Dokumen tersebut membahas berbagai ukuran pemusatan dan penyebaran data statistik, seperti rerata, median, modus, range, varians dan deviasi standar. Ukuran-ukuran tersebut digunakan untuk menggambarkan titik tengah dan seberapa jauh nilai-nilai data bervariasi dari titik tengahnya.

1. Andhin Dyas Fitriani, M. Pd
Penyebaran
Ukuran Pemusatan &
Garis Besar Materi
‫ ن‬Ukuran Pemusatan
(mean, median, mode,
rerata tertimbang dan
rerata geometris)
‫ ن‬Ukuran Keragaman
(range, ragam, simpangan
baku)
‫ ن‬Ukuran Lokasi
(kuartil, desil, persentil)

2. Ukuran Pemusatan (01)
Ukuran pemusatan (tendency central) suatu himpunan
data  titik tempat di mana nilai-nilai suatu gugus data
cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah
suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi
1. Rerata Hitung – Mean (Ungrouped Data)
‫ ن‬Mean atau Mean Arithmetic (rerata hitung) sering
digunakan untuk mengukur pemusatan
‫ ن‬Untuk ‘ungrouped data’, mean dipeoleh dengan membagi
jumlah semua nilai dengan banyak nilai dalam data
x x
μ  untuk populasi x  untuk sampel
N n
‫ ن‬Nilai x (mean sampel) memungkinkan bervariasi, karena
diambil dari sampel yang berbeda, bergantung nilai
observasi tiap sampel

3. Ukuran Pemusatan (02)
‫ ن‬Dalam suatu data, dikenal istilah nilai pencilan atau outlier,
yaitu nilai yang sangat kecil atau sangat besar atau jauh dari
nilai observasi lainnya. Nilai pencilan akan menghasilkan
perbedaan dalam nilai mean.
‫ ن‬Kelemahan mean (dalam tinjauan statistik deskriptif),
adalah karena nilainya akan sangat dipengaruhi oleh
keberadaan nilai pencilan
‫ ن‬Kelebihan mean adalah mudah dihitung, dan mempunyai
nilai matematik sehingga dapat digunakan pada statistik
inferensia
‫ ن‬Ilustrasi
tabel berikut menunjukkan daftar populasi 5 negara bagaian
Pasifik pada tahun 1992
Negara
Washington Oregon Alaska Hawai California
Bagian
data pencilan
Populasi
5.136 2.977 587 1.160 30.867
(ribuan)

4. Ukuran Pemusatan (03)
Mean tanpa California :
5136 2977 587 1160
Mean 2465
4
Mean dengan California
5136 2977 587 1160 30867
Mean 8145,4
5
Populasi California sangat besar dibanding dengan jumlah
populasi 4 negara bagian lainnya. Pelibatan California, secara
signifikan memberikan pengaruh terhadap besaran ukuran nilai
mean sebagai ukuran pemusatan

5. Ukuran Pemusatan (04)
2. Rerata Hitung – Mean (Grouped Data)
‫ ن‬Formula
m.f m.f
μ  untuk populasi x  untuk sampel
N n
‫ ن‬Contoh
Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit)
yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju kampus untuk
seluruh mahasiswa suatu perguruan tinggi yang berjumlah 25 orang.
Waktu (menit) Jumlah • Pertanyaan
hitunglah rerata waktu yang diperlukan?
0 – 10 4
• Jawab
10 – 20 9 - tentukan nilai tengah (m) masing-
20 – 30 6 masing kelas
- hitung perkalian m dengan frekuensi f
30 – 40 4
40 – 50 2

6. Ukuran Pemusatan (05)
Nilai
Waktu Frekuensi
Tengah m.f
(menit) (f)
(m)
0 – 10 4 5 20
10 – 20 9 15 135
20 – 30 6 25 150
30 – 40 4 35 140
40 – 50 2 45 90
Total 25 535
m.f 535
μ 21,40
N 25

7. Ukuran Pemusatan (06)
3. Median (Ungrouped Data)
‫ ن‬Median adalah nilai yang terletak pada tengah suatu data di
mana data tersebut telah diurutkan (di ranking)
‫ ن‬Himpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini,
dinamakan array
‫ ن‬Perhitungan median terdiri dari 2 tahap, yaitu :
- urutkan data dari yang terendah hingga yang tertinggi
- tentukan posisi median
n 1
posisi median , untuk n (banyak data) ganjil
2
posisi median rerata dari 2 data tengah ,
untuk n (banyak data) genap

8. Ukuran Pemusatan (07)
4. Median (Grouped Data)
‫ ن‬Formula di mana :
Bm = tepi bawah kelas median
n
2
fkm i = interval kelas
Median Bm i n = ukuran sampel data
fm fkm = frekuensi kumulatif sebelum
median
‫ ن‬Contoh fm = frekuensi pada kelas median
Upah (dollar) Jumlah Dari data tabel di samping, diketahui :
301 – 400 9 50 25
Median 500,5 100
401 – 500 16 33
576,26
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6

