Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace Giá 10k, liên hệ page để mua tài liệu www.facebook.com/garmentspace

1. 1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
Kiên Thị Bích Trâm
Đề tài:
KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

2. 2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
Kiên Thị Bích Trâm
Đề tài:
KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
MÃ SỐ: 102
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

3. 3
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành tốt đề tài này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, em luôn nhận được sự
động viên, quan tâm và giúp đỡ từ thầy cô, gia đình và bạn bè.
Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, giáo viên hướng
dẫn luận văn này – cô đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa, đặc biệt các thầy cô trong tổ Vật
lý lý thuyết đã tận tình truyền đạt những kinh nghiệm, kiến thức quý báu trong suốt khóa học, đó
là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ em trong suốt thời gian học cũng như trong
thời gian tiến hành luận văn.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận
xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.
Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè.
Em xin chân thành cám ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2013

4. 4
MỤC LỤC
MỤC LỤC................................................................................................................4
MỞ ĐẦU 6
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT.........................................................................12
1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger ..........................12
1.2 Tổng quan về exciton................................................................................19
1.2.1 Lịch sử .............................................................................................19
1.2.2 Khái niệm.........................................................................................20
1.2.3 Phân loại..........................................................................................21
1.2.4 Tính chất..........................................................................................22
1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều..24
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU
TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ...............................................................28
2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều...28
2.2 Kết quả - Phân tích...................................................................................33
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ..............................................................36
3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử..36
3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động
tử phi điều hòa bậc bốn............................................................................38
3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều................................40
3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau40
3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu .........................................50
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI...................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................54
Phụ lục 1:Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................57
Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử................................................................60

5. 5
Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên.............................63
Phụ lục 4:Các toán sinh – hủy hai chiều........................................................65
Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )+
= − + +S M M Nτ .............68
Phụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường
70

6. 6
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý quan tâm nhiều đến các cấu trúc
thấp chiều do tính ứng dụng cao cũng như các hiệu ứng đặc biệt của nó [10, 20].
Trong các mô hình thấp chiều đó, loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn GaAs/GaAlAs
được sử dụng tương đối phổ biến. Trong tinh thể này, do đáy vùng dẫn
1Al Ga Asx x− (x 0.45)≤ cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên vùng chứa
GaAs hoạt động như hố thế trong khi vùng chứa 1Al Ga Asx x− đóng vai trò là bức
tường thế. Đặc biệt kỹ thuật nuôi cấy tinh thể tiên tiến như kĩ thuật cấy chùm phân
tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng
(cỡ nm) thì bức tường thế có thể xem là cao vô hạn. Lúc này, các hạt tải của GaAs
sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng
dẫn trong khi các lỗ trống bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử
chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là
khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lượng đo được là phổ liên tục.
Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử và
đặc biệt phổ hấp thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ. Điều này chỉ có
thể giải thích bởi sự tồn tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống tạo thành
giả hạt exciton [8].
Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác
tĩnh điện, trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong
mạng nhưng không lan truyền điện tích. Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại
của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi và bán
dẫn [16, 19]. Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những
hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do
tính ứng dụng cao của nó. Ngoài ra, các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận
lợi để quan sát và nghiên cứu phổ năng lượng exciton [16, 19, 22]; đặc biệt hệ
exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp còn có những hiệu ứng, đặc tính vật lý thú

7. 7
vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng
ngưng tụ Bose,… [18, 22, 23]. Khi nghiên cứu phổ năng lượng của exciton, ta thu
được nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi
các chất này được đặt trong từ trường. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc
biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano. Vì thế, bài toán
exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang
thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu.
Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai
trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học
giúp ta giải quyết các bài toán chuyển động của hạt vi mô. Tuy nhiên, phương trình
này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường
hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa số các
bài toán hệ lượng tử thực đều phải sử dụng các phương pháp tính gần đúng hoặc các
phương pháp số để tìm hàm riêng và trị riêng. Một trong những phương pháp gần
đúng cổ điển được nhiều người biết đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý
tưởng chính của phương pháp này là dựa vào yếu tố vật lý của bài toán, tách toán tử
Hamilton thành hai phần: thành phần thứ nhất được xem là phần chính có thể tìm
nghiệm chính xác, thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn. Phương pháp lý
thuyết nhiễu loạn đã chứng tỏ hiệu quả của nó qua nhiều bài toán khác nhau; nhưng
nó chỉ giải quyết được những bài toán thỏa điều kiện là thành phần nhiễu loạn đủ
nhỏ so với thành phần chính, đối với những bài toán không thỏa điều kiện này (bài
toán phi nhiễu loạn) thì không thể áp dụng được phương pháp này. Bài toán exciton
trong từ trường với độ lớn của từ trường cùng thang so với thế Coulomb là một bài
toán phi nhiễu loạn không thể tìm được nghiệm giải tích chính xác.
Phương pháp toán tử FK được đưa ra năm 1982 để giải quyết những bài
toán phi nhiễu loạn nêu trên bởi một nhóm giáo sư ở đại học Belarus [11]. Ý tưởng
chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là
tách Hamiltonian thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác và phần còn lại

8. 8
là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia
Hamiltonian không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các
toán tử trong Hamiltonian. Điểm đặc biệt là trong phương pháp còn đưa vào một
tham số tự do, có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho năng lượng
và hàm sóng. Quy trình giải của phương pháp toán tử FK gồm bốn bước cơ bản: (1)
biểu diễn Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy Dirac ( ) ( ),ˆ ˆa aω ω+
:
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) ( , , ),H x p H a a ω+
→ ở đây tham số tự do ω được đưa vào thông qua các toán tử
sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phần, thành phần ( )0
ˆ ˆ ˆ,OM
H a a ω+
giao
hoán với toán tử ˆ ˆa a+
(thành phần trung hòa) được xem là phần chính, phần còn lại
( )ˆ ˆ ˆ, ,OM
V a a ω+
xem là nhiễu loạn: ( ) ( )0
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) , , ,OM OM
H a a H a a V a aω ω ω+ + +
= + , với
cách tách này ( )0
ˆ ˆ ˆ,OM
H a a ω+
luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham
số tự do ω sao cho ( )0
ˆ ˆ ˆ,OM
H a a ω+
là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta
có nghiệm riêng của ( )0
ˆ ˆ ˆ,OM
H a a ω+
là nghiệm gần đúng bậc zero; (4) xem
( )ˆ ˆ ˆ, ,OM
V a a ω+
là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ
thích hợp. Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thể, phương pháp toán
tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử
dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yếu
tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt;
ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có
cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5]. Phương pháp toán tử FK đã được áp
dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: dao động tử phi điều
hòa, bài toán polaron trong vật lý chất rắn, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12].
Chính vì vậy, sự lựa chọn phương pháp toán tử để giải bài toán exciton trong từ
trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5].

9. 9
Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các
bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn là dạng thế tương tác
Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử
dụng phép biến đổi Levi-Civita hoặc Laplace. Trong công trình [5] đã sử dụng
thành công phép biến đổi Levi-Civita để giải bài toán exciton hai chiều trong từ
trường với kết quả nghiệm số thu được chính xác đến 20 chữ số sau dấu phẩy. Tuy
nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này thì năng lượng E không còn là trị riêng của
toán tử Hamilton nữa mà được xác định gián tiếp thông qua việc giải phương trình
Z(E) = const với Z là một trị riêng hình thức có giá trị không đổi. Đối với các bài
toán phức tạp hơn như bài toán exciton âm, chúng tôi nghĩ rằng việc xác định năng
lượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng việc giải trực tiếp. Trong
trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ ra khỏi
mẫu số; lúc này phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả mà
không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác. Trong luận văn này, tác giả
sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường để tiếp tục
khảo sát tính hiệu quả khi áp dụng phép biến đổi này trong phương pháp toán tử.
Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là
vai trò của tham số tự do ω. Với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài
toán là khác nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm
chính xác. Ngoài ra, độ chính xác của nghiệm gần đúng cũng phụ thuộc vào việc
chọn lựa ω. Vì vậy, việc chọn lựa tham số ω rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm
được nhiều tài nguyên tính toán. Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách
chọn ω là dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự
do, xác định thông qua điều kiện gần đúng:
( )0
0
ω
∂
=
∂
nE , nhưng khi áp dụng cho các
trạng thái kích thích thì phương pháp này tỏ ra hạn chế [12]. Trong công trình [6] đã
đưa ra điều kiện mang tính phổ quát để xác định ω thông qua bài toán dao động tử
điều hòa. Tuy nhiên, đối với bài toán exciton 2D trong từ trường đều, việc khảo sát
ω chưa được tiến hành và thử nghiệm điều kiện đã nêu trong công trình [6].

10. 10
Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đẩy tôi thực hiện luận văn “Khảo
sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ
trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương
pháp toán tử cho bài toán cụ thể đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiều
trong từ trường đều theo tham số tự do. Luận văn chỉ giới hạn ở đối tượng là
exciton trung hoà.
Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:
• Tìm hiểu về phương pháp toán tử.
• Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều.
• Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử.
• Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D
trong từ trường đều theo tham số tự do ω .
Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:
• Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tổng hợp tài liệu.
• Lập luận, tính toán để xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton
2D trong từ trường đều.
• Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình
Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều về dạng không thứ
nguyên, dạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về dạng chuẩn.
• Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số.
1. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương này gồm hai phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về phương
pháp toán tử FK qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Trong đó ta lần lượt

11. 11
trình bày về ý tưởng phương pháp thể hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương
pháp và lưu ý một số vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử. Phần hai trình bày
tổng quan về exciton: lịch sử, khái niệm, phân loại, tính chất của exciton và phương
trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường.
Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ
trường đều.
Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương
1 để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường đều. Ta
lần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính
xác bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai
chiều. Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế
tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến
đổi Laplace như trong công trình [7].
Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử.
Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này, chúng ta sẽ
phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính
toán. Để minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số
ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng
phương pháp toán tử FK [6]. Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là
khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ
trường đều. Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của
bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn
cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều
kiện để chọn lựa giá trị tham số tối ưu và đưa ra một số kết luận.
Trong phần kết luận ta đưa ra các kết quả thu được trong luận văn và hướng
phát triển đề tài.

