Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan dan operasi matematika pada sistem bilangan biner. Secara singkat, dibahas tentang konversi antar sistem bilangan desimal, biner, oktal dan heksadesimal serta operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada sistem bilangan biner beserta penggunaan komplemen untuk mempermudah operasi pengurangan.
2. Pendahuluan
Komputer digital -> sistem yang memproses informasi
diskrit
Elemen diskrit -> biner (0/1)
Input yang bukan bilangan biner diubah terlebih dahulu
ke dalam bilangan biner.
Sistem bilangan : base atau radix (r)
Macam sistem bilangan :
Desimal : r=10
Biner : r=2
Oktal : r=8
Heksadesimal r=16
dsb
2
3. Sistem-Sistem Bilangan
Sistem-Sistem
Bilangan secara matematis:
Bilangan : Dr = d n −1d n − 2 d1d 0 , d −1 d − n
Nilai :
Dr = ∑i = − n d i × r i
n −1
Contoh-2:
desimal:
5185.6810 = 5x103 + 1x102 + 8x101 + 5x100 + 6 x 10-1 + 8 x 10-2
= 5x1000 + 1x100 + 8x10 + 5 x 1 + 6x.1 + 8x.01
biner
(radiks=2, digit={0, 1})
100112 = 1 × 16 + 0 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 1910
|
|
MSB
LSB
3
101.0012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x.5 + 0x.25 + 1x.125 = 5.12510
4. Sistem-Sistem Bilangan Umum
Sistem
Radiks
Desimal
r=10
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Biner
r=2
{0,1}
Oktal
r= 8
{0,1,2,3,4,5,6,7}
Heksadesimal
r=16
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A, B, C, D, E, F}
2
4
Desimal
0
1
Heksa 0 1
Biner 0000 0001
Oktal
0
1
3
2
3
Himpunan/elemen Digit
5
4
25510
111111112
6
5
Contoh
7
6
8
7
3778
9
8
FF16
10 11 12 13 14 15
9
A
B
C
D
E
F
0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
2
3
4
5
6
7
10 11 12 13 14 15 16 17
4
8. Desimal ke biner
Untuk
bilangan desimal bulat
Gunakan
pembagian dgn 2 secara suksesif sampai
sisanya = 0.
Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu
sisa yang pertama akan menjadi least significant bit
(LSB) dan sisa yang terakhir menjadi most
significant bit (MSB).
8
10. Desimal ke biner (lanj.)
Untuk
bilangan desimal di belakang koma
kalikan
dengan 2 secara berulang sampai fraksi hasil
perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner
yang diharapkan).
Digit
kesleuruhan hasil perkalian memrupakan
jawaban, dengan yang pertama MSB, dan yang
terakhir LSB.
10
12. Desimal ke Oktal
Untuk bilangan bulat
Gunakan pembagian dgn 8 secara suksesif sampai
sisanya = 0.
Sisa-sisa pembagian membentuk jawaban, yaitu sisa
yang pertama akan menjadi LSB dan sisa yang
terakhir menjadi MSB.
Untuk bilangan desimal di belakang koma :
kalikan dengan 8 secara berulang sampai fraksi hasil
perkalian = 0 (atau sampai jumlah penempatan biner
yang diharapkan).
Digit keseluruhan hasil perkalian merupakan jawaban,
dengan yang pertama MSB, dan yang terakhir
LSB.
12
13. Desimal ke Oktal (lanj.)
Contoh : Konversi 153.513 ke oktal sampai 8 angka di belakang
koma
Untuk bilangan desimal bulat 153
153 / 8 = 19 sisa 1 (LSB)
/ 8 = 2 sisa 3
/ 8 = 0 sisa 2 (MSB)
⇒ 15310 = 2318
Untuk bilangan desimal dibelakang koma 0.513
0.513 x 8 = 4.104
0.104 x 8 = 0.832
0.832 x 8 = 6.656
0.656 x 8 = 5.248
0.248 x 8 = 1.984
0.984 x 8 = 7.872
4
0
6
5
1
7
(MSB)
(LSB)
⇒ 0.51310 = .4065178
Sehingga 153.51310 = 231.4065178
13
14. Biner ke Oktal/Heksadesimal
Base/radix
oktal = 8 = 23
Base/radix heksadesimal =16 = 2 4
Konversi dari biner ke oktal maupun ke
heksadesimal dilakukan dengan cara
mengelompokkan bilangan biner tiap 3
digit (oktal) atau 4 digit (heksadesimal)
dimulai dari tanda koma ke kiri dan ke
kanan.
14
18. Penjumlahan aritmatika Biner
Mirip
spt penjumlahan bil. Desimal, dua
bil. biner dijumlahkan melalui
penambahan setiap pasangan bit-bit
bersamaan dengan propagasi carry.
Contoh:
Cout dr bit ke-5
= Cin dr bit ke-6
18
19. Pengurangan aritmatika Biner
Dua
bil. Biner dikurangkan melalui
pengurangan setiap pasangan bit-bit berikut
suatu borrowing, jika diperlukan.
Contoh:
19
20. Perkalian Biner
Contoh:
11
X 13
-------33
11
______
143
11 x 13 = ?