9. Ukuran Pemusatan (08)
5. Modus (Grouped Data)
‫ ن‬Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi tertinggi dalam
suatu gugus data
‫ ن‬Data yang hanya memiliki 1 modus disebut unimodal; 2
modus dengan frekuensi sama disebut bimodal dan lebih
dari 2 modus disebut multimodal
‫ ن‬Formula :
d1
Modus Bm i
d1 d2
di mana :
Bm = tepi bawah kelas modus
i = interval kelas
d1 = frekuensi kelas modus – frekuensi sebelum kelas modus
d2 = frekuensi kelas modus – frekuensi sesudah kelas modus

10. Ukuran Pemusatan (09)
‫ ن‬Contoh
Dari data di samping diperoleh
Upah (dollar) Jumlah
informasi :
301 – 400 9 17
401 – 500 16
Modus 500,5 100
17 13
501 – 600 33 557,17
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6

11. Ukuran Pemusatan (10)
6. Hubungan antara Mea, Median dan Modus
‫ن‬ Untuk suatu histogram yang simetris, dan kurva frekuensi
dengan sebuah puncak, nilai mean, media dan modus adalah
sama; yaitu terletak pada bagian tengah distribusi
‫ن‬ Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean
terbesar, modus terkecil dan median terletak diantara mean
dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan
di ekor sebelah kanan (pencilan mayor)
‫ن‬ Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil,
modus terbesar dan median terletak diantara mean dan modus.
Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor
sebelah kiri (pencilan minor)

12. Ukuran Pemusatan (11)
7. Rerata Tertimbang (Weighted Average)
‫ ن‬Rerata yang diperhitungkan setelah tiap nilai diberikan
pembobotan tertentu, yang menunjukkan bobot relatif
masing-masing nilai data yang diratakan (mis. IPK, nilai barang)
‫ ن‬Formula : n
Bx i i
i 1
xB n
B i
‫ ن‬Contoh : i 1
Nilai Angka
Mata Kuliah SKS (Bi) Xi.Bi
‫ن‬ Mutu Mutu (Xi)
‫ن‬Kalkulus B 3 2 6 40
IPK
Statistika A 4 4 16
12
Algoritma C 2 3 6 3,33
Struktur Data A 4 3 12
Σ 14 12 40

13. Ukuran Pemusatan (12)
8. Rerata Geometrik (Geometric Average)
‫ ن‬Rerata geometrik digunakan untuk menghitung rerata laju
pertumbuhan (growth rate), misalnya pertumbuhan penduduk,
penjualan, tingkat suku bunga, dan lain-lain
‫ ن‬Formula :
G n
x 1 .x 2 . .x n
‫ ن‬Contoh :
data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1,5 2,3 3,4 1,2 2,5
5
G 1,5 2,3 3,4 1,2 2,5
2,04

14. Latihan soal
Hitunglah mean, median, dan modus dari
data yang telah ada pada pertemuan
sebelumnya!

15. Ukuran Penyebaran (1)
1. Range (Selang)
‫ ن‬Range merupakan metode pengukuran paling sederhana
yang digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data.
‫ ن‬Sepertihalnya mean, nilai range dipengaruhi oleh adanya
‘outlier/pencilan’, sehingga range bukanlah merupakan
ukuran yang baik untuk menunjukkan ketersebaran suatu
data yang memiliki pencilan
‫ ن‬Nilai range yang hanya ditentukan oleh 2 data (nilai yang
lain dalam data diabaikan) menunjukkan tidak
representatifnya range dalam merepresentasikan
ketersebaran data
‫ ن‬Formula :
Range Nilai terbesar - Nilai terkecil

16. Ukuran Penyebaran (2)
2. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi)
– (Ungrouped Data)
‫ ن‬Simpangan baku, merupakan ukuran statistik yang paling sering
digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data
‫ ن‬Nilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai
suatu data dengan nilai rerata
‫ ن‬Nilai simpangan baku yang kecil  data menyebar dalam range
yang lebih kecil mendekati nilai rerata. Begitu pula sebaliknya.
‫ ن‬Nilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam
(varians)
‫ ن‬Ragam dari suatu data populasi dinotasikan dengan σ 2 ,
sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan s 2
‫ ن‬Simpangan baku dari suatu data populasi dinotasikan dengan σ
sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan s

17. Ukuran Penyebaran (3)
‫ ن‬Formula :
2 2
2 xi 2 xi
xi xi
σ
2 N s
2 n
N n 1
2
xi x
‫ ن‬Contoh :
n 1
x x^2 2
480
90 8100 39.100
s
2 6
85 7225
5
65 4225
75 5625 39.100 38.400
70 4900 5
95 9025 140
total 480 39.100

