dapat mempelajari tentang matematika diskrit

1. MATEMATIKA
DISKRIT
Kelompok I :
1. Ayu Ariyanti
2. Heppi Gustia
3. Popi Junita
4. Septi Pravita Sari
Matematika
v.c

2. LOGIKA PROPOSISI
Proposisi ialah kalimat logika yang merupakan pernyataan tentang
hubungan antara dua atau beberapa hal yang dapat dinilai benar atau salah.
 KOMBINASI PROPORSISI
1.Konjungsi
Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata
penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk disebut konjungsi.
Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada himpunan.
•P : Manusia memiliki dua mata
•q : Manusia memiliki dua telinga
Konjungsi : Manusia memiliki dua mata dan manusia
memiliki dua telinga

3. 2. Disjungsi
Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.
Poposisi “p atau q” dinotasikan q p. Tidak seperti pernyataan berperangkai “dan” ᵛ
yang mempersyaratkan terpenuhinya kebenaran semua unsurnya, pernyataan
berperangkai “atau” menawarkan suatu pilihan, artinya jika paling tidak salah satu dari
kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut
dikatakan benar.
• p : ikan memiliki sirip
• q : ikan hidup di darat
Disjungsi : Ikan memiliki sirip atau ikan hidup di darat
Tabel Kebenaran :

4. 3. Ingkaran atau Negasi
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah
pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga
“negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau
“”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya
pernyataan p salah, maka negasinya p benar.
contoh:
p : joko berambut keriting
Ingkaran : tidak benar joko berambut keriting

5.  Disjungsi Eksklusif
Kata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalam dua cara. Cara
pertama, “atau” digunakan secara inklusif (inclusive or) yaitu dalam bentuk “p
atau q atau keduanya”. Artinya, disjungsi dengan operator “atau” bernilai benar
jika salah satu dari proposisi atomiknya benar atau keduanya benar.
Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakan
dengan notasi p Å q, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu
dari p dan q benar, selain itu nilainya salah.
Tabel kebenaran exclusive or
p q p Å q
T T F
T F T
F T T
F F F

6.  Hukum-hukum Logika Proposisi
1. Hukum identitas: (i) pv F= p (ii) p^T=p
2. Hukum null/dominasi: (i) p^ F= F (ii) pv T= T
3. Hukum negasi: (i) p v~p =T (ii) p^ ~p= F
4. Hukum idempoten: (i) pv p= p (ii) p^p= p
5. Hukum involusi (negasi ganda): ~(~p) Û p
6. Hukum penyerapan (absorpsi): (i) p Ú (p Ù q) Û p (ii) p Ù (p Ú q) Û p
7. Hukum komutatif: (i) p Ú q Û q Ú p (ii) p Ù q Û q Ù p
8. Hukum asosiatif: (i) p Ú (q Ú r) Û (p Ú q) Ú r (ii) p Ù (q Ù r) Û (p Ù q) Ù r
9. Hukum distributif: (ii p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)
(ii) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)
10. Hukum De Morgan: (i) ~(p Ù q) Û ~p Ú ~q (ii) ~(p Ú q) Û ~p Ù ~q

7.  Proposisi Bersyarat (Implikasi)
Selain dalam bentuk konjungsi, disjungsi, dan negasi, proposisi majemuk juga
dapat muncul berbentuk “jika p, maka q”, seperti pada contoh-contoh berikut:
a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri.
Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat
atau kondisional atau implikasi.
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut
proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan p ®q
Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q
disebut konklusi (atau konsekuen).
Tabel kebenaran implikasi :
p q p ® q
T T T
T F F
F T T
F F T

8.  Varian Proposisi Bersyarat
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p ® q, yaitu proposisi sederhana yang
merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan
kontraposisi dari proposisi asal p ® q.
Konvers (kebalikan) : q ® p
Invers : ~ p ® ~ q
Kontraposisi : ~ q ® ~ p
Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ∼p ∼q p→q q→p ∼p → ∼q ∼q → ∼p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T

9.  Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk
”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Biimplikasi
sering disebut juga sebagai implikasi dua arah. Pernyataan “p jika dan hanya jika q”
dilambangkan dengan “p q”.⇔
Pernyataan biimplikasi “p q” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai⇔
kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan jika nilai kebenaran p
dan q tidak sama maka p q merupakan pernyataan yang salah.⇔
Tabel kebenaran :

10.  INFERENSI : adalah tindakan atau proses yang berasal kesimpulan logis dari premis-premis yang
diketahui atau dianggap benar.
 ARGUMEN : adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-
pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan
dari argumen.
 AKSIOMA : yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa
memerlukan pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri
sendiri, dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten,
dapat membangun sistem tersebut , dan tidak saling bertentangan.
TEOREMA : Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan
dibuktikan.

11.  LEMMA : adalah teorema sederhana yang dipergunakan sebagai hasil
dalam pembuktian teorema lain.
COROLLARY : suatu proporsisi yang secara langsung diperoleh dari
teorema yang sudah dibuktikan.

12. Terima Kasih