12. 12
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình
Schrödinger: các bước giải, ưu điểm, những vấn đề khi sử dụng phương pháp toán
tử; đồng thời ta cũng trình bày tổng quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất
và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều.
1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger
Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những
năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi
nhóm của giáo sư Feranchuk I. D và Komarov L. I. ở trường Đại học Belarus [11]
và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12].
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử
đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
• Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông
thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; các tính toán được
thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đổi các
thuần đại số.
• Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ
bất kì.
• Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài.
Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thể hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ
trình bày sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều.
Xét phương trình Schrödinger cho dao động tử phi điều hòa:

13. 13
ˆ ( ) ( ),H x E xΨ = Ψ (1.1)
với toán tử Hamilton không thứ nguyên:
2
2 4
2
1 1ˆ .
2 2
d
H x x
dx
λ=− + + (1.2)
Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản
như sau:
Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng
cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:
1
ˆ ˆ ˆ ;
2 2
1
ˆ ˆ ˆ .
2 2
i d
a x p x
dx
i d
a x p x
dx
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
   
   
   
   
   
   
= + = +
= − = −
(1.3)
Ở đây toán tử ˆa được gọi là “toán tử hủy”, ˆa+
được gọi là “toán tử sinh” và
ω là tham số tự do được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán. Chúng ta gọi là
tham số tự do vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của .ω
Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:
ˆ ˆ, 1a a+
 
  = . (1.4)
Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các
toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi
cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của
toán tử (xem thêm Phụ lục 2).
Thế (1.3) vào (1.2) và sử dụng (1.4), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán
tử Hamilton như sau:

14. 14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 22
4
4 3 24 3 2
2
1 1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4 4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω ω
λ
ω
+ + + +
+ + + +
   
      
 
  
+ −
= + + + + + +
+ + + + + + (1.5)
Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (1.5) thành hai thành phần như sau:
- Phần thứ nhất là ( )0
ˆ ˆ ˆ, ,OM
H a a λ ω+
chỉ chứa các thành phần ˆ ˆ ˆn a a+
= , các
thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số
toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:
( ) ( )
2 2
0 2
1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1
4 4
OM
H a a a a a a
ω λ
ω ω
+ + + 
  
+
= + + + + . (1.6)
- Phần còn lại ta kí hiệu là ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OM
V a a λ ω+
.
Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử
Hamilton thành hai thành phần: thành phần ( )0
ˆ ˆ ˆ, ,OM
H a a λ ω+
có nghiệm chính xác
mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ( )ˆ ˆ ˆ, , ,OM
V a a λ ω+
được
xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện
của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω .
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
0
ˆ ˆ ˆ, ,OM
H a a Eλ ω ψ ψ+
= . (1.7)
Ta thấy ( )0
ˆ ˆ ˆ, ,OM
H a a λ ω+
giao hoán với toán tử ˆ ˆ ˆn a a+
= và nghiệm của nó dễ
dàng xây dựng như sau:
( )1
ˆ( ) 0
!
n
n a
n
ω +
= , (1.8)

15. 15
Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm
(1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum)
0 được xác định bằng phương trình:
ˆ( ) 0 0; 0 0 1a ω= = . (1.9)
Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng
tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.4), ta dễ dàng kiểm chứng:
ˆ ˆ ;a a n n n+
= (1.10)
điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử ˆ ˆ ˆn a a+
= , từ đó có
thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử ( )0
ˆ ˆ ˆ, ,H a a λ ω+
. Ta có:
( )
( ) ( )
2
0 2
2
1 3
2 1 2 2 1
4 4nE n n n
ω λ
ω ω
+
= + + + + (1.11)
là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nói,
đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định ω từ điều
kiện:
( )0
0.nE
ω
∂
=
∂
(1.12)
Điều kiện để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thực hiện
trong một số công trình [7, 11, 12] và đã chỉ ra rằng phương trình (1.12) cho ta kết
quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau.
Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện 0
ˆ ˆH V>> . Với bài toán chúng ta
đang xét, điều kiện (1.12) dẫn tới phương trình để xác định ω như sau:
( ) ( ) ( )3 2
2 1 2 1 6 2 2 1 0n n n nω ω λ+ − + − + + = (1.13)

16. 16
Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các
bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham số tự
do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải
tìm nghiệm số. Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:
( )( )
0,
n s
ss
n nn nn k nk
k k n
E H V C V
+
= ≠
= + + ∑ ,
( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− =+ ∑ , (1.14)
với điều kiện ban đầu là ( )
( )0
0,jC j n= ≠ . Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử
dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho 1β = . Ngoài ra các giá trị ( )( )
,
ss
n jE C tương
ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu
loạn được định nghĩa như sau:
*
0
ˆ( ) ( )kk k kH x H x dxψ ψ
+∞
−∞
= ∫ , * ˆ( ) ( )jk j kV x V x dxψ ψ
+∞
−∞
= ∫ (1.15)
hay 0
ˆ OM
kkH k H k= , ˆ
jkV j V k= ; (1.16)
các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số
nhờ các hệ thức (1.4), (1.9). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:
ˆ ˆ1 1 ; 1 .a n n n a n n n+
= + + = − (1.17)
Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong
những ưu điểm của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử
ma trận như (1.15) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường

17. 17
minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ
thể là sử dụng (1.10) và (1.17).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau :
( ) ( )
2
2
2
1 3
2 1 2 2 1
4 4nnH n n n
ω λ
ω ω
+
= + + + + ,
( ) ( )( )
2
, 2 2
1
2 3 2 1
4 2n nV n n n
ω λ
ω ω+
 
 
 
−
= + + + + ,
( )( )( )( ), 4 2 4 3 2 1 ;
4n nV n n n n
λ
ω+= + + + + (1.18)
các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng nm mnV V= .
Bảng 1.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản 0n = [5].
0.01λ = 0.05λ = 0.1λ = 0.3λ = 1.5λ =
( )0
0E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
( )1
0E 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
(2)
0E 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333
( )3
0E 0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664
( )4
0E 0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705
( )5
0E 0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845
( )6
0E 0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
( )7
0E 0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659
( )8
0E 0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861
( )9
0E 0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336
( )10
0E 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198
( )
0
T
E 0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251

18. 18
Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi
điều hòa ở trạng thái cơ bản 0n = khi dùng phương pháp toán tử FK. Như đã nói ở
trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao
động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dạng cụ
thể của toán tử Hamilton, do đó có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán.
Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số ω vì ứng với mỗi giá trị ω khác nhau
thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau. Điều kiện (1.12) trong một số bài toán
không cho tốc độ hội tụ cao. Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số
tự do ω tối ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết
và rất có ý nghĩa.
Ngoài việc chọn tham số ω tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh về giá trị
chính xác, khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho
các bài toán phức tạp hơn như các bài toán hệ nguyên tử, phân tử, do một số đặc
điểm riêng chúng ta gặp một số vấn đề cần nghiên cứu và giải quyết như: dạng thế
tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số ; việc đưa các toán tử về
dạng “chuẩn” (normal) để tính toán các yếu tố ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính
bậc cao ; việc xây dựng bộ hàm sóng cơ sở đảm bảo là nghiệm của dao động tử điều
hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán;
cuối cùng là việc lựa chọn sơ đồ thích hợp để bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính
xác. Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp
phải những vấn đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phần sau.

19. 19
1.2 Tổng quan về exciton
1.2.1 Lịch sử
Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phổ hấp thụ ở
tinh thể khí hiếm và trong tinh thể phân tử (xem [22]). Để giải thích điều này, năm
1931, khái niệm exciton lần đầu tiên được Frenkel tiên đoán và sau đó được tiếp tục
nghiên cứu phát triển trong các công trình tiếp theo của ông. Trong các công trình
của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh
thể khí hiếm. Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô tả các exciton trong chất
cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là
exciton phân tử (xem [19, 22]).
Đến năm 1937, Wannier và Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành
bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, tương tự như nguyên tử hydro, phù
hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn. Exciton loại này sau được đặt tên là
exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]). Sau đó, phổ hấp thụ của exciton Mott-
Wannier được Gross tìm thấy đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh
thể Cu2O (xem [16]).
Năm 1958, Lampert nêu ra khả năng tồn tại các trạng thái exciton phức tạp
mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ
trống [17]. Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phổ năng lượng
của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử
và lỗ trống rất lớn [15].
Ngày nay, bằng chứng về sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các
hầu hết các loại tinh thể điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dẫn (Ge,
GaAs, CdS, Cu2O, CuCl), và cả trong polymer [16, 19].
Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa một
điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ

20. 20
trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ
trống kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton dương. Trong giới hạn của luận
văn này chỉ đề cập đến trường hợp exciton trung hòa.
1.2.2 Khái niệm
Trong bán dẫn thông thường, độ rộng của vùng cấm gE giữa vùng dẫn và
vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh
sáng khả kiến. Một photon có năng lượng gh Eω > có thể kích thích một điện tử
trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể
hiện như một điện tích dương. Một điện tử dẫn liên kết với một lỗ trống bởi tương
tác Coulomb sẽ tạo ra một hệ tương tự nguyên tử hydro, tuy nhiên năng lượng liên
kết của nó nhỏ hơn nhiều và kích thước lớn hơn nhiều lần so với nguyên tử hydro.
Ở giới hạn mật độ thấp, khi đó ta có thể bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ
trống được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton.
Hình 1.1: Các mức năng lượng exciton [5].
Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trống thông
qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện môi.

