Ans pat 1-2

เฉลย PAT 1 ครั้งที่ (2) สอบวันที่ 11 กรกฏาคม 2552 http://gat-pat-o-net.blogspot.com

1) ตอบ 2 1 ∈ A, 2 ∈ A แต 3∈A
จาก p → q ≡∼ q →∼ p -------------------------------------------------------------------------
∀x[ P( x)] → ∃x[∼ Q( x)] ≡∼ ∃x[∼ Q( x)] →∼ ∀x[ P( x)] 5) ตอบ 1
≡ ∀x[Q( x)] → ∃x[∼ P( x)] (2 x + 1)( x − 1)
≥0
2− x
------------------------------------------------------------------------- (2 x + 1)( x − 1)
−1 คูณตลอด ≤0
2) ตอบ 4, x−2
กําหนด U = {n ∈ I + / n ≤ 10}
= {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} 1
พิจารณาขอ 4 ( x − y ) ≥ y + 9 xy
2 2 2
1
A = (−∞, − ] ∪ [1, 2)
x − 2 xy + y
2 2
≥ y + 9 xy
2
2
x 2 − 2 xy ≥ + 9 xy
x 2 ≥ 11xy 2 x2 − 7 x + 3 < 0
x.x ≥ x(11y ) (2 x − 1)( x − 3) < 0
x ≥ 11y เปนเท็จ ทุก x, y ∈ U
x ≥ 11y 1
2
------------------------------------------------------------------------- 1
B = ( ,3)
3) ตอบ 2 2

นักเรียนทั้งหมด n(U ) = 880
ตองการศึกษาตอ n( A) = 725
ตองการทํางาน n( B) = 160
1
ตองการศึกษาตอหรือทํางาน n( A ∪ B) = 813 2

813 = 725 + 160 − x A ∩ B = [1, 2) = [c, d )
x = 72 ดังนั้น 6c − d = 6(1) − 2 = 4
160 −
x
725 −

x
-------------------------------------------------------------------------
x

6) ตอบ 1
( x 2 − 1)( x 2 − 3) ≤ 15
n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)
x 4 − 4 x 2 + 3 ≤ 15
813 = 725 + 160 − n( A ∩ B)
x 4 − 4 x 2 − 12 ≤ 0
n( A ∩ B) = 72
( x 2 − 6)( x 2 + 2) ≤ 0
-------------------------------------------------------------------------
( x 2 − 6) ≤ 0
4) ตอบ 4
( x − 6)( x + 6) ≤ 0
A = {1, 2,{1, 2},{1, 2,3}}
พิจารณาตัวเลือก 4 {1, 2,3} ⊂ A แลว


a 2 − 10a + 25 = a 2 − 5
a=3
− 6 6
( fg )( x) = f ( x) + g ( x)
A = [− 6, 6]
= ( x − 5) x 2
( fg )(3) = (3 − 5).32 = −18
ดังนัน
้ a = − 6, b= 6
-------------------------------------------------------------------------
(b − a) = ( 6 − (− 6)) = 24
2 2
9) ตอบ 1
------------------------------------------------------------------------- กําหนด f ( x) = x 2 + x + 1
7) ตอบ 3
f ( a + b) = f ( a − b)
x 4 − 13x 2 + 36
≥0 (a + b) 2 + (a + b) + 1 = (a − b$) 2 + (a − b) + 1
x2 + 5x + 6
( x 2 − 4)( x 2 − 9) a 2 + 2ab + b 2 + a + b + 1 = a 2 − 2ab + b 2 + a − b + 1
≥0
( x + 2)( x + 3)
2ab + b = −2ab − b
( x − 2) ( x + 2) ( x − 3) ( x + 3)
≥0 4ab = −2b
( x + 2) ( x + 3)
1
a=−
( x − 2)( x − 3) ≥ 0 , x ≠ −2, −3 2
1
ดังนั้น a2 =
4
-------------------------------------------------------------------------
10) ตอบ 1
(2, ∞) r = {( x, y ) / x ∈ [−1,1] และ y = x 2 }
S = (−∞, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2, 2] ∪ [3, ∞) พิจารณา ก
a เปนจํานวนทีนอยที่สุด ของ S ∩ (2, ∞) = [3, ∞)
่  จากความสัมพันธ r ; Dr = [−1,1]
จะได a = 3 ; Rr = [0,1]
b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ที่ b∈S
จะได b = −2 หา r −1 ; x = y 2 , x ∈ [0,1]
ดังนั้น a 2 − b2 = 32 − (−2)2 = 9 y=± x, x ∈ [0,1]
------------------------------------------------------------------------- r −1 = {( x, y ) / x ∈ [0,1] และ y = ± x }
8) ตอบ 2 พิจารณา ข
โจทยกําหนด f ( x) = x − 5, g ( x) = x 2
gof ( x) = g ( f ( x)) fog ( x) = f ( g ( x))
= ( x − 5) 2 = x2 − 5
และ gof (a) = fog (a)
(a − 5) 2 = a 2 − 5
a 2 − 10a + 25 = a 2 − 5


