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2015年度春学期 画像情報処理 第4回 離散フーリエ変換 (2015. 4.30)
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関西大学総合情報学部 「画像情報処理」(担当:浅野晃)
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2015年度春学期 画像情報処理 第4回 離散フーリエ変換 (2015. 4.30)
1.
A.Asano,KansaiUniv. 2015年度春学期 画像情報処理 浅野 晃 関西大学総合情報学部 離散フーリエ変換 第4回
2.
A.Asano,KansaiUniv.
3.
A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換
4.
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか?
5.
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか? 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには,連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング(sampling, 離散化)といいます(図 1)。この とき,間隔をある程度より細かくすれば,サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について,この節でみてみましょう。 ここでも,簡単のため画像を1次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して,その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は,f(x) に次式で表される周期 T のくし型
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2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか? 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには,連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング(sampling, 離散化)といいます(図 1)。この とき,間隔をある程度より細かくすれば,サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について,この節でみてみましょう。 ここでも,簡単のため画像を1次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して,その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は,f(x) に次式で表される周期 T のくし型 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は,幅がゼロなので,積分するとゼロです。したがって,この関数を並 べて元の関数にかけると,それも積分するとゼロです。つまり,画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで,これはおかしいです。デルタ関数は,幅がゼロなのに,積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数(正式には超関数)なのです。 さて,サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため,fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで,2つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで,FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また,記号「∗」はコンヴォリューション (convolution, 畳み込み積分)という演算で, f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13
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2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか? 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには,連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング(sampling, 離散化)といいます(図 1)。この とき,間隔をある程度より細かくすれば,サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について,この節でみてみましょう。 ここでも,簡単のため画像を1次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して,その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は,f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は,幅がゼロなので,積分するとゼロです。したがって,この関数を並 べて元の関数にかけると,それも積分するとゼロです。つまり,画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで,これはおかしいです。デルタ関数は,幅がゼロなのに,積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数(正式には超関数)なのです。 さて,サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため,fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで,2つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで,FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また,記号「∗」はコンヴォリューション (convolution, 畳み込み積分)という演算で, f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 =
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2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか? 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには,連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング(sampling, 離散化)といいます(図 1)。この とき,間隔をある程度より細かくすれば,サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について,この節でみてみましょう。 ここでも,簡単のため画像を1次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して,その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は,f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は,幅がゼロなので,積分するとゼロです。したがって,この関数を並 べて元の関数にかけると,それも積分するとゼロです。つまり,画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで,これはおかしいです。デルタ関数は,幅がゼロなのに,積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数(正式には超関数)なのです。 さて,サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため,fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで,2つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで,FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また,記号「∗」はコンヴォリューション (convolution, 畳み込み積分)という演算で, f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 = サンプリングされた関数のフーリエ変換
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2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 サンプリング n=−∞ なわち fT (x) =
f(x)combT (x) (図 2).ここで,δ(x) はディラックのデルタ関数 (Dirac’s delta fun δ(x) = 0 (x ̸= 0), ∞ −∞ δ(x)dx = 1 簡単にいえば,「積分すると 1 になるような,幅 0 のピーク(インパ 関数は「インパルスが等間隔に無限に並んだもの」となります。 プリングを行うのに,デルタ関数を並べたくし形関数の代わりに δ(x) = 0 (x ̸= 0) 1 (x = 0) たものを用いてはいけないのでしょうか? 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 サンプリングとサンプリング定理 連続的な明度分布からディジタル画像を生成するためには,連続的な明度分布から一定間隔で明度を 取り出す作業を行う必要があります。これをサンプリング(sampling, 離散化)といいます(図 1)。この とき,間隔をある程度より細かくすれば,サンプリングされた画像から元の連続的な明度分布を再現する ことができます。この「最小限の細かさ」はいくらなのかを表すサンプリング定理 (sampling theorem) について,この節でみてみましょう。 ここでも,簡単のため画像を1次元の関数として考えます。画像中の位置 x に対して,その位置の明 度が関数 f(x) で与えられているとします。 もとの関数 f(x) を周期 T でサンプリングした関数 fT (x) は,f(x) に次式で表される周期 T のくし型 輝度f(x) 位置x fT(x) x サンプリング 図 1: サンプリング ここまでは1次元の関数の話をしてきましたが,画像のような2次元の関数のフーリエ変換は, F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy (7) となります。この場合の,2次元の周波数 (νx, νy) が,前回説明した空間周波数です。 x ...... T δ(x) ... δ(x–T) δ(x–nT) 図 2: くし形関数 それはだめです。(11) 式の関数は,幅がゼロなので,積分するとゼロです。したがって,この関数を並 べて元の関数にかけると,それも積分するとゼロです。つまり,画面全体の明るさの合計がゼロになっ てしまうわけで,これはおかしいです。デルタ関数は,幅がゼロなのに,積分すると 0 でなく 1 という きわめて奇妙な関数(正式には超関数)なのです。 さて,サンプリングされた画像 fT (x) がとる空間周波数の範囲を調べるため,fT (x) のフーリエ変換 がどうなるかを調べてみましょう。ここで,2つの関数の積のフーリエ変換についての次のような定理 を用います。 FT[f(x)g(x)](ν) = FT[f(x)](ν) ∗ FT[g(x)](ν) (12 ここで,FT[f(x)] は関数 f(x) のフーリエ変換を表します。また,記号「∗」はコンヴォリューション (convolution, 畳み込み積分)という演算で, f(t) ∗ g(t) = ∞ f(y)g(t − y)dy (13 = 換 は,連続な関数を扱うほうが簡単な場合が多いのですが,コンピュータで けです。そこで,サンプリングによって離散化された関数のフーリエ変換 法について考えてみましょう。 関数 f(t) を間隔 T でサンプリングした関数 fT (t) は,前回説明した,デル 形関数 combT (x) を使って fT (x) = f(x)combT (x) された関数 fT (x) のフーリエ変換は,FT でフーリエ変換を表すとして FT[fT (x)](ν) = FT[f(x)combT (x)](ν) = ∞ −∞ f(x)combT (x) exp(−i2πνx)dx サンプリングされた関数のフーリエ変換
10.