21. 21
Trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong mạng
nhưng không lan truyền điện tích.
1.2.3 Phân loại
Exciton được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất của vật liệu đang xét:
• Exciton Mott-Wannier: Trong chất bán dẫn, hằng số điện môi tương
đối lớn gây ra thế chắn, làm giảm tương tác Coulomb giữa điện tử và
lỗ trống. Trong trường hợp này, mặc dù vẫn tương tác với nhau nhưng
các điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ
trống tương ứng cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng. Điện tử và
lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn nhiều lần hằng số
mạng. Khi đó, thế năng của mạng tinh thể sẽ tác động đáng kể đến
chuyển động của điện tử và lỗ trống, làm giảm khối lượng hiệu dụng
của chúng; lại cộng thêm thế chắn của môi trường mạng nên năng
lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng
của hydro (mức trung bình là 0.1 eV). Loại exciton này gọi là exciton
Mott-Wannier, đặt theo tên hai nhà khoa học Nevil Francis Mott và
Gregory Wannier. Exciton loại này thường xảy ra trong tinh thể đồng
hóa trị.
• Exciton Frenkel: Trong chất cách điện, hằng số điện môi rất lớn nên
điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Loại
exciton này được gọi là exciton Frenkel, đặt theo tên của J. Frenkel
(còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ). Do kích cỡ
nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi trường mạng nên
năng lượng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV).

22. 22
Hình 1.2: Exciton Mott Wannier: liên kết yếu với khoảng cách trung
bình giữa electron – lỗ trống lớn hơn so với hằng số mạng [5].
Hình 1.3: Exciton Frenkel: liên kết được biểu diễn định xứ tại một
nguyên tử trong một tinh thể kiểu halogenua [5].
1.2.4 Tính chất
Exciton có các tính chất chính như sau:
• Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi.
• Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy
nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn.

23. 23
• Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton
gián đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các
vạch như phổ hấp thụ của hydro.
• Sự tồn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát
hiện một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng
dài với các mũi nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm
thay đổi nồng độ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống như nguyên tử hydro
đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS,
HgI2, PbI2, CdI2, CuO2,...
Hình 1.4: Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [5].

24. 24
1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều
Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường có dạng:
ˆ ( , ) ( , ),=H x y E x yψ ψ
với Hamiltonian có dạng:
2 2 2
* 2 2 * 2 2
* *
1 1 1 1ˆ ˆ ˆ .
2 2 2 2
e e e c e h h h c h
e h e h
e e Ze
H p A m r p A m r
m c m c r r
ω ω
ε
   
= − + + + + −   
−   
 
Trong đó:
•
2
*
1
ˆ
2
e e
e
e
p A
m c
 
− 
 

và
2
*
1
ˆ
2
h h
h
e
p A
m c
 
+ 
 

lần lượt là động năng của
electron và lỗ trống. Trong biểu thức trên, vector xung lượng ˆp được
thay bằng ˆ
e
p A
c
 
− 
 

do tác dụng của từ trường, với
1
,
2
i iA r B =  
 
là
thế vector của từ trường, xét trường hợp (0,0, )B B=

.
• Số hạng * 2 21
2
e c em rω , * 2 21
2
h c hm rω là động năng do chuyển động xoáy
ốc dưới tác dụng của từ trường của electron và lỗ trống, với
*c
eB
m c
ω = là tần số chuyển động xoáy ốc và B là cường độ từ trường.
• Số hạng
2
e h
Ze
r rε
−
−
là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và
lỗ trống.
Ta tính:
1 1 1 1
,
2 2 2 2
0 0
i i
i j k
A r B x y z Byi Bxj
B
 = = = − 
 
   

25. 25
2 2
2 2 2 2
( ) ,
4 4
B B
A x y r⇒ = + =

1 1
; ; 0
2 2
x y zA By A Bx A⇒ = =− =;
Tính:
2 2 2
2 2 2
2
ˆ ( ) ( ) .e e e e e e e e e e
e e i e e
p A i A A A A
c c c c
   
− =− ∇ − =− ∇ + ∇ + ∇ +   
   
    
 
;
;
e e x y z e
e e x y z
A A A A divA
x y z
A A A A
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + + =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∇= + +
∂ ∂ ∂
 

Chọn eA

sao cho 0edivA =

; suy ra:
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2
* * * * 2
ˆ ( ) ( )
1
( ) ( ) .
2 2 2 2
e e e e e e e e
e e e e e e
e e e e
e e i e e
p A i A A A
c c c c
e i e e
i A A A
m c m m c m c
   
− =− ∇ − =− ∇ + ∇ +   
   
 
⇒ − ∇ − =− ∇ + ∇ + 
 
   
 
   

Số hạng
2
2
e
c
có bậc quá nhỏ, nên ta có thể bỏ qua
2
2
* 2
( ) .
2
e
e
e
A
m c

Với: ˆ ,zL i x y
y x
 ∂ ∂
=− − 
∂ ∂ 
 xét:
* *
* *
( )
2 2
ˆ ,
2 2
e e x y z
e e
z
e e
i e i e
A A A A
m c m c x y z
eB eB
i y x L
m c x y m c
 ∂ ∂ ∂
∇= + + 
∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂
= −= 
∂ ∂ 
 


26. 26
Làm tương tự cho
2
*
1
ˆ
2
h h
h
e
p A
m c
 
− 
 

, sau đó thế vào biểu thức của
Hamiltonian ta được:
2 2 2
2 * 2 2 2 * 2 2
* * * *
1 1ˆ ˆ ˆ
2 2 2 2 2 2
e z e c e h z h c h
e e h h e h
eB eB Ze
H L m r L m r
m m c m m c r r
ω ω
ε
=− ∇ + + − ∇ + + −
−
 
2 2 2
2 2 * 2 2 * 2 2
* * * *
1 1 1 1ˆ ˆ
2 2 2 2 2
e h z e c e h c h
e h e h e h
eB Ze
H L m r m r
m m c m m r r
ω ω
ε
 
=− ∇ − ∇ + + + + − 
− 
 
Thực hiện các phép biến đổi hệ tọa độ, chuyển từ hệ toạ độ 2 biến ( er , hr ) về
2 biến mới (r, R), với:
e hr r r= − ,
* *
* *
e e h h
e h
m r m r
R
m m
+
=
+
,
* *
e hM m m= + ,
* *
* *
e h
e h
m m
m m
µ =
+
.
Trong đó: M là khối lượng toàn hệ, µ là khối lượng rút gọn của hệ.
Ta có:
*
e
e e e
mr R
r r r R r r M R
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + =+
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Suy ra:
2 2* * *2 2 2
2
2 2 2
2e e e
e e
e
m m m
r M R r M R M R r r
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=∇ =∆ = + = + +   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
.
Tương tự, ta có
2 22 * * 2 * 2
2
2 2 2
2 .h h h
h h
h
m m m
r M R r M R M R r r
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=∇ =∆ = − = − +   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
Thay tất cả vào biểu thức Hamiltonian, với c
eB
cµ
Ω = , ta được:

27. 27
22 2 2
2 2 2ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ ,
2 2 2 2 2 2
c
c z
p p eB Ze
H M R r L
M c r
ω µ
µ µ ε
Ω 
= + + + + − 
 
Hamiltonian được tách biến làm hai phần:
• Chuyển động của tâm khối :
2
2 2ˆ 1ˆ
2 2
R c
p
H M R
M
ω= + , có dạng dao
động tử điều hoà ta có thể giải tìm nghiệm chính xác.
• Chuyển động tương đối:
22 2
2ˆ 1ˆ ˆ ,
2 2 2 2
c
r z
p eB e
H r L
c r
µ
µ µ ε
Ω 
= + + − 
 
được viết lại dưới dạng không thứ nguyên như sau (xem Phụ lục 3):
2 2 2
2 2
2 2
1ˆ ( ) ,
2 2 8
i Z
H x y x y
x y y x r
γ γ   ∂ ∂ ∂ ∂
=− + − − + + −   
∂ ∂ ∂ ∂  
với ε là hằng số điện môi, khi đó đơn vị năng lượng sẽ là hằng số Rydberg hiệu
dụng * 4 2 2
/ 2R eµ ε=  , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng * 2 2
/a eε µ=  .
Cường độ từ trường không thứ nguyên được xác định bằng biểu thức: *
/ 2c Rγ ω=  .
Từ trường yếu ứng với giá trị 1γ << , từ trường mạnh ứng với 1γ  và từ trường
trung bình ứng với giá trị 1γ ≈ .

28. 28
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN
EXCITON HAI CHIỀU TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương 1
để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường. Ta lần
lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính xác
bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai chiều.
Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế tương
tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến đổi
Laplace như trong công trình [7].
2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều
Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường được viết
như sau:
ˆ ( , ) ( , ),=H x y E x yψ ψ (2.1)
với:
2 2 2
2 2
2 2
1ˆ ( )
2 2 8
i Z
H x y x y
x y y x r
γ γ   ∂ ∂ ∂ ∂
=− + − − + + −   
∂ ∂ ∂ ∂  
(2.2)
Trong biểu thức trên, số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn
khi sử dụng phương pháp toán tử FK. Vì thế, để không gặp khó khăn, ta sử dụng
phép biến đổi Laplace như sau:
2
0
1 1ˆ
tr
I
e
U dt
r tπ
+∞ −
= = ∫
(2.3)
Ta sẽ giải phương trình theo sơ đồ bốn bước của phương pháp toán tử như đã
đề cập trong chương 1.

