در این مجموعه یک مرور اجمالی به روش تقسیم و حل در طراحی الگوریتم شده و سپس تست های کنکور دولتی حل شده است. علاوه بر حل تشریحی، نکات کنکوری نیز برای حل سریع تر بیان شده است، نکاتی که در اکثر منابع کنکور نمی توان آنها را پیدا کرد و حاصل بیش از ۱۵ سال تدریس کنکوری است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: مرور اجمالی به مبحث روش تقسیم و حل در طراحی الگوریتم قضیه اصلی جستجوی دو دویی مرتب سازی ادغامی مرتب سازی سریع (Quick sort) ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvsfte103

1. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫مدرس‬:
‫شیرافکن‬ ‫فرشید‬
‫دانشجوی‬‫تهران‬ ‫دانشگاه‬ ‫دکتری‬
(‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬ ‫و‬ ‫کارشناسی‬:‫افزار‬ ‫نرم‬ ‫کامپیوتر‬( )‫دکتری‬:‫انفورماتیک‬ ‫بیو‬)
‫کنکور‬‫ارشد‬ ‫کارشناسی‬
‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬
‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫روش‬
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫هنگام‬‫طراحی‬‫الگوریتم‬‫های‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬ً‫ال‬‫معمو‬‫آن‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫یک‬‫روال‬‫بازگشتی‬‫می‬‫نوی‬‫سند‬.
‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫روش‬(Divide-and-Conquer)
‫مراحل‬:
1-‫تقسیم‬‫نمونه‬‫ای‬‫از‬‫یک‬‫مسئله‬‫به‬‫یک‬‫یا‬‫چند‬‫نمونه‬‫کوچکتر‬
2-‫حل‬‫نمونه‬‫های‬‫کوچکتر‬
3-‫ترکیب‬‫حل‬‫نمونه‬‫های‬‫کوچکتر‬‫برای‬‫بدست‬‫آوردن‬‫حل‬‫نمونه‬‫اولیه‬(‫در‬‫صورت‬‫نیاز‬)
‫دلیل‬‫اینکه‬‫می‬‫گوئیم‬"‫در‬‫صورت‬‫نیاز‬"‫این‬‫است‬‫که‬‫در‬‫بعضی‬‫الگوریتم‬‫ها‬‫مانند‬‫جستجوی‬‫دودویی‬‫نمونه‬‫فقط‬‫به‬‫یک‬‫نمونه‬
‫کوچکتر‬‫کاهش‬‫می‬‫یابد‬‫و‬‫نیازی‬‫به‬‫ترکیب‬‫حل‬‫ها‬‫نیست‬.
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫مثال‬
‫الگوریتمی‬‫هر‬‫ورودی‬‫مسئله‬‫به‬‫اندازه‬‫ی‬n‫را‬‫به‬2‫بخش‬‫کم‬‫و‬‫بیش‬‫مساوی‬‫تقسیم‬
‫می‬‫کند‬.‫زیر‬‫مسئله‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگشتی‬‫حل‬‫و‬‫سپس‬‫با‬‫هزینه‬‫خطی‬‫حاصل‬‫این‬
‫دو‬‫را‬‫با‬‫هم‬‫ترکیب‬‫کرده‬‫و‬‫جواب‬‫مسئله‬‫را‬‫به‬‫دست‬‫می‬‫آورد‬.
‫رابطه‬‫بازگشتی‬:
n
T(n) 2T( ) O(n) T(n) O(nlgn)
2
   
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫قضیه‬‫اصلی‬
‫اگر‬‫داشته‬‫باشیم‬:n
T(n) aT( ) f(n)
b
 
a 1,b 1 
a a
b b
a
b
a
b
log log
log
log
(n ) f(n) n
T(n) (f(n).lgn) f(n) n
(f(n)) f(n) n

 

  

 

