3. 3
1.2
Пр
иклад розрахунку складноголінійного кола постійногоструму.
Завдання. Для розгалуженого складного лінійного кола постійного струму, зібраного із
джерел ЕРС (E1 = 40 В, E2 = 30 В, E3 = 20 В) і приймачів струму – опорів (R1 = 5 Ом, R2 = 10
Ом, R3 = 15 Ом, R4
’ = 10 Ом, R4
” = 15 Ом, R5 = 20 Ом, R6
’ = 40 Ом, R6
” = 60 Ом), з’єднаних за
схемою, наданою на рис. 1.11, а:
1) спростити схему шляхом заміни послідовно та паралельно з’єднаних опорів
еквівалентними;
2) визначити струми у вітках для спрощеної та вихідної схеми, застосувавши метод
безпосереднього використання законів Кірхгофа або метод контурних струмів;
3) скласти баланс потужностей для вихідної схеми.
Методичні рекомендації до розрахунку складного кола постійного струму. Одним
із важливих питань розділу «Кола постійного струму» є визначення розподілу
струмів у розгалужених лінійних колах з кількома джерелами живлення
(складних кіл). Для аналізу таких кіл використовують спеціальні методи, зокрема, метод
законів Кірхгофа, метод контурних струмів, накладання, вузлових потенціалів,
еквівалентного генератора тощо.
R6
’
R4
’ R4
’’
R6
’’
R2
R3
R5R1
E2
E1
E3
Рис.1.10
R6
’
R4
’’ R4
’
R6
’’
R2
R3
R5R1
E2
E1
E3
Рис.1.9
R6
’
R4
’’R4
’
R6
’’
R2 R3
R5 R1
E2
E1
E3
Рис.1.7
R6
’
R4
’’
R4
’
R6
’’
R2
R3
R5R1
E2
E1
E3
Рис.1.8
4. 4
а б
Рис. 1.11. Розрахункова (а) та спрощена (б) схеми складного лінійного кола
постійного струму
Важливим етапом розрахунку є визначення еквівалентного омічного
опору Reкв ділянки та всього кола, в результаті чого вдаєтьсяспростити
вихідну розрахункову схему. При цьомудля n послідовно з’єднаних
опорів Rі знаходять значення еквівалентного опору Rекв(Ом), а для m
опорів, що з’єднані паралельно, розраховують еквівалентну провідність
gекв(См):
m
i
m
i
ii
n
i
i RgRgRR
1 1
11
еквекв
1
екв .;
Замінимо послідовно ввімкнені опори '
4R та "
4R еквівалентним Rекв1=R4, Ом:
251510"
4
'
44 RRR ,
а паралельно з’єднані опори '
6R та "
6R – еквівалентним Rекв2 = R6, Ом:
.24
6040
6040
;
111
6"
6
'
66
R
RRR
Після спрощення вихідна схема буде вид, як на рис.1.11, б.
Далі, незалежно від методу розв’язання задачі, спочаткупотрібно
визначити кількість віток m, електричних вузлів р та незалежних контурів k
(таких, що відрізняються хоча б однією новою віткою і всерединіяких немає
віток) електричного кола. Кількість незалежних контурів визначають за
формулою:
)1( pmk .
Оскільки у кожній вітці кола проходить свій струм, то кількість невідомих
струмів дорівнюєкількості віток. Отже для визначення струмів віток треба
скласти m рівнянь.
У разі розв’язання задачі методом законів Кірхгофа (парний рік навчання)
робимо так:
– довільно вибирають умовно позитивні напрями струмів у вітках,
позначають ці напрями на схемі стрілками та підписують: І1, І2,…, Іm;
E3
IІІ
E3
E2
R4
R2
R3 R1
R5
R6 I6
E1
IІІ
I
IІ
I4
I2
I5
I1I3
E2
R4"
R2
R3
R1
R5
R6'
R4'
E1
R6"
5. 5
– за І–м законом Кірхгофа
0
1
n
i
iI
складають рівняння для (р–1) вузлів;
– для кожного з k незалежних контурів обирають напрям обходу контуру
(напрям дії контурних струмів II, III, IIII) – за чи проти руху годинникової
стрілки, що позначають на розрахунковій схемі;
– для розрахункової схеми за другим законом Кірхгофа
n
i
ii
n
i
i
n
i
i RIUE
111 складають (m–р+1) рівняння.
У результаті дістають систему з m рівнянь, розв'язування якої дає змогу
визначити не тільки величину струмів, а й їх дійсні напрями. Адже, якщо в
результаті розв’язування дістали від’ємний знак для будь–якого струму, то це
означає, що його дійсний напрям є протилежний вибраному.
Для схеми, наведеної на рис.7.1.1б, маємо чотиривузли – A, B, C, D, та
шість віток – AB, BC, CA, AD, BD, CD.
