứng suất và
biến dạng của vật liệu dẻo. Cho đến nay các nhà nghiên cứu đều thống nhất sử dụng
mô hình xác định tốc độ biến dạng dẻo theo phương trình sau [35], [36],[40], [41]:
ij
ijp
ij
)(f


 (1.9)
trong đó: là hệ số tỉ lệ;
≥ 0 nếu f = k và '
f = 0 (k là giới hạn chảy dẻo);
= 0 nếu f < k hoặc f = k và '
f < 0.

25. 14
Quan hệ (1.9) cho thấy chiều của biến dạng dẻo trùng với pháp tuyến của
mặt dẻo khi xây dựng mặt dẻo trong tọa độ ứng suất. Trên hình 1.5 trình bày mặt
dẻo trong tọa độ hai chiều.


.P f( )
ij
ij
a
ij
E
ij
a
ij
E
a
b
c
d
ij
.P
ij
.P
ij
.P
ij
.P
ijf ( ) < 0
§µn håi
'
ijf ( ) = 0'
ij ij
.P
Gãc
Th¼ng
TiÕp tuyÕn
duy nhÊt
ij
c
ij
d
ij
b
ij
ij
Hình 1.5. Mặt chảy dẻo và vectơ tốc độ biến dạng dẻo
Cho nên công thức (1.9) được gọi là quy tắc pháp tuyến, còn gọi là quy tắc
chảy kết hợp, xem chiều của tốc độ biến dạng dẻo trùng với gradient của hàm chảy
dẻo.
Các điều kiện chảy dẻo Tresca và Von Mises [49], [50] không phụ thuộc vào
bất biến ứng suất thứ nhất nghĩa là xem biến dạng dẻo thể tích luôn bằng không
( 0kk  ).
Điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb như đã trình bày trên phụ thuộc vào bất
biến ứng suất thứ nhất cho nên biến dạng dẻo thể tích khác không. W. F. Chen đã
xét đến tính chất vừa nêu trên, hay còn gọi là quy tắc chảy không kết hợp, để nghiên
cứu ổn định mái dốc và cường độ giới hạn của khối đất [25], [34].
Tính lồi của hàm chảy dẻo cùng với quy tắc pháp tuyến cho ta bất đẳng thức
quan trọng sau:
0)( p
ij
0
ijij   (1.10)
Ở đây p
ij là tốc độ biến dạng dẻo ứng với ij , còn 0
ij là ứng suất bất kỳ thỏa
mãn điều kiện k)(f 0
ij  . Tích p
ijij  được gọi là năng lượng dẻo khuếch tán.

26. 15
Dựa vào bất đẳng thức (1.10) để chứng minh các định lý phân tích giới hạn
trình bày ở phần sau và đó là ý nghĩa quan trọng của nó.
Từ hình 1.2, ta có thể viết:
P
ij
E
ijij  (1.11)
do đó: R
ij
E
ijij  (1.12)
Ở đây R
ij là trạng thái ứng suất dư sau khi dỡ tải, cho nên trạng thái ứng suất dư
phải là trạng thái ứng suất tự cân bằng. Biến dạng đàn hồi được xác định theo định
luật Hooke tuyến tính. Ta có các quan hệ sau để xác định biến dạng và chuyển vị
đối với vật thể đàn dẻo lý tưởng:
R
i
E
ii
R
i,j
R
j,i
R
kl
1
ijkl
P
ij
E
i,j
E
j,i
E
kl
1
ijkl
uuu
)uu(
2
1
E
)uu(
2
1
E





(1.13)
ký hiệu:
j
i
j,i
x
u
u



Có thể thấy bài toán dẻo rất phức tạp vì tính chất phi tuyến. Tuy nhiên, người
thiết kế thường quan tâm đến lực giới hạn, hoặc tải trọng giới hạn của kết cấu, tức là
lực gây ra phá hoại kết cấu. Trong trường hợp đó sử dụng “phương pháp phân tích
giới hạn” là phương pháp đơn giản mà người thiết kế rất quan tâm [25], [33], [34],
[48]. Nền tảng của phương pháp này là hai định nghĩa và định lý sau:
Định nghĩa 1: Trường ứng suất tĩnh học cho phép (hay trường ứng suất cân
bằng) là trường ứng suất thỏa mãn các điều kiện sau đây:
a. Điều kiện cân bằng tại mọi điểm của vật thể;
b. Điều kiện biên ứng suất;
c. Điều kiện chảy dẻo không bị vượt quá tại bất kỳ điểm nào của vật thể.
Định lý giới hạn dưới: Trong tất cả các trạng thái cân bằng, tải trọng phá
hoại thực lớn hơn tải trọng lớn nhất tìm được ở trạng thái cân bằng.
Định nghĩa 2: Trường chuyển vị động học cho phép (hay cơ chế phá hoại) là
trường chuyển vị và biến dạng thỏa mãn các điều kiện sau đây:

27. 16
a. Trường chuyển vị là liên tục, tức là không có những chỗ đứt đoạn hoặc
trùng nhau kéo dài trong vật thể (cho phép trượt phần này dọc theo phần khác);
b. Điều kiện biên chuyển vị và biến dạng;
c. Bất kỳ vị trí nào có biến dạng thì ứng suất tại đó thỏa mãn điều kiện chảy
dẻo.
Nhận xét: Từ định nghĩa 2 ta thấy kết cấu hoặc ở trạng thái cứng, hoặc là dẻo
(hệ cứng dẻo).
Định lý giới hạn trên: Trong tất cả các trạng thái chuyển vị động học cho
phép, tải trọng phá hoại thực phải nhỏ hơn tải trọng nhỏ nhất của cơ chế. Ở đây, tải
trọng phá hoại của cơ chế được xác định theo nguyên lý công ảo.
Từ các định nghĩa và định lý giới hạn trên ta thấy: giới hạn dưới - trường ứng
suất cân bằng; giới hạn trên - trường ứng suất chỉ xác định tại các điểm chảy dẻo.
Giới hạn trên chỉ cho ta biết dạng phạm vi chảy dẻo hoặc đường trượt nên để xác
định được tải trọng giới hạn thì không thể dùng giới hạn trên riêng biệt mà phải
dùng cả giới hạn dưới. Lời giải đúng khi giới hạn trên bằng giới hạn dưới.
1.1.2.2. Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất
Phương pháp nghiên cứu ổn định khối đất (cường độ giới hạn nền thiên
nhiên và ổn định mái dốc) trong bài toán phẳng là phương pháp giải hệ phương
trình sau:

























cos.csin
2
0
xy
0
yx
yx
max
xyy
yxx
(1.14)
trong đó: x, y, xy, yx là trạng thái ứng suất tại một điểm trong đất;
 là góc nội ma sát;
c là lực dính đơn vị.