4
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
5
n
T(n) 4T( ) lgn
2
 
4
2log
lg nn 
)( 2
n
a 4
b 2
f(n) lgn



n
T(n) 8T( ) nlgn
9
 
8
9log
lg nnn 
)lg( nn
2n
T(n) T( ) 1
3
 
1
2/3log
1 n
)(lg n
a 8
b 9
f(n) nlgn



a 1
3
b
2
f(n) 1



‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫اندازه‬ ‫با‬ ‫مسئله‬ ‫یک‬ ‫حل‬ ‫برای‬n‫است‬ ‫پذیر‬ ‫امکان‬ ‫زیر‬ ‫شرح‬ ‫به‬ ‫روش‬ ‫سه‬ ‫غلبه‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫الگوریتم‬ ‫با‬:
‫اول‬ ‫روش‬:‫حل‬3‫هزینه‬ ‫با‬ ‫ها‬ ‫آن‬ ‫ترکیب‬ ‫و‬ ‫اندازه‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫زیر‬
‫دوم‬ ‫روش‬:‫حل‬4‫هزینه‬ ‫با‬ ‫ها‬ ‫آن‬ ‫ترکیب‬ ‫و‬ ‫اندازه‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫زیر‬
‫سوم‬ ‫روش‬:‫حل‬5‫هزینه‬ ‫با‬ ‫ها‬ ‫آن‬ ‫ترکیب‬ ‫و‬ ‫اندازه‬ ‫به‬ ‫مسئله‬ ‫زیر‬
‫است؟‬ ‫کمتری‬ ‫هزینه‬ ‫دارای‬ ‫روش‬ ‫کدام‬
1)‫اول‬ ‫روش‬2)‫دوم‬ ‫روش‬3)‫سوم‬ ‫روش‬4)‫هستند‬ ‫یکسان‬ ‫روش‬ ‫سه‬ ‫هر‬.
n
2
2(n n)
n
2
2(n )
n
2
(nlgn)
(‫مهندسی‬IT-‫دولتی‬86)
6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫روش‬‫اول‬:2 2n
T(n) 3T( ) (n n) T(n) (n n)
2
     
‫دوم‬ ‫روش‬:
2 2n
T(n) 4T( ) (n ) T(n) (n lgn)
2
     
‫سوم‬ ‫روش‬:5
2lgn
T(n) 5T( ) (nlgn) T(n) (n )
2
     
7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫پیدا‬‫کردن‬‫عدد‬10‫در‬‫آرایه‬‫مرتب‬:
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 9 10 20 35 50 60 70 75
5 9 10 20 35 50 60 70 75
5 9 10 20 35 50 60 70 75
5 9 10 20 35 50 60 70 75
‫دودویی‬ ‫جستجوی‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
bsearch (a[ ] , x , low , high ){
if (low <=high ) {
mid = ( low+high ) / 2;
if ( x < a[mid] )
bsearch( a , x , low , mid-1 );
else if ( x > a[mid] )
bsearch (a , x , mid+1 , high );
else
return mid;
}
return -1;
} 9
1)
2
()( 
n
TnT )(lg nO
highmid+1midmid-1low
……
‫الگوریتم‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫ادغامی‬ ‫سازی‬ ‫مرتب‬(Merge Sort)
10
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
mergesort ( S[ ] , n ) {
h = [n/2];
m = n – h;
if (n > 1)
{
copy S[1..h] to U[1..h];
copy S[h +1..n] to V[1..m];
mergesort ( U , h );
mergesort ( V , m );
merge (U , h , V , m , S);
}
} 11
)lg(
)1(lg)(
1)
2
(2)(
nn
nnnnT
n
n
TnT



‫الگوریتم‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫سریع‬ ‫سازی‬ ‫مرتب‬(Quick sort)
QuickSort (A , p , r)
{
if ( p < r )
{
q = Partition (A , p , r) ;
QuickSort (A , p , q-1) ;
QuickSort (A , q+1, r ) ;
}
} 12
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫بندی‬ ‫پارتیشن‬ ‫الگوریتم‬
13
46531782
46531782
46531782
46531782
46538712
46578312
46578312
46578312
86574312
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫سریع‬ ‫سازی‬ ‫مرتب‬ ‫عملکرد‬
‫حالت‬‫خوب‬‫و‬‫میانگین‬:
T(n) = T(n/2) + T(n/2)+O(n) O(nlogn)
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫سریع‬ ‫سازی‬ ‫مرتب‬ ‫حالت‬ ‫بدترین‬
‫در‬‫صورتی‬‫که‬‫اولین‬‫عنصر‬‫یا‬‫آخرین‬‫عنصر‬‫را‬‫به‬‫عنوان‬‫محور‬‫انتخاب‬،‫کنیم‬‫م‬‫رتب‬
‫سازی‬‫سریع‬‫برای‬‫یک‬‫آرایه‬‫مرتب‬،‫بدترین‬‫عملکرد‬‫را‬‫خواهد‬‫داشت‬.
T(n) = T(n-1) + O(n) O(n^2)
15
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫استراسن‬‫الگوریتمی‬‫را‬‫ارائه‬‫داد‬‫که‬‫پیچیدگی‬،‫آن‬‫از‬‫لحاظ‬‫ضرب‬)‫و‬‫همچنین‬‫از‬‫لحاظ‬‫جمع‬‫و‬‫تفریق‬)‫بهتر‬‫از‬
‫پیچیدگی‬‫درجه‬‫سوم‬‫است‬.
‫استراسن‬ ‫های‬ ‫ماتریس‬ ‫ضرب‬
16
Strassen’s matrix multiplication




