2
⎛5⎞ ⎛5⎞
32 = ⎜ ⎟ + x 2 − 2 ⎜ ⎟ x cos(180o − θ ) − − (2)
⎝2⎠ ⎝2⎠
r (1,1)
จาก cos(180o − θ ) = − cos θ
2
⎛5⎞
(1) + (2) ; 3 + 4 = 2 ⎜ ⎟ + 2 x 2
2 2

⎝2⎠
(0, 0) 25
25 = + 2 x2
r −1 2
5
x=
2

กราฟตัดกันที่จุด (0, 0) และ (1,1) ดังนัน BC = 2 x = 2( 5 ) = 5
้
2
------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------
11) ตอบ 3 13) ตอบ 1
sin 30o cos 30o π
= − arcsin(5 x) + arcsin( x) =
sin10o sin10o 2
sin 30o cos10o − cos 30o sin10o π
= arcsin(5 x ) = − arcsin( x )
sin10o cos10o 2
π
= 2 . sin(30 − 10 o
o o
) sin(arcsin(5 x)) = sin( − arcsin( x))
o
2 sin10 cos10 2
o
5 x = cos(arcsin( x))
= 2. sin 20o
sin 20
=2 กําหนด
-------------------------------------------------------------------------
A = arcsin x
12) ตอบ 3
sin A = x
B
1
x x
4
θ D
5 180 o
x 1 − x2
−θ
2
A C 5 x = cos A
3 5x = 1 − x2
จากกฏของ cos ine
25 x 2 = 1 − x 2
จะได AB 2 = AD 2 + BD 2 − 2 AD.BD cos θ 1
x2 =
⎛5⎞
2
⎛5⎞ 26
42 = ⎜ ⎟ + x 2 − 2 ⎜ ⎟ x cos θ − − (1) 1
⎝2⎠ ⎝2⎠ x=± ใชคาบวกเพราะอยูใน Q-1
26
และ AC 2 = AD 2 + CD 2 − 2 AD.CD cos(180O − θ )
1
tan(arcsin x) = tan(arcsin )
26


| c1 − c2 |
PQ =
1 12 + 22
กําหนด B = arcsin( )
26 | 5 − c2 |
1 4 5=
sin B = 12 + 22
26 20 =| 5 − c2 |
26 ±20 = 5 − c 2
1 c2 = 5 ± 20
c2 = −15, 25
5
สรางเสนตรงที่ขนานทั้ง l1 และ l2 และผานจุด
tan(arcsin x) = tan( B) (5, 0) ซี่งเปนจุดศูนยกลางของวงกลม

=
1 จะไดวา x − 2y + c = 0
5 แทน ( x, y ) = (5, 0) ; 5 − 2(0) + c = 0
------------------------------------------------------------------------- c = −5

จากรูปจะไดเลือก c2 = −15 มาแทนในสมการเสนตรง l2
ดังนั้นจะไดสมการ l2 : x − 2 y − 15 = 0
แทนคาในตัวเลือก 4 x − 2 y − 15 = 0
15 − 2(0) − 15 = 0
0 = 0 เปนจริง
(ขอนี้หาคําตอบไดหลายวิธขี้นอยูกับมุมมอง)
ี
-------------------------------------------------------------------------
14) ตอบ 4
l1 : x − 2 y + 5 = 0
15) ตอบ 1
x − 2y −5 = 0
S = {( x, y ) / x 2 + y 2 ≤ 1}
P l 2 ; x − 2 y − c2 = 0 A = {( x, y ) / x 2 − y 2 = 1}
A = {( x, y ) / y 2 − x 2 = 1}
(5, 0) p∈S ∩ A และ q∈S ∩B
Q

จากโจทยจะได เสนตรง l1 ขนานกับเสนตรง l2
จะไดวา m1 = m2
( x − 5) 2 + y 2 = 20
( x − 5) 2 + y 2 = (2 5) 2

ดังนั้น PQ ยาว 4 5


y 2 − x2 = 1 (0, 17)
q
2x + y − 6 = 0
y = −8 x
2
p x2 − y2 = 1
F (−2, 0)
(− 17, 0) ( 17, 0)

