teori antrian dapat digunakan untuk menentukan jumlah kapasitas pelayanan supaya tercapai keseimbangan ekonomis antara biaya pelayanan dan biaya yang berkaitan dengan menunggu untuk dilayani.

1. 1
PENENTUAN JUMLAH PELAYAN OPTIMUM DALAM MODEL ANTRIAN
TUNGGAL DENGAN PELAYAN GANDA
Yulia Fitriastuti
Mahasiswa Pasca Sarjana Program Studi Pendidikan MIPA
Universitas Indrapasta PGRI
*)E-mail : lia82nurcahyo@gmail.com
ABSTRAK : Menunggu dalam suatu antrian adalah salah satu
ketidaknyamanan yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari.
Ketidaknyamanan ini disebabkan karena kebutuhan akan suatu pelayanan
melebihi kapasitas yang tersedia, untuk meminimalis ketidaknyamanan
tersebut maka teori antrian sangat diperlukan. Teori antrian dapat digunakan
untuk menentukan jumlah kapasitas pelayan supaya tercapai keseimbangan
ekonomis antara biaya pelayanan dan biaya yang berkaitan dengan menunggu
untuk dilayani. Walaupun teori antrian tidak langsung memecahkan persoalan
tersebut, namun teori antrian ini dapat menyumbangkan informasi penting
kepada pihak manajemen untuk mengambil suatu keputusan dengan
memprediksi karakteristik dari barisan penungguan yaitu perkiraan banyaknya
pelanggan, perkiraan waktu yang dibutuhkan dan jumlah pelayan yang
diperlukan.
Kata kunci : Antrian, Kedatangan Pelanggan, Waktu pelayanan, Jumlah Pelayan
PENDAHULUAN
Pada kehidupan sehari-hari, seringkali terlihat situasi dimana orang-orang atau
bahan-bahan sedang menunggu untuk mendapatkan pelayanan. Misalnya pada situasi
kendaraan saat di lampu merah, pembayaran barang di kasir, pembelian tiket kereta api
di stasiun, dan lain-lain. Baris-baris penungguan ini seringkali disebut antrian, yang
terjadi karena kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk
menyelenggarakan pelayanan itu.
Pelaku-pelaku utama dalam sebuah antrian adalah pelanggan dan pelayan. Dalam
model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan hanya dalam hal kaitannya
dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah
pelayanan. Seperti dalam situasi pelayanan di atas, yang diperhitungkan adalah waktu
pelayanan per pelanggan. Hal yang terlihat menarik dari situasi antrian adalah pada
interval waktu yang memisahkan kedatangan pelanggan yang berturut-turut. Dalam
model antrian, kedatangan pelanggan terjadi secara acak.
Apabila pelanggan suatu pelayanan terlalu banyak maka dibutuhkan biaya yang
cukup besar untuk membuka system pelayanan baru. Hal itu dimaksudkan supaya suatu
pelayanan tidak kehilangan pelanggan serta tetap menjaga stamina kerja pelayan, yaitu
dengan cara menambah jumlah tenaga kerja. Karena bila tidak ada penambahan jumlah
tenaga kerja maka akan terjadi antrian yang cukup panjang yang juga mengakibatkan
kelelahan pelanggan dan pelayan itu sendiri. Fasilitas pelayanan dapat mencangkup
suatu pelayan atau lebih dari satu pelayan, sehingga memungkinkan beberapa pelanggan
sebanyak jumlah pelayan tersebut untuk dilayani secara bersamaan.

2. 2
Model antrian yang akan dibahas adalah model-model antrian tunggal dengan
jumlah pelayan lebih dari satu. Digambarkan seperti di bawah ini :
Gambar 1. Antrian tunggal dengan pelayan ganda
Notasi untuk model antrian ditulis sebagai berikut :
(a/b/c) : (d/e/f)
Keterangan dari notasi itu adalah sebagai berikut :
a = pola kedatangan (M, D, Ek, G)
M : Markov, kedatangan mengikuti proses Poisson dan waktu antar kedatangan
mengikuti sebaran Eksponensial.
D : Deterministik, waktu antar kedatangan konstan.
Ek : Sebaran Gamma, tipe k.
G : Sebaran probabilitas yang lain (General).
b = pola pelayanan (M, D, Ek, G)
M : Markov, pelayanan mengikuti proses Poisson dan waktu pelayanan mengikuti
sebaran Eksponensial.
D : Deterministik, waktu pelayanan konstan.
Ek : Sebaran Gamma, tipe k.
G : Sebaran probabilitas yang lain (General).
c = jumlah pelayan (satu pelayan atau lebih)
d = peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO, GD, …)
e = kapasitas maksimum sistem (berhingga atau tak hingga)
f = ukuran sumber pemanggilan (berhingga atau tak hingga)
Pelanggan
datang
antrian
pelayan
pelayan
pelayan
p
e
l
a
n
g
g
a
n
p
e
r
g
i
sistem