1111011010110010
1101010010010000
1110
0100
1110
0100
****
****
*
BABABABA
BABABABA
BB
BB
AA
AA
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103




















623142
537541
1110
0100
1110
0100
*
MMMMMM
MMMMMM
BB
BB
AA
AA
M1=(A00+A11)*(B00+B11)
M2=(A10+A11)*B00
M3=A00*(B01-B11)
M4=A11*(B10-B00)
M5=(A00+A01)*B11
M6=(A10-A00)*(B00+B01)
M7=(A01-A11)*(B10+B11) 17
‫استراسن‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
3 17 5 7 3 10 5 9 86 75
11 17 13 7 11 10 13 9 278 227
        
            
18
1 2 2 3 8 9 9 1 3 5 17 10
5 6 6 7 3 4 4 5 11 13 7 9
              
                  
              
‫مثال‬:‫محاسبه‬M1
M1=(A00+A11)*(B00+B11)




















623142
537541
1110
0100
1110
0100
*
MMMMMM
MMMMMM
BB
BB
AA
AA
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫تحلیل‬‫پیچیدگی‬‫زمانی‬‫الگوریتم‬‫استراسن‬
‫بازگشتی‬ ‫دستور‬(‫ضرب‬ ‫اصلی‬ ‫عمل‬‫است‬:)
n
T(n) 7T( )
2

T(1) 1
lg7 2.81T(n) (n ) (n )   
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫اگر‬‫در‬‫ضرب‬‫ها‬‫ماتریس‬‫به‬‫روش‬‫استراسن‬(Strassen)،‫مساله‬‫کوچک‬‫ضرب‬‫ماتریس‬‫های‬،‫باشد‬
‫برای‬‫ضرب‬‫دو‬‫ماتریس‬،‫چند‬‫ضرب‬‫عددی‬‫صورت‬‫پذیرد؟‬‫می‬
2 2
8 8
1)572)3433)3924)512
n
T(n) 7T( )
2
T(2) 8


T(4) 7T(2) 7 8 56
T(8) 7T(4) 7 56 392
   
   
(‫مهندسی‬IT-‫دولتی‬85)
20
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫اگر‬‫در‬‫ضرب‬‫ها‬‫ماتریس‬‫به‬‫روش‬،‫استراسن‬‫مساله‬،‫کوچک‬‫ضرب‬‫های‬‫ماتریس‬،‫باشد‬‫با‬‫چند‬‫فراخوانی‬
‫بازگشتی‬‫به‬‫الگوریتم‬،‫استراسن‬‫عمل‬‫ضرب‬‫دو‬‫ماتریس‬‫انجام‬‫پذیرد؟‬‫می‬
2 2
8 8
1)3432)573)494)7
‫مقدار‬ ‫باید‬T(8)‫کرد‬ ‫محاسبه‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫از‬ ‫را‬:
n
T(n) 7T( ) 1
2
T(2) 1
 