(0, − 17)
พาราโบลา y 2 = −8 x
y 2 = 4(−2) x
แกสมการ x + y = 17
2 2
---- (1) โฟกัสของพาราโบลา คือ (0,-2)
x − y =1
2 2
---- (2) เสนตรงคือ 2 x + y − 6 = 0
(1)+(2) 2 x 2 = 18 ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรงคือ
x = ±3
| Ax1 + By1 + C |
แทน x = 3 จะได y = ±2 2 d=
A2 + B 2
แทน x = −3 จะได y = ±2 2 | 2(−2) + (0) − 6 |
=
22 + 12
แกสมการ x + y = 17
2 2
---- (3) 10
y − x =1
2 2
---- (4) = = 2 5
5
(1) - (2) 2 x = 16
2
-------------------------------------------------------------------------
x = ±2 2
แทน x = 2 2 จะได y = ±3
17) ตอบ 4
แทน x = −2 2 จะได y = ±3 ตองการสรางสมการวงรี ตองรู 2 อยาง
1) จุดศูนยกลาง (0, 0)
ดังนั้นหาระยะหางระหวาง p(3, 2 3) และ q(2 2,3)
2) คา a และ b
pq = (3 − 2 2) 2 + (2 2 − 3) 2
จากรูปคา b = 1 จะไดคา a = 12 + 12 = 2
= 2(3 − 2 2)
=3 2 −4
-------------------------------------------------------------------------

16) ตอบ 1


Y
19) ตอบ 2
x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x
F (0,1) จะได x (5 x ) = (5 x) x

a
Take log; log x (5 x ) = log(5 x) x
X
(5 x) log x = ( x) log 5 x
(−1, 0) b=1 (1, 0)
5(log x) = log 5 x
5(log x) = log(5) + log x
F (0, −1)
4(log x) = log 5
1
log x = log 5
4
1
( x − h) 2 ( y − k ) 2 log x = log 5 4
รูปมาตรฐาน + = 1 (วงรี รีตามแกน Y )
b2 a2 1

x2 y2 x = 54
+ =1
12 ( 2) 2 x ≈ 1.5
y2 -------------------------------------------------------------------------
x + 2
=1
2 20) ตอบ 1
จุดที่อยูบนวงรี คือจุดที่ไปแทนในสมการวงรีแลวทําใหสมการเปนจริง a, b, c > 1
2
⎛4⎞ log a d = 30, log b d = 50, log abc d = 15
⎜ ⎟
2
⎛1⎞ ⎝ 3⎠
พิจารณาตัวเลือก 4 ⎜ ⎟ + =1 1 1
log d a = , log d b = , log d abc =
1
⎝3⎠ 2 30 50 15
1 8
+ =1
9 9 log d a + log d b + log d c = log d abc
1 = 1 เปนจริง
------------------------------------------------------------------------- 1 1
+ + log d c =
1
30 50 15
18) ตอบ 3 1 1 1
log d c = − −
log 2 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x) + 1 15 30 50
1
log 1 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x) + log 2 2 log d c =
22 75
2 log 2 (4 − x) = log 2 (9 − 4 x)(2) log c d = 75

log 2 (4 − x) 2 = log 2 (18 − 8 x) -------------------------------------------------------------------------
(4 − x) 2 = (18 − 8 x)
21) ตอบ 4
A = [aij ]2 x 2 det A = 4
16 − 8 x + x 2 = 18 − 8 x
A − 3I เปนเมตริกซเอกฐานแสดงวา det( A − 3I ) = 0
x2 = 2
⎡a b ⎤
x = ± 2 ∈ [−2, 2) กําหนด A=⎢ ⎥
⎣c d ⎦
-------------------------------------------------------------------------


จาก det A = 4 จะได ad − bc = 4 ---- (1) x = 1

⎡ a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ a − 3 b ⎤ ดังนั้น 1 2 3 1 2 3
+ + = + + = 0
A − 3I = ⎢ ⎥ − 3 ⎢0 1 ⎥ = ⎢ c
⎣c d ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ d − 3⎥
⎦ x y z 1 −1 3
det( A − 3I ) = (a − 3)(d − 3) − bc = 0 -------------------------------------------------------------------------
= ad − 3a − 3d + 9 − bc = 0
23) ตอบ 4
= (ad − bc) + 3a − 3d + 9 = 0 ---- (2)
⎡3 4⎤
2A − B = ⎢ − − − (1)
⎣3 6⎥
⎦
แทน ad − bc = 4 ใน (2) จะได
⎡ −1 2⎤
A + 2B = ⎢ − − − (2)
4 − 3a − 3d + 9 = 0 ⎣4 −2 ⎥
⎦
4 + 9 = 3a + 3d ⎡6 8⎤
4 A − 2B = ⎢ − − − (3)
12 ⎥
(1) x 2
3a + 3d = 13 ---- (2) ⎣6 ⎦
⎡ 5 10 ⎤ ⎡1 2 ⎤
(2) + (3) 5A = ⎢ ⎥ ; A=⎢ ⎥
⎡a b ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡ a + 3 b ⎤ ⎣10 10 ⎦ ⎣2 2⎦
A + 3I = ⎢ ⎥ + 3 ⎢0 1 ⎥ = ⎢ c
⎣c d ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ d + 3⎥
⎦ ⎡1 2 ⎤
แทน ; A = ⎢ ⎥ ใน (1)
⎣2 2⎦
ตองการหา det( A + 3I )
det( A + 3I ) = (a + 3)(d + 3) − bc ⎡1 2⎤ ⎡3 4 ⎤
2⎢ ⎥ − B = ⎢3 6 ⎥
⎣2 2⎦ ⎣ ⎦
= ad + 3a + 3d + 9 − bc