29. 29
Bước 1: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh – hủy hai chiều
bằng cách đặt biến số động lực thông qua các toán tử sau:
1 1
ˆ ˆ( ) ; ( ) ;
2 2
1 1ˆ ˆ( ) ; ( ) ;
2 2
x x
x x
x x
y y
y y
y y
a x a x
x x
b y b y
y y
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
+
   ∂ ∂
=+ =−   
∂ ∂   
   ∂ ∂
=+ =−      ∂ ∂   
(2.4)
Trong đó: ˆa , ˆb là toán tử huỷ, ˆa+
, ˆb+
là toán tử sinh, xω , yω là tham số thực
được thêm vào để tối ưu quá trình tính toán.
Ta chứng minh được các hệ thức giao hoán sau:
ˆ ˆ[ , ] 1,
ˆ ˆ[ , ] 1;
a a
b b
+
+
=
=
(2.5)
Ở đây chúng ta dùng các ký hiệu
 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) ( ) , 2 1M a b M a b N a a b b    
       (2.6)
là các toán tử thỏa mãn các công thức giao hoán sau:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , , 4 , , 4M M N M N M N M M                   
. (2.7)
Như vậy ba toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N
tạo thành một đại số kín. Ngoài ra dễ dàng
chứng minh các toán tử này giao hoán với toán tử moment xung lượng ˆ
zL . Đồng
thời do tính đối xứng, ta chọn: .x yω ω ω= =
Từ đó, Hamiltonian của hệ được viết lại như sau:
( ) ( )
( )
2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 2 16
2 ˆ ˆ ˆexp
m
H M N M M N M
d
Z M N M
ω γ γ
ω
ω τ
τ
π τ
+ +
+∞
+
=− − + + + + +
 − − + +
 ∫
(2.8)

30. 30
với thành phần { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ +
= − + + được đưa về dạng chuẩn (xem Phụ lục 5):
{ } 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp exp ln 2 1 exp
2 1 2 2 1
S M M N M N M
τ τ
τ τ
τ τ
+ +− −     
= − + + = − +     
+ +     
.
Khai triển ˆS theo chuỗi Taylor, ta được:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 ˆ ln 1 2
2
0 0
2
ˆ ˆ2 2 2
0 0 0
1 2
1ˆ ˆ ˆ
! ! 1 2
1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2 ! ! 1 2! 1 2 1 2
ˆ ˆ .
i j
i jN
i j
i i j
i i i j
N N
i i j
i j
S M e M
i j
M M M M
i ji
S S
ττ
τ
τ τ
τ ττ τ
+ −∞ ∞ +
+
= =
+∞ ∞ ∞
+ +
= = =
≠
− 
=  
+ 
− −   
+   
+ +   + +
= +
∑∑
∑ ∑∑
Bước 2: Tách Hamilton thành 2 thành phần: thành phần chính 0
ˆ OM
H gồm các toán
tử trung hòa (chỉ chứa thành phần giao hoán với các toán tử ˆ ˆa a
và ˆ ˆb b
), thành
phần còn lại là nhiễu loạn ˆOM
V :
0
OM OMˆ ˆ ˆH H V= + (2.9)
( )
( )
( )
( )
2
0
2
ˆ2 2
00
ˆ ˆ
4 16 2
2 1 1ˆ ˆ ;
1 2! 1 2
OM
i
i i
N
i
m
H N
d
Z M M
i
ω γ γ
ω
ω τ τ
π ττ τ
+∞ ∞
+
=
 
=+ + 
 
− 
−  
+  +
∑∫
(2.10)
( )
( )
( )
( )
( )
2
ˆ 2
0 00
ˆ ˆ ˆ
4 16
2 1 1ˆ ˆ ;
! ! 1 2 1 2
OM
i j
i j
N
i j
i j
V M M
d
Z M M
i j
ω γ
ω
ω τ τ
π ττ τ
+
++∞ ∞ ∞
+
= =
≠
 
= − + + 
 
− 
−  
+  +
∑ ∑∫
(2.11)
Bước 3: Tìm nghiệm chính xác bậc không bằng cánh giải phương trình:
( ) ( ) ( )0 0 0
0
ˆ ;OM
n nH Eψ ψ= (2.12)

31. 31
Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở thỏa các điều kiện: vừa là bộ hàm sóng của dao
động tử điều hòa, vừa là hàm riêng của toán tử ˆ
zL (vì toán tử ˆ
zL là đại lượng bảo
toàn).
Bộ hàm sóng cơ sở của bài toán:
( ) ( )2 21 ˆ ˆˆ ˆ, ( ) ( ) 0 ;
2 2 !( )!
mk
mk
k m a b a ib
k m k
ω+ + + +
 = + ± 
+
với k=0,1,2,3,…; 0, 1, 2,...m = ± ±
Với hàm sóng như trên, ta có biểu thức thường dùng:
ˆ , 2(2 1) , ;N k m k m k m= + +
ˆ , 2 ( ) 1, ;M k m k k m k m= + −
( )ˆ , 2 1 ( 1) 1, ;M k m k k m k m+
= + + + +
Ta xác định được nghiệm của phương trình:
( )
( )
( )
( )
2
0
2
2 12
0
(2 1)
2 8 2
! !1
;
( )! !!
k kk
k
i
k m
i
m
E H k m
k k m
Z I
k i k m ii
ω γ γ
ω
ω + +
=
 
= = + + + + 
 
+
−
− + −
∑
(2.13)
với:
( )
( )
( )
2
12
0
1 (2 2 3)!!(2 1)!!2
2 ( 1)!1
q q
q
p p p
t p q q
I dt
pt
π
π
+∞
−
− − − − −
= =
−+
∫ ; với p, q=1,2,3,…
Biểu thức trên chính là năng lượng gần đúng bậc zero tìm được phụ thuộc
vào tham số ω . Như đã nói, đây là tham số được đưa vào để tối ưu hoá quá trình
tính toán. Từ điều kiện (1.12) ta thu được phương trình xác định ω như sau:

32. 32
( )
( )
( )
2
2
2 122
0
! !1 1
(2 1) 0.
2 8 ( )! !2 !
k
i
k m
i
k k mZ
k m I
k i k m ii
γ
ω ω
+ +
=
+ 
− + + − = 
− + − 
∑ (2.14)
Bước 4: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số.
Trong phần này, ta sẽ sử dụng sơ đồ vòng lặp để tìm nghiệm số chính xác.
Khi đó, hàm sóng chính xác bậc (s) ứng với năng lượng ( )s
kmE có dạng:
( ) ( )
0
( ) ( ) ,
k s
s s
km l
l
l k
k m C l m
+
=
≠
Ψ = + ∑ (2.15)
Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:
( ) ( )
0,
lk
k s
s s
km kk l
l l k
HE H C
+
= ≠
= + ∑ , (2.16)
( 1) ( ) ( 1)
0
,
( ).( )
k s
s s s
jj jkm jk l jl
l
l k j
j kE H C H C H
+
− −
=
≠
≠− =+ ∑ (2.17)
Từ đây, ta được hệ phương trình để xác định năng lượng chính xác ở gần
đúng bậc s là:
( ) ( )
0,
lk
k s
s s
km kk l
l l k
HE H C
+
= ≠
= + ∑ (2.18)
( 1)
0
,( )
( 1)
( ).
k s
s
jk l jl
l
l k js
j s
jjkm
j k
H C H
C
E H
+
−
=
≠
−
≠
+
=
−
∑
(2.19)
với điều kiện ban đầu là ( )
( )0
0,jC j n= ≠ và (0)
.km kkE H= Chú ý rằng ở đây chúng ta
không cần sử dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho 1β = . Ngoài ra các giá trị
( )( )
,
ss
jkmE C tương ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.

33. 33
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu
loạn được định nghĩa :
, 0
ˆ, , ;OM
kk km kmH H m k H k m= = (2.20)
ˆ, , .OM
jkH m j V k m= (2.21)
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau :
( )
( )
( )
2
2
2 12
0
! !1
(2 1) ;
2 8 2 ( )! !!
k
i
kk k m
i
k k mm
H k m Z I
k i k m ii
ω γ γ
ω
ω + +
=
+ 
= + + + + − 
− + − 
∑
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
, ,1 , 1
2
2 1
2 1 1 2
4 16
! ! ! !1
;
! ! ( )! !
k k s s s
k s
i s
k s m
i s
H k k m k k m
k k m k s k m s
Z I
i i s k i s k m i s
ω γ
δ δ
ω
ω
+ −
+
−
+ + +
=
 
= − + + + + + + 
 
+ + + +
−
− − + + − +
∑
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
, 1
1
2 1
2 2
1
2 1 1
4 16
! ! 1 ! 1 !1
;
! 1 ! ( 1)! 1 !
k k
k
i
k m
i
H k k m
k k m k k m
Z I
i i k i k m i
ω γ
ω
ω
+
+
−
+ +
=
 
=− + + + + 
 
+ + + +
−
− − + + − +
∑
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
, 2 1
( 1)
! ! ! !1
.
! ! ( )! !
k s
i s
k k s k m s
s i s
k k m k s k m s
H Z I
i i s k i s k m i s
ω
+
−
+ + + +
> =
+ + + +
= −
− − + + − +
∑
Các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng .kl lkH H=
2.2 Kết quả - Phân tích
Dựa vào phương trình (2.18), (2.19) và công thức của các yếu tố ma trận như
trên, chúng tôi sử dụng và cải tiến chương trình FORTRAN 77 để tính nghiệm năng

34. 34
lượng bằng số chính xác cho trạng thái bất kì. Tham số ω có thể được chọn bằng
điều kiện (1.12), cụ thể ở bài toán này là phương trình (2.14), tuy nhiên đây chưa
phải là giá trị tối ưu. Ngoài ra, ω có thể được chọn thử nghiệm khảo sát sao cho
nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh về nghiệm số chính xác. Sự phụ
thuộc của tốc độ hội tụ bài toán vào tham số tự do sẽ được khảo sát kĩ hơn ở
chương 3. Bảng 2.1 đưa ra một số giá trị minh họa cho năng lượng thu được sau
100 vòng lặp ở trạng thái cơ bản 1s và trạng thái kích thích 2 , 3p d− −
, với ω được
chọn từ điều kiện (1.12). Các chữ số in đậm là phần đã hội tụ về giá trị chính xác,
các số còn lại có giá trị chính xác khi ta tiếp tục tính đến các vòng lặp cao hơn. Để
dễ so sánh với kết quả trong công trình [21], cường độ từ trường được thể hiện qua
đại lượng ' / ( 1)γ γ γ= + và giá trị năng lượng ở đây bằng 1 2 giá trị năng lượng
trong [21]. Ta nhận thấy năng lượng thu được phù hợp với kết quả công trình [21]
và chính xác tới những chữ số sau dấu phẩy đã hội tụ.

