(مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال

‫منطقی‬ ‫مدارهای‬ ‫جامع‬ ‫آموزش‬
faradars.org/fvee9403
‫مدرس‬:
‫تیموری‬ ‫سمیرا‬
«‫منطقی‬ ‫مدارات‬ ‫سازی‬ ‫پیاده‬ ‫و‬ ‫طراحی‬»
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫اعداد‬ ‫دهدهی‬ ‫سیستم‬
2
491 =
0.32 =
491.32 = 4×102 + 9×101 + 1×100 . 3×10-1 + 2×10-2
4×102 + 9×101 + 1×100
3×10-1
+ 2×10-2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3
‫اعداد‬ ‫مبناهای‬ ‫تبدیل‬
•‫توجه‬:‫با‬‫تغییر‬‫مبنای‬،‫عدد‬‫ماهیت‬‫آن‬‫عوض‬‫نمی‬‫شود‬‫بلکه‬‫فقط‬‫شکل‬‫نشان‬‫د‬‫ادن‬‫آن‬
‫تغییر‬‫می‬‫کند‬.
–‫مبنای‬2(binary)
–‫مبنای‬10(decimal)
–‫مبنای‬8(octal)
–‫مبنای‬16(hexadecimal):‫شامل‬‫ارقام‬0‫تا‬9‫و‬a،b،c،d،e،f
a = (an … a2 a1 a0 . a-1 a-2 … a-m)r
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4
‫مبنای‬ ‫از‬ ‫عدد‬ ‫تبدیل‬r‫مبنای‬ ‫به‬10
(110.01)2 = (1×22 + 1×21 + 0×20 . 0×2-1 + 1×2-2 )10
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5
•‫قسمت‬‫صحیح‬‫عدد‬‫را‬‫متوالیا‬‫به‬r‫تقسیم‬‫و‬‫قسمت‬‫اعشاری‬‫عدد‬‫را‬‫متوالیا‬‫در‬r‫ضرب‬‫می‬‫کنیم‬.
•‫مزیت‬‫روش‬‫تقسیمات‬‫متوالی‬‫بر‬،‫مبنا‬‫سادگیآن‬‫است‬.
301 8
8
8
296 37
5 4
5
32
0
4
0
0.2 × 8 = 1.6
0.6 × 8 = 4.8
0.8 × 8 = 6.4
0.4 × 8 = 3.2
0.2 × 8 = ‫تکراری‬
(301.2)10 = (455.1463....)8(?)8
‫مبنای‬ ‫از‬ ‫عدد‬ ‫تبدیل‬10‫مبنای‬ ‫به‬r(‫متوالی‬ ‫تقسیمات‬ ‫روش‬)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6
‫مبنای‬ ‫از‬ ‫عدد‬ ‫تبدیل‬10‫مبنای‬ ‫به‬r(‫ها‬ ‫وزن‬ ‫افزودن‬ ‫روش‬)
•‫بیشتر‬‫برای‬‫تبدیل‬‫اعداد‬‫دهدهی‬‫به‬‫اعداد‬‫دودویی‬‫کاربرد‬‫دارد‬.
•‫توان‬‫های‬‫صعودی‬2‫را‬‫تا‬‫مقدار‬‫بزرگتر‬‫از‬‫عدد‬‫می‬‫نویسیم‬.‫با‬‫قرار‬‫دادن‬1‫در‬‫زیر‬‫بزرگترین‬‫وزنی‬
‫که‬‫مساوی‬‫یا‬‫کوچکتر‬‫از‬‫عدد‬‫دهدهی‬‫است‬‫شروع‬‫می‬‫کنیم‬.‫سپس‬‫آن‬‫وزن‬‫را‬‫از‬‫عدد‬‫کم‬‫می‬‫کن‬،‫یم‬
‫این‬‫روال‬‫به‬‫همین‬‫ترتیب‬‫برای‬‫دیگر‬‫وزن‬‫ها‬‫تکرار‬‫می‬‫شود‬.
64 32 16 8 4 2 1
(43)10 = (?)2
43 – 32 = 11
11 - 8 = 3
3 - 2 = 1
1 0 1 0 1 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7
‫مبنای‬ ‫از‬ ‫عدد‬ ‫تبدیل‬rn‫به‬r‫برعکس‬ ‫و‬
•‫تبدیل‬‫از‬‫مبنای‬rn‫به‬r
‫به‬‫ازای‬‫هر‬،‫رقم‬n‫رقم‬‫در‬‫مبنای‬r‫قرار‬‫می‬‫دهیم‬.
•‫تبدیل‬‫از‬‫مبنای‬r‫به‬rn
‫قسمت‬‫صحیح‬‫را‬‫از‬‫سمت‬‫راست‬‫و‬‫قسمت‬‫اعشاری‬‫را‬‫از‬‫سمت‬‫چپ‬‫به‬‫صورت‬‫دسته‬‫های‬n
‫رقمی‬‫جدا‬‫می‬،‫کنیم‬‫و‬‫معادل‬‫هر‬‫دسته‬‫را‬‫در‬‫مبنای‬‫می‬‫نویسیم‬.
(10101111)2 = ( )8
(257)8 =( )2
752
111101010
(0.101111)2 = ( )80.5 7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8
‫ها‬ ‫مکمل‬(Complements)
•‫در‬‫مبنای‬r‫دو‬‫نوع‬‫مکمل‬‫مطرح‬‫می‬‫شود‬:‫مکمل‬r-1(‫کاهش‬‫یافته‬)‫و‬‫مکمل‬r(‫مبنا‬)
a = (256.73)10 r-1 ‫مکمل‬ [743.26]
‫مکمل‬‫کاهش‬‫یافته‬(r-1)‫مبنای‬ ‫در‬r
‫برای‬‫یافتن‬‫مکمل‬‫کاهش‬‫یافته‬‫عدد‬a(‫در‬‫مبنای‬r)،‫همه‬‫ارقام‬‫عدد‬a‫را‬‫از‬r-1‫کم‬‫می‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9
‫یافته‬ ‫کاهش‬ ‫مکمل‬(‫یک‬ ‫مکمل‬)‫مبنای‬ ‫در‬2
a = (10101)2 1 ‫مکمل‬ [01010]
•‫برای‬‫یافتن‬‫مکمل‬1‫عدد‬a‫در‬‫مبنای‬2،‫همه‬‫بیت‬‫ها‬‫را‬‫عوض‬‫می‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10
–‫راه‬‫اول‬:‫مکمل‬r‫از‬‫جمع‬1‫با‬‫مکمل‬r-1‫حاصل‬‫می‬‫شود‬.
–‫راه‬‫دوم‬:‫صفرهای‬‫سمت‬‫راست‬‫عدد‬‫در‬‫صورت‬‫وجود‬‫تغییر‬‫نمی‬‫کند‬‫و‬‫اولین‬‫رقم‬‫غیر‬‫ص‬‫فر‬
‫را‬‫از‬r‫و‬‫سایر‬‫ارقام‬‫از‬r-1‫کم‬‫می‬‫شوند‬.
‫مبنا‬ ‫مکمل‬(r)
a = (450.27)10 r ‫مکمل‬ [549.73]
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11
‫مبنا‬ ‫مکمل‬(‫دو‬ ‫مکمل‬)‫مبنای‬ ‫در‬2
•‫برای‬‫یافتن‬‫مکمل‬2‫در‬‫مبنای‬2،‫صفرهای‬‫سمت‬‫راست‬‫و‬‫اولین‬‫یک‬‫را‬‫عوض‬‫نمی‬،‫کنیم‬‫سایر‬
‫بیت‬‫ها‬‫را‬‫عوض‬‫می‬‫کنیم‬.
a = (10100)2 2 ‫مکمل‬ [01100]
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12
‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫دودویی‬ ‫اعداد‬ ‫نمایش‬(‫منفی‬)
1)‫مقدار‬ ‫و‬ ‫عالمت‬ ‫سیستم‬:‫اگ‬ ‫و‬ ‫مثبت‬ ‫عدد‬ ،‫باشد‬ ‫صفر‬ ‫اگر‬ ،‫است‬ ‫عالمت‬ ‫عدد‬ ‫هر‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫بیت‬‫یک‬ ‫ر‬
‫است‬ ‫منفی‬ ‫عدد‬ ،‫باشد‬.
2)‫مکمل‬ ‫سیستم‬1:‫مکمل‬ ‫روش‬ ‫در‬1‫مکمل‬ ،‫عدد‬ ‫منفی‬ ‫مقدار‬1‫است‬ ‫عدد‬.
3)‫مکمل‬ ‫سیستم‬2:‫مکمل‬ ‫روش‬ ‫در‬2‫مقدار‬‫مکمل‬ ،‫عدد‬ ‫منفی‬2‫است‬ ‫عدد‬.
•‫نکته‬:‫دارای‬ ‫منفی‬ ‫اعداد‬ ‫همه‬1‫اند‬ ‫بیت‬ ‫ترین‬ ‫چپ‬ ‫سمت‬ ‫در‬.
•‫شود‬ ‫می‬ ‫استفاده‬ ‫دو‬ ‫متمم‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫فقط‬ ‫عمال‬ ‫امروزه‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13
‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫دودویی‬ ‫اعداد‬ ‫نمایش‬
‫مکمل‬2 ‫مکمل‬1 ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫عالمت‬
0011 = +3 0011 = +3 0011 = +3
0010 = +2 0010 = +2 0010 = +2
0001 = +1 0001 = +1 0001 = +1
0000 = +0 0000 = +0 0000 = +0
- 1111 = -0 1000 = -0
1111 = -1 1110 = -1 1001 = -1
1110 = -2 1101 = -2 1010 = -2
1101 = -3 1100 = -3 1011 = -3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14
‫دودویی‬ ‫اعداد‬ ‫نمایش‬
‫با‬ ‫عدد‬ ‫مینیمم‬n‫بیت‬ ‫با‬ ‫عدد‬ ‫ماکزیمم‬n‫بیت‬
0 (111…1)2 = 2n -1 ‫عالمت‬ ‫بی‬ ‫سیستم‬
(111…1)2 = - (2n-1 -1) (011…1)2 = 2n-1 -1 ‫مقدا‬ ‫و‬ ‫عالمت‬ ‫سیستم‬‫ر‬
(100…0)2 = - (2n-1 -1) (011…1)2 = 2n-1 -1 ‫مکمل‬ ‫سیستم‬1
(100…0)2 = - 2n-1 (011…1)2 = 2n-1 -1 ‫مکمل‬ ‫سیستم‬2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15
‫مبنا‬ ‫مکمل‬ ‫کمک‬ ‫با‬ ‫عالمت‬ ‫بی‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫تفریق‬
•‫عدد‬‫اول‬‫را‬‫با‬‫مکمل‬‫مبنا‬‫عدد‬‫دوم‬‫جمع‬‫می‬‫کنیم‬.
–‫اگر‬a ≥ b،‫عمل‬‫جمع‬‫یک‬‫رقم‬‫نقلی‬‫انتهایی‬‫تولید‬‫می‬‫کند‬‫که‬‫باید‬‫چشم‬‫پوشی‬‫شود‬.
–‫اگر‬a < b،‫عمل‬‫جمع‬‫هیچ‬‫گونه‬‫رقم‬‫نقلی‬‫انتهایی‬‫تولید‬‫نمی‬،‫کند‬‫برای‬‫یافتن‬‫ج‬‫واب‬
‫مکمل‬‫مبنا‬‫حاصل‬‫جمع‬‫را‬‫بدست‬‫می‬‫آوریم‬‫و‬‫سپس‬‫یک‬‫عالمت‬‫منفی‬‫در‬‫جلوی‬‫آن‬‫م‬‫ی‬
‫گذاریم‬.
(3250)10 - (72532)10 = ? (03250)10
+ [27468]10
30718 10 ‫مکمل‬ - 69282
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16
‫مکمل‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ ‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫دودویی‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫جمع‬2
•‫مشابه‬‫اعداد‬‫بی‬‫عالمت‬‫جمع‬‫می‬‫کنیم‬‫و‬‫از‬‫رقم‬‫نقلی‬‫تولید‬‫شده‬‫از‬‫آخرین‬،‫مکان‬‫صرف‬‫نظ‬‫ر‬‫می‬
‫کنیم‬.
(1101)2 = -3
+ )0110)2 = +6
(0011)2 = +3
1
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17
(OverFlow)‫سرریز‬
•‫اعداد‬‫در‬‫کامپیوتر‬‫با‬‫طول‬‫محدود‬‫و‬‫تعداد‬‫بیت‬‫های‬‫مشخص‬‫به‬‫کاربرده‬‫می‬‫شوند‬.‫اگر‬‫نتیجه‬
‫محاسبات‬‫خارج‬‫از‬‫این‬‫محدوده‬‫شود‬‫و‬‫بیت‬‫های‬‫بیشتر‬‫در‬‫دسترس‬،‫نباشد‬‫این‬‫بیت‬‫های‬‫اضاف‬‫ی‬
‫حذف‬‫خواهد‬‫شد‬‫و‬‫نتیجه‬‫بدست‬‫آمده‬‫صحیح‬‫نخواهد‬‫بود‬.‫در‬‫این‬‫حالت‬‫گوییم‬‫در‬‫انجام‬‫محاسبه‬
‫سرریز‬‫اتفاق‬‫افتاده‬‫است‬.‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18
‫عالمت‬ ‫بدون‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫سرریز‬ ‫تشخیص‬