3. 3
Dalam model antrian, terapat dua pola kedatangan pelanggan yaitu deterministik
dan probabilistik. Pola kedatangan deterministic jika laju kedatangan rata-rata dan
waktu antar kedatangan dapat ditunjukkan secara pasti (konstan), sedangkan pola
kedatangan probabilistik jika laju kedatangan rata-rata dan waktu antar kedatangan
mengikuti sebaran probabilistik tertentu. Kedatangan pelanggan dapat terjadi secara
rombongan atau satu per satu.
Sama halnya dengan penjelasan sebaran kedatangan, pola pelayanan juga dapat
bersifat deterministik dan probabilistik. Antrian ada yang memiliki beberapa pelayan
yang disebut antrian dengan pelayan ganda, dan ada yang hanya memiliki satu pelayan
yang disebut dengan antrian pelayan tunggal. Sedangkan peraturan pelayanan adalah
cara memilih pelanggan dari antrian untuk memulai suatu pelayanan. Misalnya yang
pertama adalah FCFS (First Come First Served / Datang Pertama Dilayani Pertama),
contohnya pada antrian mobil di tempat pencucian mobil, mobil-mobil yang datang
pertama kali akan memperoleh pelayanan yang pertama. Kedua adalah LCFS (Last
Come First Served / Datang Terakhir Dilayani Pertama), misalnya pada tumpukan
piring kotor yang akan dicuci, piring di bagian atas tentu akan dicuci terlebih dahulu
padahal piring tersebut paling akhir diletakkan pada tumpukan piring kotor tersebut.
Ketiga adalah SIRO (Service In Random Order / Pelayanan Dalam Urutan Acak),
misalnya pada pengambilan doorprice semua diberlakukan sama datang pertama
ataupun datang terakhir tidak ada beda pelayanan. Keempat adalah GD (General
Discipline / Peraturan Umum), peraturan yang dapat digunakan oleh para pelayan untuk
memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dari antrian.
Antrian suatu pelayanan ada yang memiliki kapasitas terbatas dan ada juga yang
memiliki kapasitas yang tak terbatas. Sumber pemanggilan adalah himpunan calon
pelanggan yang meminta pelayanan, yang dapat menghasilkan sejumlah terbatas
pelanggan atau tak terbatas pelanggan. Dalam kenyataan sehari-hari, manusia yang
berperan sebagai pelayan dapat mempercepat laju pelayanannya ketika dihadapkan pada
kasus jalur antrian yang memanjang. Manusia yang berperan sebagai pelanggan dapat
berpindah dari satu jalur antrian ke jalur antrian lainnya dengan harapan dapat
meminimalkan waktu menunggu. Tidak diragukan lagi bahwa terdapat perilaku manusia
yang dapat mempengaruhi situasi antrian. Tetapi perlu di garis bawahi bahwa model-
model antrian tidak dapat memperhitungkan suatu perilaku perseorangan dari pelanggan
dalam antrian. Pelanggan diasumsikan berperilaku sama saat berada dalam suatu sarana
pelayanan.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui cara menentukan jumlah pelayan
optimum pada model keputusan antrian tunggal dengan pelayan ganda. Hasil penelitian
diharapkan dapat dipergunakan untuk menentukan keputusan jumlah pelayan ganda
yang optimum .
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuantitatif,
karena data penelitian berupa angka-angka dan analisis menggunakan statistik. Teknik
pengambilan sampel pada umumnya dilakukan secara random.
Adapun diagram alur penelitian ditunjukkan pada Gambar 2.