28. 17
Phương trình thứ ba của hệ (1.14) là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb viết
dưới dạng ứng suất thành phần.
Hệ (1.14) gồm ba phương trình chứa ba ẩn ứng suất x, y, xy nên bài toán
là xác định. Giải hệ trên theo ứng suất dùng định lý giới hạn dưới phải giả thiết
trạng thái ứng suất của từng vùng trong khối đất thỏa mãn phương trình cân bằng và
điều kiện Mohr-Coulomb, do đó đây là cách làm gián tiếp. Theo cách này, có thể kể
đến lời giải của Prandtl về tải trọng giới hạn, hoặc bài toán xác định chiều cao giới
hạn của mái dốc thẳng đứng. Giải hệ trên theo đường trượt dùng định lý giới hạn
trên bằng cách viết hệ phương trình trong tọa độ cong. Koiter (1903) là người đầu
tiên đưa ra cách viết này, còn Prandtl (1920) là người đầu tiên giải được bằng giải
tích và nhận được họ các đường trượt trong trường hợp đất không trọng lượng.
1.1.2.3. Cường độ giới hạn nền thiên nhiên
Lời giải Prandtl
Prandtl (1920) là người đầu tiên giải bằng giải tích hệ phương trình trên cho
trường hợp bài toán móng băng khi không xét trọng lượng thể tích đất.
Xét trường hợp một móng băng cứng chiều rộng B, có đáy trơn nhẵn (ma sát
giữa đáy móng và mặt nền bằng không) đặt trên nền không trọng lượng.
Dùng định lý giới hạn dưới, Prandtl đã phân chia một phạm vi dưới tải trọng
thành ba vùng I, II và III với giả thiết trạng thái ứng suất của mỗi vùng đều thỏa
mãn hai phương trình cân bằng và điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb như hình 1.6
[33], [34], [48].
I
II
III
p
A B
C D
E
Hình 1.6. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn dưới

29. 18
Vùng I, các thành phần ứng suất được giả thiết x= 2c; y=0 và xy=0. Ứng
suất tại mặt tiếp giáp giữa vùng I và vùng II (mặt BD) là cơ sở để xác định ứng suất
vùng II. Trong vùng II, ứng suất trong hệ tọa độ cực của tất cả các điểm trong vùng
là rr (khi đường trục trùng với trục thẳng đứng thì yx  ) và
crr   .
Ứng suất tại mặt tiếp giáp giữa vùng II và III (mặt BC) là cơ sở để xác định
ứng suất vùng III là: x= c, y=(+2)c, xy=0
Các ứng suất vùng III phải thỏa mãn điều kiện biên tại mặt tiếp giáp tải trọng
(mặt AB). Vì vậy, tải trọng tác dụng là p = y = (+2)c. Lời giải này phù hợp với tất
cả các điều kiện của một hệ cân bằng. Tải trọng giới hạn của Prandtl:
pgh = (+2)c = 5,14c (1.15)
Prandtl đã xác định được mặt trượt khi nền đất ở trạng thái cân bằng giới hạn
với bài toán không trọng lượng (hình 1.6). Mặt trượt phân cắt khối đất thành hai
phần: phần dưới mặt trượt và khối đất trượt, chỉ những điểm thuộc mặt trượt ở trạng
thái cân bằng giới hạn, đất thuộc khối trượt coi như vật thể cứng. Từ cứng ở đây
được hiểu theo nghĩa động học là các chất điểm của mỗi miền có vectơ dịch chuyển
cùng phương, cùng chiều và cùng trị số, không có sự dịch chuyển tương đối giữa
các hạt đất. Mặt trượt gồm hai đoạn thẳng AC và DE nối với nhau bằng đoạn cong
CD dạng xoắn ốc logarit. Khối trượt được chia làm ba miền. Miền chủ động dạng
tam giác ACB ngay dưới đáy móng có xu hướng dịch chuyển xuống theo móng,
miền bị động BDE có xu hướng chuyển động lên trên, miền trung gian BCD kẹp
giữa miền chủ động và miền bị động.
Dùng định lý giới hạn trên, Prandtl đã vẽ được lưới mặt trượt cho phép (thỏa
mãn các điều kiện chuyển vị biến dạng cho phép) như hình 1.7.

30. 19
Hình 1.7. Sơ đồ tính toán theo định lý giới hạn trên
Prandtl xác định tải trọng giới hạn:
pgh = (+2)c = 5,14c (1.16)
Tải trọng giới hạn được xác định từ định lý giới hạn dưới và định lý giới hạn
trên cho kết quả bằng nhau nên có thể coi lời giải của Prandtl là lời giải đúng của
phương pháp phân tích giới hạn.
Trường hợp móng đặt sâu vào trong nền đất, coi trọng lượng lớp đất hai bên
móng như một tải trọng bên phân bố đều q như hình 1.8 [10], [30], [48].
Hình 1.8. Sơ đồ tải trọng và vùng cân bằng giới hạn
Tải trọng giới hạn pgh ứng với sơ đồ trên được xác định theo công thức:



 
gcot.ce
sin1
sin1
)gcot.cq(p tg.
gh (1.17)
trong đó: e là cơ số logarit tự nhiên;
Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, tải trọng giới
hạn của nền pgh là:

31. 20
qc)2(pgh  (1.18)
Nhìn vào công thức (1.17) và (1.18), ta thấy tải trọng giới hạn tính theo
Prandtl không phụ thuộc vào bề rộng móng B.
Novotortsev (1938) giải bài toán tổng quát khi cho tải trọng tác dụng xiên
góc so với phương đứng.
Lời giải toán học chính xác cho vấn đề quan trọng là xét trọng lượng thể tích
của đất nền rất phức tạp. Do vậy, rất nhiều phương pháp giải gần đúng đã được phát
triển. Sokolovski (1965) đưa ra phương pháp giải số trên cơ sở gần đúng bằng sai
phân hữu hạn.
Thực tế xây dựng và thí nghiệm mô hình đã chứng tỏ rằng khi khối đất bị
phá hoại, các điểm của khối đất không đạt trạng thái phá hoại cùng lúc mà có nơi
vẫn đang ở trạng thái cân bằng bền [24].
Phương pháp Terzaghi (1943)
Phương pháp này thực tế là mở rộng, cải tiến phương pháp của Prandtl khi
có xét đến ma sát giữa đáy móng và nền đất, tức là coi móng thô ráp (gồ ghề), điều
này sẽ gần với thực tế hơn [4], [10], [24], [45], [47]. Terzaghi cũng bỏ qua ảnh
hưởng của trọng lượng đất đến hình dạng mặt trượt như Prandtl để giải (hình 1.9).
Hình 1.9. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Terzaghi
Để xét đến trọng lượng của đất nền, Terzaghi xét sự cân bằng tĩnh của phần
khối đất trượt để đưa ra công thức xác định tải trọng giới hạn như sau:
c.Nq.NB..N
2
1
p cqgh   (1.19)
trong đó: B là chiều rộng móng;
q là tải trọng bên;
 là trọng lượng thể tích của đất;