•‫درجمع‬‫اعداد‬‫بدون‬‫عالمت‬،‫اگر‬‫پس‬‫از‬‫جمع‬‫دو‬‫عدد‬‫بدون‬‫عالمت‬‫رقم‬‫نقلی‬‫نهایی‬‫یک‬‫شود‬
‫سرریز‬‫اتفاق‬‫افتاده‬‫است‬.
(1101)2 = 13
+ )1100)2 = 12
(1001)2 = 9
1
1‫رقم‬‫نقلی‬‫نهایی‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19
‫مکمل‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ ‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫سرریز‬ ‫تشخیص‬2
•‫راه‬‫اول‬:‫اگر‬‫جمع‬‫دو‬‫عدد‬،‫منفی‬‫مثبت‬‫شود‬‫یا‬‫جمع‬‫دو‬‫عدد‬،‫مثبت‬‫منفی‬،‫شود‬‫سرریز‬‫است‬.
‫دقت‬‫کنید‬‫جمع‬‫عدد‬‫منفی‬‫با‬‫عدد‬‫مثبت‬‫سریز‬‫ندارد‬.
•‫راه‬‫دوم‬:‫اگر‬‫رقم‬‫نقلی‬‫وارد‬‫شده‬‫به‬‫بیت‬‫سمت‬‫چپ‬‫با‬‫نقلی‬‫خارج‬‫شده‬‫از‬‫آن‬‫یکسان‬‫نباش‬،‫د‬‫سریز‬
‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20
1) if an-1 = bn-1 ≠ sn-1 then v=1
2) if cn ≠ cn-1 then v=1
v = an-1 bn-1 sn-1 + an-1 bn-1 sn-1
v = cn cn-1
cn cn-1 cn-2 c1 c0
an-1 an-2 a1 a0
+ bn-1 bn-2 b1 b0
sn-1 sn-2 s1 s0
‫مکمل‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ ‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫سرریز‬ ‫تشخیص‬2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21
‫مکمل‬ ‫سیستم‬ ‫در‬ ‫دار‬ ‫عالمت‬ ‫دودویی‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫تفریق‬2
•‫عدد‬‫اول‬‫را‬‫با‬‫مکمل‬2‫عدد‬‫دوم‬‫جمع‬‫می‬،‫کنیم‬‫و‬‫از‬‫رقم‬‫نقلی‬‫خروجی‬‫از‬‫مکان‬‫بیت‬‫عالمت‬
‫چشم‬‫پوشی‬‫می‬‫کنیم‬.
11111010 = - 6
+ 00001101 = +13
100000111 = +7
(11111010)2 – (11110011)2 = ?
(-13)10(-6)10
(00000110)2 = +6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22
‫دهدهی‬ ‫ارقام‬ ‫کردن‬ ‫کد‬
•‫کدها‬‫باید‬‫به‬‫صورت‬‫دودویی‬‫باشند‬‫زیرا‬‫کامپیوترها‬‫فقط‬‫قادرند‬‫صفرها‬‫و‬‫یک‬‫ها‬‫را‬‫ن‬‫گه‬‫داری‬
‫کنند‬.
•‫کدها‬‫فقط‬‫نماد‬‫یا‬‫سمبل‬‫نمایش‬‫اطالعات‬‫را‬‫عوض‬‫می‬‫کنند‬‫و‬‫نه‬‫مفهوم‬‫آن‬‫ها‬‫را‬.
•‫یک‬‫کد‬‫دودویی‬n،‫بیت‬2n‫ترکیب‬‫ممکن‬‫از‬‫یک‬‫ها‬‫و‬‫صفرها‬‫را‬‫دارا‬‫است‬.
•‫به‬‫هر‬‫یک‬‫از‬‫کدهای‬‫دودویی‬‫نسبت‬‫داده‬‫شده‬‫کلمه‬‫کد‬(CodeWord)‫گویند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23
‫دهدهی‬ ‫ارقام‬ ‫نمایش‬ ‫برای‬ ‫دودویی‬ ‫کدهای‬
‫رقم‬‫دهدهی‬ BCD 2 4 2 1 ‫افزونی‬3 8 4 -2 -1
0 0000 0000 0011 0000
1 0001 0001 0100 0111
2 0010 0010 0101 0110
3 0011 0011 0110 0101
4 0100 0100 0111 0100
5 0101 1011 1000 1011
6 0110 1100 1001 1010
7 0111 1101 1010 1001
8 1000 1110 1011 1000
9 1001 1111 1101 1111
(18)10
(0001 1000) BCD
(10010) 2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24
•‫کد‬‫وزن‬‫دار‬:‫به‬‫هر‬‫مکان‬‫از‬‫بیت‬‫وزنی‬‫تخصیص‬‫داده‬‫شده‬‫است‬.
•‫کد‬‫خود‬‫مکمل‬:‫مکمل‬9‫عدد‬‫دهدهی‬‫مستقیما‬‫از‬‫تغییر‬‫صفرها‬‫به‬‫یک‬‫و‬‫یک‬‫ها‬‫به‬‫صفر‬‫در‬‫کد‬
‫حاصل‬‫می‬‫شود‬.
•‫کدهای‬‫وزن‬‫داری‬‫که‬‫جمع‬‫وزن‬‫های‬‫آن‬9‫نیست‬‫نمی‬‫تواند‬‫خود‬‫مکمل‬‫باشد‬.
•‫کدهای‬2421‫و‬‫افزونی‬3‫از‬‫کدهای‬‫خودمکمل‬،‫هستند‬‫اما‬‫کد‬BCD‫خود‬‫مکمل‬‫نیست‬.
•‫مکمل‬9‫ارقام‬‫کد‬BCD:
–‫راه‬‫اول‬:‫رقم‬‫ها‬‫را‬‫با‬6‫جمع‬‫کنیم‬‫سپس‬‫مکمل‬1‫کنیم‬.
–‫راه‬‫دوم‬:‫رقم‬‫ها‬‫را‬‫مکمل‬1،‫کنیم‬‫سپس‬‫با‬‫ده‬‫جمع‬‫کنیم‬‫و‬‫از‬‫نقلی‬‫تولید‬‫شده‬‫صرفه‬‫نظ‬‫ر‬
‫کنیم‬.
‫مکمل‬ ‫خود‬ ‫و‬ ‫دار‬ ‫وزن‬ ‫کدهای‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25
‫دودویی‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬(‫نقلی‬ ‫رقم‬ ‫بدون‬) ≤ 1001
‫دودویی‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ≥ 1010 + 0110‫نامعتبر‬
‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫معتبر‬
‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫معتبر‬
BCD ‫در‬ ‫اعداد‬ ‫جمع‬
•‫جمع‬‫دو‬‫رقم‬‫دهدهی‬‫در‬BCD‫نمی‬‫تواند‬‫بزرگتر‬9+9+1‫باشد‬‫که‬‫در‬‫آن‬1،‫رقم‬‫نقلی‬‫قبلی‬‫است‬.
•‫ارقام‬BCD‫را‬‫به‬‫شکل‬‫دودویی‬‫جمع‬‫می‬،‫کنیم‬‫حاصل‬‫جمع‬‫بین‬0‫تا‬19‫خواهد‬،‫بود‬‫این‬‫مقادیر‬
‫به‬‫دودویی‬‫برابرند‬‫با‬0000‫تا‬10011،‫ولی‬‫به‬‫فرم‬BCD‫برابر‬‫با‬0000‫تا‬11001‫می‬‫باشد‬(‫اولین‬
‫رقم‬‫نقلی‬‫است‬).‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26
(Gray) ‫گری‬ ‫کد‬
•‫کدهای‬‫حلقوی‬:‫بین‬‫هر‬‫کلمه‬‫کد‬‫و‬‫کلمه‬‫کد‬‫بعدی‬‫تنها‬‫یک‬‫بیت‬‫تغییر‬‫کرده‬‫باشد‬.
•‫از‬‫معروف‬‫ترین‬‫کدهای‬‫حلقوی‬‫کد‬‫گری‬‫است‬.
‫دهدهی‬ ‫رقم‬ Gray
0 0000
1 0001
2 0011
3 0010
4 0110
5 0111
6 0101
7 0100
‫دهدهی‬ ‫رقم‬ Gray
8 1100
9 1101
10 1111
11 1110
12 1010
13 1011
14 1001
15 1000
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27
(Gray) ‫گری‬ ‫به‬ ‫باینری‬ ‫کد‬ ‫تبدیل‬
•‫چپ‬‫ترین‬‫بیت‬‫را‬‫تغییر‬‫نمی‬‫دهیم‬‫و‬‫سایر‬‫بیت‬‫ها‬‫را‬‫دو‬‫به‬‫دو‬XOR‫می‬‫کنیم‬.
(bn-1 bn-2 … b1 b0) = (gn-1 gn-2 … g1 g0)Gray
gn-1 = bn-1
.
.
.
gn-2 = bn-1 bn-2
g0 = b1 b0
gn-3 = bn-2 bn-3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28
‫باینری‬ ‫به‬ (Gray) ‫گری‬ ‫کد‬ ‫تبدیل‬
(bn-1 bn-2 … b1 b0) = (gn-1 gn-2 … g1 g0)Gray
bn-1 = gn-1
bn-2 = gn-2 gn-1
.
.
.
bn-3 = gn-3 gn-2 gn-1
b0 = g0 g1 g2 … gn-1
= (gn-2 + gn-1) mod 2
= (gn-3 + gn-2 + gn-1) mod 2
= (g0 + g1 + g2 …+gn-1) mod 2
•mod 2‫باقیمانده‬‫تقسیم‬‫بر‬2‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29
‫خطا‬ ‫تصحیح‬ ‫و‬ ‫تشخیص‬ ‫کدهای‬
•‫هنگام‬‫انتقال‬‫داده‬‫ها‬‫ممکن‬‫است‬‫در‬‫آنها‬‫خطایی‬‫به‬‫علت‬‫تداخل‬‫های‬،‫الکترومغناطیسی‬‫حر‬‫ارت‬
‫زیاد‬‫و‬‫غیره‬‫به‬‫وجود‬‫آید‬.‫می‬‫توان‬‫کدهایی‬‫طراحی‬‫کرد‬‫که‬‫خطا‬‫را‬‫تشخیص‬‫و‬‫یا‬‫حتی‬‫تص‬‫حیح‬
‫کنند‬.
•‫یکی‬‫از‬‫ساده‬‫ترین‬‫روشهای‬‫تشخیص‬‫خطا‬‫استفاده‬‫از‬‫بیت‬‫توازن‬(Parity)‫است‬.‫می‬‫توان‬‫به‬‫هر‬
‫کلمه‬‫کد‬‫یک‬‫بیت‬‫اضافه‬‫کرد‬‫به‬‫طوری‬‫که‬‫تعداد‬‫بیت‬‫های‬‫یک‬‫آن‬‫مثال‬‫فرد‬‫باشد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30
‫کد‬ ‫یک‬ ‫فاصله‬ ‫و‬ ‫فاصله‬ ‫تعریف‬
•‫فاصله‬(Distance)،‫بین‬‫دو‬‫عدد‬‫دودویی‬‫برابر‬‫تعداد‬‫اختالف‬‫بیت‬‫های‬‫آن‬‫دو‬‫عدد‬‫است‬.
‫فاصله‬
a = 1011
b = 1000 d (a,b) = 2
•‫فاصله‬‫یک‬،‫کد‬‫برابر‬‫مینیمم‬‫فاصله‬‫بین‬‫کلمات‬‫آن‬‫است‬.
•‫کدی‬‫که‬‫فاصله‬‫اش‬d‫باشد‬‫می‬‫تواند‬‫حداکثر‬d-1‫خطا‬‫را‬‫تشخیص‬‫دهد‬‫و‬‫یا‬‫می‬‫تواند‬‫حداکثر‬
‫خطا‬‫را‬‫تصحیح‬‫کند‬.
•‫کدی‬‫که‬‫فاصله‬‫اش‬d‫باشد‬‫آنگاه‬‫قادر‬‫به‬‫تصحیح‬t‫خطا‬‫و‬‫کشف‬‫همزمان‬s‫خطای‬‫دیگر‬‫می‬‫باشد‬
‫و‬‫داریم‬:2t + s +1 ≤ d
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31
)parity ‫توازن‬ ‫بیت‬(
•‫کدی‬‫که‬‫فاصله‬‫اش‬‫یک‬،‫است‬‫با‬‫افزودن‬‫یک‬‫بیت‬‫توازن‬‫به‬‫داده‬‫های‬‫آن‬‫می‬‫توان‬‫یک‬‫خطا‬‫را‬
‫تشخیص‬‫داد‬.
•‫توازن‬‫دو‬‫نوع‬‫است‬:
–‫توازن‬‫زوج‬(even)‫بیتی‬‫است‬‫که‬‫به‬‫هر‬‫عدد‬‫اضافه‬‫می‬‫کنیم‬‫تا‬‫تعداد‬‫یک‬‫هایش‬‫زوج‬‫شود‬.
–‫توازن‬‫فرد‬(odd)‫بیتی‬‫است‬‫که‬‫به‬‫هر‬‫عدد‬‫اضافه‬‫می‬‫کنیم‬‫تا‬‫تعداد‬‫یک‬‫هایش‬‫فرد‬‫شود‬.
•‫برای‬‫محاسبه‬‫بیت‬‫توازن‬،‫زوج‬‫باید‬‫تمامی‬‫بیت‬‫های‬‫داده‬‫را‬‫با‬‫هم‬XOR‫کنیم‬.‫برای‬‫آن‬‫که‬‫تشخیص‬
‫دهیم‬‫خطا‬‫ایجاد‬‫شده‬‫یا‬‫خیر‬‫باید‬‫تمامی‬‫بیت‬‫های‬‫داده‬‫همراه‬‫با‬‫بیت‬‫توازن‬‫را‬XOR‫کنیم‬‫اگر‬
‫حاصل‬‫یک‬‫شد‬‫خطا‬‫رخ‬‫داده‬‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