T(4) 7T(2) 1 8
T(8) 7T(4) 1 7 8 1 57
  
     
(‫مهندسی‬IT-‫دولتی‬86)
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫خواهیم‬‫می‬‫عنصر‬‫بیشینه‬‫را‬‫در‬‫یک‬‫ماتریس‬‫به‬‫اندازه‬‫بیابیم‬.‫برای‬‫این‬‫کار‬‫ماتریس‬‫را‬‫به‬4
‫قسمت‬‫مساوی‬‫و‬‫هرکدام‬‫به‬‫اندازه‬‫تقسیم‬‫کنیم‬‫می‬.‫بیشینه‬‫هرکدام‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگ‬‫شتی‬‫به‬
‫دست‬‫آوریم‬‫می‬‫و‬‫بین‬‫آنها‬‫جواب‬‫نهایی‬‫را‬‫پیدا‬‫کنیم‬‫می‬.‫تعداد‬‫دقیق‬‫های‬‫مقایسه‬‫عناصر‬‫با‬‫هم‬‫د‬‫ر‬‫این‬
‫الگوریتم‬‫چندتاست؟‬()
n n
n n
2 2

kn 2
1)2)3)4) 2n 12n 13lgn3(lgn 1)
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫هوش‬-‫دولتی‬89)
22
n
T(n) 4T( ) 3
2
 
T(2) 3
4
2lg 2
T(n) (n ) (n )   
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫بزرگ‬ ‫صحیح‬ ‫عدد‬ ‫دو‬ ‫ضرب‬
‫برای‬‫انجام‬‫اعمال‬‫محاسباتی‬‫روی‬‫اعداد‬‫صحیحی‬‫بزرگتر‬‫از‬‫حد‬‫قابل‬‫نمایش‬‫توسط‬‫سخت‬‫افزار‬‫کامپیوت‬،‫ر‬‫باید‬‫از‬
‫روش‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫استفاده‬‫کرد‬.
‫اگر‬n‫تعداد‬‫ارقام‬‫عدد‬‫صحیح‬u،‫باشد‬‫آن‬‫را‬‫به‬‫دو‬‫عدد‬‫صحیح‬‫یکی‬x‫با‬‫رقم‬‫و‬‫دیگری‬y‫با‬
‫تبدیل‬‫کنیم‬‫می‬‫به‬‫صورت‬:‫که‬.
n / 2  n / 2  
mu x 10 y  m n / 2   
212345 123 10 45  
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫ضرب‬u‫و‬v
m m 2m muv (x 10 y)(w 10 z) xw 10 (xz wy) 10 yz          
‫پس‬‫می‬‫توان‬v‫و‬u‫را‬‫با‬4‫عمل‬‫ضرب‬‫روی‬‫اعداد‬‫صحیح‬(‫با‬‫حدود‬‫نیمی‬‫از‬‫ارقام‬)‫و‬‫اجرای‬‫عملیات‬
‫زمان‬،‫خطی‬‫در‬‫هم‬‫ضرب‬‫کنیم‬.
24
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫ضرب‬‫دو‬‫عدد‬567832‫و‬9423723:
‫سپس‬‫این‬‫اعداد‬‫صحیح‬‫کوچکتر‬‫را‬‫با‬‫همین‬‫روال‬‫ضرب‬‫کنیم‬‫می‬:
2 2
2 2
567 9423 (5 10 67)(94 10 23)
5 94 10 (5 23 67 94) 10 67 23
     
         
‫در‬‫این‬‫صورت‬‫عمل‬‫ضرب‬‫اعداد‬‫حداکثر‬‫دو‬‫رقمی‬‫را‬‫به‬‫طریق‬‫معمولی‬‫انجام‬‫می‬‫دهیم‬.
3 3
6 3
567,832 9,423,723 (567 10 832)(9423 10 723)
567 9,423 10 (567 723 9423 832) 10 832 723
     
