fisika statistik maxwell boltzmann

1. FISIKA STATISTIK

2. PERLUNYA KONSEP STATISTIK.
Satu/Beberapa partikel :
1. Mekanika Klasik : Hukum Newton
- Sifat deterministik.
2. Mekanika Kuantum : Persamaan Schrodinger
- Sifat tidak deterministik
- Setiap besaran observabel berkaitan dengan operator.
Untuk sistem Makroskopis ?

3. Untuk Sistem Makroskopik
Perlu Konsep Statistik.
Dasarnya : Most Probable.
Fungsi Distribusi.
Ada 3 Jenis Statistik:
Mawell-Boltzmann
Fermi-Dirac
Bose-Einstein

4. HIPOTESIS
HIPOTESIS
Sipartikel ini
diasumsikan
mempunyai
“kelakuan tertentu”
PERSAMAAN
MAKROSKOPIK
FISIKA STATISTIK
Dari kelakuan tertentu ini
dibangunlah bentuk makroskopik
menggunakan Fisika Statistik. Hasil
akhirnya adalah Persamaan
Makroskopik

5. 1. Statistik Maxwell-Boltzmann
• Keadaan Pendekatan Klasik → Ideal.
Artinya berlaku untuk Sistem Klasik ( Sistem
partikel identik yang jaraknya cukup berjauhan
sehingga satu sama lain dapat dibedakan ).
• Temperatur cukup tinggi.
• Kerapatan rendah.

6. 2. Statistik Fermi-Dirac
• Partikel : elektron, proton → Fermion.
Sistem partikel dengan fungsi gelombang
banyak bertumpangan, sehingga satu sama
lain tidak dapat dibedakan.
• Fungsi gelombang partikel bersifat
antisimetrik. → ψ 𝟏, 𝟐 = − ψ 𝟐, 𝟏
• Contoh : Digunakan pada pembahasan
kapasitas panas zat padat.

7. 3. Statistik Bose-Einstein
• Partikel : foton, fonon → Boson.
Sistem partikel dengan fungsi gelombang banyak
bertumpangan, sehingga satu sama lain tidak
dapat dibedakan.
• Fungsi gelombang partikel bersifat simetrik.
→ ψ 𝟏, 𝟐 = ψ 𝟐, 𝟏
• Contoh : Digunakan pada pembahasan kapasitas
panas zat padat.

8. BEBERAPA PERMASALAHAN:
1. Tulis fungsi gelombang sistem dua partikel
bose(boson) dan fermi (fermion). Dengan
memakai fungsi gelombang tersebut, tunjukkan
bahwa dua boson dapat berada pada keadaan
kuantum yang sama, tetapi dua fermion tidak
mungkin berada pada keadaan kuantum yang
sama.
2. Suatu tingkat energi tertentu mempunyai 3
buahstatus dan 2 partikel. Jelaskan bagaimana
pola pengaturan partikel ke dalam status-status
tersebut.

9. SOLUSI :
1. Kalau dikatakan zarahnya identik maka apabila terjadi
pertukaran elektron, tentunya energi totalnya tidak
berubah, sehingga bisa dituliskan dua keadaan berikut :
Hoop ψ(1,2) = E ψ(1,2)
Hoop ψ(2,1) = E ψ(2,1)
Memberikan eigen value yang sama yaitu: E
Pertukaran elektron secara dua kali memberikan:
ψ(2,1) = c ψ(1,2) = c2 ψ(2,1)
Pertukaran satu kali membuat ψ(1,2) dan ψ(2,1) hanya
berbeda satu tetapan (yaitu c).
Pertukaran secara dua kali:
Tentunya : c2 = 1 atau c = ±1.

12. Kesimpulan :
Jadi dua boson dapat berada pada keadaan kuantum
yang sama, sedangkan dua fermion tidak mungkin
berada pada keadaan kuantum yang sama.

19. Tinjau Struktur Ikatan Zat Padat (Logam)
• Atom Na bebas.
– Na (11) : 1s22s22p63s1
elektron valensi (extended state)
teras atom/ ion core
( localized state )
• Logam Na ( Kristal Na ).
– Tersusun atas atom2 Na sejumlah 1023 atom.
• Zat padat :
– Kisi ( yang ditempati ion-ion logam ).
– Elektron Konduksi ( yang bergerak disepanjang kisi ).
• Czat padat (logam)=Ckisi/fonon/isolator+ Celektron
STATISTIK BOSE-EINSTEIN
STATISTIK FERMI-DIRAC

21. Penerapan Konsep Statistik
Model/Hipotesis → Persamaan
Makroskopik
Eksperimen
Verifikasi
FI
FISIKA
STATISTIK

32. BERIKUTNYA UNTUK MENURUNKAN FUNGSI
DISTRIBUSI FERMI-DIRAC.
Tinjau partikel bebas dengan massa m dalam
ruangan yang volumenya V.
# Bahaslah gerak partikel tersebut berdasarkan
mekanika kuantum.

33. - Dengan menggunakan prinsip dualisme gelombang-
partikel didalam mekanika kuantum, partikel yang
digambarkan sebagai gelombang, karena terbatas
geraknya dalam ruang akan berupa gelombang
tegak.
- Untuk mudahnya gelombang tegak ini diandaikan
ada dalam kotak satu dimensi yang tegar yang
berjarak L :

39. j nx ny nz nj2 Ej gj

40. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1

41. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
6 6E0 3

42. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
6 6E0 3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
9 9E0 3

43. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
6 6E0 3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
9 9E0 3
4
3
1
1
1
3
1
1
1
3
11 11E0 3

44. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
6 6E0 3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
9 9E0 3
4
3
1
1
1
3
1
1
1
3
11 11E0 3
5 2 2 2 12 12E0 1

45. j nx ny nz nj2 Ej gj
1 1 1 1 3 3E0 1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
6 6E0 3
3
2
2
1
2
1
2
1
2
2
9 9E0 3
4
3
1
1
1
3
1
1
1
3
11 11E0 3
5 2 2 2 12 12E0 1
6
3
3
2
2
1
1
2
1
3
1
3
2
1
2
1
3
2
3
14 14E0 6

46. # Tingkat energi paling bawah : hanya memiliki satu
status energi.
# Tingkat energi berikutnya : memiliki enam status
energi.
Dan seterusnya.
# Dikenal istilah Derajad degenerasi : jumlah status
energi pada satu tingkatan energi (yang mempunyai
harga energi yang sama) ⇒ Bobot pita (weight of sheet)
notasi gj →nomor pita (sheet number)
Lihat : A.J. Pointon
“An Introduction to Statistical Physics for
Students”

47. # Bagaimana pembahasan gerak partikel
berdasarkan mekanika klasik ?

51. Setelah partikel mencapai x = 0 kembali partikel akan
menumbuk dinding menyebabkan partikel bergerak
dari x = 0 ke x = L demikian seterusnya.

52. STATISTIK
FERMI-DIRAC

53. • Andaikan elektron-elektron dalam logam padat tsb
adalah gelombang-gelombang yang jumlahnya
banyak dalam ruangan :
Dengan membuat distribusi energi sudah
merupakan pengelompokan secara umum :
- Dengan membuat nomor pita (sheet number) :
1,2,3,……,i,…….r
- Energi pita (sheet energy) :
E1,E2,E3,……,Ei,……Er
- Jumlah hunian = Jumlah partikel yang bisa
menempati (occupation number) :
N1,N2,N3,……,Ni,……Nr

54. - Bobot pita = Jumlah status energi yang mempunyai
harga energi yang sama (weight of sheet) :
g1,g2,g3,……,gi……gr
Dengan cara ini dapat dituliskan :
- Jumlah total partikel : N=ΣNi
- Energi total : E=ΣNiEi
Permasalahan berikutnya adalah menentukan
konfigurasi yang mempunyai peluang terbesar dari
distribusi fermion (most probable).

55. Peluang terbesar dari distribusi Berkaitan dengan Bobot
Konfigurasi Maksimum (W maksimum).
Langkah kita yang pertama mencari bentuk umum dari W
→ Weight of Configuration
(Bobot Konfigurasi = Jumlah cara
menempati).
Jadi untuk menentukan distribusi fermion maka
-LANGKAH I : Merumuskan Bobot Konfigurasi
Total W (Bentuk umum dari bo-
bot konfigurasi) sebagai :

56. W=ΠWi
Jumlah cara pengaturan Ni sistem
ke gi status pada pita ke i = Jumlah cara membagi gi
status menjadi Ni status yang isi partikel dan (gi-Ni)
status yang kosong :
𝒘𝒊 =
𝒈𝒊!
𝑵𝒊! 𝒈𝒊−𝑵𝒊 !
Jumlah penempatan (hunian) pada satu status hanya
boleh 0 atau 1 (masing-masing status satu sistem).

57. Contoh : 3 sistem ditempatkan pada 5 status
- 3 status selalu penuh
- 2 status selalu kosong
Susunan ?
Dari hal ini kita bisa merumuskan Bobot
Konfigurasi Total atau bentuk umum dari Bobot
Konfigurasi
W = 𝝅
𝒈𝒊!
𝑵𝒊! 𝒈𝒊−𝑵𝒊 !

62. -LANGKAH II : Langkah berikutnya adalah me-
nentukan Bobot Konfigurasi
Maksimum.
Berkaitan dengan nilai Bobot Konfigurasi Maksimum
kita bisa menuliskan Konfigurasi yang paling mungkin
:
(i). Yaitu dengan memaksimumkan Bobot Kon-
figurasi W : dengan menggunakan metode
variasi yaitu :
dW= Σ
𝝏𝑾
𝝏𝑵𝒊
dNi = 0

63. Kemudian untuk memaksimumkan lebih mudah
melalui lnW daripada W, sehingga :
dlnW =
𝝏𝒍𝒏𝑾
𝝏𝑵𝒊
dNi = 0
(ii). Kemudian dengan menggunakan metode
pengali Lagrange kita bisa menambahkan
parameter berikut untuk memperhitung-
kan kekekalan jumlah partikel dan keke-
kalan energi :
- Karena jumlah sistem N=konstan, maka:

64. ΣNi=N=konstan, dan berarti
ΣdNi=dN=0
-Bila energi juga konstan, maka :
ΣEiNi=E=konstan
ΣEi dNi=dE=0
-Gunakan pengali Lagrange untuk mema-
sukkan kondisi-kondisi di atas :
dlnW+α dN+β dE=0
α, β : pengali tak tentu Lagrange

65. 𝜕𝑙𝑛𝑊
𝜕𝑁𝑖
dNi+α ΣdNi+β ΣEi dNi=0
𝜕𝑙𝑛𝑊
𝜕𝑁𝑖
+ 𝛼 + 𝛽𝐸𝑖 dNi=0 →Konfigurasi
paling mungkin
Karena dNi≠0, maka :
𝜕𝑙𝑛𝑊
𝜕𝑁𝑖
+ α + β Ei = 0 ……………………………………..(1)
(*)

71. * Dari distribusi fermion dapat ditentukan Fungsi
Distribusi Fermi-Dirac:
f(E) = 1
e(E-Eo)/kT+1
* Untuk mengerti pentingnya energi Fermi. Kita akan
melihat fungsi ini, karena fungsi ini memiliki sifat-
sifat yang khas.
Pada T=0 kita akan periksa isi keadaan yang
energinya kurang dari Eo dan yang energinya lebih
dari Eo, maka :

72. Untuk E»Eo : (E-Eo)/kT = +∞
f(E) = 1
e∞+1
f(E) = 0
Untuk E«Eo : (E-Eo)/kT = -∞
f(E) = 1
e-∞ +1
f(E) = 1

73. *Fungsi distribusi Fermi-Dirac apabila digambarkan
sebagai berikut :
f(E) T2>T1>0oK
T2 T1
1
T=0oK
⅟2
0 E
Eo(0)

75. *Dari lukisan sifat-sifat fungsi fermi pada T=0oK {f(E)}
tersebut, kita bisa menafsirkan secara kualitatif apa
arti besaran energi fermi Eo :
- Semua status yang berkaitan dengan E<Eo(0)
ditempati elektron.
-Semua status yang berkaitan dengan E>Eo(0)
kosong.
*Jadi pada E<Eo(0) pada temperatur T=0oK
Semua fermion menempati status energi terendah.

76. * Jadi kesimpulannya :
Eo(0) adalah tingkat energi tertinggi yang dihuni
elektron.
* Selanjutnya bagaimana cara menentukan
perhitungan energi fermi Eo(0) ?
- Gunakan definisi dari jumlah total partikel :
∞
N = ΣNi = N(E) dE
o Jumlah total partikel yang berenergi
antar (E;E+dE)
Jumlah hunian (occupation number)

77. N(E) = f(E) . g(E)
fungsi distribusi fermi-dirac
rapat keadaan (density of state) = dN
dE
Bagaimana cara menentukan g(E)?
* Untuk perhitungan g(E).
Dimulai dari persamaan energi yang sudah diturun-
kan sebelumnya :

78. Enx, ny, nz = h2 (nx
2 + ny
2 + nz
2)
2m V⅔
artinya elektron itu bergerak dalam
kubus dengan rusuk :
⅟2
h2
2m V⅔

79. Maka qx, qy dan qz harus memenuhi :
⅟2
qx = h2
2m V⅔
⅟2
⅟2 qz = h2
qy = h2 2m V⅔
2m V⅔

80. • Hal ini dapat digambarkan dalam ruang q :
qz
qy
⅟2
qx h2
2m V⅔

81. • Dalam ruang q termaksud, setiap status
direpresentasikan dengan volume sebesar :
3
⅟2
Ω = h2
2m V⅔
Ω = h3
V (2m)3/2

82. • Semua status dengan energi elektron sebesar :
Enx, ny, nz = qx
2 + qy
2 + qz
2
Enx, ny, nz = q2........................................(*)
terletak pada permukaan bola dengan jari-jari q yang memenuhi :
q2 = Enx, ny, nz
• Semua status dengan energi antara E dan E+dE terletak dalam kulit
bola dengan jari-jari antara q dan (q+dq), volume elemen itu
dalam ruang q adalah :
4πq2dq
Sehingga jumlah status elektron adalah :

83. #. Buat ruang p. Tinjau sebuah kulit bola dengan
jari-jari p dan tebal dp :
Volume elemen = ???

84. #.
Volume elemen
= Volume kulit bola luar – Volume kulit bola dalam
=
𝟒
𝟑
ᴨ 𝒑 + 𝒅𝒑 𝟑
-
𝟒
𝟑
ᴨ p3
=
𝟒
𝟑
ᴨ (p3 +3p2 dp+3p dp2 +dp3 ) -
𝟒
𝟑
ᴨ p3
=
𝟒
𝟑
ᴨp3 + 4ᴨp2 dp+ 4ᴨp dp2 +
𝟒
𝟑
ᴨ dp3 -
𝟒
𝟑
ᴨ p3
≅ 𝟒 ᴨ p2 dp , karena dp adalah elemen yang sangat
kecil, sehingga suku-suku yang mengandung dp2 dan
dp3 dapat diabaikan.

85. #.
Volume elemen
≅ 𝟒 ᴨ p2 dp , karena dp adalah elemen yang sangat
kecil, sehingga suku-suku yang mengandung dp2 dan
dp3 dapat diabaikan.
#. Kalau kita ganti dengan ruang-q, maka :
Volume elemen ≅ 𝟒 ᴨ q2 dq.