4. 4
Gambar 2. Diagram Alir Penelitian
Prosedur Penelitian :
1. Persiapan karakteristik kinerja pada model antrian
Model-model antrian ada empat, yaitu :
a. Model (M / M / c) : (GD / ∞ / ∞)
Model dengan jumlah pelayan sebanyak c, sistem pelayanannya adalah umum,
kapasitas system dapat menampung tak terbatas pelanggan dan sumber
pemanggilan yang menghasilkan para pelanggan datang memiliki kapasitas
tak terbatas.
b. Model (M / M / c) : (GD / N / ∞), c ≤ N
Model dengan jumlah pelayan sebanyak c, sistem pelayanannya adalah umum,
kapasitas system hanya dapat menampung maksimum N pelanggan dan
sumber pemanggilan yang menghasilkan para pelanggan datang memiliki
kapasitas tak terbatas.
c. Model (M / M / ∞) : (GD / ∞ / ∞)
Model dengan jumlah pelayan tak terbatas, sistem pelayanannya adalah
umum, kapasitas system dapat menampung tak terbatas pelanggan dan sumber
pemanggilan yang menghasilkan para pelanggan datang memiliki kapasitas
tak terbatas.
d. Model (M / M / R) : (GD / K / K), R < K
Model dengan jumlah pelayan sebanyak R, sistem pelayanannya adalah
umum, kapasitas system dapat menampung maksimum K pelanggan dan
sumber pemanggilan yang menghasilkan para pelanggan datang memiliki
kapasitas terbatas.
Studi Literatur
Persiapan karakteristik kinerja pada
model antrian
Pengambilan data langsung
Simpulan
Analisis Data

5. 5
2. Pengambilan data langsung
Pengambilan data dilakukan selama satu hari di sebuah bengkel motor yang
memiliki delapan orang pelayan untuk memperbaiki motor pelanggan dan memiliki
kapasitas maksimum yang dapat ditampung sebanyak 14 pelanggan. Pengambilan
data dilakukan pada pukul 08.00-16.00 WIB.
Data kedatangan dan pelayanan pelanggan ke dalam sistem antrian ditunjukkan
pada tabel 1.
NO
PELANGGAN
DATANG DILAYANI SELESAI
1 8.01 8.01 9.01
2 8.02 8.02 9.08
3 8.03 8.04 8.45
4 8.10 8.11 9.50
5 8.25 8.30 9.30
6 8.30 8.32 10.45
7 8.48 8.50 9.55
8 9.00 9.05 9.45
9 9.01 9.10 9.20
10 9.10 9.21 10.48
11 9.15 9.25 11.10
12 9.20 9.30 10.18
13 9.37 9.55 11.55
14 9.38 9.57 11.50
15 9.45 10.00 11.30
16 10.18 10.26 11.39
17 10.25 10.30 10.41
18 10.29 10.43 11.20
19 10.30 10.44 12.00
20 10.33 10.50 11.50
21 10.55 11.10 11.20
22 10.58 11.20 11.28
23 11.12 11.25 11.40
24 11.35 12.55 13.50
25 11.48 13.01 13.20
26 12.30 13.10 14.41
27 13.01 13.15 13.33
28 13.25 13.32 14.33
29 13.57 13.58 15.40
30 13.58 14.03 15.08
31 14.13 14.16 14.45
32 14.30 14.40 15.23

6. 6
NO
PELANGGAN
DATANG DILAYANI SELESAI
33 15.00 15.03 16.00
34 15.02 15.05 15.12
35 15.04 15.10 15.40
36 15.32 15.33 15.41
Tabel 1. Tabel kedatangan dan pelayanan pelanggan
Data kedatangan pelanggan dikelompokkan seperti pada table 2
jam ke Interval jam Banyak pelanggan datang
1 08.00 - 08.59 7
2 09.00 - 09.59 8
3 10.00 - 10.59 7
4 11.00 - 11.59 3
5 12.00 - 12.59 2
6 13.00 - 13.59 4
7 14.00 - 14.59 2
8 15.00 - 15.59 4
Tabel 2. Tabel pengelompokkan kedatangan pelanggan
Data waktu pelayanan pelanggan ditunjukkan pada table 3
NO
PELANGGAN
WAKTU PELAYANAN
MENIT JAM
1 60 1.00
2 66 1.10
3 41 0.68
4 99 1.65
5 60 1.00
6 133 2.22
7 65 1.08
8 40 0.67
9 10 0.17
10 87 1.45
11 105 1.75
12 48 0.80
13 120 2.00
14 113 1.88
15 90 1.50
16 73 1.22
17 11 0.18
18 37 0.62