= (ad − bc) + (3a + 3d ) + 9 ⎡ 1 2 ⎤ ⎡3 4 ⎤
B = 2⎢ ⎥−⎢ ⎥
แทนคา ad − bc = 4 และ 3a + 3d = 13 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣3 6 ⎦
= 4 + 13 + 9
= 26 ⎡ −1 0 ⎤
B=⎢ ⎥
------------------------------------------------------------------------- ⎣ 1 −2 ⎦
22) ตอบ 1
⎡1 2 ⎤ ⎡ −1 0 ⎤ 1 −4 ⎤
x, y , z ∈ ดังนั้น AB = ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎡
⎢ ⎥
⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ 0 −4 ⎦
2x − 2 y − z = 1 − − − (1)
x − 3y + z = 7 − − − (2) ⎡ −4 4 ⎤
1
( AB ) −1 =
− x + y − z = −5 − − − (3) 1(−4) − (−4)(0) ⎢ 0 1 ⎥
⎣ ⎦
(2) + (3) −2 y = 2 ; y = −1
−2 x + 2 y − 2 z = −10 − − − (4) ⎡ 1 −1 ⎤
(3) x 2 1 ⎡ −4 4 ⎤ ⎢
1⎥
−1
( AB) = ⎢ 0 1⎥ = ⎢
(1) + (4) −3 z = −9 ; z =3 −4 ⎣ ⎦ 0 − ⎥
⎣ 4⎦
แทนคา y = −1 และ z =3 ใน (1) -------------------------------------------------------------------------
2 x − 2(−1) − (3) = 1 24) ตอบ 4


กําหนด u และ v เปนเวคเตอร 1 หนวย จะได | u |=| v |= 1 = | i + 2−i |
และ 3u + v ตั้งฉากกับ u + 3v =2
1
จะไดวา (3u + v ).(u + 3v ) = 0 กรณีแทน z 2 = −i = |( − i ) + 2 +
(−i )
|

3 | u |2 +9u .v + u .v + 3 | v |2 = 0 = | −i + 2+i |
3(1) + 10u .v + 3(1) = 0 =2
10u .v = −6 -------------------------------------------------------------------------

และ | 5u − v |2 = 25 | u |2 −10u.v + | v |2
| 5u − v |2 = 25(1) − (−6) + (1) 27) ตอบ 1
| 5u − v |2 = 32 กําหนด z1 = a + bi , z2 = c + di
| 5u − v |= 4 2 จาก | z1 + z2 |= 3 จะได | (a + bi ) + (c + di) |= 3
------------------------------------------------------------------------- | (a + c) + (b + d )i |= 3
25) ตอบ 2 (a + c) 2 + (b + d ) 2 = 9
กําหนด | u.v |≠| u || v | a 2 + 2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 = 9 − − −(1)
จาก u .v =| u || v | cos θ แสดงวา cos θ ≠ 1
จะไดวา u ไมขนานกับเวคเตอร v จาก z1 z2 = 3 + 4i จะได (a + bi )(c − di ) = 3 + 4i
a (v − 2u ) + 3u = b(2u + v ) ac − adi + bci − bdi 2 = 3 + 4i
av − 2au + 3u = 2bu + bv ac − adi + bci − bd (−1) = 3 + 4i
(−2a + 3 − 2b)u = (b − a)v (ac + bd ) + (bc − ad )i) = 3 + 4i