86. dN = 4πq2 dq
Ω
Dengan melakukan diferensiasi terhadap
persamaan (*) diperoleh
dE = 2q dq
dq = dE
2q
dq = dE
2 E⅟2

87. Jadi : dN = 4πq2 dq = 4π (q2) (dq)
Ω Ω
dN = 4π (E) dE
Ω 2 E⅟2
dN = 2π E⅟2 dE
Ω
Sehingga : g(E) = dN = 2π E⅟2
dE Ω

88. g(E) = 2π E⅟2 1
h3 V (2m)3/2
g(E) = 2πV (2m)3/2 E1/2
h3

89. Apabila diperhitungkan spin elektron, maka :
g(E) = 2 2πV (2m)3/2 E1/2
h3
Jumlah total partikel (elektron) :
∞ ∞
N = N(E) dE = f(E) . g(E) dE
0 0
Pada suhu T=0oK elektron-elektron hanya akan men-

90. duduki status-status energi dimulai dari yang paling
bawah sampai tingkatan energi Fermi Eo. Karena itu
jumlah total partikel menjadi :
Eo
N = f(E) . g(E) dE
0
Pada T=0oK maka : f(E) = 1
g(E) = C . E1/2
Sehingga :

91. Eo
N = 1 . C E1/2 dE
0
N = 2 C . (Eo)3/2
3
Jadi besarnya energi Fermi adalah
Eo(0) = h2 3N 2/3
2m 8πV

92. • Energi Fermi dan Temperatur Fermi :
Dimana energi Fermi dan temperatur Fermi
dihubungkan oleh persamaan :
Eo(0) = k TF
k = konstanta Boltzmann = 1,381 x 10
-23 J/K
k = konstanta Boltzmann = 8,617 x 10-5 eV/K
GAS Eo(0) eV TF(oK)
Helium 0,94 x 10-3 10
Elektron Li 4,7 54.000
Elektron Potassium 2,1 24.000

93. # BEBERAPA PERMASALAHAN.
1. Diketahui untuk logam natrium diperkirakan ada
2,6 x 1022 elektron konduksi/cm3 , yang
berperilaku sebagai gas elektron bebas. Dari fakta
ini, hitunglah nilai energi Fermi dalam natrium ?

94. Solusi :
1. -Diket. :
𝑵
𝑽
= 2,6 x 1022 elektron konduksi/cm3
= 2,6 x 1028 elektron konduksi/m3
h = konstansta Planck = 6,6 x 10-34 J.s
melektron = 9,1 x 10-31 kg
-Dit. : Energi Fermi E0(0)= ?
-Jawab :
Gunakan perumusan energi Fermi :
E0(0) =
𝒉𝟐
𝟐𝒎
𝟑𝑵
𝟖𝝅𝑽
𝟐
𝟑

95. E0(0) =
𝒉𝟐
𝟐𝒎
𝟑𝑵
𝟖𝝅𝑽
𝟐
𝟑
E0(0) =
𝟔,𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝟐
𝟐 𝒙 𝟗,𝟏 𝒙 𝟏𝟎−𝟑𝟏
𝟑
𝟖 𝒙 𝟑,𝟏𝟒
𝒙 𝟐, 𝟔 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟖
𝟐
𝟑
E0(0) =
𝟒𝟑,𝟓𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟔𝟖
𝟏𝟖,𝟐 𝒙 𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟎, 𝟑𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟖
𝟐
𝟑
E0(0) = 2,3934 x 𝟏𝟎−𝟑𝟕
𝟑, 𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟕
𝟐
𝟑
E0(0) = 2,3934 x 10-37 𝟑, 𝟏
𝟐
𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟐𝟕 𝒙 𝟐
𝟑
E0(0) = 2,3934 x 10-37 𝟐, 𝟏𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟏𝟖
E0(0) = 5,05 x 10-19 Joule.

96. Gunakan hubungan berikut :
1 eV = 1,6 x 10-19 Joule
1 Joule =
𝟏
𝟏,𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟗 eV
Sehingga :
E0(0) = 5,05 x 10-19 Joule.
E0(0) = 5,05 x 10-19 x
𝟏
𝟏,𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟏𝟗 eV
E0(0) ≅ 3,2 eV.