Dokumen tersebut membahas tentang deret Taylor dan analisis galat dalam penyelesaian persamaan diferensial secara numerik. Deret Taylor digunakan untuk memperoleh nilai aproksimasi fungsi pada titik berikutnya, sedangkan analisis galat melibatkan penentuan besaran kesalahan absolut dan relatif antara hasil numerik dengan nilai sebenarnya.

1. DERET TAYLOR DAN
ANALISIS GALAT

2. DERET TAYLOR
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan
masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian
persamaan diferensial.
Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan dari f
terhadap x diketahui pada titik tersebut.
Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1
yang terletak pada jarak Dx dari titik xi.
...
!
.....
!
3
)
0
(
"
'
!
2
)
0
(
"
!
1
)
0
(
'
)
0
(
)
( 3
2






 n
n
x
n
f
x
f
x
f
x
f
f
x
f r
x
, 

3. CONTOH :
....
!
3
1
!
2
1
1 3
2




 x
x
x
ex
f(x) = ex → f(0) = 1
f’(x) = ex → f’(0) = 1
f’’(x) = ex → f’’(0) = 1
.
.
.
fn(x) = ex → fn (0) = 1
...
!
8
!
6
!
4
!
2
1
cos
8
6
4
2






x
x
x
x
x
....
!
7
!
5
!
3
sin
7
5
3





x
x
x
x
x

4. ANALISIS GALAT
Penyelesaian secara numerik dari suatu
persamaan matematis hanya memberikan nilai
perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar)
dari penyelesaian analitis.
Penyelesaian numerik akan memberikan
kesalahan terhadap nilai eksak

5. DEFINISI GALAT (KESALAHAN )
Kesalahan (error/galat) adalah besarnya
perbedaan atau selisih antara nilai taksiran
(hampiran/aproksimasi) dengan nilai
sesungguhnya (eksak), kesalahan ini biasa
timbul karena proses pengukuran atau
penggunaan aproksimasi.

6. NILAI GALAT (NILAI KESALAHAN)
Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran
dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif.
Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara
kuantitatif disebut Kesalahan Absolut.
Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara
kualitatif disebut dengan Kesalahan Relatif.

7. Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai
hubungan antara nilai perkiraan dan nilai
kesalahan sebagai berikut :
v = v’ + 
Dimana :
v = nilai eksak,
v’ = nilai perkiraan
 = nilai kesalahan

8. KESALAHAN ABSOLUT
Kesalahan absolut menunjukkan besarnya
perbedaan antara nilai eksak dengan nilai
perkiraan :
a = v – v’ 
Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya
tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar
menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak
dengan nilai perkiraan.
8

9. KESALAHAN RELATIF
Kesalahan relatif menunjukkan besarnya
tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan
nilai eksaknya yang dihitung dengan
membandingkan kesalahan absolut terhadap
nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam % ).

10. RUMUS :
100%
V
ξa
ξr 

dimana :
v = nilai eksak
r = kesalahan relatif
a = kesalahan absolut
Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai
perkiraan yang diperoleh akan semakin baik.

11. CONTOH 1:
Soal :
Isna membeli kabel listrik 30 meter dari sebuah
toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang
oleh Isna sesampainya di rumah, kabel tersebut
ternyata hanya mempunyai panjang 29,97
meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan
relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh
Isna?

12. PENYELESAIAN :
Diketahui :
V = 30 meter
V’ = 29,97 meter
Kesalahan absolut
a =  30 – 29,97 = 0.03 meter
Kesalahan relatif
r =  0.03/ 30  * 100% = 0.1%

13. CONTOH 2 :
Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil
9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak)
adalah 10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan
relatif!
Solusi :
a. Kesalahan absolut
Jembatan : a = v – v’  = │10.000 – 9999 │= 1 cm
Pensil : a = v – v’  = │10 – 9 │= 1 cm
b. Kesalahan relatif
Jembatan :
Pensil :
Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan
relatif pensil adalah jauh lebih besar
13
0.01%
100%
10000
1
100%
V
ξa
ξr 




10%
100%
10
1
100%
V
ξa
ξr 





14. MACAM-MACAM GALAT
Ada 3 macam kesalahan dasar;
1.Galat bawaan (Inherent Error)
2.Galat pemotongan (Truncation Error)
3.Galat pembulatan (Round-off Error)

15. 1. GALAT BAWAAN (INHEREN)
Galat bawaan adalah Galat dalam nilai data
Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah
membaca skala atau kesalahan karena kurangnya
pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang
diukur. Kesalahan ini sering terjadi karena faktor human
error
Contoh :
Pengukuran selang waktu 2,3 detik :
Terdapat beberapa galat karena hanya dengan suatu
kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik.
Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui :
Berhubungan dengan galat pada data yang dioperasikan
oleh suatu komputer dengan beberapa prosedur numerik.
detik
0,1
2,3 