32. 21
c là lực dính đơn vị của đất;
N, Nq, Nc là các hệ số khả năng chịu tải, phụ thuộc vào góc nội ma
sát , được xác định theo bảng lập sẵn.
Phương pháp Berezansev
Bằng thực nghiệm, Berezansev phát hiện thấy khi bị trượt đáy móng gắn với
một nêm đất do ma sát giữa móng và đất (hình 1.10). Ông cũng nhận thấy rằng khi
móng khá nông (h/b < 0.5) thì nêm đất có dạng tam giác cân với góc ở đáy = /4.
Hình 1.10. Sơ đồ khả năng chịu tải của nền theo Berezansev
Từ đó, Berezansev đưa ra công thức xác định tải trọng giới hạn như sau [14],
[23], [47]:
c.Nq.NB..Np cqgh   (1.20)
trong đó: N, Nq, Nc là các hệ số khả năng chịu tải, phụ thuộc vào góc nội ma
sát , được xác định theo bảng lập sẵn.
Ngoài ra, còn có nhiều phương pháp tính tải trọng giới hạn giới hạn khác mà
mặt trượt được xác định từ phương pháp cân bằng giới hạn như: phương pháp
Vesic, Ebdokimov, Meyerhof, Hansen,…. Các phương pháp này tuy dựa vào các
thuật toán và giả thiết khác nhau nhưng về cấu trúc, các công thức tính tải trọng giới
hạn đều gồm ba số hạng gắn với các hệ số N, Nq, Nc. Các hệ số Nq, Nc liên quan
đến chiều sâu đặt móng và lực dính của đất không khác nhau nhiều giữa các phương
pháp. Riêng hệ số N khác nhau đáng kể vì phương thức xét ảnh hưởng của trọng
lượng đất khác nhau [24].

33. 22
Phương pháp dựa trên lý thuyết đàn hồi
Phương pháp này dùng để xác định tải trọng giới hạn hay tải trọng giới hạn
đàn hồi của riêng nền thiên nhiên còn nền đắp coi như tải trọng ngoài. Tải trọng tác
dụng vào nền đất mà trong nền đất có một điểm chảy dẻo được gọi là tải trọng giới
hạn đàn hồi [10], [17], [20], [24], [26], [47]. Trạng thái ứng suất tại bất kỳ một điểm
trong đất được xác định dựa trên lý thuyết đàn hồi và có thể xác định được nhờ bài
toán phẳng Flamant. Để đơn giản trong tính toán, trường hợp hình dạng nền đắp gần
với dạng phân bố chữ nhật (phân bố đều) thì có thể đưa về dạng phân bố đều để tính
toán, nếu hình dạng nền đắp gần với dạng tam giác thì có thể đưa về dạng tam giác
bằng một tiết diện tương đương có cùng đáy.
a) Trường hợp nền chịu tải trọng dạng phân bố đều
Khi không xét trọng lượng thể tích của đất, trạng thái ứng suất tại điểm M
được xác định theo lời giải Flamant [48] như sau (hình 1.11):
p
x
y
b
M
2

2
1
Phângiác
O
Hình 1.11. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất
trường hợp tải trọng hình băng phân bố đều


















2cos2sin
p
)2cos2sin2(
p
)2cos2sin2(
p
xy
x
y
(1.21)
Từ mối liên hệ giữa ứng suất chính với ứng suất thành phần theo công thức:

34. 23
2
xy
2
yxyx
2,1
22





 


 (1.22)
ta có ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất tại điểm M như sau:












)2sin2(
p
)2sin2(
p
2
1
(1.23)
Theo Mohr- Coulomb thì điểm M ở trạng thái chảy dẻo khi (1.19) thỏa mãn
điều kiện để vòng tròn Mohr tiếp xúc với với đường Coulomb. Ta có:



gcot.c2
sin
21
21
(1.24)
Hoặc là:




 cos.csin
22
2121
max (1.25)
trong đó: c là lực dính đơn vị của đất;
 là góc nội ma sát của đất.
Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, thay (1.23) vào
(1.25), ta được:
c2sin
p
max 

 (1.26)
Từ (1.26) ta thấy ứng suất tiếp max đạt giá trị lớn nhất tại điểm có sin2=1
và vị trí xuất hiện chảy dẻo sớm nhất là tại hai mép dải tải trọng.
Do đó tải trọng giới hạn đàn hồi của nền p0 là:
c.p0  (1.27)
Khi xét trọng lượng thể tích của đất, tải trọng giới hạn đàn hồi p0 trong
trường hợp tổng quát được xác định theo công thức của Puzyrevsky như sau:
h
2
gcot
)gcot.ch..(
p0 



 (1.28)

35. 24
trong đó:  là trọng lượng thể tích của đất;
h là chiều sâu đáy nền đắp so với mặt tự nhiên.
b) Trường hợp nền chịu tải trọng phân bố dạng tam giác
p
M
O
x
y
0.5b
b b
Hình 1.12. Sơ đồ xác định trạng thái ứng suất
trường hợp tải trọng hình băng phân bố dạng tam giác
Theo N. N. Maslov [8], [24], với tải trọng phân bố dạng tam giác hoặc hình
thang nhưng gần với dạng tam giác thì điểm đầu tiên xuất hiện chảy dẻo nằm trên
trục đối xứng của tải trọng và cách đáy nền đường một độ sâu bằng 0.5b (hình
1.12).
Khi đó, ứng suất tiếp max được xác định theo công thức:
p25,0max  (1.29)
Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính có =0, c≠0, thay (1.29) vào (1.25),
ta được tải trọng giới hạn đàn hồi của nền p0 là:
c.4p0  (1.30)
Giáo sư Lê Bá Lương [21] khi nghiên cứu về sự xuất hiện và biến đổi vùng
trạng thái ứng suất giới hạn trong nền thiên nhiên đã đưa ra công thức xác định tải
trọng giới hạn đàn hồi khi tải trọng nền đắp phân bố dạng tam giác hoặc gần với
tam giác như sau:

36. 25
0
0
sin.b.cos.c2
p


 (1.31)
trong đó: 0 là hệ số phụ thuộc vào góc nội ma sát  tương ứng với trường hợp
vùng dẻo mới hình thành tại một điểm và có bảng tra sẵn.
Khi nền thiên nhiên thuộc loại đất dính lý tưởng có =0, c≠0, tra bảng được
0=0,5, thay vào (1.31), ta cũng được tải trọng giới hạn đàn hồi của nền là c.4p0 
như ở (1.30).
Ngoài ra, ta có thể dùng phương pháp đường đẳng K để đánh giá khả năng
chịu tải của nền thiên nhiên [17], [21], [26].
Hệ số ổn định tại điểm M theo một hướng bất kỳ qua M là:
),,(
ctg.
K 11 





(1.32)
trong đó: ,  là ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt đang xét;
1, 2 là các thành phần ứng suất chính;
c là lực dính đơn vị;
 là góc nội ma sát;
 là góc nghiêng của mặt đang xét so với mặt chính.
Muốn biết theo mặt nào nguy hiểm nhất tức là trên mặt đó có hệ số ổn định
nhỏ nhất (Kmin) cần lập và giải phương trình:
0
d
dK


(1.33)
Từ đó rút ra được  tương ứng với Kmin và thay trị số vào biểu thức của K ta
được:
)fA(A2Kmin  (1.34)
trong đó:
21
1 ctg.
A



 tgf

37. 26
Nếu 1KM
min  thì ở tại điểm M chắc chắn không phát sinh chảy dẻo.
Sau khi tính được trị số Kmin ở rất nhiều điểm trong đất ta sẽ vẽ được các
“đường đẳng Kmin” như hình 1.13.
Hình 1.13. Đường đẳng Kmin và bề rộng vùng dẻo R
Nếu trong đất không có điểm nào có Kmin < 1,0, tức là không có điểm nào
phát sinh chảy dẻo thì nền đắp chắc chắn sẽ rất ổn định. Ngược lại, vùng có Kmin <
1,0 sẽ phát sinh vùng dẻo. Nếu vùng dẻo càng rộng và lan ra phía hai mép chân
taluy nền đắp thì đất yếu sẽ bị đẩy trượt trồi ra hai bên và nền đắp chắc chắn sẽ mất
ổn định.
Xét đến điều kiện kinh tế và theo kinh nghiệm của nước ngoài [17], [21],
nếu nền thiên nhiên có vùng dẻo R thỏa mãn điều kiện:
B
2
1
R  (1.35)
với B là bề rộng đáy nền đắp, thì nền đắp vẫn có thể ổn định.
Khi tính toán kiểm tra hệ số Kmin bao giờ cũng tiến hành kiểm tra cho các
điểm nằm trên trục tim của nền đắp trước, vì tại đó thường chịu ứng suất lớn nhất.
Nếu tại các điểm đó đều Kmin ≥ 1 thì chắc chắn nền đắp ổn định.

38. 27
Giáo sư Đặng Hữu [20], khi kiểm tra sự xuất hiện vùng dẻo đã đưa ra khái
niệm ứng suất cắt hoạt động a và công thức xác định như sau:
c
cos
1
sin
22
2121









(1.36)
Vế trái của (1.32) là ứng suất cắt hoạt động a và đây cũng là một cách viết
khác của điều kiện chảy dẻo Mohr-Coulomb.
Để thuận lợi cho việc tính toán, giáo sư Đặng Hữu đã lập toán đồ xác định trị
số a/p tùy thuộc vào góc nội ma sát của nền tự nhiên và hình dạng của nền đắp
hình thang khi không xét và có xét trọng lượng thể tích của nền thiên nhiên.
Có thể thấy rằng, kết quả tính toán giới hạn đàn hồi được coi là chặt chẽ về
mặt lý thuyết khi trong nền đất mới xuất hiện một điểm chảy dẻo, tức là trạng thái
ứng suất được xác định trực tiếp từ lý thuyết đàn hồi. Tuy nhiên, thực tế cho thấy
khi một điểm chảy dẻo hoặc khi xuất hiện chảy dẻo cục bộ công trình vẫn làm việc
bình thường.
Trường hợp cho phép vùng dẻo phát triển thành miền, lời giải nêu trên không
xét đến sự phân bố lại ứng suất trong miền đàn hồi vì công nhận vòng tròn Mohr cắt
đường giới hạn Coulomb và cứ lớn dần mãi khi tải trọng ngoài tăng sẽ dẫn đến sai
số càng lớn khi kích thước cùng dẻo càng lớn [24].
1.1.2.4. Phương pháp nghiên cứu ổn định mái dốc
a. Phương pháp giả định mặt trượt
Phương pháp phân mảnh cổ điển
Trên thực tế thường phổ biến sử dụng phương pháp phân mảnh cổ điển để
kiểm toán ổn định mái dốc. Phương pháp này do W.Fellenius người Thụy Điển đề
xuất từ năm 1926 với giả thiết khối đất trên mái dốc khi mất ổn định sẽ trượt theo
mặt trượt hình trụ tròn nhưng không xét đến tác dụng của các lực giữa các phân
mảnh [3], [4], [6], [10], [14], [17], [23], [24], [26], [38].

39. 28
Hình 1.14. Sơ đồ tính ổn định mái dốc
a. Fellenius b. Bishop
Xét bài toán phẳng như hình 1.14a, phân khối đất trượt hình trụ tròn thành
các mảnh và giả thiết khi trượt cả khối trượt sẽ cùng trượt một lúc do đó giữa các
mảnh không có lực ngang tác dụng lên nhau; trạng thái giới hạn chỉ xảy ra trên mặt
trượt.
Như vậy mỗi mảnh trượt i sẽ chịu tác dụng của trọng lượng bản thân Pi; Pi
phân thành hai thành phần: lực tiếp tuyến tại mặt trượt Ti=Pi.sini và lực pháp tuyến
Ni=Picosi; lực tiếp tuyến gây trượt. còn lực pháp tuyến gây ra lực ma sát Ni.tgi
(với tgi là hệ số ma sát của phần đất trên đáy mặt trượt thuộc phạm vi mảnh i). Lực
ma sát cùng với lực dính ci.li dưới đáy mảnh trượt sẽ là những thành phần cản trở
trượt (li và ci là chiều dài và lực dính đơn vị của phần đất trên đoạn mặt trượt thuộc
phạm vi mảnh i). Nếu cần xét tác dụng của động đất thì mỗi mảnh trượt còn chịu
thêm một lực gây trượt Wi có cánh tay đòn so với tâm O là Zi.
So sánh tổng mô men đối với tâm trượt O do các lực gây trượt Ti và Wi của
các mảnh i với tổng mô men cản trở trượt Ni.tgi+ci.li của các mảnh i, ta sẽ biết
được mức độ ổn định của taluy đối với mặt trượt giả thiết (có tâm O và bán kính R),
cụ thể hệ số ổn định K được xác định như sau:

40. 29









 n
1
i
iii
n
1
iiiii
n
1
i
ii
n
1
iiii
)
R
Z
Wsin.P(
)l.ctg.cos.P(
)
R
Z
WT(
)l.ctg.N(
K (1.37)
Trên đây mới chỉ xác định được hệ số ổn định K ứng với một mặt trượt nào
đó nhưng chưa chắc mặt trượt này đã là mặt trượt nguy hiểm nhất. Chúng ta cần giả
thiết nhiều mặt trượt khác nhau, tương ứng với mỗi mặt trượt sẽ tính được hệ số K,
từ đó lấy trị số K nhỏ nhất (Kmin) trong số các trị số K tính được. Trị số Kmin này
mới biểu thị cho mức độ ổn định của mái taluy đó.
Phương pháp Bishop
Theo phương pháp này, việc tính toán ổn định taluy cũng giống như phương
pháp phân mảnh cổ điển, chỉ khác là ở mỗi mảnh trượt, Bishop có xét đến các lực
đẩy ngang Ei+1 và Ei-1 (hình 1.14b) tác dụng từ hai phía của mảnh trượt (không quan
tâm đến điểm đặt của hai lực ngang đó) [3], [4], [6], [10], [14], [17], [23], [24],
[26], [32].
Đối với toàn bộ khối trượt trụ tròn thì phải có: Ei = Ei+1 - Ei-1) = 0 (do
toàn bộ khối trượt ở vào trạng thái cân bằng) và không quan tâm đến vị trí điểm đặt
của các lực ngang như trên đã giả thiết, do đó mômen do Ei của các mảnh trượt
gây ra đối với tâm trượt O cũng sẽ bằng không. Từ đó, hệ số ổn định K tương ứng
với một mặt trượt tròn đã biết vẫn được xác định như sau:




 n
1
i
ii
n
1
iiii
)
R
Z
WT(
)l.ctg.N(
K (1.38)
Tuy nhiên, ở đây các thành phần Ti và Ni không phải chỉ do trọng lượng
mảnh trượt Pi gây ra, mà còn do cả các lực ngang chưa biết Ei+1, Ei-1 gây ra, tức là
không được xác định chúng như ở phương pháp Fellenius với Ni=Picosi và
Ti=Pi.sini, mà phải xác định chúng theo quan hệ sau (xuất phát từ phương trình cân
bằng lực theo phương thẳng đứng của mảnh i):
iiiii Psin.Tcos.N  (1.39)

41. 30
Giả sử khi trượt, các mảnh trượt có cường độ kháng cắt ở đáy mỗi mảnh
trượt i đều đạt tới trạng thái cân bằng giới hạn với cùng một hệ số an toàn K như
nhau thì ứng với mỗi mảnh sẽ có:
iiiii T)tg.Nl.c(
K
1
 (1.40)
Như vậy, với 3 phương trình (1.38), (1.39), (1.40) ta sẽ tìm được 3 ẩn Ni, Ti
và K; cụ thể với (1.39) và (1.40) ta tìm được:
i
i
i
iii
i
i
sin
K
tg
cos
K
sinlc
P
N





 (1.41)
Thay Ni tìm được ở (1.41) vào (1.38) ta có:
(1.42)
với
Theo (1.42) ta có thể tính được hệ số ổn định của taluy ứng với một mặt
trượt tròn đã cho theo phương pháp Bishop. Ở đây lưu ý rằng: vì mi=f(K) nên quá
trình tìm hệ số ổn định K là quá trình tính lặp. Ngoài ra, việc mò tìm hệ số ổn định
nhỏ nhất Kmin (tìm mặt trượt nguy hiểm nhất) cũng tương tự như phương pháp phân
mảnh cổ điển nói trên.
Ngoài hai phương pháp nêu trên còn rất nhiều các phương pháp theo cách
phân mảnh khác như: phương pháp Janbu, Morgenstern-Price, Spencer, hiệp hội kỹ
sư Mỹ, hoặc phương pháp dựa vào lý thuyết cân bằng giới hạn tổng quát GLE
(General Limit Equilibrium), .... Các phương pháp này có xét đến lực tác dụng giữa
các mảnh nhằm phản ánh sát với thực tế nhất sự tương tác giữa các mảnh. Tuy
nhiên, phương pháp của Bishop, dù ra đời đầu tiên và sử dụng những giả thiết khá




































1
iii
n
1
i
iii
n
1
iii
i
ii
tgtg
K
1
1m
R
Z
Wsin.P
ml.c
cos
tg.P
K

42. 31
sơ đẳng nhưng lại cho kết quả rất sát so với những phương pháp phức tạp sau này
như Morgenstern-Price hay GLE của Fredlund [39], [42], [43], [51].
b. Phương pháp giả thiết trường ứng suất
Để xác định chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng theo định lý giới hạn
dưới, W. F. Chen [33], [34] đã giả thiết trường ứng suất tại ba vùng I, II, III thỏa
mãn hai phương trình cân bằng như hình 1.15.
Hình 1.15. Trường ứng suất giả thiết
Có thể thấy trường ứng suất W. F. Chen giả thiết tại vùng III có y=x, tức là
hệ số áp lực ngang 1K
y
x
0 


 .
Tiến hành vẽ vòng tròn Mohr cho mỗi vùng và nhận được điểm chân mái
dốc đứng ứng với vùng I đạt giới hạn chảy dẻo đầu tiên (vòng tròn Mohr tiếp xúc
với đường Coulomb) khi tăng dần chiều cao mái dốc H. Khi đó ta có:
 sin.H
2
1
cos.cH
2
1
(1.43)
Do đó, chiều cao giới hạn theo định lý dưới được xác định theo công thức
sau:
Hgh(dưới) )
2
45(tg
c2 0 


 (1.44)
Ngoài ra, W. F. Chen [33], [34] còn xác định chiều cao giới hạn của mái dốc
thẳng đứng bằng cách giả thiết mặt trượt dạng xoắn ốc logarit như hình 1.16. Khi bị
phá hoại, khối trượt như một vật thể cứng, trượt trên mặt xoắn ốc logarit trong khi