35. 35
Bảng 2.1: Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK
theo sơ đồ vòng lặp cho một số trạng thái.
'γ = =1s( k 0,m 0 ) −
= = −2 p ( k 0,m 1) −
= = −3d ( k 0,m 2 )
0.1 -1.987593511850 -0.261941785397 -0.130254157894
0.3 -1.979671109501 -0.281775478889 -0.118881659216
0.5 -1.943505946998 -0.204775068542 0.005694223726
0.7 -1.773234419264 0.135989659443 0.425152609890
0.9 -0.112369233125 2.550632989012 3.067077810558
Như vậy, phương pháp toán tử cho phép ta thu được nghiệm số chính xác
cho bài toán exciton 2D trong từ trường với cường độ bất kỳ, không những cho
trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích. Cần chú ý rằng khi tính các
mức năng lượng chúng ta không nhất thiết phải chọn ω như ở điều kiện (1.12) hoặc
(2.14) mà đơn giản có thể chọn bằng phương pháp thử sao cho quá trình tính toán
có tốc độ hội tụ cao nhất.

36. 36
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ
HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
Điểm đặc biệt trong phương pháp toán tử là có đưa vào một tham số tự do
ω thông các toán tử sinh, hủy. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất
Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Tuy nhiên, ω
lại có mặt cả trong thành phần chính 0
ˆH và phần nhiễu loạn ˆV . Vì vậy, bằng cách
thay đổi ω ta có thể điều chỉnh 0
ˆH và ˆV sao cho luôn thỏa điều kiện của lý thuyết
nhiễu loạn 0
ˆ ˆV H trong toàn miền thay đổi của từ trường. Do đó, việc chọn
lựa ω có thể hiệu chỉnh được tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm số chính xác.
Trong chương này ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối
ưu hóa quá trình tính toán. Đầu tiên, chúng ta tìm hiểu về vai trò tham số ω đối
với phương pháp toán tử. Tiếp đến, chúng tôi sẽ giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ
hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc
bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6]. Cuối cùng, chúng ta đi vào nội dung
chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài
toán exciton 2D trong từ trường đều. Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát
lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích
thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến
hành thử nghiệm một số điều kiện chọn ω và đưa ra kết luận.
3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử
Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử là vai trò
của tham số tự do ω . Tham số ω được gọi là tham số tự do vì Hamiltonian của hệ
không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Như đã giới thiệu ở chương 1, việc
đưa vào một tham số tự do ω có vai trò đặc biệt quan trọng vì độ chính xác của
nghiệm gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa giá trị của tham số này. Ngoài ra,

37. 37
tham số tự do ω còn có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho
năng lượng và hàm sóng. Tùy vào giá trị ω mà tốc độ hội tụ của bài toán là khác
nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác.
Việc tìm được điều kiện xác định giá trị ω sao cho bài toán hội tụ nhanh về
nghiệm chính xác rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm được nhiều tài nguyên
tính toán. Vậy làm thế nào để chọn lựa được giá trị ω tối ưu?
Trong các bài toán cụ thể, tham số ω thường được chọn bằng điều kiện
nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự do, tuy nhiên, chúng ta chỉ
có thể xác định thông qua điều kiện gần đúng như ở phương trình (1.12). Trong
các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách chọn ω theo điều kiện này, nhưng quá
trình áp dụng thực tế đã chỉ ra rằng ở những trạng thái kích thích thì cách chọn lựa
này tỏ ra hạn thế. Do đó, trong các công trình [13, 14] đưa ra phương pháp chọn
lựa tham số ω một cách ngẫu nhiên từ một số khoảng giá trị của nó và thử nghiệm
sao cho kết quả bài toán có được tốc độ hội tụ cao về nghiệm chính xác. Tuy nhiên
với các bài toán hệ nguyên tử, khi xét các trạng thái kích thích miền chọn lựa tham
số rất hẹp, khó sử dụng phương pháp chọn lựa ngẫu nhiên. Tiếp đó, công trình [9]
đưa ra cách chọn lựa tối ưu tham số sau mỗi vòng lặp khi tính bổ chính bậc cao
vào năng lượng, mặc dù cho tốc độ hội tụ cao hơn nhưng với cách chọn này khối
lượng tính toán tăng lên đáng kể và gặp khó khăn khi phát triển cho các hệ nhiều
bậc tự do. Những phương pháp chọn lựa nêu trên tuy còn hạn chế nhưng vẫn được
áp dụng cho đến bây giờ.
Qua những phân tích trên ta nhận thấy vai trò đặc biệt quan trọng của tham
số tự do ω trong phương pháp toán tử; tuy nhiên, cách chọn tham số ω vẫn chưa
được nghiên cứu tương xứng. Chính vì vậy, việc tìm quy tắc xác định miền tham
số tự do sao cho khi áp dụng phương pháp FK chúng ta có được chuỗi hội tụ
nhanh nhất về nghiệm chính xác bằng số là rất có ý nghĩa và cần thiết, phải được
tiến hành khảo sát, nghiên cứu thêm.

38. 38
3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao
động tử phi điều hòa bậc bốn.
Công trình [6] đã khảo sát để đưa ra điều kiện phổ quát để chọn lựa ω
thông qua bài toán cụ thể là bài toán dao động tử điều hòa. Tham số tự do ω có thể
được chọn từ điều kiện (1.12), tuy nhiên, trong công trình này, ω được chọn thử
nghiệm khảo sát sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp
0 1
( ), ( ),..., ( ),...s
n n nE E Eω ω ω (3.1)
hội tụ nhanh về nghiệm chính xác T
E . Với các giá trị ω khác nhau thì chuỗi (3.1)
sẽ khác nhau nhưng hội tụ về cùng một giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số
đã chọn. Kết quả thử nghiệm cho thấy tồn tại một miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội
tụ nhanh nhất, điều này được minh họa rõ hơn qua hình vẽ 3.1 biểu diễn tốc độ hội
tụ của bài toán.
0.5 1.0 1.5
8
10
12
14
n=4
n=0
Free parameter ω
Orderofconvergence(s)
λ= 0.01
Hình 3.1: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho
một số trạng thái [6].

39. 39
Hình 3.1 biểu diễn kết quả việc khảo sát thực nghiệm tốc độ hội tụ của bài
toán dao động tử phi điều hòa khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái
cơ bản 0n = và trạng thái kích thích 4n = . Trên đồ thị này, trục hoành là giá trị ω
trong khi trục tung chỉ bậc vòng lặp (s), kết quả năng lượng thu được chính xác
đến 15 chữ số sau dấu phẩy [6]. Từ đồ thị, rõ ràng ta nhận thấy rằng có một vùng
giá trị của tham số tự do sẽ cho tốc độ hội tụ cao về nghiệm số chính xác. Điều này
tái khẳng định kết luận của công trình [9] là tồn tại miền giá trị tham số sao cho tốc
độ hội tụ của dãy (3.1) rất cao.
Vấn đề đặt ra là có điều kiện nào giúp chọn lựa ω trong miền tham số tự do
tối ưu một cách dễ dàng. Xuất phát từ điều kiện lý thuyết nhiễu loạn
0 1OM OM
V H  , công trình [6] đã đưa ra điều kiện phổ quát để chọn tham số tự
do tối ưu bằng cách định nghĩa hàm số:
1/2
( )
0
( ) .
OM OM
s
OM
V V
H
ψ ψ
β ω
ψ ψ
=
(3.2)
Hàm (3.2) được vẽ cho các bậc (s) khác nhau tăng dần từ 0, từ đó ta nhận
xét: hàm ( )β ω luôn có miền giá trị cực tiểu theo biến ω với ( ) 1β ω << , và đến một
bậc gần đúng maxs max(s 4)≤ nào đó thì miền cực trị của hàm ( )β ω thay đổi không
đáng kể nên ta có thể không kí hiệu bậc gần đúng (s) trên hàm số ( )β ω .
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
5
10
15
20
0.5
1.0
1.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(a)
Functionβ(ω)
n=0, λ= 0.01
Orderofconvergences
Free parameter ω
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
8
10
12
14
16
0.1
0.2
0.3
0.4
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
(b)
n=4, λ= 0.01
Free parameter ω

40. 40
Hình 3.2: So sánh vùng thử nghiệm tối ưu và vùng giá trị nhỏ của hàm ( )β ω cho
trạng thái cơ bản n=0 và trạng thái kích thích n=4 [6].
Kết quả thu được như trên hình cho thấy miền tham số ω tối ưu phù hợp với
miền cực tiểu của hàm ( )β ω theo điều kiện ( ) 1β ω << . Kết quả này rất có ý nghĩa
thực tiễn vì đã đưa ra một điều kiện phổ quát để chọn lựa tham số tự do tối ưu thay
vì mò mẫm thử nghiệm. Với kết quả khả quan thu được qua bài toán dao động tử
phi điều hòa bậc bốn này, trong phần tiếp theo, chúng tôi tiến hành khảo sát tốc độ
hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường để có
thể đưa ra nguyên tắc cho việc chọn lựa vùng tham số tối ưu để việc chọn lựa tham
số ngẫu nhiên trở nên hiệu quả hơn.
3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều
3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau
Chúng tôi tiến hành khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán exciton 2D trong từ
trường đều theo các giá trị ω khác nhau. Ta sử dụng điều kiện (1.12) để có giá trị
0ω đầu tiên, sau đó lần lượt thử nghiệm các giá trị quanh giá trị 0ω để tìm ra giá trị
tham số tối ưu sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh nhất về
nghiệm chính xác. Với các giá trị ω khác nhau thì chuỗi (3.1) sẽ khác nhau nhưng
hội tụ về cùng một giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số đã chọn. Chúng tôi
khảo sát các trạng thái: −
1s, 2 p và −
5 f với ba trường hợp điển hình: ' 0.05γ = (từ
trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và ' 0.95γ = (từ trường lớn). Kết quả
khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo tham số tự do được minh họa bằng bảng
3.1 và hình vẽ 3.3 – 3.5.
Ta thấy rằng với giá trị tham số tự do ω khác nhau sẽ cho tốc độ hội tụ
khác nhau. Bảng 3.1 đưa ra các số liệu minh họa cho cho trạng thái −
5 f với