16. 2. GALAT PEMOTONGAN (TRUNCATION ERROR)
Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik. Kesalahan
ini terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur
matematik yang benar.
Contoh pada deret Taylor tak berhingga :
Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian.
Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret, karena
deretnya tak berhingga
Kita berhenti pada suku tertentu misal x9
Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat
Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting
........
!
9
x
!
7
x
!
5
x
!
3
x
x
x
sin
9
7
5
3







17. 3. GALAT PEMBULATAN (ROUND-0FF ERROR)
Galat ini terjadi akibat pembulatan angka
Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka
tertentu misal; 5 angka :
Penjumlahan 9,2654 + 7,1625
hasilnya 16,4279
Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan
dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi
16,428

18. ANGKA BENA
Konsep angka bena (significant figure) atau
angka berarti telah dikembangkan secara formal
untuk menandakan keandalan suatu nilai
numerik. Angka bena adalah angka bermakna,
angka penting, atau angka yang dapat
digunakan dengan pasti.

19. CONTOH :
43.123 memiliki 5 angka bena (yaitu 4,3,1,2,3)
0.1764 memiliki 4 angka bena (yaitu 1,7,6,4)
0.12 memiliki 2 angka bena ( yaitu 1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (yaitu 2,7,8,3,0,0)
0.001360 memiliki 4 angka bena, di mana tiga buah
angka nol pertama tidak berarti, sedangkan 0 yang
terakhir angka berarti karena pengukuran dilakukan
sampai ketelitian 4 digit.
4.3123 x 10 1 memiliki 5 angka bena
1.764 x 10-1 memiliki 4 angka bena

20. Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu
angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka
benanya melebihi jumlah angka bena komputer
akan disimpan dalam sejumlah angka bena
komputer itu.

21. ATURAN PEMBULATAN ANGKA
Bila angka terkiri dari angka yang harus
dihilangkan adalah angka 4 atau kurang maka
angka terkanan dari yang mendahuluinya tetap
Contoh :
2334 dibulatkan sampai puluhan terdekat
menghasilkan 2330
Aturan 1

22. ATURAN 2
Bila angka terkiri dari angka yang harus
dihilangkan lebih dari 5 atau angka 5 diikuti
dengan angka bukan nol maka angka terkanan
yang mendahuluinya bertambah satu.
Contoh :
453 dibulatkan keseratusan terdekat menjadi 500

23. ATURAN 3
Bila angka terkiri dari angka yang harus
dihilangkan hanya angka 5 saja atau angka 5
diikuti dengan angka nol saja maka angka
terkanan yang mendahuluinya bertambah satu jika
ganjil dan tetap jika genap
Contoh :
3500 dibulatkan sampai ribuan terdekat menjadi
4000

24. LATIHAN SOAL
1. Seorang pembeli bensin di sebuah SPBU
membayar bensin yang dibeli sebesar Rp 33,000
dengan harga bensin Rp 1,000/ liter. Pada meteran
pengeluaran bensin di SPBU tersebut menunjukkan
angka 32.782 liter. Berapa % tingkat kesalahan
yang harus ditanggung dan berapa rupiah kerugian
pembeli bensin akibat kecerobohan petugas di
SPBU dalam menagih pembayaran bensin tersebut

25. 2. Diketahui deret Maclaurin untuk e-2x dengan x = 0.1
e-2x = 1 – 2/1! x + 4/2! x2 – 8/3! x3 + 16/4! x4 + ....
tentukan nilai taksiran untuk e-2x dan berapa nilai
kesalahannya apabila penghitungan dilakukan hanya
dengan memperhitungkan 3 suku dari deret tersebut!

26. 3. Diketahui deret Maclaurin untuk cos x :
Cos x = 1 - x2/2! + x4/4! – x6/6! + ....
Tentukan nilai taksiran untuk cos(/4) dan berapa nilai
kesalahannya apabila penghitungan dilakukan hanya
dengan memperhitungkan 3 suku dari deret tersebut
(cos(/4) = 0.525322).

27. 4. Bulatkan angka-angka berikut hingga ketelitian
yang diinginkan dan berapa tingkat kesalahan hasil
pembulatan :
a. 12.934,5000 ( seperseribuan terdekat)
b. 100,001.99 (ribuan terdekat)
c. 2.71828200 (seperseratusan terdekat)
d. 0.55555 (sepersejutaan terdekat)
e. 96.50000 (satuan terdekat)
f. 76.66666 (puluhan terdekat)