43. 32
khối đất phía dưới đứng yên. Bài toán được giải với giả thiết công của nội lực chỉ
thực hiện dọc mặt trượt.
Ta có chiều cao giới hạn theo định lý giới hạn trên được công thức xác định
như sau:
Hgh(trên) )
2
45(tg
c83,3 0 


 (1.45)
Hình 1.16. Mặt trượt giả thiết dạng xoắn ốc logarit
Ta thấy chiều cao giới hạn của mái dốc thẳng đứng được xác định theo định
lý giới hạn dưới và định lý giới hạn trên không bằng nhau, nên đây không phải là lời
giải đúng. Vì vậy, lời giải chính xác o90
H nằm trong phạm vi:
)
2
45(tg
c83,3
H)
2
45(tg
c2 o
o90
o 






(1.46)
Theo tác giả, nguyên nhân dẫn đến sự chênh lệch lớn này là do:
Khi dùng định lý giới hạn dưới, có rất nhiều trạng thái ứng suất có thể thỏa
mãn hai phương trình cân bằng, nhưng W. F. Chen lại chỉ chọn một trường hợp mà
không chọn một vài trường hợp để so sánh.
Khi dùng định lý giới hạn trên, W. F. Chen đã giả thiết khối trượt như một
vật thể cứng nên sự chảy dẻo chỉ xảy ra dọc mặt trượt xoắn ốc logarit mà không
thực hiện ở các vị trí khác.
Tuy nhiên, chiều cao giới hạn theo định lý giới hạn trên xấp xỉ với kết quả
tính của Fellenius khi giả thiết mặt trượt có dạng trụ tròn.
Tiếp đến, ông xem xét chiều cao giới hạn của mái dốc nghiêng sử dụng mặt
trượt xoắn ốc logarit đi qua chân bởi vì nó tương tự như đối với sự ổn định của

44. 33
trường hợp mái dốc thẳng đứng. Sau đó, ông giải quyết tiếp hai vấn đề: một là,
trường hợp mặt trượt xoắn ốc logarit có thể trượt qua dưới chân; hai là, trường hợp
khối đất không đẳng hướng và không đồng nhất. Ông cho rằng, vì trường ứng suất
không được xem xét nên lời giải cơ chế phá hoại dạng xoắn ốc logarit có thể tốt
nhất cho giới hạn trên trong vấn đề này.
W. F. Chen đã lập thành bảng tính sẵn với nhiều kết quả và có thể áp dụng
được rất thuận tiện.
1.2. Những vấn đề còn tồn tại trong nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp
trên nền thiên nhiên
Phương pháp nghiên cứu ổn định nền đường được sử dụng rộng rãi trong
thiết kế hiện nay là phương pháp cân bằng giới hạn hay là phương pháp giải hệ
phương trình (1.14) gồm hai phương trình cân bằng và điều kiện chảy dẻo Mohr-
Coulomb (bài toán ứng suất phẳng). Giải hệ trên theo ứng suất dùng định lý giới
hạn dưới phải giả thiết trạng thái ứng suất của từng vùng trong khối đất thỏa mãn
phương trình cân bằng và điều kiện Mohr-Coulomb, do đó đây là cách làm gián
tiếp. Giải hệ trên theo đường trượt dùng định lý giới hạn trên bằng cách viết hệ
phương trình trong tọa độ cực.
Tuy nhiên, đối với mái dốc áp dụng cách giải trên là rất khó khăn nên phải
giả định trước mặt trượt. Phương pháp được sử dụng phổ biến hiện nay là phương
pháp phân mảnh cổ điển và phương pháp Bishop với giả thiết mặt trượt dạng trụ
tròn. W. F. Chen dùng mặt trượt dạng xoắn ốc logarit để tính toán và lập được bảng
biểu với nhiều kết quả rất thuận tiện cho người sử dụng.
Phương pháp cân bằng giới hạn với hai cách giải nêu trên, như W. F. Chen
đã nhận xét [34], chưa phải là ứng dụng đúng đắn của phương pháp phân tích giới
hạn (limit analysis) của lý thuyết đàn - dẻo lý tưởng bởi vì chưa xét đến hiện tượng
thể tích khối đất bị thay đổi khi dùng điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb. Mặt
khác, hệ phương trình cơ bản nêu trên không cho phép xác định trạng thái ứng suất
tại những điểm chưa chảy dẻo, tức là không xét được trạng thái ứng suất của toàn
khối đất vì đất không phải là vật liệu đàn hồi nên với hai phương trình cân bằng mà
có ba ẩn, do đó không thể xác định được trạng thái ứng suất trong đất.

45. 34
1.3. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án
Ngô Thị Thanh Hương khi nghiên cứu tính toán ứng suất trong nền đất các
công trình giao thông [19], dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Cương đã kết
hợp điều kiện ứng suất tiếp lớn nhất đạt giá trị nhỏ nhất (min (max)) với hai phương
trình cân bằng trong bài toán phẳng để được hệ phương trình sau:
 






















0
xy
0
yx
0
xyy
yxx
yx
2
(1.47)
với 2
là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2
2
2
2
2
xy 





Hệ (1.47) có ba phương trình để tìm ba ẩn chưa biết là x, y và xy nên bài
toán là xác định. Do đó, dùng hệ phương trình này ta có thể xác định được trạng thái
ứng suất trong toàn khối đất.
TS Ngô Thị Thanh Hương trong luận án của mình đã áp dụng lý thuyết trên
để giải được các bài toán sau:
- Trạng thái ứng suất chưa tới hạn nền đất thiên nhiên chịu tác dụng của
trọng lượng bản thân.
- Góc dốc tới hạn của khối cát khô.
- Sức chịu tải của đất nền dưới móng băng khi không xét đến trọng lượng
bản thân.
TS Nguyễn Minh Khoa trong luận án của mình đã phát triển lý thuyết để giải
bài toán ứng suất giới hạn trong nền đất tự nhiên dưới tải trọng tác dụng của nền
đường đắp và bệ phản áp.
Tuy nhiên, tải trọng nền đường đắp và bệ phản áp được quy thành tải trọng
phân bố, tức là chưa xét đồng thời nền đắp và nền thiên nhiên

46. 35
Vì vậy, tác giả cũng dựa trên lý thuyết min (max) nên có thể áp dụng trực tiếp
định lý giới hạn để nghiên cứu ổn định nền đường (nghiên cứu ổn định đồng thời
nền đắp và nền thiên nhiên). Tác giả chỉ cần dùng định lý giới hạn dưới mà không
cần dùng thêm định lý giới hạn trên bằng cách giả thiết rằng tất cả các điểm đều có
khả năng chảy dẻo. Đối với bài toán phẳng, ta có:
  