1011
multiplicand (4 bits)
X 1101
multiplier (4 bits)
------------------1011
0000
1011
1011
--------------------10001111
Hasil kali (8 bits)
20
23. Latihan konversi bilangan
1. Konversi desimal ke biner, oktal, heksa
a. 1231
b. 673.23
2. Konversi biner ke desimal, oktal, heksa
a. 101110
b. 1110101.11
3. Konversi oktal ke biner
a. 623
b. 715
4. Konversi heksa ke biner
a. 15F
b. A7
23
31. Pengurangan dengan
2’s Komplemen
Pengurangan
2 n-digit bilangan M-N pada basis
r dapat dilakukan sbb :
Tambahkan
M dengan r’s komplemen dari N
M + ( rn – N ) = M - N + r n
Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry
(sisa), yang kemudian dibuang dengan cara
mengurangi dengan rn.
hasil akhir = M - N
Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan
carry
hasil = rn – ( N – M )
hasil akhir diperoleh dari r’s komplemen dari hasil
hasil akhir = - r’s komplemen (hasil)
31
32. Contoh (1)
Menggunakan 10’s komplemen, lakukan
pengurangan 72532 – 3250.
M=
10’s komplemen N =
Jumlah =
Buang carry 105 =
Hasil =
72532
96750 +
169282
100000 –
69282
32
33. Contoh (2)
Menggunakan 10’s komplemen, lakukan
pengurangan 3250 - 72532.
M=
10’s komplemen N =
Jumlah =
03250
27468 +
30718
Hasil = -(10’s komplemen 30718) = -69282
33
34. Contoh (3)
Menggunakan 2’s komplemen, lakukan
pengurangan 1010100 – 1000011
M=
1010100
2’s komplemen N =
0111101 +
Jumlah = 10010001
Buang carry 27 = 10000000 0010001
34
35. Contoh (4)
Menggunakan 2’s komplemen, lakukan
pengurangan 1000011 – 1010100
M
2’s komplemen N
Jumlah
= 1000011
= 0101100 +
= 1101111
Hasil = - (2’s komplemen 1101111) = -0010001
35
36. Pengurangan dengan
1’s Komplemen
Pengurangan
2 n-digit bilangan M-N pada basis
r dapat dilakukan sbb :
Tambahkan
M dengan r’s komplemen dari N
M + ( r n – r m – N ) = M - N + r n - rm
Jika M>=N, hasil penjumlahan menghasilkan carry
(sisa), yang kemudian dibuang dengan cara
menambahkan carry ke hasil penjumlahan
Jika M<N, hasil penjumlahan tidak menghasilkan
carry. Hasil akhir diperoleh dari (r-1)’s komplemen
dari hasil.
hasil akhir = - (r-1)’s komplemen (hasil)
36
37. Contoh (1)
X – Y = 1010100 – 1000011
X
1’s komplemen N
Jumlah
Tambahkan carry
=
1010100
=
0111100 +
= 10010000
=
1 +
0010001
37
38. Contoh (2)
X – Y = 1000011 – 1010100
M
1’s komplemen N
Jumlah
= 1000011
= 0101011 +
= 1101110
Hasil = - (1’s komplemen 1101110) = -0010001
38
40. Kode Desimal
Kode
biner untuk bilangan desimal
minimum terdiri dari 4 digit.
Ada 5 macam kode desimal :
BCD
(Binary Code Decimal) atau 8421
Excess-3, diperoleh dari BCD + (11) 2
84-2-1
2421
Biquinary
atau 5043210
40
42. Konversi Desimal ke Kode Biner
Setiap
digit bilangan desimal di konversi
ke n-digit kode desimal.
Contoh : Bilangan desimal 639
BCD
Excess-3
84-2-1
2421
Biquinary
: 0110 0011 1001
: 1001 0110 1100
: 1010 0101 1111
: 1100 0011 1111
: 1000010 0101000 1010000
42
43. Komplemen
9’s
komplemen dari suatu bilangan desimal
diperoleh mengubah 1 jadi 0 dan 0 jadi 1,
kecuali BCD.
Contoh :
395
dengan 2421 = 0011 1111 1011
9’s komplemen dari 395 = 1100 0000 0100 =
604
123 dengan BCD = 0001 0010 0011
9’s komplemen dari 123 = 1110 1101 1100 = xxx
43
44. Kode Pendeteksian Error
Pengiriman
data melalui media kabel
ataupun yang lain kadang menimbulkan
error.
Error terjadi ketika data yang diterima
tidak sesuai dengan data yang dikirim
atau perubahan 0 jadi 1 atau sebaliknya.
Pendeteksian error dapat dilakukan
dengan menambahkan satu bit (parity bit)
pada akhir data.
44
45. Parity Bit
Merupakan
ekstra bit yang disisipkan
pada pesan untuk menjadikan total 1’s
yang dikirim genap atau ganjil.
Macam
Odd
Parity (parity ganjil)
Even Parity (parity genap)
45
47. Keunggulan
gray
code daripada
bilangan biner bahwa
hanya satu bit yang
berubah untuk ke
bilangan selanjutnya
Gray Code
0
0000
1
Gray Code
Desimal
0001
2
0011
3
0010
4
0110
5
0111
6
0101
7
0100
8
1100
9
1101
10
1111
11
1110
12
1010
13
1011
14
1001
15
47
1000
48. Kode ASCII
ASCII
(American Standard Code fir
Information Interchange)
Terdiri dari 128 karakter, yaitu :
26
huruf besar (A sampai Z)
26 huruf kecil (a sampai z)
10 numerik (1 sampai 9)
32 karakter spesial , spt %, * dan $
34 karakter nonprinting
48
50. Contoh
Huruf
‘A’ memiliki kode ASCII 1000001
(kolom 100, baris 0001)
Karakter ‘{‘ memiliki kode ASCII 1111011
Dsb.
50
51. Latihan
1. Lakukan proses pengurangan dengan
dan tanpa komplemen (ubah dulu ke
biner) :
482 – 256 = ?
2. Lakukan pengurangan 2 bilangan
dengan menggunakan komplemen
(ubah dulu ke biner)
324 – 742 = ?
51