         
‫مثال‬
25
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫تحلیل‬‫الگوریتم‬‫در‬‫بدترین‬‫حالت‬
26
‫الگوریتم‬‫سریعتر‬:
‫در‬‫الگوریتم‬‫قبلی‬‫برای‬‫محاسبه‬‫ضرب‬‫دو‬‫عدد‬‫به‬4‫عمل‬‫ضرب‬‫نیاز‬‫بود‬‫که‬‫با‬‫یک‬‫ابتکار‬‫جالب‬‫تعداد‬‫آن‬‫را‬‫به‬3‫عمل‬
،‫ضرب‬‫کاهش‬‫می‬‫دهیم‬.
cn
n
TnT  )
2
(3)( )()( 58.1
3
2log
nn  
cn
n
TnT  )
2
(4)( )()( 2
4
2log
nn  
‫مرتبه‬‫عدد‬ ‫دو‬ ‫ضرب‬k‫رقمی‬:3
2lg
k
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫برای‬‫ضرب‬‫دو‬‫عدد‬‫و‬‫به‬‫ترتیب‬‫با‬‫و‬‫رقم‬‫برای‬: ABn4n5000 n 10000 
1)‫کرد‬ ‫استفاده‬ ‫ها‬ ‫آن‬ ‫ضرب‬ ‫برای‬ ‫کالسیک‬ ‫و‬ ‫معمولی‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫است‬ ‫بهتر‬.
2)‫بهتر‬‫است‬‫از‬‫الگوریتم‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫استفاده‬‫کرد‬‫و‬‫فرقی‬‫نمی‬‫کند‬‫به‬‫چه‬‫ترتیبی‬.
4)‫کردن‬ ‫قسمت‬ ‫از‬ ‫پس‬ ‫است‬ ‫بهتر‬B‫به‬4‫بخش‬n‫در‬ ‫را‬ ‫ها‬ ‫بخش‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫کدام‬ ‫هر‬ ،‫رقمی‬A‫کرد‬ ‫ضرب‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫روش‬ ‫با‬ ‫و‬.
3)‫بهتر‬‫است‬‫پس‬‫از‬‫اضافه‬‫کردن‬3n‫صفر‬‫به‬‫سمت‬‫چپ‬A‫،عدد‬‫حاصل‬‫را‬‫با‬‫کمک‬‫الگوریتم‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫در‬B‫ضرب‬‫کرد‬.
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫دولتی‬83)
27
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
3
2lg
k
‫در‬‫این‬‫حالت‬‫دو‬‫عدد‬4n‫رقمی‬‫داریم‬‫که‬‫مرتبه‬‫ضرب‬،‫آنها‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
3 3 3 4 3 3
2 2 2 2 2 2lg lg lg lg lg lg
(4n) 4 n 3 n 9n    
28
‫دانیم‬ ‫می‬‫مرتبه‬ ‫که‬‫عدد‬ ‫دو‬ ‫ضرب‬k‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫رقمی‬‫برابر‬‫با‬ ‫است‬:
‫گزینه‬3:‫عدد‬A‫که‬n‫رقمی‬‫است‬‫را‬‫با‬‫اضافه‬‫کردن‬‫صفر‬‫به‬‫سمت‬‫چپ‬،‫آن‬4n‫رقمی‬‫کنیم‬.
‫گزینه‬4:‫عدد‬B‫که‬4n‫رقمی‬‫است‬‫را‬‫به‬‫چهار‬‫بخش‬n‫رقمی‬‫تبدیل‬‫کنیم‬‫و‬‫هر‬‫کدام‬‫از‬‫این‬‫بخش‬‫ها‬‫را‬‫در‬
A‫با‬‫کمک‬‫الگوریتم‬‫تقسیم‬‫و‬‫حل‬‫ضرب‬‫کرد‬.‫مرتبه‬‫چهار‬‫ضرب‬n،‫رقمی‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
3
2lg
4n
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫انتخاب‬i‫امین‬‫کوچکترین‬‫عنصر‬‫در‬‫آرایه‬n‫عنصری‬(‫عنصر‬‫با‬‫رتبه‬i)
i=1:‫مینیمم‬
i=n:‫ماکزیمم‬
i = ⎣(n+1) / 2⎦ or ⎡(n+1)/2⎤:‫میانه‬
29
‫انتخاب‬ ‫مسئله‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫اول‬ ‫عنصر‬‫در‬ ‫محور‬ ‫را‬‫کنیم‬ ‫می‬ ‫بندی‬ ‫پارتیشن‬ ‫و‬ ‫گیریم‬ ‫می‬ ‫نظر‬:
30
‫عنصر‬ ‫کوچکترین‬ ‫هفتمین‬ ‫کردن‬ ‫پیدا‬
‫دنبال‬ ‫به‬ ‫رنگ‬ ‫صورتی‬ ‫قسمت‬ ‫در‬ ‫بازگشتی‬ ‫طور‬ ‫به‬‫سومین‬‫گردیم‬ ‫می‬ ‫عنصر‬ ‫کوچکترین‬.
(2,3,5,6,8,10,11,13)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫انتخاب‬ ‫الگوریتم‬
select (A[ ] , p , r , i ){
if (p == r) return A[p];
q = R-partition(A,p,r);
k = q-p+1; // k =rank(A[q])
if ( i == k ) return A[q];
else if ( i < k )
return select ( A , p , q-1 , i )
else
return select ( A , q+1 , r , i-k )
}
‫توان‬ ‫مرتبه‬ ‫از‬ ‫حالت‬ ‫بدترین‬ ‫در‬ ‫الگوریتم‬ ‫این‬2‫است‬.
31
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

32. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫ابتدا‬‫همه‬‫عناصر‬‫را‬‫به‬‫دسته‬‫های‬5‫تایی‬(‫به‬‫جز‬ً‫ال‬‫احتما‬‫یک‬‫دسته‬)‫تقسیم‬‫کنی‬‫می‬‫م‬.
‫میانه‬‫هر‬‫دسته‬‫را‬‫به‬‫دست‬‫آوریم‬‫می‬‫و‬‫سپس‬‫میانه‬‫میانه‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگ‬‫شتی‬
‫پیدا‬‫کنیم‬‫می‬.
‫این‬‫عنصر‬‫را‬‫به‬‫عنوان‬‫محور‬‫انتخاب‬‫کنیم‬‫می‬‫و‬‫عمل‬partition‫را‬‫بر‬‫روی‬‫آرایه‬
‫عناصر‬‫انجام‬‫دهیم‬‫می‬.
‫همین‬‫الگوریتم‬‫را‬‫بصورت‬‫بازگشتی‬(‫و‬‫برای‬‫یک‬k‫دیگر‬)‫بر‬‫روی‬‫یکی‬‫از‬‫ها‬‫بخش‬
‫اجرا‬‫کنیم‬‫می‬‫تا‬‫عنصر‬‫مورد‬‫نظر‬‫پیدا‬‫شود‬.
32
‫انتخاب‬ ‫الگوریتم‬k‫عنصر‬ ‫امین‬(‫ها‬ ‫میانه‬ ‫میانه‬)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

33. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫تقسیم‬54‫با‬ ‫گروهایی‬ ‫به‬ ‫عنصر‬n/5‫عنصر‬(‫نتیجه‬ ‫در‬11‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫گروه‬)
33
‫مثال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫گروه‬ ‫هر‬ ‫کردن‬ ‫مرتب‬
34
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

35. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫گروه‬ ‫هر‬ ‫میانه‬ ‫کردن‬ ‫مشخص‬
35
‫ها‬ ‫میانه‬ ‫میانه‬ ‫انتخاب‬(‫عدد‬28)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

36. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
36
‫حداقل‬‫ها‬ ‫میانه‬ ‫میانه‬ ‫از‬ ‫بزرگتر‬ ‫های‬ ‫میانه‬ ‫تعداد‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

37. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫حداقل‬‫ها‬ ‫میانه‬ ‫میانه‬ ‫از‬ ‫بزرگتر‬ ‫عناصر‬
37
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

38. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫حداقل‬‫ها‬ ‫میانه‬ ‫میانه‬ ‫از‬ ‫کوچکتر‬ ‫عناصر‬
‫تعداد‬‫ش‬ ‫می‬ ‫زده‬ ‫صدا‬ ‫بازگشتی‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫ها‬ ‫آن‬ ‫برای‬ ‫انتخاب‬ ‫تابع‬ ‫که‬ ‫عناصری‬‫ود‬:
3n 7n
n 6 6
10 10
 
    
  38
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

39. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
SELECT(A, i )
1. Divide n elements into ⎣n/5⎦ groups of 5, plus extra O(n)
2. Find medians of each group by insertion sort. O(n)
3. Find median x of the ⎣n/5⎦ medians by calling SELECT( ) T( n/5 )
4. Partition the n elements around pivot x . Let k = rank(x) O(n)
5. if (i = k) then T(7n/10 + 6)
return x
if (i < k) then
SELECT( left partition , i )
else
SELECT ( right partition , i-k )
39
n 7n
T(n) T T 6 O(n)
5 10
    