V
2
max mindV)x(f
G
1
Z (1.48)
trong đó: 

 cos.csin
2
)x(f
yx
;
G là mô đun trượt của đất.
Trong ngoặc […] là điều kiện chảy dẻo Mohr- Coulomb viết dưới
dạng ứng suất thành phần.
Nội dung nghiên cứu được trình bày trong các chương như sau:
1- Cơ sở lý thuyết, cách xây dựng bài toán và phương pháp giải dùng để
nghiên cứu ổn định nền đường đất đắp trên nền thiên nhiên được trình bày trong
chương 2.
2- Để kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết sử dụng, tác giả trình bày một
số bài toán cổ điển sau đó so sánh kết quả với các lời giải trước đây và thực tế được
đề cập trong chương 3.
3- Để nghiên cứu sự hình thành mặt trượt và cơ chế phá hoại của khối đất
trong trường hợp chỉ do tải trọng ngoài và trong trường hợp do trọng lượng bản
thân, tác giả trình bày bài toán nghiên cứu ổn định của khối đất có mái dốc thẳng
đứng trong chương 4.
4- Áp dụng lý thuyết đã trình bày trên để nghiên cứu ổn định nền đắp trên
nền thiên nhiên được đề cập trong chương 5.

47. 36
Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH
NỀN ĐƯỜNG ĐẤT ĐẮP TRÊN NỀN THIÊN NHIÊN
Trong chương này trình bày lý thuyết min (max) và phân biệt với lý thuyết
đàn hồi, tiếp theo trình bày cách xây dựng bài toán xác định trường ứng suất trong
đất. Cuối cùng trình bày phương pháp giải theo sai phân hữu hạn và một số kết quả
tính để chứng tỏ có thể sử dụng lý thuyết này để nghiên cứu ổn định nền đường đất
đắp trên nền thiên nhiên.
2.1. Lý thuyết min (max)
Đất là sản phẩm của quá trình phong hóa lớp trên cùng của vỏ trái đất, trầm
tích lại mà hình thành. Kích thước hạt đất thay đổi rất nhiều từ m (hạt keo) đến vài
chục cm (đá trong đất). Trong điều kiện tự nhiên, đất là vật liệu nhiều pha: pha rắn
(hạt), pha lỏng và khí. Các tính chất cơ học của đất rất phức tạp, phụ thuộc trực tiếp
vào tương tác của ba pha này với nhau. Tuy nhiên, trong quá trình trầm tích do có
trọng lượng bản thân nên cùng với thời gian thì đất càng ngày càng “ổn định”.
Trong thực tế, đê, đập được đắp bằng đất có thể không cần đầm hoặc công đầm rất
ít nhưng không bị phá hỏng mặc dù
thường xuyên tiếp xúc với nước.
Công tác đầm chặt đất ở hiện
trường cũng như thí nghiệm đầm chặt
đất bằng cối Proctor cho thấy, với
công đầm nén nhất định, ở độ ẩm tốt
nhất Wtn, đất đạt được độ chặt và
trọng lượng thể tích khô lớn nhất
kmax (hình 2.1). Hoặc nói cách khác, công đầm nén là ít nhất để đất đạt được độ
chặt yêu cầu là tại độ ẩm tốt nhất. Công đầm nén càng lớn thì trọng lượng thể tích
khô càng lớn. Tuy nhiên, khi thí nghiệm các mẫu đất sau lu lèn ngâm vào nước thì
mẫu có công đầm nén lớn nhưng không phải ở độ ẩm tốt nhất sẽ bị phá hỏng trước
so với các mẫu có công đầm nén ít hơn nhưng ở độ ẩm tốt nhất. Có thể nói, độ ẩm
k (kN/m ) 3
§
­êng
cong
no
n­íc
G
=1
n=100
n=60
n=30
n=20
G=0,8
W(%)
kmax
Wtn
Hình 2.1. Đầm chặt đất

48. 37
tốt nhất khi đầm chặt đất là độ ẩm của đất hình thành trong quá trình nén chặt tự
nhiên của đất. Điều này đã được áp dụng rất hiệu quả trong thực tế, đó là đất sau khi
đào từ phạm vi nền đường đào hoặc từ mỏ đất được vận chuyển về đắp ngay mà
không phải chờ một thời gian rồi mới đắp sẽ tiết kiệm được công đầm nén rất nhiều.
Một ví dụ khác của A.Verruijt [48], lớp đất phía trên có thể vân vê được nhưng sâu
khoảng 15m thì có thể chịu được lực rất lớn của cọc truyền vào. Nguyên nhân là do
đất phân bố trên bề mặt rời rạc nên max lớn, lớp dưới đất chặt nênmax nhỏ vì vậy
mới chịu được cọc truyền xuống. Từ những nhận xét trên, ta có thể nói quá trình
hình thành đất là quá trình dẫn đến ổn định max → min.
Để phân biệt lý thuyết min (max) với lý thuyết đàn hồi, tác giả đi nghiên cứu
trường ứng suất trong đất theo hai lý thuyết này.
2.1.1. Trường ứng suất đàn hồi trong đất
Nếu coi đất là vật liệu đàn hồi thì trường ứng suất đàn hồi trong đất có thể
được xác định thông qua trường chuyển vị, biến dạng của nó. Trong trường hợp
dùng ứng suất là ẩn thì dựa trên các phương trình cân bằng và điều kiện cực trị của
thế năng biến dạng để xác định trường ứng suất đàn hồi trong đất. Đối với bài toán
phẳng, ta có:
ràng buộc: (2.1)
trong đó: Z là thế năng biến dạng đàn hồi
trong trường hợp bài toán phẳng [1];
x, y, xy, yx là trạng thái ứng
suất tại một điểm trong đất (hình 2.2);
E,  là môđun đàn hồi và hệ số
Poisson của đất.
Hình 2.2. Ứng suất trên phân tố đất































 


 
0
xy
0
yx
mindV
2
)1(..
2E
1
Z
xyy
yxx
2
yx
2
xy
yx
2
y
2
x
V
o x
y

x
xy
 x
x
x

dx
xy


dy
y
x dx
y  y
y
dy

yx
y

yx

x
xy
y
yx

49. 38
Trong bài toán (2.1) không xét tác dụng của lực khối (trọng lượng đất). V là
diện tích khối đất.
Bằng phép tính biến phân [13], [16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên
cho ta đầy đủ các phương trình để xác định trạng thái ứng suất trong đất. Chú ý rằng
các ứng suất là hàm của tọa độ x (x,y), y (x,y), xy (x,y) là các hàm cần xác định.
Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.1) được viết như sau:
mindV
xy
)y,x(dV
yx
)y,x(
dV
2
)1(..
2E
1
F
xyy
V
2
yxx
V
1
2
yx
2
xy
yx
2
y
2
x
V































