1. Eliminasi Gauss
Mengubah Matriks yang kompleks menjadi matriks segitiga atas ,
Mengubah matriks kompleks menjadi matriks segitiga atas sebagai berikut :
1 2 0 8
2 -1 2 17
1 5 1 25
Pengubahan dilakukan dengan meng-kali-kan satu atau beberapa baris (i) dan kemudian menjumlahkan
dengan baris yang lain (j) untuk mendapatkan baris (j) yang baru
Contoh dari eliminasi Gauss adalah sebagai berikut :
1. Langkah pertama
Mengusahakan agar elemen (baris 2, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 1 dengan -2 dan menjumlahkan dengan elemen baris 2 sehingga didapatkan
elemen baris 2 yang baru
1 2 3 1 dikalikan -2 -2 -4 -6 -2
2 5 5 -3 2 2 5 5 -3
3 5 11 2 2baru 0 1 -1 -5
Sehingga matriks yang baru menjadi
1 2 3 1
0 1 -1 -5
3 5 11 2
1 2 0 8
0 -5 2 1
0 0 11 88

2. 2. Langkah kedua
Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 1 dengan -3 dan menjumlahkan dengan elemen baris 3 sehingga didapatkan
elemen baris 3 yang baru
1 2 3 1 dikalikan -3 -3 -6 -9 -3
0 1 -1 -5
3 5 11 2 3 3 5 11 2
3baru 0 -1 2 -1
Sehingga matriks yang baru menjadi
1 2 3 1
0 1 -1 -5
0 -1 2 -1
3. Langkah ketiga
Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 2) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 2 dengan 1 dan menjumlahkan dengan elemen baris 3 sehingga didapatkan elemen
baris 3 yang baru
1 2 3 1
0 1 -1 -5 dikalikan 1 0 1 -1 -5
0 -1 2 -1 3 0 -1 2 -1
3 baru 0 0 1 -6
Sehingga matriks yang baru menjadi :
1 2 3 1
0 1 -1 -5
0 0 1 -6
4. Langkah keempat
Setelah diadapt matriks baru yang lebih sederhana, maka lebih mudah untuk mendapatkan nilai x, y,
dan z

3. Seringkali beberapa matrks kompleks tidak bisa dengan mudah disederhanakan dengan operasi baris
elementer yang hanya mengkalikan 1 baris. Contohnya adalah matriks berikut :
1 2 0 8
2 -1 2 17
1 5 1 25
1. Langkah pertama
Mengusahakan agar elemen (baris 2, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 3 dengan -2 dan menjumlahkan dengan elemen baris 2 sehingga didapatkan
elemen baris 2 yang baru
1 2 0 8
2 -1 2 17
1 5 1 25 dikalikan -2 -2 -10 -2 -50
2 2 -1 2 17
2 baru 0 -11 0 -33
Sehingga matriks yang baru menjadi :
1 2 0 8
0 -11 0 -33
1 5 1 25
2. Langkah ke dua
Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 2) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 1 dengan -5 dan mengkalikan semua elemen baris 3 dengan 2 kemudian
menjumlahkan hasil kali dua baris tersebut untuk mendapatkan baris 3 yang baru.
Catatan : Pada langkah eliminasi Gauss, diperbolehkan untuk meng-kalikan lebih dari 1 baris seperti
pada contoh langkah kedua ini. Bahkan mungkin semua baris. Wong kalo dipikir-pikir, semua elemen
baris adalah representasi koefisien variabel pada persamaan yang sama. Jadi, nilai variabel tetap tidak
akan berubah asalkan dalam semua baris
1 2 0 8 dikalikan -5 -5 -10 0 -40
0 -11 0 -33
1 5 1 25 dikalikan 2 2 10 2 50
3 baru -3 0 2 10