       
    
O(n)
‫انتخاب‬ ‫الگوریتم‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

40. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫گروه‬‫های‬3‫عنصری‬
n 2n
T(n) T T 4 O(n) O(n.lgn)
3 3
    
        
    
40
n 5n
T(n) T T( 8) O(n) O(n)
7 7
  
      
  
n (3m 1)n
T(n) T T c O(n)
m 4m
   
      
   
‫گروه‬‫های‬7‫عنصری‬
‫گروه‬‫های‬m‫عنصری‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

41. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫مقدار‬m=5،‫کوچکترین‬‫مقدار‬‫فرد‬‫است‬‫که‬‫منجر‬‫به‬‫کارایی‬‫خطی‬
‫می‬‫شود‬.‫به‬‫همین‬‫علت‬‫در‬‫توضیح‬‫الگوریتم‬،‫انتخاب‬‫عناصر‬‫را‬‫به‬‫دست‬‫ه‬‫های‬
‫پنج‬‫تایی‬‫تقسیم‬‫کردیم‬.
41
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

42. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫در‬‫الگوریتم‬‫پیدا‬‫کردن‬k‫امین‬،‫عنصر‬‫ابتدا‬‫همه‬‫عناصر‬‫را‬‫به‬‫دسته‬‫های‬5‫تایی‬(‫به‬‫جز‬ً‫ال‬‫احتما‬‫یک‬‫دسته‬)‫تقسیم‬
،‫کنیم‬‫می‬‫میانه‬‫هر‬‫دسته‬‫را‬‫به‬‫دست‬‫آوریم‬‫می‬‫و‬‫سپس‬‫میانه‬‫میانه‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگشتی‬‫پیدا‬‫کنی‬‫می‬‫م‬.‫این‬
‫عنصر‬‫را‬‫به‬‫عنوان‬‫محور‬‫انتخاب‬‫کنیم‬‫می‬‫و‬‫عمل‬partition‫را‬‫بر‬‫روی‬‫آرایه‬‫عناصر‬‫انجام‬‫دهیم‬‫می‬.‫پس‬‫از‬‫آن‬
‫همین‬‫الگوریتم‬‫را‬‫بصورت‬‫بازگشتی‬(‫و‬‫برای‬‫یک‬k‫دیگر‬)‫بر‬‫روی‬‫یکی‬‫از‬‫ها‬‫بخش‬‫اجرا‬‫کنیم‬‫می‬‫تا‬‫عنصر‬‫مورد‬‫نظر‬
‫پیدا‬‫شود‬.‫زمان‬‫اجرای‬‫این‬‫الگوریتم‬‫توسط‬‫کدام‬‫یک‬‫از‬‫های‬‫رابطه‬‫بازگشتی‬‫زیر‬‫بیان‬‫شود؟‬‫می‬
1)2)
3)4)
n 3n
T(n) T( ) T( 6) O(n)
5 10
 
    
 
n 3n
T(n) T( ) T( 6) O(n)
5 10
 
    
 
n 7n
T(n) T( ) T( 6) O(n)
5 10
 
    
 
n 7n
T(n) T( ) T( 6) O(n)
5 10
 
    
 
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫دولتی‬82)
42
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

43. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫در‬‫راه‬‫حل‬‫کالسیک‬‫برای‬‫یافتن‬‫عنصر‬‫میانه‬‫ی‬n،‫عنصر‬‫عناصر‬‫را‬‫به‬‫دسته‬‫های‬5‫تایی‬‫تقسیم‬‫کردیم‬
‫و‬‫میانه‬‫ی‬‫هر‬‫کدام‬‫و‬‫سپس‬‫میانه‬‫ی‬‫میانه‬‫ها‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫بازگشتی‬‫به‬‫دست‬‫آوردیم‬.‫این‬‫عنصر‬‫به‬
‫عنوان‬‫محور‬‫برای‬‫بخش‬‫بندی‬‫عناصر‬‫محسوب‬‫می‬‫شود‬.‫اگر‬‫به‬‫جای‬‫دسته‬‫های‬5،‫تایی‬‫از‬‫دسته‬‫های‬
3‫تایی‬‫استفاده‬،‫کنیم‬‫زمان‬‫اجرا‬‫توسط‬‫کدام‬‫رابطه‬‫ی‬‫بازگشتی‬‫بیان‬‫می‬‫شود؟‬
1)2)
3)4)
2n
T(n) T( ) cn
3
 
n
T(n) T( ) cn
3
 
n
T(n) 2T( ) cn
3
 
n 2n
T(n) T( ) T( ) cn
3 3
  
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫دولتی‬91)
43
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

44. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫دوم‬ ‫کلید‬ ‫ترین‬ ‫بزرگ‬ ‫یافتن‬(‫تورنمن‬‫ت‬)
‫اگر‬8‫کلید‬‫داشته‬،‫باشیم‬‫در‬‫دور‬،‫اول‬4‫مقایسه‬،‫دور‬،‫دوم‬2‫مقایسه‬‫و‬‫دور‬‫آخر‬1‫مقایسه‬‫خواهیم‬‫داشت‬.(n-1)
‫برنده‬‫دور‬،‫آخر‬‫بزرگترین‬‫کلید‬‫است‬.‫بازنده‬‫دور‬‫آخر‬‫الزاما‬‫بزرگ‬‫ترین‬‫کلید‬‫دوم‬‫نیست‬.
‫کلیدی‬‫که‬‫یک‬‫مقایسه‬‫را‬‫به‬18‫ببازد‬،‫به‬‫لیست‬‫اضافه‬‫می‬‫شود‬. 12,16,15
44
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

45. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫تعداد‬‫لیست‬ ‫اعداد‬:logn(‫درخت‬ ‫ارتفاع‬‫مقایسه‬)
‫لی‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫عدد‬ ‫بزرگترین‬ ‫پیداکردن‬ ‫برای‬ ‫مقایسه‬ ‫تعداد‬‫ست‬:logn 1
‫یافتن‬ ‫برای‬ ‫الزم‬ ‫های‬‫مقایسه‬ ‫کل‬ ‫تعداد‬‫دوم‬ ‫کلید‬ ‫ترین‬‫بزرگ‬:
(n 1) (lgn 1) n lgn 2     
45
16 log16 2 16 4 2 18     
‫مثال‬:‫تعداد‬‫مقایسه‬‫مورد‬‫نیاز‬‫برای‬‫پیدا‬‫کردن‬‫دومین‬‫کوچکترین‬‫عنصر‬‫در‬‫آرایه‬16‫عنصری‬:
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

46. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫بین‬ ‫عنصر‬ ‫کوچکترین‬ ‫دومین‬n‫آورد؟‬ ‫دست‬‫به‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫مقایسه‬ ‫چند‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫عنصر‬
1)2)
3)4)
n logn 1   n logn 2   
n logn 1   n logn 2   
(‫کامپیوتر‬ ‫مهندسی‬-‫هوش‬-‫دولتی‬86)
46
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

47. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
n
n (k 1) lg( ) k
k 1
 
    
(n)
47
‫برای‬ ‫پایین‬ ‫حد‬‫یافتن‬k‫در‬ ‫کلید‬ ‫ترین‬‫کوچک‬ ‫امین‬‫مجموعه‬n‫کلیدی‬:
k 1
‫یافتن‬k‫ترین‬‫کوچک‬ ‫امین‬‫کلید‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

48. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫کردن‬ ‫پیدا‬ ‫الگوریتم‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫کمترین‬k‫امین‬‫میران‬ ‫از‬ ‫عنصرر‬ ‫کوچکترین‬n‫عنصرر‬
‫است؟‬ ‫کدام‬
1)2)3)4) 3O(n )O(n)O(nlgn)‫هیچکدام‬
(‫مهندسی‬IT-‫دولتی‬85)
48
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

49. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
49
‫پایان‬
‫شیرافکن‬ ‫مدرس‬ ‫با‬ ‫مشاوره‬:
(‫جزوه‬-‫زنی‬ ‫تست‬ ‫کالس‬)
09121972028
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

50. ‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬ ‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ‫روش‬ ‫آموزش‬
(‫مرور‬-‫ارشد‬ ‫کنکور‬ ‫تست‬)»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬
faradars.org/fvsfte103
‫روش‬‫در‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬
‫طراحی‬‫الگوریتم‬
faradars.org/fvsfte103
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org