Bilangan Palindromik

1. BILANGAN PALINDROMIK
Esai dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Teori Bilangan
Disusun oleh
Dita Oktavianty
142151140
2014 D
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
TASIKMALAYA
2015

2. pa itu palindromik? Apakah kalian sebelumnya sudah mengenal palindromik?
Apa yang terbesit dipikiran kalian tentang palindromik? Bagi
sebagian besar orang mungkin belum pernah mendengar kata
palindromik ataupun tentang palindromik, mungkin merasa asing
dengan istilah tersebut. Nah, kali ini saya akan sedikit berbagi informasi mengenai
Palindromik atau bisa disebut dengan Palindrom.
Palindrom itu adalah sebuah kata, frasa, angka maupun susunan lainnya
yang dapat dibaca dengan sama baik dari depan maupun belakang (spasi antara
huruf-huruf biasanya diperbolehkan). Misalnya kata “Katak”, “Tamat” atau kata
lainnya. Kata "palindrom" berasal dari bahasa Yunani: palin ("balik") dan dromos
("pacuan kuda"). dan Palindrom sendiri sudah berusia kira-kira 2000 tahun,
menurut Wikipedia Indonesia yang dikutip dari Mother Tongue: English & How
It Got That Way (hal. 227).
Gambar 1. Buku Mother Tongue: English & How It Got That Way
Palindrom sebenarnya bukan hanya ditujukan pada kata-kata atau kalimat-
kalimat saja namun bisa juga ditujukan untuk angka-angka yang disebut dengan
Bilangan Palindrom.
Sama halnya dengan definisi palindrom, Bilangan palindrom adalah
sebuah bilangan bulat yang dibaca sama dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke
kiri. Contohnya 22 (merupakan bilangan palindrom 2 angka), 434 (merupakan
bilangan palindrom 3 angka), 9229 (merupakan bilangan palindrom 4 angka),
12721 (merupakan bilangan palindrom 5 angka) dan seterusnya.

3. Disini bilangan palindrom tidak hanya sebatas menuliskan bilangan
sehingga membentuk suatu palindrom, tetapi bagaimana melakukan operasi
bilangan-bilangan sehingga membentuk bilangan palindrom.
Sebagian besar bilangan non-palindrom dapat dengan mudah dibuat
menjadi palindrom. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menemukan
bilangan palindrom yaitu dengan menjumlahkan sembarang bilangan dengan
balikannya sehingga membentuk bilangan palindrom. Melalui proses iterasi
dengan beberapa langkah atau bahkan satu langkah. Caranya :
1. Ambil sembarang bilangan
2. Balik digit-digit bilangan tersebut untuk memperoleh bilangan baru lalu
jumlahkan bilangan baru ini dengan bilangan semula.
3. Jika hasilnya non-polindrom, ulangi langkah 2
Contohnya bilangan sembarang dengan 1 kali iterasi. Terlebih dahulu kita ambil
bilangan sembarang, misalnya 24 jumlahkan dengan kebalikannya yaitu 42.
Sehingga menjadi 24 + 42 = 66. Bilangan 66 (polindrom)
Contoh bilangan sembarang dengan 2 kali iterasi yaitu kita ambil bilangan
sembarang misalkan 635 lalu jumlahkan dengan kebalikannya yaitu 536.
Sehingga menjadi 635 + 536 = 1171 (non-palindrom). Karena bilangan 1171
masih non-palindrom maka kita jumlahkan lagi bilangan tersebut dengan
kebalikan dari bilangan semula. Hasilnya 1171 + 1711 = 2882 (Polindrom)
sehingga menjadi sebuah bilangan palindrom.
Sama halnya dengan yang sebelumnya, bila kita masih belum menemukan
bilangan palindrom dari hasil penjumlahan bilangan non-palindrom, ulangi
langkah ke 2.
Selain itu, ada juga contoh operasi hitung yang panjang dan rumit dengan
beberapa kali iterasi. Contohnya yaitu angka 89, hasilnya :

4.  89+98=187
 187+781=968
 968+869=1837
 1837+7381=9218
 9218+8129=17347
 17347+74371=91718
 91718+81719=173437
 173437+734371=907808
 907808+808709=1716517
 1716517+7156171=8872688
 8872688+8862788=17735476
 17735476+67453771=85189247
 85189247+74298158=159487405
 159487405+504784951= 664272356
 664272356+653272466= 1317544822
 1317544822+2284457131=3602001953
 3602001953+3591002063= 7193004016
 7193004016+6104003917=13297007933
 13297007933+33970079231= 47267087164
 47267087164+46178076274= 93445163438
 93445163438+83436154439= 176881317877
 176881317877+778713188671= 955594506548
 955594506548+845605495559= 1801200002107
 1801200002107+7012000021081= 8813200023188
Hasil akhirnya yaitu 8813200023188 yang merupakan palindrom angka, dan
angka itu didapatkan dengan 24 kali iterasi. Meskipun langkah yang ditempuh
sangatlah panjang. tetapi pada akhirnya akan membentuk suatu palindrom.
Setelah kita membahas bilangan non-palindrom sehingga menjadi
bilangan palindrom dengan penjumlahan. Kita juga bisa menggunakan operasi
perkalian, Bilangan yang paling mudah untuk digunakan membentuk palindrom
adalah pasangan bilangan yang semua angkanya adalah 1. Perhatikan pola berikut:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321

5. 111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
Lalu kenapa 1111111111 x 1111111111 tidak bisa menghasilkan bilangan
palindrom, tetapi justru menghasilkan 1234567900987654321?
Ternyata tidak semua pasangan bilangan yang tersusun dari angka 1 bisa
menghasilkan bilangan palindrom. Syarat dari pasangan bilangan dengan semua
angka 1 bisa membentuk bilangan palindrom adalah jika banyaknya digit angka
dari bilangan tersebut kurang dari 10. Kenapa?
Karena, Pasangan bilangan yang tersusun dari angka 1 (dan banyak angka
kurang dari 10) bisa membentuk bilangan palindrom karena jika kita melakukan
algoritma perkalian secara bersusun maka semua penjumlahan bilangan-
bilangannya tidak akan melewati 10 sehingga hal tersebut tidak akan merubah
pola yang ada. Sedangkan untuk pasangan bilangan yang memiliki banyak angka
lebih dari 10 maka pada beberapa bagian tertentu terdapat penjumlahan digit yang
hasilnya melebihi 10 sehingga hal tersebut akan merusak pola yang ada. Untuk
lebih jelasnya silahkan dilihat gambar berikut
Gambar 2. Pola perkalian 11111 x 11111

6. Gambar 3. Pola perkalian 11111111111 x 11111111111
Gambar di atas bisa memperjelas kenapa hanya ada 10 pasangan bilangan yang
tersusun dari angka 1 yang bisa menghasilkan bilangan palindrom.
Selain itu, tidak hanya pasangan bilangan kembar saja yang bisa
menghasilkan bilangan palindrom. Berikut adalah contoh bilangan palindrom
yang terbentuk dari operasi bilangan yang tidak kembar:
• 1 x 11 x 111 x 1111 = 1356531
• 5 x 7 x 11 x 13 = 5005
• 11² + 12² + 13² + 14² + 15² + 16² = 1111
Fakta tentang bilangan palindrom yaitu Ada 93 bilangan prima 5 digit
yang membentuk bilangan palindrom. Bilangan bilangan itu adalah :
10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931,
14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181,
18481, 19391, 19891, 19991, 30103, 30203, 30403, 30703, 30803, 31013, 31513,
32323, 32423, 33533, 34543, 34843, 35053, 35153, 35353, 35753, 36263, 36563,
37273, 37573, 38083, 38183, 38783, 39293, 70207, 70507, 70607, 71317, 71917,
72227, 72727, 73037, 73237, 73637, 74047, 74747, 75557, 76367, 76667, 77377,
77477, 77977, 78487, 78787, 78887, 79397, 79697, 79997, 90709, 91019, 93139,
93239, 93739, 94049, 94349, 94649, 94849, 94949, 95959, 96269, 96469, 96769,
97379, 97579, 97879, 98389, 98689.

7. Fakta lainnya yaitu sebagian besar bilangan non-palindrom dapat dengan
mudah dibuat menjadi palindrom melalui iterasi dengan cara menjumlahkannya
dengan kebalikan bilangan tersebut. Namun, tidak demikian halnya dengan
bilangan 196. Banyak orang mencoba bahkan hingga jutaan iterasi tetapi belum
menghasilkan bilangan palindrom. Bilangan yang tidak menjadi palindrom setelah
melalui iterasi itu yang disebut dengan bilangan Lychrel. Banyak orang yang
menduga 196 itu adalah bilangan lychrel, karena setelah lebih dari 700 juta
langkah belum didapat bilangan palindrom. Seandainya 196 adalah bilangan
lychrel, maka kemungkinan besar bilang 196 adalah bilangan lychrel terkecil.
Jadi, bilangan lychrel masih merupakan misteri, apakah ada atau tidak. Karena
sampai saat ini belum ada orang yang mampu memberikan contoh atau
membuktikan bilangan lychrel tidak ada.
Kenapa bilangan 196 itu Lychrel? Bilangan 196 itu Lychrel, karena
disetiap iterasi bilangan tersebut banyak mengandung angka-angka yang jika
ditambahkan dengan kebalikannya akan menghasilkan digit yang melebihi 10
angka. Dan itu akan berakibat pada angka yang selanjutnya menjadi bertambah.
Misalnya :
196
691 +
887
Angka 9 ditambahkan dengan 9 lagi akan menghasilkan angka 18. Itu akan
menghambat bilangan tersebut untuk menjadi palindrom. Jadi, bilangan yang akan
menghasilkan Palindrom itu jika bilangan tersebut tidak ditambahkan dengan
angka-angka yang akan menghasilkan lebih dari 10 digit.
Jadi kesimpulannya, untuk membentuk bilangan non-palindrom menjadi
bilangan palindrom itu bisa menggunakan iterasi dengan beberapa langkah atau
bahkan dengan satu langkah. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk
menemukan bilangan palindrom yaitu dengan menjumlahkan sembarang bilangan
dengan kebalikannya sehingga membentuk bilangan palindrom. Adapun bilangan

8. yang tidak menjadi palindrom setelah melalui iterasi itu disebut dengan bilangan
Lychrel. Bilangan tersebut mengandung angka-angka yang jika ditambahkan
dengan kebalikannya akan menghasilkan digit yang melebihi 10 angka. yang
mana akan menambah hasil dari penjumlahan selanjutnya sehingga merubah hasil
yang akan menjadikan bilangan palindrom.
Besar harapan dengan adanya tulisan ini bagi pembaca adalah Sebagai
penambah wawasan, agar pembaca dapat mengetahui tentang bilangan palindrom,
karena kebanyakan dari kita mungkin merasa asing dengan kata palindrom,
misalnya disaat kita menginjak tanggal 10-02-2001 atau tanggal 11-11-11.
Banyak yang tidak tahu bahwa tanggal tersebut adalah palindrom, mereka hanya
menganggap bahwa tanggal itu adalah deretan angka yang cantik saja.
DAFTAR PUSTAKA
Afrini,dwi. (2011). Palindrom. [online]. Tersedia : https://
dwiafrini.wordpress.com/011/11/11/palindrome/. [31 Mei 2015].
TN.(2014).Palindrom.[online]. Tersedia:http://id.wikipedia.org/wiki/Palinrom.
[31 Mei 2015].
TN. (2014). Bilangan Palindrom. [online]. Tersedia: http://
www.madematika.com201/03/bilanganpalindrome.html. [31 Mei 2015].
TN. (2012). Bilangan palindrom. [online]. Tersedia : http://
indonesiamathematicclub.blogspot.com/2012/06/bilangan-palindrom.html.
[31 Mei 2015].
TN. (2008). Palindrom Bilangan. [online]. Tersedia : https://
deking.wordpress.com/2008/02/23/palindrom-matematika-dan-keadilan/.
[4 Juni 2015].
TN. (2010). Bilangan prima yang membentuk palindrom. [online]. Tersedia:
https:// asimtot.wordpress.com/2010/11/27/93-bilangan-prima-5digit
-yang-membentukpalindrom /#more-2140 [4 Juni 2015].