32
‫همینگ‬ ‫کد‬
•‫فاصله‬‫کد‬‫همینگ‬‫برابر‬3‫است‬.
•‫اگر‬‫داده‬‫ها‬2n‫بیتی‬،‫باشند‬‫همینگ‬n‫بیت‬‫به‬‫آن‬‫ها‬‫اضافه‬‫می‬‫کند‬.
•‫بیت‬‫های‬‫اضافه‬‫شده‬‫در‬،‫همینگ‬‫در‬‫مکان‬‫هایی‬‫قرار‬‫می‬‫گیرند‬‫که‬‫شماره‬‫شان‬‫توانی‬‫از‬2
‫باشد‬(1،2،4،8،16....)‫البته‬‫به‬‫شرطی‬‫که‬‫خانه‬‫ها‬‫را‬‫از‬‫چپ‬‫به‬‫راست‬‫و‬‫با‬‫شروع‬‫از‬‫عدد‬1
‫شماره‬‫گذاری‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

33
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
C1 = XOR (3,5,7)
C1 = XOR (3,5,7,9,11,13,15)
C2 = XOR (3,6,7)
C4 = XOR (5,6,7)
C2 = XOR (3,6,7,10,11,14,15)
C4 = XOR (5,6,7,12,13,14,15)
C8 = XOR (9,10,11,12,13,14,15)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34
‫همینگ‬ ‫کد‬
0 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7
‫اولیه‬ ‫داده‬:0011
1 00
C1 = XOR (3,5,7) = 1
C2 = XOR (3,6,7) = 0
C4 = XOR (5,6,7) = 0
‫ارسالی‬ ‫داده‬:1000011
D1 = XOR (1,3,5,7) = 0
D2 = XOR (2,3,6,7) = 1
D4 = XOR (4,5,6,7) = 0
‫گیرنده‬ ‫توسط‬ ‫شده‬ ‫دریافت‬ ‫داده‬:1100011
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

35
‫ارزشی‬ ‫دو‬ ‫بول‬ ‫جبر‬
•‫جبر‬،‫بول‬‫مدل‬‫ریاضی‬‫برای‬‫طراحی‬‫مدارهای‬‫منطقی‬‫است‬.
•‫در‬‫جبر‬‫بول‬‫فقط‬‫دو‬‫مقدار‬0‫و‬1‫وجود‬‫دارد‬.
•‫در‬‫جبر‬‫بول‬3‫عملگر‬‫اصلی‬AND،OR‫و‬not‫وجود‬‫دارد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

36
x y F= x.y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
y
x
F
‫عملگر‬AND
•‫بسته‬‫بودن‬‫کلید‬‫معادل‬‫یک‬‫و‬‫باز‬‫بودن‬‫کلید‬‫را‬‫معادل‬‫صفر‬‫فرض‬‫کنید‬.
•‫روشن‬‫بودن‬‫المپ‬‫معادل‬‫یک‬‫و‬‫خاموش‬‫بودن‬‫المپ‬‫را‬‫معادل‬‫صفر‬‫فرض‬‫کنید‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

37
‫عملگر‬OR
x y F= x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

38
‫عملگر‬NOT
x x
x F
0 1
1 0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

39
‫ارزشی‬ ‫دو‬ ‫بول‬ ‫جبر‬
•‫متغیر‬‫بولی‬‫متغیری‬‫است‬‫که‬‫می‬‫تواند‬0‫یا‬1‫باشد‬.
•‫تابع‬‫بولی‬‫تابعی‬‫است‬‫که‬‫از‬‫تعدادی‬‫یا‬‫هیچ‬‫متغیر‬‫بولی‬‫تشکیل‬‫شده‬‫است‬.
•‫به‬‫هرمتغیر‬‫یا‬‫مکمل‬،‫متغیر‬‫لیترال‬‫گویند‬.
•‫تقدم‬‫عملگرها‬:،‫پرانتز‬not،AND،OR‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

40
ab a b a.b a+b a ↑ b a ↓ b a b a . b ab a+b ab a+b a b 0 1
00 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
01 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
10 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
11 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1
not not AND OR NAND NOR XOR XNOR a<b a≥b a>b a≤b
‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫متشکل‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬
•‫تعداد‬‫توابع‬‫بولی‬‫متفاوت‬‫که‬‫با‬n‫متغیر‬‫بولی‬‫می‬‫توان‬‫ساخت‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

41
‫دوگان‬(dual)‫تابع‬
•‫در‬‫یک‬‫تابع‬‫بولی‬‫اگر‬AND‫به‬OR،OR‫به‬AND،0‫به‬1‫و‬1‫به‬0‫تبدیل‬،‫شود‬‫دوگان‬
‫تابع‬‫بدست‬‫می‬‫آید‬.
•‫اصل‬Duality:‫اگر‬‫دو‬‫تابع‬‫با‬‫هم‬‫مساوی‬(‫هم‬‫ارز‬)‫باشند‬‫آن‬‫گاه‬‫دوگان‬‫آن‬‫دو‬‫تابع‬‫نیز‬‫با‬‫ه‬‫م‬
‫مساوی‬‫هستند‬.
a + 0 = a
a . 1 = a
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

42
‫تابع‬ ‫متمم‬
•‫دوگان‬‫یک‬‫تابع‬‫را‬‫بدست‬‫می‬،‫آوریم‬‫سپس‬‫متمم‬‫هر‬‫متغیر‬‫را‬‫می‬‫نویسیم‬.
‫مثال‬:
F = x . y . z + x . y . z
(x + y + z) . (x + y + z)
(x + y + z) . (x + y + z)
‫تابع‬ ‫دوگان‬
‫متغیر‬ ‫هر‬ ‫متمم‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

43
‫ها‬ ‫گزاره‬ ‫جبر‬ ،‫ها‬ ‫مجموعه‬ ‫جبر‬ ،‫بول‬ ‫جبر‬
‫ها‬ ‫گزاره‬ ‫جبر‬ ‫ها‬ ‫مجموعه‬ ‫جبر‬ ‫بول‬ ‫جبر‬
‫عطفی‬ ‫ترکیب‬˄ ‫اشتراک‬ . AND
‫فصلی‬ ‫ترکیب‬˅ ‫اجتماع‬ + OR
‫نقیض‬~ A ‫مکمل‬ a not
False ‫تهی‬ 0
True ‫مرجع‬M 1
˅ ˅ ‫تفاضل‬‫متقارن‬∆ XOR
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

44
‫بول‬ ‫جبر‬ ‫خواص‬
a + 0 = a a . 1 = a ‫همانی‬ ‫عضو‬(‫خنثی‬Identiy)
a . 0 = 0 a +1 = 1 ‫غلبه‬
a + a = a a . a = a ‫توانی‬ ‫خود‬(Idempotency)
a + a = 1 a . a = 0 ‫مکمل‬ ‫عضو‬
a + b = b + a a . b = b . a ‫جابجایی‬(Commutative)
a + (b + c) = (a + b) + c a . (b . c) = (a . b) . c ‫پذیری‬ ‫شرکت‬(Associatve)
a . (b + c) = a . b + a . c a + b . c = (a + b) . (a + c) ‫پخشی‬(‫پذیری‬ ‫توزیع‬)
a + a . b = a a . (a + b) = a ‫جذب‬
a + a . b = a + b a . (a + b) = a . b ‫جذب‬ ‫شبه‬
(a + b) = a . b (a . b) = a + b ‫دمورگان‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

45
‫درستی‬ ‫جدول‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫جایی‬ ‫جابه‬ ‫خاصیت‬ ‫اثبات‬
a + b = b + a
a . b = b . a
a b a . b b . a a + b b + a
0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

46
‫جبری‬ ‫روابط‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫جذب‬ ‫خاصیت‬ ‫اثبات‬
a + a.b = a
a + a.b = a.1 + a.b
= a. (1+b)
= a.1
a . (a+b) = a
‫شود‬ ‫می‬ ‫اثبات‬ ‫دوگانگی‬ ‫اساس‬ ‫بر‬.
= a
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

47
‫عملگرها‬ ‫از‬ ‫برخی‬ ‫های‬ ‫ویژگی‬
•NAND‫و‬NOR‫جابه‬‫جا‬‫پذیر‬‫هستند‬‫ولی‬‫شرکت‬‫پذیر‬‫نیستند‬.
•XOR‫جابه‬‫جا‬‫پذیر‬‫و‬‫شرکت‬‫پذیر‬‫است‬.
•XOR‫روی‬‫هیچ‬‫عملی‬‫توزیع‬‫پذیر‬‫نیست‬.‫عمل‬NAND‫روی‬XOR‫و‬XNOR‫توزیع‬‫پذیر‬‫است‬.
•AND‫و‬OR‫حذف‬‫پذیر‬‫نیستند‬‫ولی‬XOR‫و‬XNOR‫حذف‬‫پذیرند‬.
a b = a c → b = c
a.b = a.c → b = c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

48
‫اجماع‬ ‫قانون‬(Consensus)
1) a.b + a.c + b.c = a.b + a.c
2) (a+b) . (a+c) . (b+c) = (a+b) . (a+c)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