18. Ukuran Penyebaran (4)
3. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi)
– (Grouped Data)
‫ ن‬Formula :
2
2
mf
m f
σ
2 N di mana :
N
m = titik tengah
2
2
mf f = frekuensi
m f
s
2 n
n 1
2
fm x
n 1

19. Ukuran Penyebaran (5)
4. Parameter Populasi dan Statistik Sampel
‫ ن‬Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam
atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data
populasi disebut parameter populasi
‫ ن‬Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam
atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data
sampel disebut statistik sampel
‫ ن‬Sehingga :
2
μ, σ dan σ adalah parameter populasi
2
x , s dan s adalah statistik sampel

20. Ukuran Penyebaran (6)
• Koefisien Varians (koefisien keragaman)
‫ ن‬merupakan rasio dari simpangan baku dan rerata
(populasi atau sampel)
‫ ن‬semakin besar nilai koefisien variansi, maka data akan
semakin bervariasi atau dengan kata lain, data tersebut
memiliki tingkat keragaman yang tinggi
‫ ن‬Formula :
σ s
ω atau ω
μ x
dimana :
σ dan s simpangan baku populasi dan sampel
μ dan x rerata populasi dan sampel
ω koefisien varians

21. Ukuran Penyebaran (7)
• Nilai Baku (Z-Score)
‫ ن‬Merupakan ukuran penyimpangan data dari rerataa
populasi
‫ ن‬Nilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
z nol  data bernilai samam dengan rerata populasi
z positif  data bernilai di atas rerata populasi
z negatif  data bernilai di bawah rerata populasi
‫ ن‬Formula :
x μ
z
σ

22. Ukuran Lokasi (1)
1. Kuartil
‫ ن‬Kuartil membagi sederetan data terurut menjadi 4 bagian
yang sama, sehingga menghasilkan 3 kuartil, yaitu kuartil
pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3)
‫ ن‬Ketiga titik lokasi tersebut adalah :
Q1 x1 , data ganjil Q3 x3 , data ganjil
n 1 n 1
4 4
Q1 x1 , data genap Q3 x1 , data genap
n 2 3n 2
4 4
Q2 Me x1 , data ganjil
n 1
2
1
Q2 Me xn xn , data genap
2 2 2
1

23. Ukuran Lokasi (2)
‫ ن‬Untuk data yang telah dikelompokkan, maka :
n di mana :
4
fkq
Q1 Bq i
fq Bq = tepi bawah kelas kuartil
i = interval kelas
3n
n = ukuran sampel/banyak data
4
fkq fq = frekuensi pada kelas kuartil
Q3 Bq i fkq = frekuensi kumulatif
fq sebelum kelas kuartil
‫ ن‬Jarak antar kuartil (InterQuartil Range)
IQR Q3 Q1
‫ ن‬Contoh :
berikut adalah nilai 12 mahasiswa dalam kelas statistika
75 80 68 53 99 58 76 73 85 88 91 79
tentukan nilai ketiga kuartil dan tentukan pula posisi 88 dalam
hubungannya dengan kuartil!

24. Ukuran Lokasi (3)
‫ ن‬Jawab :
pertama, urutkan data dari yang terkecil menuju ke yang terbesar
nilai median nilai median
53 58 68 73 75 76 79 80 85 88 91 99
68 73 76 79 85 88
Q1 Q1 Q1
2 2 2
70,5 77,5 86,5
• Q1 = 70,5, menyatakan bahwa ±25% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 70,5
• Q2 = 77,5, menyatakan bahwa ±50% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 77,5
• Q3 = 86,5, menyatakan bahwa ±75% mahasiswa pada sampel
mendapat nilai < 86,5
• Dengan melihat letak nilai 88, maka nilai 88 termasuk ke dalam
25% terbaik

25. Ukuran Lokasi (4)
2. Desil
‫ ن‬Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan data ke
dalam 10 bagian yang sama
‫ ن‬Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1, D2, ..., D9, yang
mempunyai sifat bahwa 10% data berada di bawah D1, 20%
data berada di bawah D2, ..., dan 90% data berada di bawah
D9
‫ ن‬Untuk data yang dikelompokkan :
k
10
n fkd
Dk Bd i
fd

26. Ukuran Lokasi (5)
2. Persentil
‫ ن‬Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan data ke
dalam 100 bagian yang sama
‫ ن‬Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, ..., P99,
yang mempunyai sifat bahwa 1% data berada di bawah P1, 2%
data berada di bawah P2, ..., dan 99% data berada di bawah
P9
‫ ن‬Untuk data yang dikelompokkan :
k
100
n fkp
Pk Bp i
fp

27. Latihan Soal