จะไดวา −2a + 3 − 2b = 0 − − − (1)
ดังนั้น ac + bd = 3 − − −(2)

b−a =0 − − − (2) และ bc − ad = 4 − − −(3)
จาก (2) จะได b = a และ แทน b = a ใน (1)
จาก (1) จะได a 2 + c 2 + b 2 + d 2 = 9 − 2(ac + bd )
−2 a + 3 − 2 a = 0
−4a = −3 แทน ac + bd = 3 ; a 2 + c 2 + b 2 + d 2 = 9 − 2(3)
3
a= a 2 + c2 + b2 + d 2 = 3
4
-------------------------------------------------------------------------
ตองการหา | z1 |2 + | z2 |2 = | (a + bi) |2 + | (c + di) |2
26) ตอบ 2
จาก z4 +1 = 0 = ( a 2 + b 2 ) + (c 2 + d 2 )
( z 2 − i )( z 2 + i ) = 0 =3
z = ±i 2 -------------------------------------------------------------------------
1 2
| z + | = | z2 + 2 + 2 |
1 28) ตอบ 3
z z
1 สมการวัตถุประสงค P = 5 x + 4 y
กรณีที่ 1 แทน z 2 = i = |(i ) + 2 + |
(i ) สมการเงื่อนไข x + y ≤ 40


3x + 2 y ≤ 60 แสดงวา an ตองอยูในรูป 5n + k
x ≥ 0, y ≥ 0 จาก an = 5n + k
a7 = 5(7) + k
หาจุดตัดแกน X (แทนคา y = 0 )
50 = 5(7) + k
หาจุดตัดแกน Y (แทนคา x = 0 ) k = 15
หาจุดตัดของเสนตรง 2 เสน คือการแกสมการเชิงเสนสองตัว ดังนั้น an = 5n + 15
แปร a100 = 5(100) + 15 = 515
-------------------------------------------------------------------------
Y
30) ตอบ 4
(0,30) ⎛ 2n k ⎞
A = lim ⎜
n →∞ 1 + 8 + 27 + .. + n 3 ⎟
เปนจํานวนจริงบวก
⎝ ⎠
(0, 20) (10,15) ⎛ ⎞
⎜ k ⎟
X ⎜ 2n ⎟
A = lim
n →∞ ⎜
⎡ n(n + 1) ⎤ ⎟
2

(20, 0) (40, 0) ⎜⎢ ⎥ ⎟
⎝⎣ 2 ⎦ ⎠
x + 2 y = 40 ⎛ 8n k
A = lim ⎜ 2
⎞
2 ⎟
3 x + 2 y = 60 n →∞ n ( n + 1)
⎝ ⎠

⎛ 8n k ⎞
P = 5x + 4 y
A = lim ⎜ 4
n →∞ n + 2n + n
3 2 ⎟
จะได k=4
⎝ ⎠
(0, 20) P = 5(0) + 4(20) = 80 A=8
(10,15) P = 5(10) + 4(15) = 110 -------------------------------------------------------------------------
(20, 0) P = 5(20) + 4(0) = 100 31) ตอบ 3
คาสูงสุดของ P คือ 110 ∞
1
∑n − n2
4
=A
------------------------------------------------------------------------- n=2
∞
1
29) ตอบ 2 ∑ (n2 − 1)n2 = A
n=2
an เปนลําดับเลขคณิต ∞
⎡ 1 1⎤
a9 + a5 = 100 ∑ ⎢ (n2 − 1) − n2 ⎥ = A
n=2 ⎣ ⎦
(a7 + 2d ) + (a7 − 2d ) = 100 ∞
1 ∞
1
2a7 = 100 ∑ (n2 − 1) − ∑ n2 = A
n=2 n=2
a7 = 50 ∞
1 ∞
1
∑ (n − 1)(n + 1) − ∑ n2 = A
n=2 n=2
an − a1 ∞ ∞
และ )=5 1 1
lim(
n →∞ n ∑ n2 = ∑ (n − 1)(n + 1) − A
n=2 n=2
a a
lim( n ) − lim( 1 ) = 5
n →∞ n n →∞ n
พิจารณา
∞
1
a
lim( n ) = 5 =∑
n →∞ n n = 2 ( n − 1)( n + 1)


1 1 1 1 1 1
= + + + + + + ...
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8
⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡ 1 1 1 ⎤
33) ตอบ 4
=⎢ + + + ...⎥ + ⎢ + + + ...⎥
⎣1.3 3.5 5.7 ⎦ ⎣ 2.4 4.6 6.8 ⎦ f (1) = g (1) = h(1) =1 และ f '(1) = g '(1) = h '(1) = 2
1 ⎡1 ⎤ 1 ⎡1⎤ ( fg + h) '( x) = ( fg ) '( x) + h '( x)
= ⎢1 ⎥ + (4 − 2) ⎢ 2 ⎥
(3 − 1) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= [ f ( x) g '( x) + g ( x) f '( x)] + h '( x)
1 1 3
= (1 + ) =
2 2 4 ( fg + h) '(1) = ( f (1) g '(1) + g (1) f '(1)) + h '(1)
= [(1)(2) + (1)(2)] + (2)
=6
-------------------------------------------------------------------------
∞ ∞
จาก ∑ 12 = ∑ 1
−A
n n=2 (n − 1)(n + 1)
n=2
∞
1 3
∑n
n=2
2
=
4
−A
34) ตอบ 4
------------------------------------------------------------------------- y = 2 x3 −
1
x
32) ตอบ 2 1
กําหนด f '( x) = 3x 2 + x − 5 , f (0) = 1 แทน x = 1; ได y = 2(1)3 − =1
1
จาก ∫ f '( x)dx = ∫ (3x + x − 5)dx
2
f ( x) = 2 x − x
3
−
1
2