41. 41
' 0.5γ = , ta có kết quả tương tự với các trạng thái kích thích khác cũng như trạng
thái cơ bản với các giá trị 'γ khác nhau. Tiến hành khảo sát với các giá trị ω lần
lượt quanh giá trị 0ω cho thấy tồn tại một miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội tụ
nhanh về nghiệm chính xác như trong công trình [6, 9] đã khẳng định. Hình 3.3
biểu diễn tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự do của trạng thái cơ bản 1s ứng
với trường hợp ' 0.05γ = (từ trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và
' 0.95γ = (từ trường lớn). Trục hoành là giá trị ω còn trục tung chỉ bậc vòng lặp (s)
khi năng lượng thu được chính xác đến 2 chữ số sau dấu phẩy. Hình 3.4, 3.5 biểu
diễn sự phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự do cho trạng thái kích thích −
2 p và
−
5 f khi năng lượng thu được chính xác đến 4 chữ số sau dấu phẩy. Giá trị (smin)
càng nhỏ, tốc độ hội tụ càng cao.
Điều đặc biệt là với các mức năng lượng kích thích thì mức kích thích càng
cao thì tốc độ hội tụ càng nhanh. Ví dụ với trạng thái kích thích −
5 f để thu được
nghiệm năng lượng chính xác đến 4 chữ số sau dấu phẩy ta chỉ cần ít nhất 8 vòng
lặp ( =mins 8 ) với trường hợp ' 0.5γ = , còn ở trạng thái cơ bản 1s cũng với ' 0.5γ =
để thu được nghiệm số chính xác chỉ 2 chữ số sau dấu phẩy phải cần ít 103 vòng
lặp ( =mins 103 ).

42. 42
Bảng 3.1: Năng lượng ( )s
E cho trạng thái −
5 f và ' 0.5=γ thu được bằng
phương pháp toán tử FK theo sơ đồ vòng lặp ứng với các giá trị khác nhau của
tham số tự do. Cột đầu tiên ứng với ω lấy bất kì và năng lượng hội tụ khi =s 20 ,
cột thứ hai ω chọn theo điều kiện (1.12) cho hội tụ ở =s 9, cột 3 với ω chọn tối
ưu cho hội tụ ở =s 8 .
s = 0.8ω ( =s 20 ) = 0.532576ω ( =s 9 ) = 0.6ω ( =s 8 )
0 1.3730476006 1.1270232481 1.147772421
1 1.1515127060 1.1278589138 1.129121197
2 1.2222631057 1.1258458224 1.125735761
3 1.1187514788 1.1252688894 1.125086127
4 1.1643996306 1.1250225462 1.124949470
5 1.1191182493 1.1249062441 1.124845380
6 1.1411466019 1.1248457523 1.124803539
7 1.1214933801 1.1248116318 1.124784417
8 1.1316944086 1.1247912045 1.124773068
9 1.1230805625 1.1247783803 1.124765634
10 1.1277094450 1.1247700027 1.124760838
11 1.1239335619 1.1247643435 1.124757610
12 1.1260195547 1.1247604099 1.124755352
13 1.1243599804 1.1247576072 1.124753733
14 1.1252962196 1.1247555669 1.124752551
15 1.1245659927 1.1247540531 1.124751670
16 1.1249853086 1.1247529109 1.124751004
17 1.1246636027 1.1247520360 1.124750491
18 1.1248511206 1.1247513567 1.124750093
19 1.1247092674 1.1247508228 1.124749778
20 1.1247930327 1.1247503985 1.124749528

43. 43
Bảng 3.2: Bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số hội tụ tối ưu cho các trạng thái
−
1s, 2 p và −
5 f ứng với các giá trị 'γ là 0.05, 0.5 và 0.95. (Chọn miền tham số
hội tụ tối ưu thỏa điều kiện ≤s 150 )
'γ 1s −
2 p −
5 f
Smin Miền hội tụ Smin Miền hội tụ Smin Miền hội tụ
0.05 66 3-12 65 0.15-0.5 34 0.03-0.08
0.5 103 5-13 29 0.2-3 8 0.4-0.9
0.95 39 10-80 20 5-45 7 7-15
Với độ lớn từ trường khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán cũng khác
nhau. Bảng 3.2 đưa ra các số liệu minh họa về bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số
hội tụ tối ưu cho các trạng thái −
1s, 2 p và −
5 f ứng với các giá trị 'γ là 0.05, 0.5
và 0.95. Kết quả thu được cho thấy ứng với cường độ từ trường lớn (ứng với 'γ
lớn) thì tốc độ hội tụ bài toán nhanh hơn và miền hội tụ cũng rộng hơn rất nhiều so
với trường hợp từ trường nhỏ và từ trường trung bình, ví dụ ở trường hợp cơ bản,
năng lượng chính xác đến 2 chữ số sau dấu phẩy ứng với ' 0.95γ = thì =mins 39 ,
' 0.5γ = thì =mins 103 và với ' 0.05γ = thì =mins 66 . Nếu chọn 150s ≤ là ω nằm ở
miền hội tụ tối ưu thì ở trạng thái cơ bản, ' 0.95γ = miền hội tụ tối ưu của ω là từ
10 đến 80, rộng hơn nhiều so với trường hợp ' 0.5γ = miền hội tụ tối ưu của ω là
từ 5 đến 13 và ' 0.05γ = là 3 đến 12; những trạng thái kích thích khác cũng thu
được kết quả tương tự. Điều này ta có thể dự đoán là vì khi sử dụng phép biến đổi
Laplace thì tương tác Coulomb được tách nằm chủ yếu ở phần nhiễu loạn ˆOM
V ,
phần chính 0
ˆ OM
H chứa chủ yếu là phần từ trường, chính vì vậy dẫn đến việc tìm
nghiệm số chính xác của bài toán khi sử dụng phép biến đổi Laplace với từ trường
lớn hiệu quả hơn so với từ trường nhỏ và trung bình.

44. 44
5 10 15 20
50
100
150
200
250
300
4 6 8 10 12 14 16 18 20
100
150
200
250
300
350
20 40 60 80 100
0
50
100
150
200
250
ω0ω0
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
Thamsoá töï doω
(a) γ'=0.05
ω0
(b) γ'=0.5
Baächoäituïs
(c) γ'=0.95
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
Hình 3.3: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản = =1s( k 0,m 0 )
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

45. 45
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
50
100
150
200
250
300
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0
50
100
150
200
250
300
10 20 30 40 50 60
0
50
100
150
200
250
300
(a) γ'=0.05
Baächoäituïs
Thamsoá töï doω
ω0
(b) γ'=0.5
ω0
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
(c) γ'=0.95
ω0
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
Hình 3.4: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái −
= = −2 p ( k 0,m 1)
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

46. 46
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
30
40
50
60
70
80
90
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
8 10 12 14
0
10
20
30
40
50
60
70
80
(a) γ'=0.05
Baächoäituïs
Thamsoá töï doω
ω0
(b) γ'=0.5
ω0
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
(c) γ'=0.95
ω0
Thamsoá töï doω
Baächoäituïs
Hình 3.5: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái −
= = −5 f ( k 1,m 3 )
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

47. 47
50
100
150
200
250
300
5 10 15 20
-2
-1
0
1
2
Baächoäituïs
(a) γ'=0.05
s
ω0
NaênglöôïngE(s)(ω)
Thamsoá töï doω
E(0) E(3)
E(1) E(4)
E(2) E(5)
100
150
200
250
300
350
4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-1
0
1
2
(b) γ'=0.5
S
Baächoäituïs ω0
E(0) E(3)
E(1) E(4)
E(2) E(5)
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω) 0
50
100
150
200
250
20 40 60 80 100
0
5
10
15
20
25
30
35
Baächoäituïs
(c) γ'=0.95
s
ω0
E(0) E(3)
E(1) E(4)
E(2) E(5)
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
Hình 3.6: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s)
cho trạng thái cơ bản
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

48. 48
50
100
150
200
250
300
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-0.2
-0.1
0.0
(a) γ'=0.05
s
Baächoäituïs
ω0
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
0
50
100
150
200
250
300
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
(b) γ'=0.5
s
Baächoäituïs
ω0
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
0
75
150
225
300
10 20 30 40 50 60
10
20
30
40
50
(c) γ'=0.95
s
Baächoäituïs
ω0
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
Hình 3.7: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s)
cho trạng thái 2 −
p
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

49. 49
30
40
50
60
70
80
90
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
-0.02
0.00
0.02
0.04
(a) γ'=0.05
s
Baächoäituïs
ω0
NaênglöôïngE(s)(ω)
Thamsoá töï doω
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
0
20
40
60
80
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
(b) γ'=0.5
s
Baächoäituïs ω0
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
8 10 12 14
26
27
28
29
30
31
32
33
(c) γ'=0.95
s
Baächoäituïs
ω0
Thamsoá töï doω
NaênglöôïngE(s)
(ω)
E(0)
E(3)
E(1)
E(4)
E(2)
E(5)
Hình 3.8 : So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s)
cho trạng thái 5 −
f
ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = .

50. 50
3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu
Cách chọn ω dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc vào
tham số tự do như ở phương trình (1.12) đã được áp dụng ngay từ đầu khi phương
pháp toán tử FK được xây dựng và hiện nay vẫn phổ biến. Thông qua việc khảo sát
tốc độ hội tụ của bài toán, chúng tôi cũng đồng thời thử nghiệm điều kiện trên để
xem xét tính hiệu quả của nó. Giá trị 0ω xác định từ điều kiện (1.12) được thể hiện
trên các hình (3.3) - (3.5) ứng với bậc hội tụ tương ứng. Kết quả cho thấy ngay ở
trạng thái cơ bản thì điều kiện (1.12) đã áp dụng không tốt, 0ω không phải là giá
trị tham số tối ưu của bài toán. Kết quả thu được tương tự ở những trạng thái kích
thích khác, chỉ riêng trường hợp trạng thái 5 f −
với ' 0.95γ = thì 0ω chính là giá
trị tham số tối ưu của bài toán. Chúng tôi cũng tiến hành so sánh năng lượng gần
đúng bậc zero với năng lượng chính xác của bài toán cho trạng thái cơ bản và một
vài trạng thái kích thích, kết quả được minh họa ở hình vẽ 3.9. Ta nhận xét rằng
với giá trị tham số tự do 0ω xác định từ điều kiện (1.12) thì năng lượng gần đúng
bậc zero E(0)
có giá trị gần với nghiệm chính xác ET
hơn so với giá trị tham số tối
ưu *
ω khảo sát được, và với cùng giá trị ω thì từ trường có độ lớn càng lớn ( 'γ
càng lớn) thì E(0)
càng gần với ET
hơn. Ta thấy rằng mặc dù với 0ω thì nghiệm gần
đúng bậc zero gần với nghiệm chính xác, tuy nhiên do bổ chính sau mỗi vòng lặp
rất ít nên tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm chính xác không nhanh. Rõ ràng,
điều kiện (1.12) không phổ quát và tỏ ra hạn chế khi áp dụng cho bài toán đang
khảo sát.

51. 51
0.2 0.4 0.6 0.8
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
(b)
Naênglöôïng
E(0)
(ω0
)
E(T)
γ'
(a) E(0)
(ω*)
E(T)
γ'
NaênglöôïngHình 3.9: So sánh năng lượng gần đúng bậc zero và nghiệm chính xác ở trạng
thái cơ bản với tham số tự do 0ω xác định từ điều kiện (1.12) ở hình (a) và tham
số tối ưu *
ω ở hình (b).
Dựa vào điều kiện lý thuyết nhiễu loạn 0 1OM OM
V H  , công trình [6] đã
đưa ra điều kiện phổ quát để chọn lựa miền ω tối ưu bằng cách tìm miền cực tiểu
của hàm ( )β ω theo điều kiện ( ) 1β ω << . Điều kiện này đã chứng tỏ tính hiệu quả
khi áp dụng tốt đối với bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Về nguyên tắc,
ta hoàn toàn có thể áp dụng điều kiện phổ quát này đối với bài toán exciton 2D
trong từ trường để chọn được miền tham số tối ưu. Tuy nhiên, do bài toán đang
khảo sát phức tạp hơn nên khối lượng tính toán hàm ( )β ω tương đối lớn dẫn đến
gặp khó khăn trong việc lập trình hàm ( )β ω ; vì thế, trong luận văn này chúng tôi
không sử dụng điều kiện phổ quát đã nêu như trong công trình [6].
Tiếp theo, chúng tôi tiến hành thử nghiệm điều kiện đơn giản và dễ áp dụng
để chọn được miền tham số tối ưu. Cũng dựa vào điều kiện nghiệm chính xác
không phụ thuộc của vào tham số tự do, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của năng
lượng ( )s
E vào tham số tự do, sau đó so sánh miền cực trị của ( )s
E với miền tham

52. 52
số tối ưu từ đường khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thực tế. Hình 3.6 biểu diễn
sự phụ thuộc của năng lượng ( )s
E vào tham số tự do cho trạng thái cơ bản, ứng
với trường hợp ' 0.05γ = (từ trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và
' 0.95γ = (từ trường lớn). Trục hoành là giá trị ω trong khi trục tung chỉ năng
lượng ở bậc vòng lặp s là ( )s
E . Hình 3.7, 3.8 biểu diễn sự phụ thuộc năng lượng
( )s
E vào tham số tự do cho trạng thái kích thích 2 −
p và 5 −
f .
Ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, khi khảo sát năng lượng ở 5 bậc vòng lặp
đầu tiên thì miền cực tiểu của năng lượng ( )s
E vẫn chưa phù hợp với miền tham số
ω tối ưu. Ở trạng thái kích thích, ví dụ như ở trạng thái 2 −
p và 5 −
f , kết quả cho
thấy miền cực tiểu của năng lượng ở vòng lặp thứ 2 phù hợp tốt với miền giá trị tối
ưu của ω trong cả 3 trường hợp ' 0.05γ = , ' 0.5γ = và ' 0.95γ = . Từ đây, ta có thể
kết luận, cách chọn ω từ điều kiện trên với ít nhất năng lượng ở vòng lặp thứ 2
tương đối hiệu quả đối với trạng thái kích thích nhưng không phù hợp khi áp dụng
ở trạng thái cơ bản. Tuy nhiên, chúng ta cần tiến hành những nghiên cứu tiếp theo
để tìm ra điều kiện phổ quát để chọn ra ω tối ưu đối với mọi trạng thái của exciton
trong từ trường đều và ứng với cường độ từ trường bất kì.

53. 53
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI
Các kết quả mà luận văn đã đạt được có thể được liệt kê như sau:
• Tìm hiểu được về phương pháp toán tử, về exciton và bài toán exction
2D trong từ trường đều.
• Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán
tử ở trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích.
• Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo tham số tự do ω với trường
hợp cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn cho trạng thái cơ bản
cũng như một số trạng thái kích thích.
• Thử nghiệm điều kiện gần đúng chọn ω như ở phương trình (1.12).
• Đề xuất và thử nghiệm điều kiện đơn giản để chọn miền tham số tối
ưu bằng cách khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng ( )s
E vào tham số
tự do với s từ 1 - 5, sau đó so sánh miền cực trị của ( )s
E với miền
tham số tối ưu từ đường khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán.
• So sánh tốc độ hội tụ cũng như miền hội tụ của bài toán trong trường
hợp từ trường lớn với trường hợp từ trường nhỏ và trung bình; đưa ra
kết luận khi sử dụng phép biến đổi Laplace thì việc tìm nghiệm số
chính xác trong trường hợp từ trường lớn hiệu quả hơn.
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài là tiếp tục khảo sát và xác định miền ω
tối ưu mà bài toán có tốc độ hội tụ nhanh về nghiệm chính xác ở nhiều trạng thái
và trong cường độ từ trường bất kì với độ chính xác tăng; nghiên cứu đưa ra điều
kiện phổ quát để chọn giá trị ω tối ưu cho bài toán exciton trung hòa cũng như
exciton âm 2D trong từ trường đều.

54. 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Vũ Thị Lan Anh (2012), “Trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống
trong bán dẫn hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm
Tp. Hồ Chí Minh.
[2] Lê Văn Hoàng (2003), “Phương pháp đại số cho tính toán các hệ nguyên
tử”, Tạp chí khoa học, ĐH Sư phạm Tp. HCM, Phần khoa học tự nhiên, số
2, tr. 115-125.
[3] Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn
nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp,
Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
[4] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Ngô Đình Nguyên Thạch, Lê Thị Ngọc Anh, Lê
Trần Thế Duy, Lê Văn Hoàng (2004), “Phương pháp toán tử cho bài toán
tương tác điện tử – lỗ trống của khí điện tử hai chiều với sự có mặt của từ
trường và thế màn chắn”, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm Tp. HCM, Phần
khoa học tự nhiên, số 4, tr. 60-73.
[5] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình
Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất
kì”, Luận văn Thạc sĩ ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Trường Đại
học Khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Tp. HCM.
[6] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự do với sự hội
tụ của phương pháp toán tử FK”, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm Tp.
HCM, số 33 (Khoa học Tự nhiên), trang 94 – 106.
[7] Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai
chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.

55. 55
Tiếng Anh
[8] Ashkinadze M., Linker E., Cohen E., Dzyubenko A. and Feiffer L. (2004),
“Photoluminescence of a two dimensional electron gas in a modulation-
doped x 1-xGaAs/Al Ga As quantum well at filling factors 1ν < ”, Phys. Rev.
B 69, 115303-7.
[9] Chan Za An, Feranchuk I. D., Komarov L. I. and Nakhamchik L. S.
(1986), “Optimal choice of a parameter for the operator method of the
solution of the Schrödinger equation”, J. Phys. A 19, p. 1583-1587.
[10] Davies J. H. (1998), “The Physics of low dimensional semiconductors –
An introduction”, Cambridge University Press.
[11] Feranchuk I. D., Komarov L. I. (1982), “The operator method of
approximate solution of the Schrödinger equation”, Phys. Lett. A 88, p.
212-214.
[12] Feranchuk I. D., Ivanov A. A., (2004), “Operator Method for
nonperturbative description of quantum systems”, In Etude on Theor.
Phys. Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore, p. 171-188.
[13] Fernandez F. M., Meson A. M. and Castro E. A. (1984), “On the
convergence of the operator method perturbation series”, Phys. Lett. A
104, p. 401-404.
[14] Fernandez F. M., Meson A. M. and Castro E. A. (1985), “A simple
iterative solution of the Schrödinger equation in matrix representation
form”, J. Phys. A 18, p. 1389-1398.
[15] Finkelstein G., Shtrikman H. and I. Bar-Joseph (1996), “Negatively and
positively charged excitons in x 1-xGaAs/Al Ga As quantum wells”, Phys.
Rev. B 53, R1709-R1712.