49
1) f (x1, x2, …, xn) = x1 . f (0, x2, …, xn) + x1 . f (1, x2, …, xn)
2) f (x1, x2, …, xn) = [x1 + f (1, x2, …, xn)] [x1 + f (0, x2, …, xn)]
‫شانون‬ ‫قضیه‬
f (x1, x2, x3 …, xn) = x1 . x2 . f (0, 0, x3, …, xn) + x1 . x2 . f (0,1, x3, …, xn)
+ x1 . x2 . f (1,0, x3, …, xn) + x1 . x2 . f (1,1, x3, …, xn)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

50
‫نرمال‬ ‫های‬ ‫فرم‬
•(Sum of Products) SOP:‫اگر‬‫تابعی‬‫به‬‫صورت‬‫جمع‬‫حاصل‬‫ضرب‬‫ها‬‫باشد‬‫به‬‫آن‬SOP‫گویند‬.
•POS(Product of Sums):‫اگر‬‫تابعی‬‫به‬‫صورت‬‫ضرب‬‫حاصل‬‫جمع‬‫ها‬‫باشد‬‫به‬‫آن‬POS‫گویند‬.
G = (a+b) . (a+c)
F = a.b + a.c + b.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

51
‫ماکسترم‬ ‫و‬ ‫مینترم‬
•‫مینترم‬(minterm):‫جمله‬‫ای‬‫است‬‫به‬‫صورت‬‫ضرب‬‫که‬‫در‬‫آن‬‫همه‬‫لیترال‬‫ها‬‫دقیقا‬‫یک‬‫بار‬
‫ظاهر‬‫شده‬‫باشد‬.
•‫مثال‬:‫با‬‫سه‬‫متغیر‬a،b،c‫جمالت‬a.b.c‫و‬a.b.c‫و‬...‫مینترم‬‫هستند‬.
•‫با‬n‫متغیر‬‫بولی‬‫می‬‫توان‬2n‫مینترم‬‫نوشت‬.
•‫ماکسترم‬(Maxterm):‫جمله‬‫ای‬‫است‬‫به‬‫صورت‬‫ضرب‬‫که‬‫در‬‫آن‬‫همه‬‫لیترال‬‫ها‬‫دقیقا‬‫یک‬‫بار‬
‫ظاهر‬‫شده‬‫باشد‬.
•‫مثال‬:‫با‬‫سه‬‫متغیر‬a،b،c‫جمالت‬a+b+c‫و‬a+b+c‫و‬...‫ماکسترم‬‫هستند‬.
•‫با‬n‫متغیر‬‫بولی‬‫می‬‫توان‬2n‫ماکسترم‬‫نوشت‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

52
‫برای‬ ‫ها‬ ‫ماکسترم‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫مینترم‬3‫متغیر‬
x y z Minterm Maxterm
0 0 0 x'.y’.z’= m0 x+y+z = M0
0 0 1 x’.y’.z = m1 x+y+z’ = M1
0 1 0 x’.y.z’ = m2 x+y’+z = M2
0 1 1 x’.y.z = m3 x+y’+z’ = M3
1 0 0 x.y’.z’ = m4 x’+y+z = M4
1 0 1 x.y’.z = m5 x’+y+z’ = M5
1 1 0 x.y.z’ = m6 x’+y’+z = M6
1 1 1 x.y.z = m7 x’+y’+z’ = M7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

53
‫ها‬ ‫ماکسترم‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫مینترم‬
•‫هر‬‫مینترم‬‫فقط‬‫در‬‫یک‬‫حالت‬‫برابر‬‫یک‬‫می‬‫شود‬.
•‫هر‬‫ماکسترم‬‫فقط‬‫در‬‫یک‬‫حالت‬‫برابر‬‫صفر‬‫می‬‫شود‬.
•‫ضرب‬‫مینترم‬‫در‬‫ماکسترم‬‫غیر‬‫هم‬‫شماره‬‫اش‬‫برابر‬‫مینترم‬‫است‬.
•‫ضرب‬‫مینترم‬‫در‬‫ماکسترم‬‫هم‬‫شماره‬‫اش‬‫برابر‬‫صفر‬‫است‬.
•‫جمع‬‫مینترم‬‫با‬‫ماکسترم‬‫غیر‬‫هم‬‫شماره‬‫اش‬‫برابر‬‫ماکسترم‬‫است‬.
•‫جمع‬‫مینترم‬‫با‬‫ماکسترم‬‫هم‬‫شماره‬‫اش‬‫برابر‬‫یک‬‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

54
‫ها‬ ‫ماکسترم‬ ‫ضرب‬ ‫و‬ ‫ها‬ ‫مینترم‬ ‫جمع‬
•‫جمع‬‫مینترم‬‫ها‬:‫هر‬‫تابعی‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫به‬‫صورت‬‫منحصر‬‫به‬‫فرد‬‫به‬‫شکل‬‫جمع‬‫تعدادی‬‫می‬‫نترم‬
‫نوشت‬‫که‬‫به‬‫آن‬Canonical SOP(CSP)‫یا‬SOP‫متعارف‬‫یا‬PDNF‫گویند‬‫و‬‫با‬‫نشان‬
‫می‬‫دهیم‬.
•‫ضرب‬‫ماکسترم‬‫ها‬:‫هر‬‫تابعی‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫به‬‫صورت‬‫منحصر‬‫به‬‫فرد‬‫به‬‫شکل‬‫ضرب‬‫تعدادی‬
‫ماکسترم‬‫نوشت‬‫که‬‫به‬‫آن‬Canonical POS(CPS)‫یا‬POS‫متعارف‬‫یا‬PCNF‫گویند‬‫و‬
‫با‬‫نشان‬‫می‬‫دهیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

55
•‫مثال‬:‫تابع‬F(a,b,c) = a.b + c‫را‬‫بصورت‬‫جمع‬‫مینترم‬‫ها‬‫و‬‫ضرب‬‫ماکسترم‬‫ها‬‫بنویسید‬.
F(a,b,c) = a.b + c
= a.b (c+c) + c (a+a) (b+b)
= a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b c.+ a.b.c + a.b.c
= m0 + m2 + m4 + m5 + m6 = m (0,2,4,5,6)
= M1.M3.M7 = M (1,3,7)
–‫روش‬‫اول‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

56
abc F
000
001
010
011
100
101
110
111
–‫روش‬‫دوم‬:
F(a,b,c) = a.b + c
–‫روش‬‫سوم‬:
1
0
1
0
1
1
1
0
= m0
= M1
= m2
= M3
= m4
= m5
= m6
= M7
m4 + m5= m0 + m1 + + m6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

57
‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬
•‫روش‬‫های‬‫جبری‬
•‫روش‬‫نقشه‬(‫جدول‬)‫کارنو‬
•‫روش‬‫کوئین‬‫مک‬‫کالسکی‬(Quine-McCluskey)
•‫استفاده‬‫از‬‫قضیه‬‫اجماع‬
•‫و‬‫روش‬‫های‬‫دیگر‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

58
‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫مراحل‬
•‫گام‬‫اول‬:‫رسم‬‫جدول‬‫کارنو‬‫با‬‫توجه‬‫به‬‫تعداد‬‫متغیر‬‫های‬‫تابع‬
•‫گام‬‫دوم‬:‫برای‬‫ساده‬‫سازی‬‫توابع‬‫بصورت‬sop،‫مینترم‬‫های‬‫تابع‬‫را‬‫در‬‫جدول‬‫کارنو‬‫یک‬‫قرار‬‫می‬‫دهیم‬.
•‫گام‬‫سوم‬:‫همه‬‫یک‬‫های‬‫را‬‫دسته‬‫بندی‬‫می‬،‫کنیم‬‫طوری‬‫که‬‫تعداد‬‫دسته‬‫ها‬‫مینیمم‬‫باشد‬‫و‬‫دس‬‫ته‬‫ها‬
‫بزرگترین‬‫باشند‬.
•‫گام‬‫چهارم‬:‫تبدیل‬‫دسته‬‫ها‬‫به‬‫شکل‬‫جبری‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

59
•‫برای‬‫ساده‬‫سازی‬‫توابع‬‫با‬‫حداکثر‬6،‫ورودی‬‫می‬‫توان‬‫از‬‫جدول‬‫کارنو‬‫استفاده‬‫کرد‬.
•‫در‬‫این‬‫روش‬‫جدولی‬‫با‬‫توجه‬‫به‬‫تعداد‬‫ورودی‬‫ها‬‫در‬‫نظر‬‫گرفته‬‫می‬‫شود‬(‫تابعی‬‫که‬n‫متغیر‬
،‫دارد‬‫جدولی‬‫با‬2n‫خانه‬‫خواهد‬‫داشت‬)‫و‬‫به‬‫هر‬‫مینترم‬‫یک‬‫خانه‬‫از‬‫این‬‫جدول‬‫اختصاص‬‫می‬
‫یابد‬.
•‫در‬‫جدول‬،‫کارنو‬‫خانه‬‫های‬‫مجاور‬‫فقط‬‫یک‬‫بیت‬‫با‬‫هم‬‫اختالف‬‫دارند‬(‫خانه‬‫ها‬‫به‬‫ترتیب‬‫کد‬
‫گری‬‫شماره‬‫گذاری‬‫می‬‫شوند‬).
‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫رسم‬(‫ویچ‬ ‫دیاگرام‬)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

60
‫متغیره‬ ‫دو‬ ‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫رسم‬
b 0 1
a
1
0 1
2 3
a
b
0 1
1
0 0 2
1 3
a
a
b
b
b 0 1
a
1
0
0
b 0 1
a
1
0m0
m2
m1
m3
a’b’ a’b
ab’ ab
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

61
F (a, b, c)
a
bc
00 01 1011
1
0 0 1 23
4 5 67
‫متغیره‬ ‫سه‬ ‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫رسم‬
b
c
a
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

62
F ( a, b, c, d ) ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
0 1 23
4 5 67
8 9 1011
12 13 1415
‫متغیره‬ ‫چهار‬ ‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫رسم‬
c
d
b
a
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

63
‫متغیره‬ ‫پنج‬ ‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫رسم‬
0 1 23
4 5 67
8 9 1011
12 13 1415
16 17 1819
20 21 2223
24 25 2627
28 29 3031
de
bc
00
01 10
11
00
01
10
11
a=1
bc
de
00
01 10
11
00
01
10
11
a=0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

64
‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫های‬ ‫یک‬ ‫بندی‬ ‫دسته‬
–‫خانه‬‫های‬‫جدول‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫به‬‫صورت‬‫سطری‬‫یا‬‫ستونی‬‫دسته‬‫بندی‬‫کرد‬.
–‫تعداد‬‫خانه‬‫های‬‫هر‬‫دسته‬‫باید‬‫توانی‬‫از‬‫دو‬‫باشد‬.
–‫در‬‫هر‬‫دسته‬‫حداقل‬،‫یک‬1‫موجود‬‫باشد‬‫که‬‫جزء‬‫دسته‬‫های‬‫دیگر‬‫نباشد‬.
•‫اگر‬‫در‬‫جدول‬،‫کارنو‬‫صفرها‬‫را‬‫دسته‬‫بندی‬‫کنیم‬‫و‬‫مشابه‬‫یک‬،‫ها‬‫جمالت‬‫را‬‫بنویسیم‬‫و‬‫جم‬‫ع‬
،‫کنیم‬‫مکمل‬،‫تابع‬‫به‬‫فرم‬sop‫ساده‬‫می‬‫شود‬‫که‬‫اگر‬‫مکمل‬،‫کنیم‬‫خود‬‫تابع‬‫به‬‫فرم‬pos‫حاصل‬
‫می‬‫شود‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

65
‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫های‬ ‫مثال‬
a
bc
00 01 1011
1
0
•‫مثال‬:‫تابع‬‫داده‬‫شده‬‫را‬‫به‬‫صورت‬sop‫ساده‬‫کنید‬.
F(a,b,c) = m (2,3,4,5)
11
1 1
F(a,b,c) = a.b + a.b
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

66
‫ساده‬ ‫های‬ ‫مثال‬‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬
a
bc
00 01 1011
1
0
F(a,b,c) = m (0,1,4,5,7)
11
1 1
F(a,b,c) = b
1
+ a.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