2
x 1 −3
f ( x) = x3 + − 5x + c f '( x) = 6 x 2 − (− ) x 2
2 2
(0) 2 1 −3
แทน x = 0 ; f (0) = (0)3 + − 5(0) + c f '( x) = 6 x + x 2
2
2 2
1= c 1 − 3 13
แทน x = 1; f '(1) = 6(1) + (1) 2 = 2

x2 2 2
ดังนั้น f ( x) = x + − 5 x + 1
3

2 ดังนั้นเสนสัมผัสเสนโคงมีความชัน = 13
1 1
x 2 2
∫1 f ( x)dx = −∫1 ( x + 2 − 5 x + 1)dx
3

−

=
x 4 x3 5 x 2
+ − +x
1 เสนตรงที่ตองการซึ่งตั้งฉากจะมีความชัน = − 2
4 6 2 −1 13
และผานจุด (1,1)
⎡ (1) 4 (1)3 5(1) 2 ⎤
=⎢ + − + (1) ⎥ สรางสมการเสนตรง y − y1 = m( x − x1 )
⎣ 4 6 2 ⎦
2
⎡ (−1) (−1) 5(−1) 2
4 3
⎤ y − 1 = − ( x − 1)
−⎢ + − + (−1) ⎥ 13
⎣ 4 6 2 ⎦
13 y − 13 = −2 x + 2
⎡1 1 1 1 5 5 ⎤
= ⎢ − + − (− ) − − (− ) + 1 − (−1) ⎥
⎣4 4 6 6 2 2 ⎦ 2 x + 13 y − 15 = 0

=
7 -------------------------------------------------------------------------
3
35) ตอบ 2
-------------------------------------------------------------------------
ตองการสรางเลขคู 4 หลัก จากเลขโดด 0,1, 2,3, 7,8


กรณีที่ 1 เปนเลขคูลงทายดวย 0 = ( S , C , K ) + ( S , C , M ) + ( S , K , M ) + (C , K , M )

≠0 0 ⎛ 5 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠
5 4 3 1 = 60 ⎛13 ⎞
⎜ ⎟
กรณีที่ 2 เปนเลขคูลงทายดวย 2 หรือ 8 ⎝3⎠
40 + 40 + 20 + 16
≠0 2,8 =
13.12.11

4 4 3 2 = 96 58
3.2.1
=
143
จํานวนวิธีทั้งหมด 60 + 96 = 156 -------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------

36) ตอบ 3
จํานวนตั้งแต 100-999 ที่หาร 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัว
38) ตอบ 1

A = {(0, n) / n ∈1, 2,3,...,10}
B = {(1, n) / n ∈1, 2,3,...,10}
÷2 ÷6 ÷3
Y
10

8
= n( หารดวย 2 ตัว ) − n( หารดวย 2 และ 3 ตัว )
6
= n( หารดวย 2 ตัว ) − n( หารดวย 6 ตัว )
⎡ 999 100 ⎤ ⎡ 999 100 ⎤ 4
=⎢ − + 1⎥ − ⎢ − หมายเหตุ: เศษปดทิ้ง
⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 6 6 ⎥
⎦
2
= [ 499 − 50 + 1] − [166 − 16] X
= 450 − 150
2
= 300
------------------------------------------------------------------------- จากรูปตองการสรางสามเหลี่ยมที่มีพ้นที่ 1 ตารางหนวย
ื
37) ตอบ 2 มี 2 ขั้นตอนคือ
ลูกกวาด รสสตรอเบอรี่ 5 ลูก (S ) รสชอคโกแลต 4 ลูก (C ) 1 เลือก 2 จุดที่ทําใหฐานมีความยาว 2 หนวย เลือกได 8 แบบ
รสกาแฟ 2 ลูก ( K ) รสมินท 2 ลูก ( M ) 2 เลือก 1 จุดที่มาทําเปนจุดยอด เลือกได 10 จุด
หยิบมา 3 ลูกรสแตกตางกันหมดเกิดได 4 กรณี


p ( สามเหลี่ยมที่มพื้นที่ 1 หนวย ) =
ี
8.10 ความสูง(cm) จํานวนนักเรียน ความถี่สะสม
⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ 120-129 10 10
⎝ 2 ⎠⎝ 1 ⎠
8 130-139 20 30
=
45 140-149 30 70
-------------------------------------------------------------------------
150-159 50 120
39) ตอบ 4
160-169 30 150
ถุงเทาสี ขาว (W ) 4 คู สีดํา ( B) 3 คู สีน้ําเงิน ( S ) 2 คู
หยิบมา 2 ขาง ความนาจะเปนที่ไดถุงเทาสีเดียวกัน
พิจารณาตัวเลือก 1

p ( ไดสีเดียวกัน ) = p (W ,W ) + p ( B, B) + P( S , S )
ตําแหนงมัธยฐาน = 150 = 75
2
⎛8⎞ ⎛6⎞ ⎛ 4⎞ เลือกชั้น 150 − 159
⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟
=⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 ⎡N ⎤
⎛ 18 ⎞ ⎢ 2 − ∑ fL ⎥
⎜ ⎟ Med = L + I ⎢ ⎥
⎝2⎠ ⎢ fm ⎥
49 ⎣ ⎦
= ⎡ 75 − 70 ⎤
153 = 149.5 + 10 ⎢
------------------------------------------------------------------------- ⎣ 50 ⎥ ⎦
= 149.5 + 1
Med = 150.5

40) ตอบ 3
10

∑r i
วงกลม 10 วงมีคาเฉลี่ยเลขคณิต r= i =1
=3
10
N

∑r i
2
และมีความแปรปรวน s =
2 i =1
− (r ) 2

N เลือกชั้นที่มีความถี่สูงสุด คือ 150 − 159

จุดกึ่งกลางชั้น = 150 + 159 = 154.5
10

∑r i
2
Mode =
2
5= i =1
− (3) 2
10
10

∑r
i =1
i
2
= 140 พิจารณาตัวเลือก 3
3(150)
ตําแหนง Q3 = = 112.5
10 10
4
ผลรวมของพื้นที่วงกลม ∑ π ri 2 = π ∑ ri 2 = 140(π ) ⎡ rN ⎤
i =1 i =1 ⎢ 4 − ∑ fL ⎥
Qr = L + I ⎢ ⎥
------------------------------------------------------------------------- ⎢ fQr ⎥
⎣ ⎦
41) ตอบ 3
⎡112.5 − 70 ⎤
Q3 = 149.5 + 10 ⎢ ⎥
⎣ 50 ⎦


= 158

ตําแหนง P20 = 20 N 20(150)
= = 30
z2
100 100 z1
ซึ่งตรงกับความถี่สะสมในชั้น 130 − 139 x1 x2
ดังนั้น P20 = ขอบบนของชั้น = 139.5 โจทยกําหนด x1 + x2 = 4SD
------------------------------------------------------------------------- x1 + x2
= 2SD
42) ตอบ 2 2
x = 2 SD
0.3 0.3
1 SD
=
2 x
SD
= 0.5
15, 000 20, 000 25, 000 x
เอก ยศ -------------------------------------------------------------------------
จํานวนพนักงานที่นอยกวาเอก 30% 45) ตอบ 4
43) ตอบ 3 ความสัมพันธเชิงฟงกชัน
สารปนเปอนชนิดที่ 1 (X)
0.3
0.1314 สารปนเปอนชนิดที่ 2 (Y)
0.3686 กําหนด S X = 1.75,
2
y = 0.5,
100 100

y x ∑ xi yi = 100,
i =1
∑x i =1
2
i = 200
0.5 + 0.8643 = 0.8643 z x = 1.12 N

∑x 2
i
จากสูตร SX =
2 i =1
− ( x )2
y นอยกวา z อยู 0.2SD N
200
ดั้งนั้น z y = 1.12 − 0.02 = 1.10 1.75 = − ( x )2
100
จํานวนขอมูลที่นอยกวา y คือ = 86.43%
x 2 = 0.25
-------------------------------------------------------------------------
x = 0.5
44) ตอบ 1 N

โจทยกําหนด z1 + z2 = 0 ∑x i
จากสูตร x= i =1

N
แสดงวา z2 = − z1 N 100

∑ xi = Nx
i =1
∑x
i =1
i = 100(0.5) = 50
N

∑y i
จากสูตร y= i =1

N


N 100
1 a −1
∑yi =1
i = Ny ∑y
i =1
i = 100(0.5) = 50
an +1
= n
an
จากสมการ Y = a + bX an +1 = n
a
100 100 100 an − 1
∑ yi = ∑ a + b∑ xi
i =1 i =1 i =1