7. 7
NO
PELANGGAN
WAKTU PELAYANAN
MENIT JAM
19 76 1.27
20 60 1.00
21 10 0.17
22 8 0.13
23 15 0.25
24 55 0.92
25 19 0.32
26 91 1.52
27 18 0.30
28 61 1.02
29 102 1.70
30 65 1.08
31 29 0.48
32 43 0.72
33 57 0.95
34 7 0.12
35 30 0.50
36 8 0.13
Tabel 3. Tabel waktu pelayanan pelanggan
Data pendapatan pelanggan tiap bulan ditunjukkan pada table 4 di bawah ini :
< 800.000 800.000 - 2.000.000 > 2.000.000
29 orang 6 orang 1 orang
Tabel 4. Tabel pendapatan pelanggan tiap bulan
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Teori antrian dapat digunakan dalam perhitungan karakteristik kinerja dengan
terlebih dahulu diuji sebaran kedatangan pelanggan dan sebaran pelayanan pelanggan.
Pengujian data dengan menggunakan program SPSS dengan uji sampel tunggal
Kolmogorov Smirnov.
A. Pada proses kedatangan pelanggan
Data pada table 2 akan terlebih dahulu diuji, apakah data yang diperoleh
mengikuti sebaran tertentu. Hasil analisis dari table 2 diatas seperti pada table 5 berikut
ini :

8. 8
Tabel 5. Tabel hasil analisis kedatangan pelanggan
Dari hasil uji data di atas, tampak bahwa nilai Asymp. Sig adalah 0,886 artinya >
dari 0,05 maka dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sebaran proses kedatangan
pelanggan adalah Poisson dengan λ = 4,5 kedatangan/jam.
B. Pada proses pelayanan pelanggan
Data pada table 3 akan terlebih dahulu diuji, apakah data yang diperoleh
mengikuti sebaran tertentu. Hasil analisis dari table 3 diatas seperti pada table 6 berikut
ini :
Tabel 6. Tabel hasil analisis waktu pelayanan pelanggan
Dari hasil uji data di atas, tampak bahwa nilai Asymp. Sig adalah 0,198 artinya >
dari 0,05 maka dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sebaran waktu pelayanan
pelanggan adalah Eksponensial dengan rata-rata waktu pelayanan = 0,9313 jam.
Nilai λ dan µ dapat diperoleh dari perhitungan secara manual, yaitu sebagai
berikut : 𝜆 =
36
8
= 4,5 kedatangan/jam
Rata-rata waktu pelayanan =
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑎𝑛
𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎𝑛
=
33,54
36
= 0,9316 jam/pelayanan
= 55,896 menit/pelayanan
Maka diperoleh 𝜇 =
60
55,896
= 1,073 pelayanan/jam.
Rata-rata tingkat pendapatan tiap bulan dari table 4 dapat dihitung sebagai berikut :
=
(29 × 800 .000)+ (6 ×1.400 .000)+ (1 × 2.000.000)
36
=
33.600.000
36
= 933.333,33

9. 9
Diasumsikan rata-rata hari kerja adalah 26 hari/bulan dan rata-rata waktu kerja adalah 8
jam/hari, sehingga diperoleh :
Rata-rata pendapatan pelanggan / jam (C2) =
933 .333 ,33
26 ×8
= 4487,18
Biaya menunggu yang dimaksud dalam kasus ini adalah biaya kehilangan produksi
yang besarnya 4487,18 / jam.
Rincian biaya penambahan seorang pelanggan:
Gaji pelanggan baru : 400.000
Jadi biaya penambahan seorang pelanggan = 400.000
Sehingga diperoleh biaya / bulan untuk 1 pelayan : 400.000
Biaya penambahan alat : 8.000.000
Biaya ini merupakan aset, yang menggunakan perhitungan per tahun. Diasumsikan
penggunaannya 300 hari/tahun dan rata-rata penggunaan perhari adalah 8 jam/hari.
Dioptimalkan pengembalian biaya aset ini maksimal 1 tahun, sehingga perhitungannya:
Sedangkan rata-rata biaya/jam untuk 1 pelayan :
400 .000
26 ×8
= 1923,076
Sedangkan rata-rata biaya/jam untuk 1 alat :
8.000.000
300 × 8
= 3333,334
Sehingga biaya penambahan fasilitas pelayanan baru adalah :
C1 = 1923,076 + 3333,334 = 5256, 410 maka diperoleh :
𝐶1
𝐶2
=
5256,410
4487 ,18
= 1,171428
Model antrian pada penelitian di atas adalah (M / M / 8) : (GD / 14 / ∞). Akan
diperlihatkan apakah 8 pelayan merupakan jumlah pelayan optimal untuk kasus
tersebut. Penentuan c optimum dicapai dengan melakukan perhitungan seperti pada
table 7 :
Tabel 7. Tabel hasil analisis penentuan jumlah pelayan optimum
Untuk memperoleh jumlah pelayan optimum yang mengoptimalkan biaya maka
harus dipenuhi kondisi :
𝐿 𝑠( 𝑐)− 𝐿 𝑠( 𝑐 + 1) ≤
𝐶1
𝐶2
≤ 𝐿 𝑠( 𝑐 − 1) − 𝐿 𝑠( 𝑐)
1,1393552 ≤ 1,171428 ≤ 2,61330743
𝐿 𝑠(5) − 𝐿 𝑠(6) ≤ 0,428571 ≤ 𝐿 𝑠(4)− 𝐿 𝑠(5)
Sehingga diperoleh jumlah pelayan optimum pada penelitian di atas adalah 5
pelayan bukan 8 pelayan seperti pada kondisi awalnya.
Penyelesaian jumlah pelayan optimum akan berbeda ketika biaya menunggu
tidak diketahui tetapi waktu menunggu dibatasi sampai waktu tertentu.
PENUTUP
SIMPULAN

10. 10
Beberapa kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Proses kedatangan pelanggan mengikuti sebaran Poisson, dan waktu antar
kedatangan pelanggan mengikuti sebaran Eksponensial.
2. Proses pelayanan pelanggan mengikuti sebaran Poisson dan waktu pelayanan
mengikuti sebaran Eksponensial.
3. Keputusan ideal dari penentuan jumlah pelayan optimum adalah jika dapat
ditentukan estimasi terpercaya dari parameter biaya yang diperlukan.
4. Jika model biaya tidak dapat digunakan maka model tingkat aspirasi yang
digunakan, model tingkat aspirasi adalah dengan cara menghitung kisaran
parameter biaya menunggu yang dihasilkan dari pemilihan jumlah pelayan.
SARAN
Menganalisis model-model antrian jaringan (antrian Network) dan membuat
sistem program komputer dari model antrian.
UCAPAN TERIMAKASIH
Disampaikan kepada Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, Bapak Drs. B.
Susanta, Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc atas
bimbingan yang diberikan.
DAFTAR PUSTAKA
BainXJ.,&EngelWl,M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. California: Duxbury Press.
Bronson, RiQhard. l983. Teori dan Soal-soal Operations Research. Jakarta:Erlangga.
Daniel, Wayne. W. 1989. Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: FT Gramedia.
Dimyati,T.T.,& Dimyati, A. l992. Model - Model Pengambilan Keputusan Operations
Research. Bandung: Sinar Baru.
Hock, Ng.Chec. 1996. Queueing Modelling Fundamentals. Singapore: John Wiley &
Sons.
KJeinrock, L., & Gail, R. 1996. Queueing Systems: Problem and Solutions. NewYork:
John Wiley & Sons.
Mood,A.M., Graybill,F.A.,& Boes,D.C: 1974. Introduction to the Theory of Statistics
New York: McGraw-Hill.
Ross,M.S. 1997. Introduction to Probability Models. Sixth Edition. San Diego: Aca-
demic Press.

11. 11
Siegel, Sidney. 1985. Statistik Nonparametrik Untuk Ilmu-ilmu Sosial. Jakarta- PT
Gramedia
Supranto,J.1985. Pengantar Probabilita dan Statistik Induktif Jilid1. Jakarta: Erlangga.
Taha,H.A. 1997. Riset Operasi Suatu Pengantar. Edisi kelima. Jakarta: Bina Rupa
Aksara.
Walpole,R.E. 1990. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia.
Walpole,R.E dan Myers,R.H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan
Ilmuwan. Edisi keempat. Bandung. ITB.