4. Sehingga matriks yang baru menjadi :
1 2 0 8
0 -11 0 -33
-3 0 2 10
3. Langkah ketiga
Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan
semua elemen baris 1 dengan 3 dan menjumlahkan dengan elemen baris 3 sehingga didapatkan elemen
baris 3 yang baru
1 2 0 8 dikalikan 3 3 6 0 24
0 -11 0 -33
-3 0 2 10 3 -3 0 2 10
3 baru 0 6 2 34
Sehingga baris yang baru menjadi
1 2 0 8
0 -11 0 -33
0 6 2 34
Melalui tahap perhitungan langkah 3 diatas, Kita mendapatkan elemen (baris 3 kolom 1) menjadi 0 akan
tetapi kita merubah elemen (baris 3 kolom 2) yang semula 0 menjadi tidak lagi bernilai 0.
Jika kita mencoba mengubah elemen (baris 3 kolom 2) menjadi 0 dengan operasi baris 3 sebagai berikut

5. 4. Langkah keempat
:1 2 0 8 dikalikan -3 -3 -6 0 -24
0 -11 0 -33
0 6 2 34 0 6 2 34
3 baru -3 0 2 10
Maka kita akan mendapatkan matriks baru sebagi berikut :
1 2 0 8
0 -11 0 -33
-3 0 2 10
Sehingga kita akan mendapatkan elemen (baris 3 kolom 2 ) menjadi 0 tapi mengubah elemen 0 yang
sudah ada.
Jika kita mendapati kasus perhitungan seperti diatas, maka yang perlu kita lakukan adalah tetap
berusaha sambil tetap berdoa agar Allah memberikan jalan keluar…..

6. 5. Langkah keempat b
Selain dengan tetap berdoa, kita juga harus melengkapi dengan berusaha, dan salah satu usaha yang
bisa kita lakukan adalah mengubah metode perhitungan kita. Jika kita perhatikan lebih lanjut, eliminasi
Gauss merupakan upaya merubah elemen tidak 0 menjadi 0 melalui bantuan baris lain. Sehingga untuk
lebih amannya ( agar tidak mengubah elemen 0 yang sudah kita miliki), maka sebaiknya kita
memanfaatkan elemen baris yang sudah ada elemen 0 nya agar hasil operasi baris yang kita dapatkan
tidak mengubah 0 yang kita miliki
Sebagai contoh,
Pada matriks sebagai hasil langkah kita yang ketiga, kita akan mencoba mengubah elemen (baris 3
kolom 2) menjadi 0 dengan bantuan baris 2 . Karena elemen (baris 2 kolom 1) sudah bernilai 0 sehingga
jika kita kalikan dengan angka berapa pun akan tetap 0 jika kita jumlahkan dengan elemen (baris 3
kolom 1 ) yang bernilai 0, maka hasilnya akan 0, yang berarti tidak akan merubah elemen 0 yang kita
miliki
1 2 0 8
0 -11 0 -33 dikalikan 6 0 -66 0
-
198
0 6 2 34 dikalikan 11 0 66 22 374
3 baru 0 0 22 176
Sehingga matriks kita yang baru menjadi
1 2 0 8
0 -11 0 -33
0 0 22 176

7. Catatan :
1. Pada langkah eliminasi Gauss, diperbolehkan untuk meng-kalikan lebih dari 1 baris seperti pada
contoh langkah kedua ini. Bahkan mungkin semua baris. Wong kalo dipikir-pikir, semua elemen
baris adalah representasi koefisien variabel pada persamaan yang sama. Jadi, nilai variabel tetap
tidak akan berubah asalkan yang dikalikan dengan sebuah konstanta tidak Cuma 1 elemen tapi
semua elemen dalam dalam satu baris
2. Untuk mencegah adanya loop yang tidak berkesudahan, maka langkah mengubah elemen (baris
i kolom j ) menjadi 0 sebaiknya digunakan baris yang sudah memiliki elemen 0.
Sehingga langkah kita melakukan eliminasi gauss adalah sebagai berikut :
a) Langkah pertama bisa dengan :
· Mengubah elemen ( baris 2 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja
· Mengubah elemen ( baris 3 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja
b) Langkah kedua bisa dengan :
· Mengubah elemen ( baris 3 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja
· Mengubah elemen ( baris 2 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja
c) Langkah ketiga
· Mengubah elemen ( baris 3 kolom 2) menjadi 0 dengan menggunakan baris ke-2
1 2 0 8
2
-1 2 17

8. 1
5
1 25
Langkah terakhir
Langkah terakhir adalah dengan mengubah elemen (baris 3 kolom 2 ) menjadi 0
dengan memanfaatkan baris ke 2