67
a
bc
00 01 1011
1
0
F(a,b,c) = m (1,2,4,5,6)
11
1 1 1
F(a,b,c) = b.c + b.c + a.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

68
a
bc
00 01 1011
1
0
F(a,b,c) = m (0,2,4,5,6)
11
1 1
F(a,b,c) = c
1
+ a.b
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

69
F(a,b,c,d) = m (0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)
ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1 1
1
11
1 1
1
1
1
F(a,b,c,d) = c
0
0
0
0 0
F(a,b,c,d) = c.d
F(a,b,c,d) = (c+d) . (a+b+c)
+ a.d + b.d
+ a.b.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

70
F(a,b,c,d) = a.b.c + b.c.d + a.b.c.d + a.b.c
ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
1 1
1 1
1
1
1
F(a,b,c,d) = b.c + a.c.d +bd
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

71
F(a,b,c,d) = a.b.c + c.d + b.c.d + b.c
F(a,b,c,d) = b.d
ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ b.c+ a.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

72
de
bc
00
01 10
11
00
01
10
11
a=1
bc
de
00
01 10
11
00
01
10
11
a=0
1
1
1
1
1
1
1
1
F(a,b,c,d,e) = m (3,7,8,12,19,23,26,30) = a.b.d.e + a.b.d.e +b.d.e
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

73
‫اهمیت‬ ‫بی‬ ‫حالت‬(Don’t Care)‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫در‬
•‫توابعی‬‫که‬‫در‬‫ازاء‬‫ترکیبی‬‫از‬‫ورودی‬‫ها‬‫خروجی‬‫های‬‫نامشخص‬،‫دارند‬‫تابع‬‫غیر‬‫کامل‬‫نامیده‬‫می‬‫ش‬‫ود‬.
•‫حاالت‬‫بی‬‫اهمیت‬‫حاالتی‬‫هستند‬‫که‬‫می‬‫توان‬‫آن‬‫ها‬‫را‬‫یک‬‫یا‬‫صفر‬‫فرض‬‫کرد‬.
•‫حاالت‬‫بی‬‫اهمیت‬‫کمک‬‫می‬‫کنند‬‫که‬‫دسته‬‫ها‬‫بزرگتر‬‫شوند‬‫در‬‫نتیجه‬‫تابع‬‫ساده‬‫تر‬‫شود‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

74
ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1
1
1
1 1
x
x
x x
x
x
F (a,b,c,d)=
a.c +a.b
m(1,2,7,11,12,15)+ d (0,3,6,9,13,14)
F (a,b,c,d)= +b.d
‫اهمیت‬ ‫بی‬ ‫های‬ ‫حالت‬ ‫با‬ ‫کارنو‬ ‫جدول‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

75
‫کننده‬ ‫ایجاب‬(Implicant)
•‫جمله‬‫ای‬‫است‬‫به‬‫صورت‬‫ضرب‬‫که‬‫شامل‬‫یک‬‫یا‬‫چند‬‫مینترم‬‫باشد‬.
a
bc
00 01 1011
1
0 11
11
a.b.c , a.b.c , a.b.c , a.b.c ,
a.ca.b, b.c,
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

76
‫اولیه‬ ‫کننده‬ ‫ایجاب‬(PI:Prime Implicant)
•‫ایجاب‬‫کننده‬‫ای‬‫است‬‫که‬‫توسط‬‫هیچ‬‫ایجاب‬‫کننده‬‫دیگری‬‫پوشش‬‫داده‬،‫نشود‬‫یعنی‬‫دسته‬‫ای‬‫است‬
‫که‬‫درون‬‫دسته‬‫بزرگتری‬‫نباشد‬.
a
bc
00 01 1011
1
0 11
11
a.ca.b, b.c,
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

77
‫اساسی‬ ‫اولیه‬ ‫کننده‬ ‫ایجاب‬(Essential Prime Implicant :EPI)
•‫یک‬PI‫که‬‫حداقل‬‫یک‬‫مینترم‬‫را‬‫که‬‫توسط‬‫هیچ‬PI‫دیگری‬‫پوشش‬‫داده‬‫نشده‬،‫است‬‫پوشش‬‫دهد‬.
a
bc
00 01 1011
1
0 11
11
a.ca.b,
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

78
‫کالسکی‬ ‫مک‬ ‫کوئین‬(Quine-McCluskey)
•‫ویژگی‬‫های‬‫روش‬QM:
–‫روش‬QM‫یک‬‫روش‬‫الگوریتمی‬‫است‬‫که‬‫به‬‫راحتی‬‫قابل‬‫پیاده‬‫سازی‬‫ماشینی‬‫است‬.
–‫بسیار‬‫زمان‬‫بر‬‫است‬.
–‫برای‬‫هر‬‫تعداد‬‫متغیر‬‫جواب‬‫می‬‫دهد‬.
–‫همزمان‬‫چندین‬‫تابع‬‫را‬‫می‬‫توان‬‫با‬‫روش‬QM‫ساده‬‫کرد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

79
‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬‫کالسکی‬ ‫مک‬ ‫کوئین‬
•‫مثال‬:‫تابع‬‫داده‬‫شده‬‫را‬‫با‬‫روش‬QM‫به‬‫صورت‬sop‫ساده‬‫کنید‬.
F (a,b,c,d)= m(2,4,6,8,9,10,12,13,15)
•‫گام‬‫اول‬:‫معادل‬‫دودویی‬‫همه‬‫مینترمهای‬‫تابع‬‫را‬‫پیدا‬‫کنید‬‫و‬‫در‬‫یک‬‫ستون‬‫عمودی‬‫زیر‬‫یکد‬‫یگر‬
‫می‬‫نویسیم‬‫سپس‬‫مینترم‬‫ها‬‫را‬‫بر‬‫اساس‬‫تعداد‬‫یک‬‫هایشان‬‫دسته‬‫بندی‬‫می‬،‫کنیم‬‫مثال‬‫مینترم‬
2(0010)‫و‬‫مینترم‬4(0100)‫هر‬‫یک‬‫دارای‬‫یک‬1‫در‬‫شکل‬‫دودویی‬‫شان‬‫هستند‬‫و‬‫در‬‫گروه‬1
‫قرار‬‫دارند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

80
Minterms a b c d
2 0 0 1 0
4 0 1 0 0
8 1 0 0 0
6 0 1 1 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
15 1 1 1 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

81
•‫گام‬‫دوم‬:‫مینترم‬‫های‬‫گروه‬‫های‬‫مجاور‬‫را‬‫با‬‫هم‬‫مقایسه‬‫می‬‫کنیم‬(‫گروه‬1‫با‬2،‫گروه‬2‫با‬3‫و‬...)،
‫هر‬‫دو‬‫مینترمی‬‫که‬‫با‬‫هم‬‫یک‬‫بیت‬‫اختالف‬‫دارند‬(‫مثل‬0010‫و‬0110)‫را‬‫انتخاب‬‫می‬‫کنیم‬‫و‬
‫محل‬‫اختالفشان‬‫عالمت‬–‫را‬‫می‬‫گذاریم‬(10-0)‫و‬‫در‬‫ستون‬‫جدیدی‬‫می‬‫نویسیم‬‫و‬‫آن‬‫مینترم‬‫ها‬
‫را‬‫عالمت‬‫می‬‫زنیم‬.‫همین‬‫روند‬‫را‬‫برای‬‫ستون‬‫های‬‫جدید‬‫تکرار‬‫می‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

82
Minterms a b c d
2
Minterms a b c d Minterms a b c d
2,6 8,9,12,13
4
8
6
9
10
12
13
15
0010
0100
1000
0110
1001
1010
1100
1101
1111
11-1
110-
1-01
1-00
10-0
100-
-100
01-0
-010
0-10
2,10
4,6
4,12
8,9
8,10
9,13
12,13
13,15
8,12
PI2
PI6
PI5
PI4
PI3
PI7
1-0- PI1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

83
•‫گام‬‫سوم‬:‫جمالتی‬‫که‬‫عالمت‬،‫ندارند‬PI،‫هستند‬‫جمالت‬‫تکراری‬‫را‬‫حذف‬‫و‬‫جدول‬‫پوشش‬
(Coveing table)‫رسم‬‫می‬‫کنیم‬.
•‫جدول‬‫پوشش‬:‫در‬‫جدول‬‫پوشش‬‫تمام‬‫مینترم‬‫های‬‫تشکیل‬‫دهنده‬‫تابع‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫افقی‬‫ب‬‫االی‬
‫جدول‬‫و‬PI‫ها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫عمودی‬‫سمت‬‫چپ‬‫جدول‬‫می‬‫نویسیم‬.‫در‬‫داخل‬‫جدول‬‫با‬‫عالمت‬*
‫مشخص‬‫می‬‫کنیم‬‫هر‬PI‫چه‬‫مینترمی‬‫را‬‫شامل‬‫می‬‫شود‬.
•‫گام‬‫چهارم‬:‫کمترین‬‫تعداد‬PI‫هایی‬‫که‬‫همه‬‫مینترم‬‫های‬‫تابع‬‫را‬‫در‬‫جدول‬‫پوشش‬‫شامل‬‫می‬
،‫شود‬‫انتخاب‬‫می‬‫کنیم‬.
–‫در‬‫جدول‬‫پوشش‬‫ستون‬‫هایی‬‫که‬‫فقط‬‫یک‬‫عالمت‬*‫دارند‬(‫مثل‬‫ستون‬15‫و‬9)‫به‬‫این‬
‫معنی‬‫است‬‫که‬PI‫آن‬‫ها‬‫اساسی‬‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

84
PI1
PI7
PI6
PI5
PI4
PI3
PI2
2 4 6 8 9 10 12 13 15
*
*
*
*
*
**
***
**
*
*
*
*
f(a,b,c,d)= PI1 + PI3 PI4 PI7+ +
= 1-0- -010 01-0 11-1+ + +
+ += a.c’ b’.c.d’ a’.b.d’ a.b.d+
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

85
‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬‫کالسکی‬ ‫مک‬ ‫کوئین‬
•‫مثال‬:‫تابع‬‫داده‬‫شده‬‫را‬‫با‬‫روش‬QM‫به‬‫صورت‬sop‫ساده‬‫کنید‬.
F (A, B, C, D, E) = m(2, 3,7, 10, 12, 15, 27) + d (5, 18, 19, 21, 23)
•‫توجه‬:‫مینترم‬‫ها‬‫و‬‫حالت‬‫های‬‫بی‬‫اهمیت‬‫با‬‫هم‬‫دسته‬‫بندی‬‫می‬،‫شوند‬‫ولی‬‫در‬‫جدول‬‫پوشش‬‫فق‬‫ط‬
‫مینترم‬‫ها‬‫را‬‫قرار‬‫می‬‫دهیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

86
Minterms ABCDE
2
Minterms ABCDE
2,3 2,3,18,19
3
5
10
12
18
7
19
21
00010
00011
00101
01010
01100
2,10
2,18
3,7
3,19
5,7
18,19
7,15
19,27
5,21
PI2
PI6
PI5
PI4
PI3
PI1
15
23
27
10010
00111
10011
10101
01111
10111
11011
7,23
21,23
19,23
PI7
0001-
0-010
-0010
Minterms ABCDE
00-11
-0011
001-1
-0101
1001-
0-111
0-111
10-11
1-011
101-1
-001-
3,7,19,23 -0-11
5,7,21,23 -01-1
3,19,7,23
5,21,7,23
2,18,3,19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

PI1
PI7
PI6
PI5
PI4
PI3
PI2
2 3 7 10 12 15 27
*
*
*
*
*
**
*
*
*
*
F(A,B,C,D) = PI1 + PI4 PI5 PI6+ + PI7+
PI2 + PI4 PI5 PI6+ + PI7+F(A,B,C,D) =
87
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

88
‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬‫اجماع‬ ‫قضیه‬
a.b + a.c + b.c = a.b + a.c
a + a.c = a ‫جذب‬ ‫قانون‬
X. term1+ X’. term2 + term1 . term2 = X. term1+ X’. term2
termA = X. term1
termB = X. term2
term1.term2 = ‫جمله‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫اجماع‬
X + X.term1 = X
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