56. 56
[16] Gross E., Permogorov S., Travnikov V. and Selkin A. (1970), “Hot
excitons and exciton excitation spectra”, J. Phys. Chem. Solids 3, p. 2595-
2606.
[17] Lampert M. A. (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle
complexes in nonmetallic solids”, Phys. Rev. Lett. 1, p. 450-453.
[18] Ma Y.-Z., Valkunas L., Bachilo S. M. and Fleming G. R. (2005), “Exciton
binding energy in semiconducting single-walled carbon nanotubes”, J.
Phys. Chem. Lett. B 109, p. 15671-15674.
[19] Rashba E. I. (1984), “The prediction of excitons: on the 90th
birthday of
Ya. I. Frenkel”, Usp. Fiz. Nauk 144, p. 347-357.
[20] Shik A. (1997), “Quantum wells: Physics and electronics of two-
dimensional system”, World Scientific, Singapore.
[21] Villalba V. M., Pino R. (2002), “Energy spectrum of a two-dimensional
screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica
B 315, p. 289-296.
[22] Zakharchenya B. P. (1994), “Discovery of excitons”, Usp. Fiz. Nauk 164,
p. 345 – 356.
[23] Zhu J.-L., Cheng Y. and Xiong J.-J. (1990), “Quantum levels and Zeeman
splitting for two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field”,
Phys. Rev. B 41, 10792-10798.

57. 57
Phụ lục 1: Các toán tử sinh – hủy một chiều
 Một số công thức toán tử thông dụng:
1. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,AB C ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C A C B     = − = − + − = +     
.
2. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,A BC ABC BCA ABC BAC BAC BCA A B C B A C     = − = − + − = +     
.
3.
ˆ ˆ 1 1
2! 3!
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A
e Be = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−
                   .
Chứng minh: Xét hàm ( )
ˆ ˆ
ˆtA tA
f t e Be−
= , đạo hàm theo t ta được:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,tA tA tA tA tA tAdf
Ae Be e BAe e A B e
dt
− − −
 = − =   .
Tiếp tục tính tương tự ta có đạo hàm bậc k của ( )f t như sau:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,... , ,
k
tA tA
k
d f
e A A A A B e
dt
−    =       
,
trong đó giao hoán tử lấy k lần.
Mặt khác, khai triển Taylor hàm ( )f t tại điểm 0 0t = ta có:
( )
0
0 00
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,... , ,
! !
k k k
k
k kt
t d f t
f t A A A A B
k kdt
∞ ∞
= ==
      = =         
∑ ∑ .
Cho giá trị 1t = ta có công thức cần chứng minh.
 Toán tử sinh-hủy:
Định nghĩa toán tử sinh, hủy một chiều:
1 1
ˆ ˆ;
2 2
d d
a x a x
dx dx
+   
=+ =−   
   
ω ω
ω ω
.

58. 58
1. Chứng minh ˆ ˆ, 1a a+
  = 
Ta có
2
2
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ,
2 2
d d d
aa x x x
dx dx dx
ω ω
ω ω ω ω
+    
= + − = + −   
    
và
2
2
2 2
1 1 1 1
ˆ ˆ ,
2 2
d d d
a a x x x
dx dx dx
ω ω
ω ω ω ω
+    
= − + = − −   
    
từ đây suy ra
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1
2
a a aa a a+ + +
  = − = = 
ω
ω
.
2. Chứng minh ˆ ˆa a n n n+
=
Định nghĩa: ( )1
ˆ 0
!
n
n a
n
+
=
Xét trường hợp 0n = công thức trên đúng: ˆ ˆ 0 0 0 0a a+
= = .
Giả sử ta có ˆ ˆ 1 ( 1) 1a a n n n+
− = − − ta sẽ chứng minh ˆ ˆa a n n n+
= .
Thật vậy:
( ) ( )( )
( )
11 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0
! !
1
ˆ ˆ ˆ 1 1 .
n n
a a n a a a a aa a
n n
a a a n
n
−+ + + + + +
+ +
= =
= + −
Với ( )
11
ˆ1 0
( 1)!
n
n a
n
−+
− =
−
;
Từ đây ta có:
( )
( )
1
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1
1 1
ˆ ˆ 0 .
( 1)!
n
a a n a a a n n a n
n n
n a a n n
n n
+ + + +
−+ +
= + −= −
= =
−

59. 59
3. Chứng minh ˆ 1a n n n= −
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 0
! ! !
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 1
! !
1 1
1 ( 1) 1 1 .
n n n
n n
a n a a aa a a a a
n n n
a a a a n a a n
n n n n
n n n n n
n n
− −+ + + + +
− −+ + + +
= = = +
= + = − + −
= − + − −= −
Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng giảm đi một bậc của vector trạng thái.
Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ hủy đi
bấy nhiêu bậc của nó.
4. Chứng minh ˆ 1 1a n n n+
= + +
( )
( )
( )
1 11 1
ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1
! 1 !
n n
a n a n a n n
n n
+ ++ + +
 
 = = + = + +
 + 
.
Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc
của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vector
trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó.
5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+
a,a
, 1
, 1
ˆ 1 ,
ˆ 1 ,
n j
n j
n a j j n j j
j a n j j n j
−
+
−
= −=
= − =
δ
δ
ˆ ˆn a j j a n+
⇒ = .
Nhận xét: Từ các tính chất (3, 4, 5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán
tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ không
làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”;
ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc
của vector trạng thái.

60. 60
Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử
 Dạng chuẩn (normal) của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng
đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu
thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức.
 Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho
việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng
hơn rất nhiều.
Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng
tính chất ˆ 0( ) 0a =ω và ˆ 0( ) 0b ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại
qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.
 Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa:
Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là có thể
đưa về dạng chuẩn.
Ví dụ: Đưa toán tử ( )
22
ˆ ˆa a+
về dạng chuẩn ta thực hiện như sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
22
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 .
a a a aa a a a a a aa aa aa
a a a a a a
a a a a a aa a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + +
+ + +
+ + +
+ +
= =+ = +
= + + + +
= + + + +
=+ + +
=+ + +
=+ +
Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng
như các đa thức.

61. 61
 Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy:
Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn.
Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy
thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây.
Ví dụ: ( )ˆ ˆt a a
e
+
+
Vì ta có hệ thức giao hoán ˆ ˆ, 1a a+
  =  nên từ đây các toán tử ˆ ˆ,a a+
và số 1 tạo
thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết:
( )
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a g t a h t
e e e e F t
+ ++
= = . (A2.1)
và tiến hành tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau:
Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A2.1) theo biến số t như sau:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '
t a a f t a g t a h t
a a e f t a F t g t a h t F te e e
+ +++ +
+ = + + . (A2.2)
Định nghĩa hàm nghịch đảo của ( )F t là ( )1
F t−
sao cho ( ) ( )1
. 1F t F t−
= ta có:
( ) ˆ ˆ1 ( ) ( ) ( )h t g t a f t a
F t e e e
+
− − − −
= . (A2.3)
Nhân hai vế (A2.2) cho ( )1
F t−
và thu gọn các số hạng ta được:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 'f t a f t a
a a f t a g t e ae h t
+ +
+ + −
+= + + (A2.4)
Bước hai: Sử dụng công thức quen thuộc :
ˆ ˆ 1 1
2! 3!
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A
e Be = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−
                  
cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a+
ta có:

62. 62
( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t a
e ae a f t a a a f t
+ +
− +
 = + + = −  .
Thay vào (A2.4), ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '
ˆ ˆ' ' ' ' .
a a f t a g t a f t h t
f t a g t a h t g t f t
+ +
+
+= + − +
= + + − (A2.5)
Bước ba: Đồng nhất hai vế của (A2.5) và chọn điều kiện biên
Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình:
( )
( )
( ) ( ) ( )
' 1,
' 1,
' ' 0.
f t
g t
h t g t f t
=

=
 − =
Giải hệ này ta có:
( )
( )
( )
1
2
2
1 3
,
,
.
2
f t t c
g t t c
t
h t c t c







= +
= +
= + +
Dựa vào biểu thức (A2.1), ta có điều kiện khi t = 0 thì:
f(t) = g(t) = h(t)= 0.
Suy ra: c1= c2 = c3 = 0.
Như vậy dạng chuẩn của
( )ˆ ˆt a a
e
+
+
là:
( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ / 2t a a ta ta t
e e e e
+ ++
= . (A2.6)

63. 63
Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên
Ta có toán tử Hamilton dưới dạng:
22 2
2ˆ 1ˆ ˆ ,
2 2 2 2
c
r z
p eB Ze
H r L
c r
µ
µ µ ε
Ω 
= + + − 
 
(A3.1)
Thay c
eB
cµ
Ω = vào biểu thức trên, ta được:
22 2
2ˆ 1ˆ ˆ
2 2 2 2
r z
p eB eB Ze
H r L
c c r
µ
µ µ µ ε
 
= + + − 
 
(A3.2)
Đầu tiên, ta biến đổi ˆ ˆ( ) ( )H B H γ→ ,với:
2 3
3 2
B
ce
ε
γ
µ
=

là độ mạnh của từ trường so với
trường Coulomb.
Thay
3 2
2 3
ce
B
µ γ
ε
=

vào phương trình ta được:
22 2 2 3 2 3 2 2
2 2
2 2 2 3 2 3
2 2 2 8 3 2 4 2
2 2
2 2 4 6 2 2
1ˆ ˆ( )
2 2 2 2
1
( )
2 8 2
z
e ce e ce Ze
H x y L
x y c c r
e i e Ze
x y x y
x y y x r
µ γ µ γ
µ
µ µ ε µ ε ε
µ γ µ γ
µ ε ε ε
   ∂ ∂
=− + + + + −   
∂ ∂   
     ∂ ∂ ∂ ∂
=− + + + − − −     
∂ ∂ ∂ ∂    

 

 
(A3.3)
Đặt: , ,x yax ay bEρ ρ ξ= = = ,
Ta có : 2 2
2
2 2
,
,
x
x x
x
a
x x
a
x
ρ
ρ ρ
ρ
∂∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= =
=
(A3.4)
Tương tự ta có: