арифметична та геометрична прогресії в задачах геометрії

1. Арифметична таАрифметична та
геометричнагеометрична
прогресії в задачахпрогресії в задачах
геометріїгеометрії

2. 1Задача №1Задача №
У квадрат зі стороною а вписано квадрат,У квадрат зі стороною а вписано квадрат,
вершинами якого є середини сторін першоговершинами якого є середини сторін першого
квадрата, у другий квадрат вписано третій,квадрата, у другий квадрат вписано третій,
вершинами якого є середини сторін другого, і т.д.вершинами якого є середини сторін другого, і т.д.
ЗнайдітьЗнайдіть
суму площ усіх квадратів.суму площ усіх квадратів.

3. РозвРозв’’язанняязання
Нехай у квадрата зі стороною а і площеюНехай у квадрата зі стороною а і площеюSS11=a=a22
вписали квадрат,вершинами якого є серединивписали квадрат,вершинами якого є середини
сторін першого квадрата, тоді сторона другогосторін першого квадрата, тоді сторона другого
квадрата дорівнюєквадрата дорівнює
Площа цього квадрата дорівнюєПлоща цього квадрата дорівнює::
Площа третього квадрата дорівнюватимеПлоща третього квадрата дорівнюватиме::
І т.д. площі цих квадратів утворюютьІ т.д. площі цих квадратів утворюють
нескінченну геометричну прогресію знескінченну геометричну прогресію з
SS11=a=a22
ii g=1/2. Tg=1/2. Tому сума площ квадратівому сума площ квадратів
ВідповідьВідповідь::2a2a22
..
24
2
)
2
()
2
(
2
22 aaaa
==+
2
2
2
a
S =
4
2
3
a
S =
2
2
1
2
2
1
11
a
a
g
S
S =
−
=
−
=

4. 2Задача №2Задача №
Геометричну фігуруГеометричну фігуру
складено з нескінченноїскладено з нескінченної
послідовності рівносторонніхпослідовності рівносторонніх
трикутників, розміщенихтрикутників, розміщених
так, як показано на рисунку.так, як показано на рисунку.
Площа кожного наступногоПлоща кожного наступного
трикутника вдвічі менша відтрикутника вдвічі менша від
площі попереднього. Сторонаплощі попереднього. Сторона
першого трикутника = 4см.першого трикутника = 4см.
Чи поміститься такаЧи поміститься така
геометрична фігура на аркушігеометрична фігура на аркуші
вашого зошита?вашого зошита?

5. 3Задача №3Задача №
У коло радіусаУ коло радіуса RR вписано правильний трикутник, увписано правильний трикутник, у
трикутник вписано коло, утрикутник вписано коло, у
це коло вписано правильний трикутник і т.д.це коло вписано правильний трикутник і т.д.
Знайдіть суму:Знайдіть суму:
1)периметрів усіх трикутників;1)периметрів усіх трикутників;
2)площ трикутників;2)площ трикутників;
3)довжин кіл;3)довжин кіл;
4)площ кругів, обмежених даними колами.4)площ кругів, обмежених даними колами.

6. РозвРозв’’язанняязання
Нехай у коло радіусомНехай у коло радіусом RR вписановписано
правильний трикутник, тоді йогоправильний трикутник, тоді його
сторона дорівнюєсторона дорівнює::
периметрпериметр
і площаі площа
У трикутник вписано коло, його радіусУ трикутник вписано коло, його радіус::
довжина такого кола будедовжина такого кола буде
площа такого кругаплоща такого круга
31 Ra =
331 RP =
4
33
4
3 22
1
1
Ra
S ==
26
31
1
Ra
R ==
RRC ππ == 11 2
4
2
2
кр1
R
RS
π
π ==

7. 1)Периметри усіх трикутників1)Периметри усіх трикутників
утворюють геометричну прогресію зутворюють геометричну прогресію з
членами:членами:
тобто з першим членомтобто з першим членом
і знаменникомі знаменником g=g=1/2, тому сума всіх1/2, тому сума всіх
периметрів буде дорівнюватипериметрів буде дорівнювати
;...
4
33
;
2
33
;33
RR
R
331 Rb =
36
2
1
1
33
1
1
R
R
q
b
Sp =
−
=
−
=

8. 2)Площі трикутників утворюють2)Площі трикутників утворюють
геометричну прогресію видугеометричну прогресію виду
тобто нескінченно спадну геометричнутобто нескінченно спадну геометричну
прогресію зпрогресію з
і знаменникомі знаменником qq=1/4. Тому сума усіх=1/4. Тому сума усіх
площ дорівнює:площ дорівнює:
...
66
33
;
16
33
;
4
33 222
RRR
4
332
1
R
b =
3
34
433
)
4
1
1(4
33
1
2
22
1
R
RR
q
b
Ss =
⋅
⋅
=
−⋅
=
−
=

9. 3)Довжини кіл утворюють3)Довжини кіл утворюють
геометричну прогресію видугеометричну прогресію виду
тобто прогресію з першим членомтобто прогресію з першим членом
bb11=2=2ППRR і знаменникомі знаменником g=1/2.g=1/2.
сума довжин кіл дорівнюєсума довжин кіл дорівнює
;...
2
;;2
R
RR
π
ππ
R
R
q
b
Sc π
π
4
2
1
1
2
1
1
=
−
=
−
=

10. 4)Площі кругів, обмежених даними4)Площі кругів, обмежених даними
колами, утворюють нескінченну спаднуколами, утворюють нескінченну спадну
геометричну прогресію:геометричну прогресію:
тобто прогресію з першим членомтобто прогресію з першим членом
bb11=2=2ППRR22
і знаменникомі знаменником g=1/4.g=1/4. СумаСума
площ кругівплощ кругів
Відповідь:Відповідь:
;...
16
;
4
;
22
2 RR
R
ππ
π
3
4
4
1
1
22
RR
Ss
ππ
=
−
=
.3
4
)4;4)3;3)2;36)1
2
22 R
RRR
π
π

11. 4Задача №4Задача №
У квадрат зі стороною а вписано коло, уУ квадрат зі стороною а вписано коло, у
коло вписано квадрат, у цей квадратколо вписано квадрат, у цей квадрат
вписано коло, у яке знову вписано квадрат, івписано коло, у яке знову вписано квадрат, і
т.д.т.д.
Знайдіть суму:Знайдіть суму:
1)периметрів усіх квадратів;1)периметрів усіх квадратів;
2)площ квадратів;2)площ квадратів;
3)довжин кіл;3)довжин кіл;
4)площ кругів,обмежених даними колами.4)площ кругів,обмежених даними колами.

12. Література:Література:
Мерзляк А.Г.;Мерзляк А.Г.;
Полонський В.Б.; Якір М.С.Полонський В.Б.; Якір М.С.
Алгебра. Підручник дляАлгебра. Підручник для
9класу з поглибленим9класу з поглибленим
вивченням математики.вивченням математики.
ТОВ ТО “Гімназія”.ТОВ ТО “Гімназія”.