1 1
50 = 100a + 50b − − (1) กําหนด + =1 − − (1)
100 100 100 an an +1
∑ xi yi = a∑ xi + b∑ xi2
i =1 i =1 i =1 (แทน n ดวย n + 1 ) จะได 1
+
1
= 1 − − (2)
an +1 an + 2
100 = 50a + 200b − − (2)
1 1
(1) − (2) − =0
(2) x 2 200 = 100a + 400b − − (3) an an + 2
(3) − (1) 150 = 350b 1 1
=
3 an an + 2
b=
7 an = an + 2
3 3
แทน b = ใน (1) ; 50 = 100a + 50( ) เพราะฉะนั้น a1 = a3 = a5 = ... = a99
7 7
a=
2 และ a2 = a4 = a6 = ... = a100
7
จาก (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + ... + (a99 + a100 ) = 250
จะไดความสัมพันธเชิงฟงกัชนคือ Y = 2 + 3 X
ั
7 7 50(a1 + a2 ) = 250
2 3
X =4 ; Y = + (4) = 2 (a1 + a2 ) = 5 − − (3)
7 7
------------------------------------------------------------------------- กําหนด a1 = x จาก an+1 = an จะได a2 =
x
an − 1 x −1
46) ตอบ 1 แทนคา a1 และ a2 ลงในสมการ (3)
f :{1, 2,..., n} → {1, 2,..., n} สอดคลองกับเงื่อนไข x
x+ =5
f (1) + f (2) + ... + f (n) = f (1) f (2)... f (n) x −1
x( x − 1) + x
แทนคา f (1) + f (2) + f (3) = f (1) f (2) f (3) =5
x −1
3 + 2 + 1 = 3.2.1 x( x − 1) + x = 5( x − 1) ,x ≠5
คามากสุดของ f (1) − f (n) = f (1) − f (3) x2 − x + x = 5x − 5 ,x ≠5
= 3 −1
x2 − 5x + 5 = 0 ,x ≠5
= 2
−(−5) ± (−5) 2 − 4(1)(5)
( ขอนี้ถาพิสูจนตรงจะยาว เอาเปนแทนคาละกัน ) x=
2(1)
------------------------------------------------------------------------ 5± 5
x=
2
47) ตอบ 3 5± 5
a1 =
2
1 1
จากโจทย + =1
an an +1
1 1 จากสมการ (3) a1 + a2 = 5
= 1−
an +1 an


5± 5
+ a2 = 5
2
49) ตอบ 2
5± 5
a2 = 5 − คําตอบเปนไปได 2 กรณี
2
5∓ 5 ลําดับที่ 1 2 3 4 5
a2552 = a2 =
2 กรณีที่ 1 : ก ข ง ค จ
5∓ 5 5
โจทยตองการหา | a2552 − 2.5 | = | − | กรณีที่ 2 : จ ข ง ก ค
2 2
5 5 5 ------------------------------------------------------------------------
| a2552 − 2.5 | = | ∓ − |
2 2 2 50) ตอบ 3
| a2552 − 2.5 | = | ∓
5
| คําตอบเปนไปได 2 กรณี
2
5
กรณีที่ ง เขาเปนอันดับ 2
| a2552 − 2.5 | =
2 ลําดับที่ 1 2 3 4 5
------------------------------------------------------------------------ ครั้งที่ 1 : ก ง ข ค จ ; ข ได 6 คะแนน
48) ตอบ 1 ครั้งที่ 2 : จ ง ข ค ก ; ข ได 6 คะแนน
A, B, C ≤ 100 กรณีทั่วไป
A+ B = C − − −(1) ครั้งที่ 3 ข ; ข ได 8 คะแนน
B + C = 2A ครั้งที่ 4 ข ; ข ได 8 คะแนน
จัดรูป 2A − B = C − − −(2) ครั้งที่ 5 ข ; ข ได 8 คะแนน
(1) − (2) − A + 2B = 0 ครั้งที่ 6 ข ; ข ได 8 คะแนน
A = 2B และ A ≤ 100 รวมได 6(2) + 8(4) = 44 คะแนน
2 B ≤ 100 ------------------------------------------------------------------------
B ≤ 50

(1) x 2 2 A + 2 B = 2C − − −(3)
(3) − (2) 3B = C
C = 3B และ C ≤ 100
3B ≤ 100
100
B≤ ≤ 33
3
ดังนัน B ≤ 50 และ B ≤ 33 สรุป B ≤ 33
้
------------------------------------------------------------------------

Ans pat 1-2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (14)

Similar to Ans pat 1-2

Similar to Ans pat 1-2 (20)

More from ทิวา อินต๊ะวงศ์

More from ทิวา อินต๊ะวงศ์ (8)

Ans pat 1-2