1. D
I
S
U
S
U
N
OLEH
Kelompok 2 :
Nita Permatasari (332012001)
Tuti Haryati (332012010)
Candra Adiwinata (332012016)
Suci Apriyanti (332012017)
Yulizha Walanda (332012018)
Erisna Fitri (332012023)
TAHUN AJARAN 2012/2013
2. LINGKARAN
A. Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dar sebuah titik
tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran sedangkan jaraknya yang sama
disbut jari-jari atau radius.
Lingkaran pada gambar dibawah adalah lingkaran dengan pusat titik P dan jari-jari r
di mana r > 0.
1. Lingkaran Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r
Segitiga OTTʹ siku -siku di Tʹ, maka :
OTʹ + TʹT = OT2
2 2
x2 + y2 = r2
persamaan lingkaan yang berpusat di O (0,0)
dan berjari-jari r adalah
x2 + y2 = r2
2. Lingkaran Berpusat di P (a,b) dan Berjari-jari r
Segitiga PTTʹ siku -siku di Tʹ
PTʹ = x– a
TʹT = y– b
PTʹ + TʹT = PT2
2 2
(x – a)2 – (y – b)2 = r2
Persamaan lingkaran yang berpusat di P (a,b)
dan berjari-jari r adalah :
(x – a)2 – (y – b)2 = r2
Secara umum,persamaan lingkaran merupakan persamaan yang terdiri dari dua
variabel dan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.
Bentuk umum persamaan lingkaran :
(x – a)2 – (y – b)2 = r2
3. B. Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :
Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1. Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik
manapun pada lingkaran selalu tetap.
Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1. Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
2. Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua
titik yang berbeda.
3. Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit
dengan lingkaran.
4. Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5. Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-
jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6. Apotema
merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
1. Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-
jari yang berada pada kedua ujungnya.
2. Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali
busurnya.
3. Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-
jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
4. C. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
a. Di Dalam Lingkaran
Titik A di dalam lingkaran apabila jarak pusat lingkaran ke titik
A kurang dari jari-jari lingkaran.
PA < r
b. Pada Lingkaran
Titik A pada lingkaran apabila jarak pusat lingkaran ke titik A
sama denagn jari-jari lingkaran.
PA = r
c. Di Luar Lingkaran
Titik A di luar lingkaran apabila jarak pusat lingkaran ke titik A
lebih dari jari-jari lingkaran.
PA > r
5. Misalnya persamaan lingkaran x2 + y2 = r2 dan titik P (a,b).
Apabila x = a dan y = b disubstitusikan ke persamaan x2 + y2 = r2 didapat :
a. a2 + b2 = r2 maka titik (a,b) terletak pada lingkaran.
b. a2 + b2 < r2 maka titik (a,b) terletak di dalam lingkaran.
c. a2 + b2 > r2 maka titik (a,b) terletak di luar lingkaran.
2. Kedudukan garis terhadap lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran,
substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax2+bx+c=0.
Lihat diskriminannya:
Jika
D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.
Contoh :
Tentukan posisi garis:
o terhadap lingkaran
Jawab:
Karena , maka garis berada di luar lingkaran.
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada
Lingkaran
2 2 2
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran x + y = r di (x1,y1)
Persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:
x1x + y1y = r2
6. 2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran (x – a) (y – b)2 = r2 di
2
(x1,y1)
Persamaan lingkaran (x – a)2 (y – b)2 = r2, maka persamaan garis singgungnya:
(x1 – a) ( x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2
2 2
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 di
(x1,y1)
Persamaan lingkaran berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis
singgungnya:
x1x + y1y + ½A(x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0