89
‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫روند‬‫اجماع‬ ‫قضیه‬
•‫گام‬‫اول‬:‫تمام‬‫جمالت‬‫حاصلضرب‬‫تابع‬‫را‬‫زیر‬‫هم‬‫می‬‫نویسیم‬.
•‫گام‬‫دوم‬:‫با‬‫شروع‬‫از‬‫اولین‬‫حمله‬‫و‬‫از‬‫باال‬‫هر‬‫جمله‬‫را‬‫با‬‫تمام‬‫جمله‬‫های‬‫باالترش‬‫مقایسه‬‫میک‬‫نیم‬.
•‫گام‬‫سوم‬:‫اگر‬‫هنگام‬‫مقایسه‬‫دو‬‫جمله‬‫قانون‬‫جذب‬‫قابل‬‫اعمال‬‫باشد‬،‫با‬‫این‬‫قانون‬‫یکی‬‫از‬‫ج‬‫مالت‬
‫را‬‫حذف‬‫می‬‫کنیم‬.
•‫گام‬‫چهارم‬:‫اگر‬‫هنگام‬‫مقایسه‬‫بین‬‫آنها‬‫اجماع‬‫وجود‬‫داشته‬‫باشد‬‫جمله‬‫اجماع‬‫بین‬‫انها‬‫را‬‫با‬‫ت‬‫مام‬
‫جمالت‬‫موجود‬‫در‬‫فهرست‬‫مقایسه‬‫می‬‫کنیم‬.‫اگر‬‫در‬‫هیچ‬‫موردی‬‫قانون‬‫جذب‬‫قابل‬‫اعمال‬‫نبود‬
‫این‬‫جمله‬‫را‬‫به‬‫انتهای‬‫فهرست‬‫اضافه‬‫می‬‫کنیم‬.
•‫گام‬‫پنجم‬:‫این‬‫روال‬‫را‬‫تا‬‫زمانی‬‫که‬‫هر‬‫جمله‬‫با‬‫تمام‬‫جمله‬‫های‬‫باالتر‬‫خود‬‫مقایسه‬‫شود‬‫ادامه‬‫م‬‫ی‬
‫دهیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

90
‫استفاده‬ ‫با‬ ‫بولی‬ ‫توابع‬ ‫سازی‬ ‫ساده‬ ‫مثال‬‫اجماع‬ ‫قضیه‬
•‫مثال‬:‫تابع‬‫داده‬‫شده‬‫را‬‫با‬‫استفاده‬‫از‬‫قضیه‬‫اجماع‬‫ساده‬‫کنید‬.
F(a,b,c,d,e) = ab’c’de + ab’de’ + abde’ + ab’cde
1- ab’c’de
2- ab’de’
3- abde’
4- ab’cde
ab’c’d
5- ab’c’d
ade’
6- ade’
ab’de
7- ab’de
ab’d
8- ab’d
F(a,b,c,d,e) = ade’+ ab’d
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

91
‫منطقی‬ ‫های‬ ‫گیت‬
•‫گ‬‫یت‬‫های‬‫منطقی‬‫عناصر‬‫اصلی‬‫مدارهای‬‫منطقی‬‫هستند‬.
•‫هر‬‫تابع‬‫منطقی‬‫با‬‫ترکیبی‬‫از‬‫سه‬‫گیت‬AND،OR‫و‬Not‫قابل‬‫ساخت‬‫و‬‫پیاده‬‫سازی‬‫است‬.
•‫گیت‬‫کامل‬:‫گیتی‬‫کامل‬‫است‬‫که‬‫همه‬‫توابع‬‫منطقی‬‫را‬‫بتوان‬‫با‬‫آن‬‫ایجاد‬‫کرد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

92
x y F= x.y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
y
x
F
x y F= x+y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
x x
x y F= x + y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

93
x y F= (x.y)’
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
x y F= (x+y)’
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
y
x
F
y
x
F
x y F= x . y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
y
x
F
•‫عالمت‬‫دایره‬‫کوچک‬‫در‬‫نمودارهای‬،‫منطقی‬‫نشانه‬‫متمم‬‫شدن‬‫متغیر‬‫مربوطه‬‫یا‬‫وجود‬‫یک‬‫گیت‬Not
‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

94
x x
Control
Input output Output = Input. Control
•‫گیت‬Buffer‫هیچ‬‫تغییر‬‫منطقی‬‫ایجاد‬‫نمی‬‫کند‬.‫در‬‫عمل‬‫برای‬‫تطبیق‬‫امپدانس‬‫یا‬‫تقویت‬‫ج‬‫ریان‬
‫استفاده‬‫می‬‫شود‬.
•‫همه‬‫گیت‬‫ها‬‫بجز‬NOT‫و‬Buffer‫می‬‫توانند‬‫هر‬‫تعداد‬‫ورودی‬‫داشته‬‫باشند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

95
‫کامل‬ ‫گیت‬NOR
a b a NOR b (a NOR b)’ a’ b’ a’ NOR b’
0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

96
‫کامل‬ ‫گیت‬NAND
a b a NAND b (a NAND b)’ a’ b’ a’ NAND b’
0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 0 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

97
‫منطقی‬ ‫های‬ ‫گیت‬ ‫نکات‬
•‫اگر‬‫تمام‬‫ورودی‬‫های‬‫گیت‬NOR‫متمم‬‫شود‬‫خروجی‬‫آن‬‫معادل‬‫با‬‫خروجی‬‫گیت‬AND‫است‬.
•‫اگر‬‫تمام‬‫ورودی‬‫های‬‫گیت‬NAND‫متمم‬‫شود‬‫خروجی‬‫آن‬‫معادل‬‫با‬‫خروجی‬‫گیت‬OR‫است‬.
•‫اگر‬‫تمام‬‫ورودی‬‫های‬‫گیت‬OR‫متمم‬‫شود‬‫خروجی‬‫آن‬‫معادل‬‫با‬‫خروجی‬‫گیت‬NAND‫است‬.
•‫اگر‬‫تمام‬‫ورودی‬‫های‬‫گیت‬NAND‫متمم‬‫شود‬‫خروجی‬‫آن‬‫معادل‬‫با‬‫خروجی‬‫گیت‬NOR‫است‬. ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

98
‫کامل‬ ‫های‬ ‫مدل‬ ‫انواع‬
–‫کامل‬‫قوی‬:‫فقط‬‫با‬‫وجود‬‫متغیرهای‬x1, x2, …, xn‫همه‬‫توابع‬‫با‬‫این‬n‫متغیر‬‫تولید‬‫کرد‬.
‫مجموعه‬‫های‬{OR, NOT}, {AND, NOT}, {NOR}, {NAND}‫کامل‬‫قوی‬‫هستند‬.
–‫کامل‬‫ضعیف‬:‫با‬‫وجود‬‫متغیرهای‬0, 1, x1, x2, …, xn‫همه‬‫توابع‬‫با‬‫این‬n‫متغیر‬‫تولید‬‫کرد‬.
‫مجموعه‬‫های‬{XOR, AND}, {XOR, OR}‫کامل‬‫ضعیف‬‫هستند‬.
–‫کامل‬‫متممی‬‫قوی‬:‫ورودی‬‫عبارت‬‫است‬‫از‬x1, x2, …, xn , x1, x2, …, xn.‫مجموعه‬
{AND, OR}‫کامل‬‫متممی‬‫قوی‬‫است‬.
–‫کامل‬‫متممی‬‫ضعیف‬:‫ورودی‬‫عبارت‬‫است‬‫از‬x1, x2, …, xn , x1, x2, …, xn , 0, 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

99
‫گیت‬ ‫با‬ ‫فقط‬ ‫تابع‬ ‫سازی‬ ‫پیاده‬ ‫الگوریتم‬NAND
•‫تابع‬‫را‬‫به‬‫صورت‬SOP‫ساده‬‫کنید‬.
•‫شکل‬‫تابع‬‫را‬‫با‬‫گیت‬‫های‬OR–AND‫رسم‬‫کنید‬.
•‫با‬‫مکمل‬‫کردن‬‫خروجی‬AND‫و‬‫ورودی‬OR،‫شکل‬‫تابع‬‫را‬‫به‬NAND – NAND‫تبدیل‬‫می‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

100
‫گیت‬ ‫با‬ ‫فقط‬ ‫تابع‬ ‫سازی‬ ‫پیاده‬ ‫الگوریتم‬NOR
•‫تابع‬‫را‬‫به‬‫صورت‬POS‫ساده‬‫کنید‬.
•‫شکل‬‫تابع‬‫را‬‫با‬‫گیت‬‫های‬AND–OR‫رسم‬‫کنید‬.
•‫با‬‫مکمل‬‫کردن‬‫خروجی‬OR‫و‬‫ورودی‬AND،‫شکل‬‫تابع‬‫را‬‫به‬NOR – NOR‫تبدیل‬‫می‬‫کنیم‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

101
‫منطقی‬ ‫های‬ ‫گیت‬ ‫نکات‬
•‫اگر‬‫ورودی‬‫ها‬Single Rail‫بودند‬‫یعنی‬‫فقط‬‫متغیرها‬(‫و‬‫نه‬not‫آنها‬)‫در‬‫ورودی‬‫ها‬‫هستند‬.
•‫اگر‬‫ورودی‬‫ها‬DoubleRail‫بودند‬‫یعنی‬‫متغیرها‬‫و‬not‫آنها‬‫در‬‫ورودی‬‫ها‬‫هستند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

102
‫انتشار‬ ‫تاخیر‬(Propagation delay)
•‫تاخیر‬‫انتشار‬‫مدت‬‫زمانی‬‫است‬‫که‬‫طول‬‫می‬‫کشد‬‫تا‬‫تغییرات‬‫ورودی‬‫یک‬‫گیت‬‫به‬‫خروجی‬‫آ‬‫ن‬‫برسد‬.
•‫تاخیر‬‫انتشار‬‫تابعی‬‫از‬‫پیچیدگی‬،‫مدار‬‫تکنولوژی‬،‫ساخت‬،‫دما‬‫ولتاژ‬‫تراشه‬‫و‬‫تعداد‬‫ورودی‬‫های‬‫گیت‬
‫های‬‫دیگری‬‫که‬‫خروجی‬‫گیت‬‫مورد‬‫نظر‬‫ما‬‫می‬‫تواند‬‫تغذیه‬،‫کند‬‫است‬.
•‫در‬‫برخی‬‫تکنولوژی‬،‫ها‬‫تاخیر‬‫زمانی‬‫که‬‫خروجی‬‫می‬‫خواهد‬‫از‬‫صفر‬‫به‬‫یک‬‫تغییر‬‫کند‬‫با‬‫زما‬‫نی‬‫که‬
‫خروجی‬‫می‬‫خواهد‬‫از‬‫یک‬‫به‬‫صفر‬‫تغییر‬‫کند‬‫متفاوت‬‫است‬.‫معموال‬‫تاخیر‬‫انتشار‬‫متوسط‬‫ای‬‫ن‬‫دو‬
‫زمان‬‫است‬.
C
F
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

103
‫مخاطره‬(Hazard)
•‫تاخیر‬‫انتشار‬‫در‬‫برخی‬‫از‬‫مدارات‬‫موجب‬‫بروز‬‫پدیده‬‫ناخواسته‬‫ای‬‫به‬‫نام‬‫مخاطره‬‫می‬‫شود‬.
•‫مخاطره‬‫منطقی‬(Logic Hazard):‫فقط‬‫یک‬‫ورودی‬‫عوض‬‫می‬‫شود‬.
•‫مخاطره‬‫تابعی‬(Function Hazard):‫بیش‬‫از‬‫یک‬‫ورودی‬‫همزمان‬‫عوض‬‫می‬‫شود‬.
•‫مخاطره‬‫منطقی‬:
–‫استاتیک‬:
1)‫استاتیک‬‫سطح‬‫یک‬
2)‫استاتیک‬‫سطح‬‫صفر‬
–‫دینامیک‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