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...
... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
11.
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...
... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換
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2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...
... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが
13.
2015 A.Asano,KansaiUniv. サンプリングされた関数のフーリエ変換 x x f(x) fT(x) サンプリング フーリエ変換 ν T フーリエ変換 ν 1 / T ...
... νc–νc FT[f(x)](ν) FT[fT(x)](ν) 図 3: サンプリングとフーリエ変換こちらは離散的だが こちらは離散的でない →コンピュータで扱えない
14.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
15.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で,1周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
16.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で,1周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s]
17.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 周波数空間でもサンプリング 周波数空間で,1周期あたり x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] N 点のサンプリングをする
18.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる? x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
19.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる? x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
20.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 実空間ではどうなる? x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] 実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる 周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる x[s] 周期NT[s]の周期関数
21.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数
22.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x) 間隔T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν) 間隔1
/ T [1/s] フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/s] ν [1/s] x[s] 周期NT[s]の周期関数 離散フーリエ 変換は ここの計算になっている 元のフーリエ変換 とはだいぶ違う
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 みなしていますから,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら,ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数 値だけを切り出したものになります。 ,離散的に計算する場合は,積分の代わりに,インパルスの位置でのそ ります。したがって,(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 みなしていますから,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら,ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数 値だけを切り出したものになります。 ,離散的に計算する場合は,積分の代わりに,インパルスの位置でのそ ります。したがって,(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 数列の計算にする 元の関数は忘れて,サンプリングされたものを 数列とみなす u(n) = fT
(nT) ように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 NT の周期関 ,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわりに,u(n) の にします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとある関数との積 す。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以外では 0,積 ルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数からインパル ものになります。 デルタ関数の並びを積分 →離散の場合は,そこの値を 合計するだけ u(n) = fT (nT) までの説明で述べたように,f(x) は,間隔 T でサンプリングされ,周期 みなしていますから,(2) 式のフーリエ変換の実数全体での積分のかわ だけを計算することにします。また,(2) 式は,デルタ関数の並びとあ する形になっています。一方,デルタ関数は「インパルスのある場所以 ら,ある関数とデルタ関数との積を実数全体で積分すると,その関数 値だけを切り出したものになります。 ,離散的に計算する場合は,積分の代わりに,インパルスの位置でのそ ります。したがって,(2) 式のフーリエ変換のかわりに U(k) = N−1 n=0 u(n) exp −i2π k N n (k = 0, 1, . . . , N − 1) 離散フーリエ変換(DFT) x[s]
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換 x fT (x)とみると T [s] ν [1/s] FT[fT (x)](ν)
と見ると 1 / T [1/s] フーリエ変換 u(n)とみると 1[刻み] = 1[Ts] n k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] x[s] n[刻み] N[刻み] = N[Ts] = NT[s]周期の 周期関数とみなしている 離散フーリエ変換 [実空間] [周波数空間] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/s] ν [1/s] 図 1: 離散フーリエ変換.
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす
36.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される
37.
2015 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される そういうわけで,もう少しフーリエ変換とおつき あいください。
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2015 A.Asano,KansaiUniv. 第2部へ 第2部は画像データ圧縮 画像の細かいところを,見た目にはわからないよ うにごまかして,データ量を減らす 「細かいところ」はどのように表現されるか? →周波数で表現される そういうわけで,もう少しフーリエ変換とおつき あいください。 もっと一般的な原理から説明します。まずは 数学の「行列」から。