 





(2.2)
Bài toán cực trị có ràng buộc (2.1) được đưa về bài toán cực trị không ràng
buộc (2.2). 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán. Từ phép tính
biến phân ta nhận được 6 phương trình Euler- Lagrange sau:













































0
xy
0
yx
yE
1
yE
1
y
).(
E
1
x
).(
E
1
xyy
yxx
2
xy
1
yx
2
xy
1
yx
(2.3)
Hệ (2.3) là hệ 6 phương trình chứa 6 hàm là ẩn số chưa biết, gồm: x, y, yx,
xy, 1và 2.
Trong bài toán này, ứng suất tiếp xy = xy (khi không có mô men khối). Cộng
hai phương trình thứ ba và thứ tư của (2.3), ta được:
























xy
G
xy)1(2
E 2121
yxxy (2.4)

50. 39
trong đó: G là môđun trượt của đất;
)1(2
E
G


Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển
vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Phương
trình (2.4) là phương trình liên hệ giữa ứng suất tiếp và chuyển vị của môi trường
đàn hồi. Giải bài toán bằng cách loại bỏ hai hàm ẩn 1và 2 trong hệ phương trình
(2.3).
Bốn phương trình đầu của hệ (2.3) có thể dẫn về một phương trình của ứng
suất như sau:
Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.3) theo y và kết hợp với phương trình
thứ ba, nhận được :
 
x
)1(
xE
1
E
yx
E
xy
E
y
xyyx11
yx


















(2.4a)
Đạo hàm phương trình thứ hai của (2.3) theo x và kết hợp với phương trình
thứ tư của (2.3), nhận được:
 
y
)1(
yE
1
E
xy
E
yx
E
x
xyxy22
xy


















(2.4b)
Đạo hàm phương trình (2.4a) theo y, ta được:
 
yx
)1(
y
xy
2
yx2
2





(2.4c)
Đạo hàm phương trình (2.4b) theo x, ta được:
 
yx
)1(
x
xy
2
xy2
2





(2.4d)
Cộng (2.4c) với (2.4d) ta được :
   
yx
)1(2
xy
xy
2
xy2
2
yx2
2








(2.4e)
Đạo hàm phương trình thứ 5 theo x và phương trình thứ 6 theo y của (2.3) rồi
cộng lại ta được :

51. 40
2
y
2
2
x
2
xy
2
yxyx
2








(2.4f)
Thay (2.4f) vào phương trình (2.4.e), rút gọn ta được:
    0
yx
yx2
2
yx2
2






(2.5)
Phương trình (2.5) chính là phương trình tương thích dưới dạng chỉ chứa ứng
suất pháp.
Vậy với trạng thái ứng suất phẳng, tập hợp các phương trình trên dẫn đến 3
phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi sau:
 























0
xy
0
yx
0
xyy
yxx
yx
2
(2.6)
với 2
là ký hiệu ngắn gọn của toán tử Laplace, 2
2
2
2
2
xy 





Trình bày trên cho thấy bài toán (2.1) là bài toán xác định trường ứng suất
đàn hồi trong đất. Khi dùng ứng suất là ẩn thì trường ứng suất có thể xác định theo
bài toán thế năng cực trị hoặc hệ (2.6).
2.1.2. Trường ứng suất dựa trên lý thuyết min (max)
Trên hình 2.3 biểu diễn các thành
phần ứng suất trên các mặt của một
phân tố trong bài toán phẳng. Nếu như
xét một mặt phẳng bất kỳ đi qua trọng
tâm phân tố thì trên mặt phẳng ấy ta có
ứng suất tiếp  và ứng suất pháp . Ta
cũng tìm được mặt phẳng trên đó có
ứng suất tiếp max (max).
x
xy
y
yx
x
xy
yx
y
max

Hình 2.3. Ứng suất tiếp max (max)

52. 41
Ứng suất tiếp max (max) và ứng suất pháp tương ứng () trên mặt này được
xác định theo công thức sau:










2
2
21
21
max
(2.7)
trong đó: 1, 2 là các thành phần ứng suất chính, được xác định thông qua ứng suất
trong hệ tọa độ vuông góc theo công thức sau:













 








 



2
xy
2
yxyx
2
2
xy
2
yxyx
1
22
22
(2.8)
Thay (2.8) vào phương trình thứ nhất của hệ (2.7), ta có ứng suất tiếp max
(max) được xác định thông qua ứng suất thành phần như sau:
2
2
xy
2
yx
max 




 
 (2.9)
Với giả thiết trên, bài toán phẳng xác định trường ứng suất trong đất như sau:
ràng buộc: (2.10)
trong đó:  là trọng lượng thể tích của đất.
Để chứng tỏ rằng bài toán (2.10) là xác định, dùng phép tính biến phân [13],
[16] ta có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị trên cho ta đầy đủ các phương trình để xác
định trạng thái ứng suất trong đất.
0
xy
0
yx
min
2
xyy
yxx
2
xy
2
yx
max




























 


53. 42
Phiếm hàm Lagrange mở rộng của bài toán (2.10) được viết như sau:
mindV
xy
)y,x(dV
yx
)y,x(
dV
22G
1
F
xyy
V
2
yxx
V
1
2
yxxy
2
yx
V






































 





 



(2.11)
trong đó: 1, 2 là các thừa số Lagrange và là các ẩn của bài toán;
x, y, xy là trạng thái ứng suất tại một điểm trong đất;
G là môđun trượt của đất.
Từ phép tính biến phân đối với hàm mục tiêu (2.11), ta nhận được 6 phương
trình Euler- Lagrange sau:
 
 
 
 










































0
xy
0
yx
xG2
1
yG2
1
yG2
1
xG2
1
xyy
yxx
2
yxxy
1
yxxy
2
xy
1
yx
(2.12)
Bằng cách cân bằng thứ nguyên, ta thấy 1 và 2 có thứ nguyên của chuyển
vị, hơn nữa 1 là chuyển vị theo phương x, 2 là chuyển vị theo phương y. Cộng 2
phương trình đầu của hệ (2.12) ta được:
0
yx
yx
21






(2.13)
Từ phương trình (2.13) ta thấy, dựa trên lý thuyết min (max) thì biến dạng thể
tích bằng 0. Đây chính là yếu tố quan trọng để ta có thể áp dụng đúng quy tắc chảy
kết hợp của vật liệu đàn dẻo lý tưởng mà điều kiện chảy dẻo là Mohr- Coulomb.