104
‫یک‬ ‫سطح‬ ‫ایستای‬ ‫مخاطره‬(Static Hazard)
•‫حالتی‬‫است‬‫که‬‫خروجی‬‫یک‬‫است‬‫و‬‫با‬‫تغییر‬‫ورودی‬‫نباید‬‫تغییر‬‫کند‬‫ولی‬‫برای‬‫مدت‬‫ک‬‫وتاهی‬‫به‬
‫طور‬‫ناخواسته‬‫صفر‬‫می‬‫شود‬‫و‬‫مجددا‬‫یک‬‫می‬‫شود‬.‫یعنی‬‫یک‬‫پالس‬‫ناخواسته‬‫منفی‬‫در‬‫خ‬‫روجی‬
‫ظاهر‬‫می‬‫شود‬.
•‫مخاطره‬‫ایستای‬‫سطح‬‫یک‬‫معموال‬‫در‬‫مدارات‬SOP(NAND-NAND, AND-OR)‫پیش‬‫می‬
‫آید‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

105
•‫مثال‬:‫فرض‬‫می‬‫کنیم‬‫تاخیر‬‫هر‬‫گیت‬2ns‫است‬.
a b c = 1 1 1
f1= 1 , f2= 0 , f= 1
b
f1
f2
f
Hazard(1)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

106
•‫مثال‬:‫فرض‬‫می‬‫کنیم‬‫تاخیر‬‫هر‬‫گیت‬2ns‫است‬.
b
f1
f2
f
a b c = 1 0 1
f1= 0 , f2= 1 , f= 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

107
•‫مثال‬:‫فرض‬‫کنید‬‫تاخیر‬‫گیت‬and‫مربوط‬‫به‬f1،6ns‫و‬‫باقی‬‫گیت‬‫ها‬
‫دارای‬‫تاخیر‬‫گیت‬2ns‫باشند‬.
b
f1
f2
f
a b c = 1 0 1
f1= 0 , f2= 1 , f= 1
Hazard(1)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

108
‫یک‬ ‫سطح‬ ‫ایستای‬ ‫مخاطره‬ ‫رفع‬(Static Hazard)
.1‫تابع‬‫خروجی‬‫را‬‫بنویسیم‬.
.2‫جدول‬‫کارنو‬‫را‬‫تشکیل‬‫دهیم‬.
.3‫اگر‬‫در‬‫جدول‬‫کارنو‬‫دو‬‫تا‬‫مینترم‬‫مجاور‬‫هم‬‫باشند‬‫و‬‫در‬‫یک‬‫دسته‬‫نباشند‬‫به‬‫معنی‬‫وجو‬‫د‬
‫مخاطره‬،‫است‬‫پس‬‫باید‬‫دسته‬‫ای‬‫به‬‫تابع‬‫اضافه‬‫کنیم‬‫که‬‫شامل‬‫آن‬‫دو‬‫مینترم‬‫باشد‬. ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

109
•‫مثال‬:‫رفع‬‫مخاطره‬‫سطح‬‫یک‬
abc f1 f2 F
000 0 0 0
001 0 1 1
010 0 0 0
011 0 0 0
100 0 0 0
101 0 1 1
110 1 0 1
111 1 0 1
a
bc
00 01 1011
1
0 1
111
f= ab + b’c
f= ab + b’c + ac
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

110
•‫مثال‬:‫مدار‬‫شکل‬‫مقابل‬‫در‬‫چند‬‫وضعیت‬‫مخاطره‬‫دارد‬‫و‬‫چگونه‬‫رفع‬‫مخاطره‬‫کنیم‬.
F(a,b,c,d) = a’c’ + bcd’ + ad
+ abc + a’bd’ + c’d
ab
cd
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1
1
1
1 1
1
11 1
c’d b , c’db’
a+c
b’+c’+d
a’+d’
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

111
‫صفر‬ ‫سطح‬ ‫ایستای‬ ‫مخاطره‬(Static - O - Hazard)
•‫حالتی‬‫است‬‫که‬‫خروجی‬‫صفر‬‫است‬‫و‬‫صفر‬‫نیز‬‫باید‬‫بماند‬‫ولی‬‫برای‬‫مدت‬‫کوتاهی‬‫ن‬‫اخواسته‬
‫یک‬‫می‬‫شود‬.
•‫مخاطره‬‫ایستای‬‫سطح‬‫صفر‬‫معموال‬‫در‬‫مدارات‬POS(, NOR– NOROR-AND)‫پیش‬
‫می‬‫آید‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

112
‫صفر‬ ‫سطح‬ ‫ایستای‬ ‫مخاطره‬ ‫رفع‬(Static - O - Hazard)
.1‫تابع‬‫خروجی‬‫را‬‫بنویسیم‬.
.2‫جدول‬‫کارنو‬‫را‬‫تشکیل‬‫دهیم‬.
.3‫اگر‬‫دو‬‫تا‬‫صفر‬‫مجاور‬‫هم‬‫در‬‫یک‬‫دسته‬‫نباشند‬‫به‬‫معنی‬‫وجود‬‫این‬‫نوع‬‫مخاطره‬‫است‬‫ک‬‫ه‬
‫آن‬‫ها‬‫را‬‫در‬‫یک‬‫دسته‬‫قرار‬‫می‬‫دهیم‬.‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

113
‫دینامیک‬ ‫مخاطره‬
•‫خروجی‬‫بیش‬‫از‬‫یک‬‫تغییر‬‫ناخواسته‬‫دارد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

114
‫مجتمع‬ ‫مدارهای‬(Integrated Circuits)(IC)
•‫یک‬‫مدار‬‫مجتمع‬(IC)‫یک‬‫کریستال‬‫نیمه‬‫هادی‬‫از‬‫جنس‬‫سیلیکان‬‫است‬‫که‬‫به‬‫آن‬‫تراشه‬‫می‬‫گوی‬‫ند‬‫و‬
‫حاوی‬‫اجزاء‬‫الکترونیکی‬‫در‬‫ساخت‬‫گیت‬‫های‬‫دیجیتال‬‫می‬‫باشد‬.‫انواع‬‫گیت‬‫ها‬‫در‬‫داخل‬‫تراشه‬‫به‬‫هم‬
‫وصل‬‫می‬‫شوند‬‫تا‬‫مدار‬‫مورد‬‫نیاز‬‫ایجاد‬‫گردد‬.‫تراشه‬‫روی‬‫یک‬‫محفظه‬‫سرامیک‬‫یا‬‫پالستیک‬‫نص‬‫ب‬‫شده‬‫و‬
‫اتصاالت‬‫به‬‫پایه‬‫های‬‫بیرون‬‫برای‬‫ایجاد‬‫مدار‬،‫مجتمع‬‫متصل‬‫می‬‫گردد‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

115
‫براساس‬ ‫مجتمع‬ ‫مدارات‬ ‫بندی‬ ‫تقسیم‬‫آنها‬ ‫های‬ ‫گیت‬ ‫تعداد‬
•‫مدارات‬‫مجتمع‬‫دارای‬‫سطوح‬‫فشردگی‬‫متفاوتی‬‫هستند‬:
–SSI(Small Scale Integration):‫کمتر‬‫از‬10‫گیت‬‫در‬‫یک‬‫بسته‬.
–MSI(Medium Scale Integration):‫بین‬10‫تا‬1000‫گیت‬‫در‬‫یک‬‫بسته‬.‫مانند‬،‫دیکدر‬
‫مالتی‬‫پلکسر‬...
–LSI(Large Scale Integration):‫هزاران‬‫گی‬‫ت‬‫در‬‫یک‬‫بسته‬.‫مانند‬‫حافظه‬،‫ها‬‫مدارات‬‫منطقی‬
‫برنامه‬‫پذیر‬...
–VLSI(Very Large Scale Integration):‫صدها‬‫هزار‬‫گیت‬‫در‬‫یک‬‫بسته‬.‫مانند‬‫میکرو‬
،‫کامپیوترها‬‫آرایه‬‫های‬‫حافظه‬‫پذیر‬...
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

116
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

117
‫ساخت‬ ‫تکنولوژی‬ ‫براساس‬ ‫مجتمع‬ ‫مدارات‬ ‫بندی‬ ‫تقسیم‬
– RTL : Resistor Transistor Logic
– DTL: Diod Transistor Logic
– TTL: Transistor Transistor Logic
– ECL: Emitter Coupled Logic
– MOS: Metal Oxid Semiconductore
– CMOS: Complementary Mental Oxid Semiconductore
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

118
‫ساخت‬ ‫تکنولوژی‬ ‫براساس‬ ‫مجتمع‬ ‫مدارات‬ ‫بندی‬ ‫تقسیم‬
– RTL : Resistor Transistor Logic
– DTL: Diod Transistor Logic
– TTL: Transistor Transistor Logic
– ECL: Emitter Coupled Logic
– MOS: Metal Oxid Semiconductore
– CMOS: Complementary Mental Oxid Semiconductore
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

119
RTL(‫مقاومت‬ ‫منطق‬-‫ترانزیستور‬)‫و‬DTL(‫منطق‬‫دیود‬-‫ترانزیستور‬)
•‫فقط‬‫دارای‬‫ارزش‬‫تاریخی‬‫اند‬.
•‫گیت‬‫پایه‬‫در‬RTL‫گیت‬NOR‫است‬.
•‫گیت‬‫پایه‬‫در‬DTL‫گیت‬NAND‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

120
TTL(‫منطق‬‫ترانزیستور‬-‫ترانزیستور‬)
•‫یکی‬‫از‬‫رایج‬‫ترین‬‫انواع‬‫مدارهای‬‫مجتمع‬‫که‬‫با‬‫ولتاژ‬5‫ولت‬‫کار‬‫می‬‫کنند‬.
•IC‫های‬TTL‫تجاری‬‫با‬‫شماره‬‫هایی‬‫که‬‫اول‬‫آنها‬74‫است‬‫مشخص‬‫می‬‫شوند‬.
•‫تفاوت‬‫میان‬‫سری‬‫های‬TTL‫در‬‫منطق‬‫دیجیتال‬‫آنها‬‫نیست‬‫بلکه‬‫ساختار‬‫داخلی‬‫همه‬‫آنها‬‫بر‬
‫مبنای‬‫گیت‬NAND‫است‬.
•‫آرایش‬‫خروجی‬‫همه‬‫گیت‬‫های‬TTL:
.1‫خروجی‬‫کلکتور‬‫باز‬(open collector)
.2‫خروجی‬‫توتم‬‫پل‬(totem - pole)
.3‫خروجی‬‫سه‬‫حالته‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

121
‫انواع‬TTL‫آنها‬ ‫مشخصات‬ ‫و‬
‫سری‬ ‫نام‬TTL ‫پیشوند‬
‫گنجایش‬
‫خروجی‬
‫مصرفی‬ ‫توان‬
(mW)
‫تاخیر‬‫انتشار‬
(ns)
‫حاصلضرب‬‫توان‬
‫سرعت‬(pJ)
‫استاندارد‬ 74 10 10 9 90
‫پایین‬ ‫توان‬ 74L 20 1 33 33
‫باال‬ ‫سرعت‬ 74H 10 22 6 132
‫شوتکی‬ 74S 10 19 3 57
‫پایین‬ ‫توان‬ ‫شوتکی‬ 74LS 20 2 9.5 19
‫پیشرفته‬ ‫شوتکی‬ 74AS 40 10 1.5 15
‫شوتکی‬‫پایین‬ ‫توان‬ ‫پیشرفته‬ 74ALS 20 1 4 4
‫سریع‬ 74F 20 4 3 12
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

122
ECL(‫امیتر‬ ‫کوپالژ‬ ‫منطق‬)
•ECL‫سریع‬‫ترین‬‫خانواده‬‫است‬‫اما‬‫حد‬‫پارازیت‬‫و‬‫توان‬‫مصرفی‬‫آن‬‫بدترین‬‫است‬.
•ECL‫ها‬‫به‬‫علت‬‫تاخیر‬‫کم‬‫و‬‫مصرف‬‫زیاد‬‫در‬‫مدارهای‬‫فرکانس‬‫باال‬‫کاربرد‬‫دارند‬.
•ECL‫معموال‬‫با‬‫ولتاژهای‬‫تغذیه‬‫صفر‬‫و‬– 5.2‫ولت‬‫کار‬‫می‬‫کنند‬.
•ECL‫ها‬‫دارای‬OR‫و‬NOR‫هستند‬.
•‫اگر‬‫خروجی‬‫دو‬‫گیت‬NOR‫این‬‫خانواده‬‫به‬‫هم‬‫متصل‬‫شوند‬‫اتصال‬‫معادل‬OR‫است‬.
•‫اگر‬‫خروجی‬‫دو‬‫گیت‬OR‫این‬‫خانواده‬‫به‬‫هم‬‫متصل‬‫شوند‬‫اتصال‬‫معادل‬AND‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