Отже, у даному разі:
k = 6 – (4 – 1) = 3,
тобто маємо три незалежних контури: І – ACD; ІІ – ABD; ІІІ – CDB.
У разі розв’язання задачі методом законів Кірхгофа для кола, що містить p віток та m
вузлів складають систему із p рівнянь. При цьому, (m –1) рівняння складають за першим, і k
рівнянь – за другим законами Кірхгофа. Для цього довільно задаємось напрямками дії
струмів у вітках (I1–I6) та напрямками струму обходу незалежних контурів кола II , III , IIII
(наприклад так, як показано на рис.7.1.1 б) і складаємо систему рівнянь:
0452 III – для вузла А;
0651 III – для вузла В;
0643 III – для вузла С;
2332244 EIRIRIR – для контуру І;
13112255 EEIRIRIR – для контуру ІІ;
1336611 EIRIRIR – для контуру ІІІ.
Після підстановки значень R1...R6, та E1...E3 і розв‘язання системи відносно струмів у
вітках кола за даних умов задачі одержимо, А:
.432,1;745,0;066,0;756,0;676,0;501,1 352641 IIIIII
Від’ємні значення струмів I2 та I5 означає, що попередньо вибрані напрямки дії цих
струмів у вітках обрані неправильно і дійсні їх напрями є протилежними вказаним (разом з
тим змінювати їх напрями на протилежні не обов’язково).
Тепер визначимо струми у вітках, де були виконані спрощення.
У послідовно з’єднаних елементах '
4R та "
4R протікає один і той самий струм І4, А:
.676,04
"
4
'
4 III
Для визначення струмів у вітках, що на вихідній схемі (рис.1.11, а) з’єднані
паралельно, спочатку обчислимо за законом Ома спад напруги U6 В, на еквівалентному опорі
R6:
.144,18666 RIUU BC
Струми, що протікають через опори '
6R та "
6R , будуть відповідно, А:
.302,0;454,0 "
6
6"
6'
6
6'
6
R
U
I
R
U
I
6. 6
У разі розв’язання задачі за методом контурних струмів (непарний рік навчання)
для спрощеного кола (рис.1.11, б) довільно задаються напрямками дії струмів обходу
незалежних контурів (бажано однаковий, наприклад, за годинниковою стрілкою) – II, III, IIII,
як на рис.1.11, б. та за другим законом Кірхгофа складають систему з k=m–(р–1) рівнянь:
232432 )( EIRIRIRRR IIIIII ;
1312512 )( EEIRIRRRIR IIIIII
1163133 )( EIRRRIRIR IIIII .
Після підстановки значень R1...R6, E1...E3 та розв‘язання системи рівнянь відносно
контурних струмів одержимо, А:
IІ=0,679; IІІ=–0,745; IІІІ=0,756.
Уданому випадку маємо від’ємне значення IІІ. Це означає, що напрям дії цього струму
у контурі ІІ (АВD) попередньо обраний неправильно і дійсним його напрямом треба вважати
протилежний обраному. Змінюємо напрям цього струму на рис. і одночасно знак при ІІІ – з
мінуса на плюс.
Струми у вітках, які належать одному контуру, дорівнюють відповідним контурним
струмам, А: .756,0;745,0;679,0 654 IIIIII IIIIII
Струми ж у вітках, що є спільними для двох контурів, визначають як алгебраїчну суму
відповідних контурних струмів з врахуванням напрямків їх дії у даній вітці. У випадку
протидії струмів у вітці за напрям струму вітки приймають напрям струму, що більший за
величиною.
Отже маємо в даному разі, А:
.432,1;066,0;501,1 321 IIIIIIIIIIIII IIIIIIIII
Струми, що протікають через опори '
4R , "
4R , '
6R та "
6R визначаємо аналогічно тому, як
було показано вище.
Далі на підставі закону Джоуля–Ленца складають баланс потужностей джерел Pдж та
споживачів Pсп кола, Вт:
;427,65745,020679,030501,140)( 532211 IEIEIEEIPдж
"
6
2"
6
'
6
2'
63
2
35
2
52
2
2
"
4
2
4
'
4
2
41
2
1
2
)()()( RIRIRIRIRIRIRIRIRIPсп
.51,6560302,040454,010432,1
15745,020066,015679,010679,05501,1
222
2222
Зверніть увагу, що при розрахунку потужності джерела необхідно враховувати
напрями дії ЕРС (напрям стрілки в умовному позначенні джерела) та струму у вітці, де
розташоване джерело. У разі, якщо вони не співпадають, то добуток ЕІ записують зі знаком
мінус.
Задачу вважають розв’язаною, якщо відносна розбіжність результатів розрахунків Рдж і
Рсп не перебільшує 1,0 %:
%0,106,0
471,65
51,65471,65
%100
дж
спдж
P
PP
.
Отже, задача вирішена вірно.
