2014年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2014. 6. 18)

1. A.Asano,KansaiUniv. 2014年度春学期画像情報処理浅野晃関西大学総合情報学部離散フーリエ変換と離散コサイン変換第９回

2. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす（著作権の問題により画像をはずしました）

3. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす（著作権の問題により画像をはずしました）

4. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らす 8×8ピクセルずつのセルに分解（著作権の問題により画像をはずしました）

5. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを，これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解（著作権の問題により画像をはずしました）

6. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを，これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない（著作権の問題により画像をはずしました）

7. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを，これらの波の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る（著作権の問題により画像をはずしました）

8. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Karhunen-Loève変換（KL変換）画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１∼第p / 2 主成分だけを伝達する主成分に変換もとの画素に戻す p画素の画像（情報の損失が最小）図 5: KL 変換による画像データの圧縮の主成分を受け取ったほうでは，主成分への変換の逆変換（z から x への変換）を行ってもどします。この逆変換は ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

9. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Karhunen-Loève変換（KL変換）画像を主成分に変換してから伝送する p画素の画像 1 p 第１∼第p / 2 主成分だけを伝達する主成分に変換もとの画素に戻す p画素の画像（情報の損失が最小）図 5: KL 変換による画像データの圧縮の主成分を受け取ったほうでは，主成分への変換の逆変換（z から x への変換）を行ってもどします。この逆変換は ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ データ量が半分でも情報の損失は最小

10. 2014 A.Asano,KansaiUniv. KL変換の大問題主成分を求めるには，分散共分散行列が必要

11. 2014 A.Asano,KansaiUniv. KL変換の大問題主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけない

12. 2014 A.Asano,KansaiUniv. KL変換の大問題主成分を求めるには，分散共分散行列が必要分散共分散行列を求めるには，「いまから取り扱うすべての画像」が事前にわかっていないといけないそんなことは不可能。

13. 2014 A.Asano,KansaiUniv. そこで原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっているベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえて，どういう変換か見えるようにする

14. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを， 8×8の波画像の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る（著作権の問題により画像をはずしました）

15. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを， 8×8の波画像の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る波画像のひとつひとつが基底画像（著作権の問題により画像をはずしました）

16. 2014 A.Asano,KansaiUniv. JPEG方式による画像圧縮画像を波の重ね合わせで表わし，一部を省略して，データ量を減らすひとつのセルを， 8×8の波画像の重ね合わせで表す 8×8ピクセルずつのセルに分解細かい部分は，どの画像でも大してかわらないから，省略しても気づかない省略すると，データ量が減る波画像のひとつひとつが基底画像（著作権の問題により画像をはずしました）

17. 2014 A.Asano,KansaiUniv. そこで原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっているベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえて，どういう変換か見えるようにする

18. 2014 A.Asano,KansaiUniv. そこで原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっているベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえて，どういう変換か見えるようにするどういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める

19. 2014 A.Asano,KansaiUniv. そこで原画像Xは，m2個の基底画像にそれぞれ変換後画像Zの各要素をかけて足し合わせたものになっているベクトルの直交変換を，行列の直交変換におきかえて，どういう変換か見えるようにするどういう直交変換（ユニタリー変換）を用いるかを，基底画像を目でみて決める波の基底画像を用いる→フーリエ変換

20. A.Asano,KansaiUniv.

21. A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換を行列で

22. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元フーリエ変換１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy 。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)d ができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換をまた，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 u(n) exp(−i2π k n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

23. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元フーリエ変換指数関数の性質から１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy 。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)d ができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換をまた，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 u(n) exp(−i2π k n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) 報圧縮の方法を説明します。離散フーリエ変換講義の第１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy しました。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy 直すことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換を行なっします。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

24. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元フーリエ変換指数関数の性質から x方向のフーリエ変換１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy 。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)d ができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換をまた，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 u(n) exp(−i2π k n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) 報圧縮の方法を説明します。離散フーリエ変換講義の第１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy しました。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy 直すことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換を行なっします。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

25. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元フーリエ変換指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy 。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)d ができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換をまた，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 u(n) exp(−i2π k n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) 報圧縮の方法を説明します。離散フーリエ変換講義の第１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy しました。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy 直すことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換を行なっします。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)

26. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元フーリエ変換指数関数の性質から x方向のフーリエ変換 y方向のフーリエ変換１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy 。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)d ができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換をまた，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 u(n) exp(−i2π k n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) 報圧縮の方法を説明します。離散フーリエ変換講義の第１部で，２次元の関数 f(x, y) のフーリエ変換を F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp{−i2π(νxx + νyy)}dxdy しました。この式は F(νx, νy) = ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx) exp(−i2πνyy)dxdy = ∞ −∞ ∞ −∞ f(x, y) exp(−i2πνxx)dx exp(−i2πνyy)dy 直すことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換を行なっします。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1)２次元フーリエ変換は分離可能

27. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元離散フーリエ変換１次元離散フーリエ変換とができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) ，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = タル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は N−1 N−1 k l

30. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元離散フーリエ変換１次元離散フーリエ変換とができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) ，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = タル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は N−1 N−1 k l ことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換す。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) も，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向の２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = ジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は (k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) (k, l = 0, 1, ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式）

31. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元離散フーリエ変換１次元離散フーリエ変換とができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) ，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = タル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は N−1 N−1 k l ことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換す。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) も，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向の２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = ジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は (k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) (k, l = 0, 1, ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式）縦横の大きさが同じならに相当します。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . となることも，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 列 u(m, n) の２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp (k = 0, 1, . . . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。と方形のディジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n)

32. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ２次元離散フーリエ変換１次元離散フーリエ変換とができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) ，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = タル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は N−1 N−1 k l ことができるので，x, y それぞれの方向について１次元のフーリエ変換す。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . , N − 1) も，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 項，n 方向の２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とくに M = ジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は (k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i2π l N n) (k, l = 0, 1, ２次元離散フーリエ変換（分離可能な形式）縦横の大きさが同じならに相当します。また，１次元の N 項の数列 u(n) の離散フーリエ変換は U(k) = N−1 n=0 u(n) exp(−i2π k N n) (k = 0, 1, . . . となることも，第２講で説明しました。これらのことから，m 方向に M 列 u(m, n) の２次元離散フーリエ変換は U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp (k = 0, 1, . . . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。と方形のディジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n)

33. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換を行列で表す行列の直交変換の形で表すの講義で，行列 X の縦横に分離可能 (separable) なユニタ Z = RXR′ を示しました。この形式で (5) 式の変換を表すことを考えを対応させると l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · ります。そこで，(5) 式のの計算と (7) 式の行列の演算 m↓ k→ ⎛ ⎜ ⎜ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π k N 0 · · · ... ... U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i = 0, 1, . . . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とく形のディジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) (k, なります。晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第９回 (2013. 6. 5) http:

34. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換を行列で表す行列の直交変換の形で表すの講義で，行列 X の縦横に分離可能 (separable) なユニタ Z = RXR′ を示しました。この形式で (5) 式の変換を表すことを考えを対応させると l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · ります。そこで，(5) 式のの計算と (7) 式の行列の演算 m↓ k→ ⎛ ⎜ ⎜ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π k N 0 · · · ... ... で，行列 X の縦横に分離可能 (separable) なユニタリー変換は Z = RXR′ ました。この形式で (5) 式の変換を表すことを考えてみましょ応させると l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R′ 。そこで，(5) 式のの計算と (7) 式の行列の演算を対応させ k→ ⎛ 0 k N−1 U(k, l) = N−1 n=0 M−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k M m) exp(−i = 0, 1, . . . , M − 1, l = 0, 1, . . . , N − 1) と定義することができます。とく形のディジタル画像のフーリエ変換を想定すると，(4) 式は U(k, l) = N−1 n=0 N−1 m=0 u(m, n) exp(−i2π k N m) exp(−i2π l N n) (k, なります。晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第９回 (2013. 6. 5) http:

53. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換を行列で表す前ページのように行列を配置するとることを示しました。この形式で (5) 式の変換を表すことを考えてみましょう。(6) 式の行・列との各変数を対応させると l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R′ (7) 形になります。そこで，(5) 式のの計算と (7) 式の行列の演算を対応させると， R′ = m↓ k→ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π k N 0 · · · e−i2π N−1 N 0 ... ... e−i2π 0 N m e−i2π k N m ... ... e−i2π 0 N (N−1) e−i2π N−1 N (N−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，また R = l↓ n→ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π 0 N n · · · e−i2π 0 N (N−1) ... ... e−i2π l N 0 e−i2π l N n ... ... e−i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (8) ます。これらは対称行列ですから，各変数を対応させると l↓ k→ (Z = U(k, l)) = l↓ n→ (R) · n↓ m→ (X = u(m, n)) · m↓ k→ R′ (7 になります。そこで，(5) 式のの計算と (7) 式の行列の演算を対応させると， R′ = m↓ k→ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π k N 0 · · · e−i2π N−1 N 0 ... ... e−i2π 0 N m e−i2π k N m ... ... e−i2π 0 N (N−1) e−i2π N−1 N (N−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ また R = l↓ n→ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π 0 N n · · · e−i2π 0 N (N−1) ... ... e−i2π l N 0 e−i2π l N n ... ... e−i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (8 す。これらは対称行列ですから，

54. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換を行列で表す指数関数がややこしいのでとおくと， ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e N e N ... ... e−i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (8) 行列ですから， WN = exp(− i2π N ) (9) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ W0·0 N · · · W0·n N · · · W 0·(N−1) N ... ... Wl·0 N Wln N ... ... W (N−1)·0 N W (N−1)(N−1) N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) Z = RXR (11) ′ R = l↓ n→ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ e−i2π 0 N 0 · · · e−i2π 0 N n · · · e−i2π 0 N (N−1) ... ... e−i2π l N 0 e−i2π l N n ... ... e−i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (8) す。これらは対称行列ですから， WN = exp(− i2π N ) (9) R = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ W0·0 N · · · W0·n N · · · W 0·(N−1) N ... ... Wl·0 N Wln N ... ... W (N−1)·0 N W (N−1)(N−1) N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) Z = RXR (11) とができます。 ′∗ ′ ... ... −i2π N−1 N 0 e−i2π N−1 N (N−1) ⎟ ⎟ ⎠ すから， WN = exp(− i2π N ) (9) W0·0 N · · · W0·n N · · · W 0·(N−1) N ... ... Wl·0 N Wln N ... ... W (N−1)·0 N W (N−1)(N−1) N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (10) Z = RXR (11)

55. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ところで，本当にユニタリー？ある列と，ある列の複素共役の内積異なる列なら０，同じ列なら１ならユニタリー N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) す。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) ′ N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) 値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) l=0 N N l=0 N N = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N となります。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 で，n = n′ のときは N−1 l=0 W (n−n′)l N = N−1 l=0 1 = N となります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。 N 倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変 WN = 1 √ N exp(− i2π N ) と定義すればよいことになります。このとき，逆変換は異なる列（等比級数の和）同じ列

56. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ところで，本当にユニタリー？ある列と，ある列の複素共役の内積異なる列なら０，同じ列なら１ならユニタリー N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) す。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) ′ N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) 値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) l=0 N N l=0 N N = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N となります。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 で，n = n′ のときは N−1 l=0 W (n−n′)l N = N−1 l=0 1 = N となります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。 N 倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変 WN = 1 √ N exp(− i2π N ) と定義すればよいことになります。このとき，逆変換は異なる列（等比級数の和）同じ列 OK

57. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ところで，本当にユニタリー？ある列と，ある列の複素共役の内積異なる列なら０，同じ列なら１ならユニタリー N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) す。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) ′ N−1 l=0 Wln N · (Wln′ N )∗ = N−1 l=0 exp(− i2πln N ) exp(− i2πln′ N ) = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N (12) 値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 (13) l=0 N N l=0 N N = N−1 l=0 exp(− i{(n − n′)2π}l N ) = N−1 l=0 W (n−n′)l N となります。この値は，n ̸= n′ のとき N−1 l=0 W (n−n′)l N = 1 − W (n−n′)N N 1 − W (n−n′) N = 1 − WN N (n−n′) 1 − W (n−n′) N = 1 − 1(n−n′) 1 − W (n−n′) N = 0 で，n = n′ のときは N−1 l=0 W (n−n′)l N = N−1 l=0 1 = N となります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。 N 倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変 WN = 1 √ N exp(− i2π N ) と定義すればよいことになります。このとき，逆変換は異なる列（等比級数の和）同じ列 OK NG

58. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ユニタリー離散フーリエ変換前ページの計算で l=0 WN = l=0 なります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタ倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とす WN = 1 √ N exp(− 定義すればよいことになります。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ なります。このように定義した離散フーリエ変換をとくいうこともあります。

59. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ユニタリー離散フーリエ変換前ページの計算で l=0 WN = l=0 なります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタ倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とす WN = 1 √ N exp(− 定義すればよいことになります。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ なります。このように定義した離散フーリエ変換をとくいうこともあります。 l=0 W (n−n′)l N = l=0 1 = N (14) = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。RR′∗ は単位行列の，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変えて， WN = 1 √ N exp(− i2π N ) (15) す。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ (16) た離散フーリエ変換をとくにユニタリー離散フーリエ変換 (unitary DFT) ングすると，周波数空間ではもとの関数の周波数分布が周期的に繰り返ーリエ変換は，もとの周波数分布の周波数 0 のところから１周期分を取グしたものに相当しています。したがって，１次元の離散フーリエ変換とおけば

60. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ユニタリー離散フーリエ変換前ページの計算で l=0 WN = l=0 なります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタ倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とす WN = 1 √ N exp(− 定義すればよいことになります。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ なります。このように定義した離散フーリエ変換をとくいうこともあります。 l=0 W (n−n′)l N = l=0 1 = N (14) = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。RR′∗ は単位行列の，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変えて， WN = 1 √ N exp(− i2π N ) (15) す。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ (16) た離散フーリエ変換をとくにユニタリー離散フーリエ変換 (unitary DFT) ングすると，周波数空間ではもとの関数の周波数分布が周期的に繰り返ーリエ変換は，もとの周波数分布の周波数 0 のところから１周期分を取グしたものに相当しています。したがって，１次元の離散フーリエ変換の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) ときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (uni をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます圧縮とおけばとなって，ユニタリーになる

61. 2014 A.Asano,KansaiUniv. ユニタリー離散フーリエ変換前ページの計算で l=0 WN = l=0 なります。したがって RR′∗ = NI となり，R はユニタ倍になっているわけですから，R をユニタリー行列とす WN = 1 √ N exp(− 定義すればよいことになります。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ なります。このように定義した離散フーリエ変換をとくいうこともあります。 l=0 W (n−n′)l N = l=0 1 = N (14) = NI となり，R はユニタリー行列ではありません。RR′∗ は単位行列の，R をユニタリー行列とするには，WN をすこし変えて， WN = 1 √ N exp(− i2π N ) (15) す。このとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ (16) た離散フーリエ変換をとくにユニタリー離散フーリエ変換 (unitary DFT) ングすると，周波数空間ではもとの関数の周波数分布が周期的に繰り返ーリエ変換は，もとの周波数分布の周波数 0 のところから１周期分を取グしたものに相当しています。したがって，１次元の離散フーリエ変換 N−1 l=0 W (n−n′)l N = N−1 l=0 1 = N となり，R はユニタリー行列ではありません。RR′∗ は単位行ユニタリー行列とするには，WN をすこし変えて， WN = 1 √ N exp(− i2π N ) のとき，逆変換は X = R∗ ZR∗ フーリエ変換をとくにユニタリー離散フーリエ変換 (unitary D の変換を画像の直交変換 (orthogonal transformation) ときは，RR′∗ = I となるような行列 R を用います。記号）を意味します。このような行列をユニタリー行列 (uni をユニタリー変換 (unitary transformation) といいます圧縮とおけばとなって，ユニタリーになる WN = exp(− i2π N ) 0 · · · W0·n N · · · W 0·(N−1) N ... Wln N ... 1)·0 W (N−1)(N−1) N ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Z = RXR てみましょう。行列 R の，第 n 列と第 n′ 列の複素共役の内

62. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散コサイン変換フーリエ変換では，複素数を扱う必要がある実数だけで計算できる変換圧縮でよく用いられているのが，離散コサイン変換 (discrete cosine コサイン変換では，行列 R は (10) 式のかわりに R = l↓ n→⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ... r(n, l) ... ⎞ ⎟ ⎟ ⎠, r(n, l) = 1√ N l = 0 2√ N cos (2n+1)lπ 2N l ̸= 0 離散コサイン変換では，R は実行列になっています。換は，元の画像を縦横とも座標軸に対称に折り返し，偶関数にしたものの離

63. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換離散コサイン変換は，関数を折り返して偶関数にしたもののフーリエ変換に相当偶関数 √ N cos 2N l ̸= 0 と定義されます。離散コサイン変換では，R は実行列になっています離散コサイン変換は，元の画像を縦横とも座標軸に対称に折り返しエ変換に相当します1。 f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{− F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2 F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx . r(n, l) = 1√ N l = 0 2√ N cos (2n+1)lπ 2N l ̸= 0 と定義されます。離散コサイン変換では，R は実行列になっています。離散コサイン変換は，元の画像を縦横とも座標軸に対称に折り返し，偶関数にしたものの離エ変換に相当します1。 f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx R = l↓ n→⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ... r(n, l) ... ⎞ ⎟ ⎟ ⎠, r(n, l) = 1√ N l = 0 2√ N cos (2n+1)lπ 2N l ̸= 0 と定義されます。離散コサイン変換では，R は実行列になっています。離散コサイン変換は，元の画像を縦横とも座標軸に対称に折り返し，偶関数にしたものの離散エ変換に相当します1。 f(x) = f(−x) F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx のフーリエ変換第１項の x を -x に変数変換

68. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換 −∞ = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}d F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . . . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u(1 となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 となります。そこで，k ̸= 0 のとき整理すると

69. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換 −∞ = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}d F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . . . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u(1 となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 となります。そこで，k ̸= 0 のとき F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx) F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u( となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 整理すると

70. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換 −∞ = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}d F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . . . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u(1 となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 となります。そこで，k ̸= 0 のとき F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx) F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u( となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 整理すると指数関数と三角関数の関係から

71. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換 −∞ = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}d F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . . . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u(1 となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 となります。そこで，k ̸= 0 のとき F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx) F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u( となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(ν F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 整理すると指数関数と三角関数の関係から

72. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 偶関数のフーリエ変換 −∞ = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}d F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . . . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u(1 となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 となります。そこで，k ̸= 0 のとき F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx) F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) exp{−i2π(νxx)}dx F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(νxx)}] dx F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 要素の数列 u(0), u(1), . るとき，これを折り返した数列は 2N 要素の u(N − 1), u(N − 2), . . . , u(1), u(0), u(0), u( となります。N 要素の１次元の離散コサイン変換は (19) 式から U(k) = 1√ N N−1 n=0 u(n) k = 0 2√ N u(n) cos (2n+1)kπ 2N k ̸= 0 F(νx) = ∞ −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx = 0 −∞ f(x) exp{−i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x F(νx) = 0 ∞ f(−x) exp{−i2π(νx(−x))}(−dx) + F(νx) = ∞ 0 f(x) exp{i2π(νxx)}dx + ∞ 0 f(x) F(νx) = ∞ 0 f(x) [exp{i2π(νxx)} + exp{−i2π(ν F(νx) = 2 ∞ 0 f(x) cos 2π(νxx)dx １次元の場合にこれを見てみましょう。元の１次元信号を N 整理すると指数関数と三角関数の関係から実数の計算になる

73. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換と正負の周波数 ν k ［周波数空間］１周期 N等分［離散フーリエ変換］周波数0 U(0) 正の周波数 U(1), U(2), ..., U(N / 2 – 1) 負の周波数 U(N – 1), U(N – 2), ..., U(N / 2) ［数列のフーリエ変換］１次元

74. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 離散フーリエ変換と正負の周波数２次元 U(1), U(2), ..., U(N / 2 – 1) 図 1: 離散フーリエ変換における要素と周波数 k l 0 N / 2 N – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数負の周波数正の周波数負の周波数 A B C D 入れ替える (a) k l 0N / 2 N / 2 – 1 N / 2 0 N – 1 正の周波数負の周波数正の周波数負の周波数 D C B A (b) N – 1 N / 2 – 1 図 2: ２次元離散フーリエ変換における要素と周波数

75. A.Asano,KansaiUniv.

76. A.Asano,KansaiUniv. 実例

77. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 基底画像の例コサイン変換サイン変換 Hadamard変換(-1と1） Haar変換（講義では， A. K. Jain, Fundamentals of Digital Image Processing (1988)に出ている基底画像の例を使って説明しました。）

78. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 画像情報圧縮の例データ量：80KB データ量：16KB

79. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 画像情報圧縮の例データ量：80KB データ量：16KB

80. 2014 A.Asano,KansaiUniv. 画像情報圧縮の例データ量：80KB データ量：16KB （８×８ピクセルのセルが見える）

81. 2014 A.Asano,KansaiUniv. リンギング（モスキートノイズ）（このあと，リンギングの原因を，三角関数の足し合わせでステップ関数ができていくようすを MATLABでプロットして説明しました。）

82. 2014 A.Asano,KansaiUniv. リンギング（モスキートノイズ）（このあと，リンギングの原因を，三角関数の足し合わせでステップ関数ができていくようすを MATLABでプロットして説明しました。）

2014年度春学期　画像情報処理　第９回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2014. 6. 18)

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