123
MOS(‫فلز‬–‫اکسید‬–‫هادی‬ ‫نیمه‬)
•‫ترانزیستورهای‬‫استفاده‬‫شده‬‫در‬MOS،‫برخالف‬‫ترانزیستورهای‬TTL‫و‬ECL‫که‬‫دو‬‫قطبی‬
،‫هستند‬‫تک‬‫قطبی‬‫اند‬‫و‬‫سطح‬‫کمتری‬‫را‬‫اشغال‬‫می‬‫کنند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

124
CMOS
•CMOS‫در‬‫حالت‬‫سکون‬‫توان‬‫مصرفی‬‫اش‬‫خیلی‬‫کم‬‫است‬.
•‫مدار‬‫منطقی‬CMOS‫با‬‫یک‬‫منبع‬‫بین‬3-18 V‫و‬‫معموال‬5 V‫تغذیه‬‫می‬‫شود‬.
•‫راه‬‫اندازی‬CMOS‫با‬‫منبع‬‫تغذیه‬‫باالتر‬‫موجب‬‫کاهش‬‫زمان‬‫تاخیر‬‫انتشار‬‫و‬‫تصحیح‬‫حد‬
‫پارازیت‬‫می‬‫شود‬‫اما‬‫توان‬‫مصرفی‬‫را‬‫افزایش‬‫می‬‫دهد‬.
•‫در‬‫مواقعی‬‫که‬‫توان‬‫مصرفی‬‫سیستم‬‫باید‬‫پایین‬‫باشد‬‫در‬‫حالی‬‫که‬‫تعداد‬‫گیت‬‫ها‬‫در‬‫د‬‫اخل‬‫مدار‬
‫مجتمع‬‫به‬‫دلیل‬‫پیچیده‬‫بودن‬‫طرح‬‫زیاد‬‫است‬‫از‬‫این‬‫خانواده‬‫استفاده‬‫می‬‫شود‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

125
‫ترکیبی‬ ‫مدارات‬(Combinational)
•‫مدارهای‬‫منطقی‬:
–‫ترکیبی‬
–‫ترتیبی‬
•‫مدار‬‫ترکیبی‬:‫متشکل‬‫از‬‫تعدادی‬‫گیت‬‫منطقی‬‫است‬‫که‬‫خروجی‬‫آن‬‫ها‬‫در‬‫هر‬‫لحظه‬‫از‬‫زمان‬
‫مستقیما‬‫به‬‫وسیله‬‫ورودی‬‫های‬‫همان‬‫لحظه‬‫معین‬‫می‬‫شود‬‫و‬‫به‬‫ورودی‬‫های‬‫قبلی‬‫بستگی‬‫ندارد‬.
‫ترکیبی‬ ‫مدار‬
x1
x2
xn
z1
z1
zn
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

126
‫ترکیبی‬ ‫مدارات‬ ‫طراحی‬ ‫مراحل‬
•‫با‬‫توجه‬‫به‬‫توصیف‬‫مسئله‬‫تعداد‬‫ورودی‬‫ها‬‫و‬‫خروجی‬‫ها‬‫را‬‫مشخص‬‫کنید‬.
•‫رسم‬‫جدول‬‫درستی‬
•‫بدست‬‫آوردن‬‫تابع‬‫خروجی‬‫و‬‫ساده‬‫سازی‬‫آن‬(‫جدول‬،‫کارنو‬‫کوئین‬‫مک‬‫کالسکی‬‫و‬...)
•‫رسم‬‫دیاگرام‬‫منطقی‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

127
‫ترکیبی‬ ‫مدارات‬ ‫طراحی‬
•‫مثال‬1:‫مداری‬‫طراحی‬‫کنید‬‫که‬‫براساس‬‫اکثریت‬‫آرای‬3‫نفر‬‫یک‬‫رای‬‫صادر‬‫کند‬.
abc f
000
001
010
011
100
101
110
111 1
1
1
1
0
0
0
0
a
a
b
b
c
c
f
f = a.c
a
bc
00 01 1011
1
0 1
111
+ a.b+ b.c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

128
‫ورودی‬:
BCD‫کد‬
‫خروجی‬:
‫کد‬‫ا‬‫فزونی‬3
A B C D W X Y Z
0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 0 0
AB
CD
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1 1
1
1
x xx x
x x
Z = D
•‫مثال‬2:‫مدار‬‫مبدلی‬‫طراحی‬‫کنید‬‫که‬‫کد‬BCD‫را‬‫به‬‫کد‬‫افزونی‬3‫تبدیل‬‫کند‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

129
AB
CD
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1 1
1
1
x xx x
x x
AB
CD
00
01 10
11
00
01
10
11
11 1
1
x xx x
x x
Y = C.D
1
X = B.C
X = B.(C + D) + B.(C+D)Y = C.D + (C+D)
+C.D + B.D + BCD
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

130
AB
CD
00
01 10
11
00
01
10
11
1
1
11
1
x xx x
x x
W= A
Y
X
W
Z
A
B
D
C
W= A + B.(C + D)
+ B.C+ BD
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

131
‫کننده‬ ‫جمع‬ ‫نیم‬ ‫طراحی‬(Half Adder)
•‫دو‬‫بیت‬‫را‬‫با‬‫هم‬‫جمع‬‫می‬،‫کند‬‫حاصل‬‫جمع‬‫و‬‫رقم‬‫نقلی‬‫تولید‬‫می‬‫کند‬.
x y c s
0 0
0 1
1 0
1 1
0
0
0
1
0
0
1
1
x
y
s
c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

132
‫کننده‬ ‫جمع‬ ‫تمام‬ ‫طراحی‬(Full Adder)
a b c c s
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
0
0
1
0
0
1
1
0 1
1 0
1 0
1 1
•‫سه‬‫بیت‬‫را‬‫با‬‫هم‬‫جمع‬‫می‬،‫کند‬‫حاصل‬‫جمع‬‫و‬‫رقم‬‫نقلی‬‫تولید‬‫می‬‫کند‬.
s (a , b ,c) = m(1,2,4,7)
c (a , b, c) = m(3,5,6,7)
a
bc
00 01 1011
1
0 1 1
1 1
s (a , b ,c) = a + b + c
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

133
‫کننده‬ ‫جمع‬ ‫تمام‬ ‫طراحی‬(Full Adder)
a
bc
00 01 1011
1
0 1
11 1
c (a , b ,c) = a.b + a.c + b.c
c (a , b ,c) = a.b + a.b’.c + a’.b.c
c. (a.b’ + a’.b)
c (a , b, c) = m(3,5,6,7)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

134
•‫یک‬‫جمع‬‫کننده‬n،‫بیتی‬‫از‬‫به‬‫هم‬‫پیوستن‬‫متوالی‬n‫جمع‬‫کننده‬‫کامل‬‫ساخته‬‫می‬،‫شود‬‫که‬‫در‬
‫آن‬‫هر‬‫خروجی‬‫نقلی‬‫از‬‫هر‬‫جمع‬‫کننده‬‫کامل‬‫به‬‫ورودی‬‫نقلی‬‫جمع‬‫کننده‬‫کامل‬‫بعدی‬‫زنجیر‬‫وار‬
‫بسته‬‫می‬‫شود‬.
‫گونه‬ ‫موج‬ ‫کننده‬ ‫جمع‬(Ripple Carry Adder)‫موازی‬ ‫یا‬(Parallel)‫موازی‬ ‫شبه‬ ‫یا‬
n‫بیت‬
cout cn-1 cn-2 … c1 cin
an-1 an-2 … a1 a0
+ bn-1 bn-2 … b1 b0
sn-1 sn-2 … s1 s0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

135
‫گونه‬ ‫موج‬ ‫کننده‬ ‫جمع‬(Ripple Carry Adder)‫موازی‬ ‫یا‬(Parallel)‫موازی‬ ‫شبه‬ ‫یا‬
n‫بیت‬
b0 a0b1 a1b2 a2b3 a3bn an
F.AF.AF.AF.AF.A
Cout
C2C3 C1C4
S1 S0
S2S3Sn
C0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

136
‫نقلی‬ ‫رقم‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
ai
bi
s
Ci+1
Ci
Pi
Gi
Pi = ai bi
Gi = ai . bi
ci+1 = Gi + Pi .ci
si = Pi ci
c0 = ‫ورودی‬ ‫نقلی‬
c1 = G0 + P0 .c0
c2 = G1 + P1 .c1
c3 = G2 + P2 .c2
= G1+ P1. )G0 + P0 .c0)
= G2+ P2. )G1 + P1.G0 + P1.P0.c0) = G2 + P2.G1 + P2.P1.G0 +P2.P1.P0.c0
= G1 + P1.G0 + P1.P0.c0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

137
‫کننده‬ ‫تفریق‬ ‫نیم‬ ‫طراحی‬
•‫در‬‫مدارهای‬‫تفریق‬‫کننده‬‫به‬‫جای‬‫رقم‬‫نقلی‬‫رقم‬‫قرضی‬‫وجود‬‫دارد‬.
x y B D
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
0
0
0
0
1
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

138
‫کننده‬ ‫تفریق‬ ‫و‬ ‫جمع‬n‫بیت‬
b 0 = b
b 1 = b
a – b = a + b +1 b a F= b a
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

139
‫کننده‬ ‫تفریق‬ ‫و‬ ‫جمع‬n‫بیت‬
a0a1a2a3an
F.AF.AF.AF.AF.A
Cout
C2C3 C1C4
S1 S0
S2S3Sn
M
bn
b3 b2 b1 b0
a – b = a + b +1
Cn-1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

140
‫مقدار‬ ‫گر‬ ‫مقایسه‬
•‫با‬‫مقایسه‬‫دو‬،‫عدد‬،‫بزرگتر‬‫کوچکتر‬‫یا‬‫مساوی‬‫بودن‬‫آنها‬‫تعیین‬‫می‬‫شود‬.
•‫مقایسه‬‫گر‬،‫مقدار‬‫مداری‬‫ترکیبی‬‫است‬‫که‬‫دو‬‫عدد‬‫را‬‫به‬‫عنوان‬‫ورودی‬‫دریافت‬‫و‬‫خروجی‬‫آن‬‫سه‬
‫متغیر‬‫دودویی‬‫می‬‫باشد‬‫که‬‫بیانگر‬،‫بزرگتر‬‫کوچکتر‬‫و‬‫مساوی‬‫بودن‬‫عدد‬‫اول‬‫بنسبت‬‫به‬‫عدد‬‫دوم‬‫است‬.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

141
‫مقدار‬ ‫گر‬ ‫مقایسه‬ ‫طراحی‬4‫بیت‬
A = A3 A2 A1 A0
B = B3 B2 B1 B0
Xi = Ai Bi + Ai Bi
(A = B) = X3 . X2 . X1 . X0
(A > B) = + X3.A2.B2 + X3.X2.A1.B1 + X3.X2.X1.A0.B0A3.B3
(A < B) = + X3.A2.B2 + X3.X2.A1.B1 + X3.X2.X1.A0.B0A3.B3
A0 B0 G E L
0 0 0 1 0
0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
(A0 = B0) = A0 B0 + A0 B0
(A > B) = A0.B0
(A < B) = A0.B0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

142
‫طراحی‬Seven Segment Display
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

143
L1
L6
L2
L3
L7
L4
L5
Val B3 B2 B1 B0 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0
3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1
4 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1
5 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1
6 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
8 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
9 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

(مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال

(مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (14)

Similar to (مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال

Similar to (مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال (11)

More from faradars

More from faradars (20)

(مجموعه آموزش های مدارهای منطقی (طراحی دیجیتال