Release2.2

14,370 views

Published on

หนังสือสอนคณิตจ้า

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
14,370
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
188
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Release2.2

  1. 1. ใช้ดีถูกใจอย่าลืมอุดหนุนฉบับตีพมพ์เป็นเล่มด้วยนะครับ ิ * เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทย์แบบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทัง 14 ฉบับ (2541-2548) ้ * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคด และเรืองที่น่ารู้อกมากมาย.. ี ิ ่ ี เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย Release 2.2เซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผลระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวนเรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์/ฟังก์ชันกําหนดการเชิงเส้นฟังก์ชันตรีโกณมิติเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทมึเมตริกซ์ เวกเตอร์จํานวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกราฟลําดับ/อนุกรม ลิมิต/ความต่อเนื่องอนุพันธ์/การอินทิเกรต สถิติความน่าจะเป็น คณิต มงคลพิทักษ์สุข http://math.reads.it วศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม) kanuay@thai.com
  2. 2. 2Math E-BookRelease 2.2เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุขเผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ตที่เว็บไซต์ http://math.reads.it และไทยแวร์ดอตคอมRelease 2.0 13 ตุลาคม 2548Release 2.1 28 ธันวาคม 2548Release 2.2 14 มิถุนายน 2549ตีพิมพ์ครั้งแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET”โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต)ราคาปก 159 บาทสงวนลิขสิทธิตามกฎหมาย ์ห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเว้นแต่ได้รับอนุญาตฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายแล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯร้านซีเอ็ด ร้านขายแบบเรียนทั่วไป และ ถนนราชดําเนิน ตรอกสาเกธรรมบัณฑิต โรงแรม รัตนโกสินทร์ 7-Eleven ร้านธรรมบัณฑิต วัดบูรณศิริ3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอด ถนนอัษฎางค์ คลองหลอด ไปกระทรวงมหาดไทยสนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 แม่ธรณี แผงหนังสือ กระทรวงธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลาน สนามหลวงเดิม ยุติธรรมในนาม ผู้จัดการ สนามหลวงโทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884
  3. 3. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3 ¤íÒªÕé樧 ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนือหาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้น ้พื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชันที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับ ้ที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจได้ทันที แต่บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พนฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการ ื้สับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี้ ตรรกศาสตร์ เซต ระบบจํานวนจริง ความน่าจะเป็น เมตริกซ์ ทฤษฎีกราฟ พื้นฐาน ฟังก์ชัน เรขาคณิตวิเคราะห์ เวกเตอร์ เพิ่มเติม กําหนดการเชิงเส้น จํานวนเชิงซ้อน สถิติ ลําดับ+อนุกรม ตรีโกณมิติ ลิมิต+ความต่อเนื่อง เอกซ์โพ.+ลอการิทึม อนุพันธ์+อินทิเกรต นอกจากนีในตอนท้ายยังมี ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14 ้ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วย ในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคด กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย ิเฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนันๆ ไม่ได้แสดงวิธีทํา ้อย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผอ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไป ู้พร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อานได้ให้เวลาทําความเข้าใจเนือหา ่ ้อย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะติดตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คอ หากมีข้อสงสัยให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ ืควรปล่อยให้ตดค้างอยู่ :] ิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  4. 4. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบัน โจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมากส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียนลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชาเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี (1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธีครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้(ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :](ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!) (2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย (ถ้านั่งฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกับเรียนว่ายน้ําทางทีวีนั่นแหละครับ) ยิ่งทําโจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซึ้งในวิชานั้นสอนกันไม่ได้ อีกสิ่งหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเครื่องมือช่วยแก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่าเนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทําข้อสอบได้ดีขึ้นครับ.. นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนวันนี้ (ตุลาคม 2548) ใช้เวลาถึง 2 ปี และหนังสือเล่มนีคงจะยังไม่ ้สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทังหมดนีครับ.. ้ ้ - อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณอ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีในการสอน - ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง - ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน - ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรื่องข้อสอบพื้นฐานวิศวะ - น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลายที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย์, เภา, ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย - ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” แห่งฟู้ดเซ็นเตอร์ชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า คนเราควรทํางานในหน้าทีของตัวเองให้ดีที่สุด แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมื่อสองปีที่แล้ว! ่ - Thaiware.com, se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดี มีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@thai.comและสอบถามปัญหาต่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.itยินดีตอบทุกปัญหาครับ :] ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  5. 5. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5 ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹Ãٌ (e¹×éoËÒ·Õè㪌Êoº O-NET / A-NET) ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เป็นต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปลี่ยนระบบเป็นแอดมิสชันส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเป็น 4 ส่วน ่1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย [10%]2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%]3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%] เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซึ่งนักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.64. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%] เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมีวิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้นวิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ...นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปีหมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 ครั้ง ปลายเดือนกุมภาพันธ์(2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย(3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET) ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา- สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20%- สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20%- สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14%- สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8%- สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8%- สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7%- สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7%- สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอนรายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS)http://www.ntthailand.com Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  6. 6. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6 หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET)บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด)บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง (ทังหมดยกเว้นหัวข้อ 2.2 และ 2.5) ้บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5)บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5)บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9)บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1)บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์)บทที่ 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6)บทที่ 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ) หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรับข้อสอบ A-NET)คือทุกหัวข้อในหนังสือเล่มนี้รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก่บทที่ 2 การหารสังเคราะห์บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิตบทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4)บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  7. 7. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7 ÊÒúa­ เรื่อง หน้าบทที่ 1 เซต 11 1.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 12 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 15 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต 21บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 31 2.1 สมบัติของจํานวนจริง 32 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 36 2.3 อสมการ 39 2.4 ค่าสัมบูรณ์ 44 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 48เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 58บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 60 3.2 สัจนิรันดร์ 63 3.3 การอ้างเหตุผล 65 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 67 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 69เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 83 4.1 เบื้องต้น : จุด 84 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 86 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 92 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 94 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 96 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 99 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 102บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 119 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 120 5.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 121 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ 124 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  8. 8. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8 เรื่อง หน้า 5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 127 5.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 131เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 157 7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 158 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 160 7.3 สมการตรีโกณมิติ 162 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 165 7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 166 7.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 169 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 171 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 172 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 173บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 187 8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 187 8.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 191 8.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 192 8.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 195เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 206 9.2 ดีเทอร์มินันต์ 208 9.3 อินเวอร์สการคูณ 211 9.4 การดําเนินการตามแถว 215 9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 216บทที่ 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 228 10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 230 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 231 10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 233 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 235 10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 237 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 250 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  9. 9. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9 เรื่อง หน้าบทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 251 11.1 การคํานวณเบื้องต้น 252 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 254 11.3 รูปเชิงขั้ว 256 11.4 สมการพหุนาม 259เรื่องแถม ใช้จานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ํ 268บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 270 12.2 กราฟออยเลอร์ 272 12.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 274บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 279 13.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 280 13.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 282 13.3 อนุกรมและซิกม่า 284 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 285บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 295 14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 296 14.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 298 14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 300เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 307 15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 307 15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 309 15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 312 15.4 สูตรในการอินทิเกรต 317 15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 319เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 333 16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 333 16.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 335 16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 337 16.4 การนับในกรณีอื่นๆ 339 16.5 ทฤษฎีบททวินาม 341 16.6 ความน่าจะเป็น 345เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน 358 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  10. 10. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10 เรื่อง หน้าบทที่ 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 360 17.2 ค่ากลางของข้อมูล 363 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 374 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 378 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 383 17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 388ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403 ฉบับที่ | ตุลาคม 2541 408 ฉบับที่ | มีนาคม 2542 417 ฉบับที่ | ตุลาคม 2542 426 ฉบับที่ | มีนาคม 2543 435 ฉบับที่ | ตุลาคม 2543 444 ฉบับที่ | มีนาคม 2544 453 ฉบับที่ | ตุลาคม 2544 462 ฉบับที่ | มีนาคม 2545 471 ฉบับที่ | ตุลาคม 2545 481 ฉบับที่ | มีนาคม 2546 492 ฉบับที่ | ตุลาคม 2546 502 ฉบับที่ | มีนาคม 2547 512 ฉบับที่ | ตุลาคม 2547 523 ฉบับที่ | มีนาคม 2548 532สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 541ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (17 ปี)(เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 542 ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 573โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ข้อ) 588 ชุดที่ 2 (35 ข้อ) 606ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น 616ดรรชนี 657 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  11. 11. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 11 เซต { s,e,t } º··Õè 1 e«µ “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะ เรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซต ของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซต ของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือ Member) นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่า A = { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรือ B = {0, 1, −1, 2, −2}การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกล่าวได้ว่า C = Dสมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ) E = {4, 5, 6, 7, ..., 32}หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  12. 12. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 12 เซต เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (Finite S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! SSet) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n (A) e«µµ‹o仹ÕÁ¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Òã´ é Õíเช่นในตัวอย่างข้างต้น n (A) = 7 , n (B) = 5 , n (C) = 3 , {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)}n (E) = 29 นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า ¤Òµoº¤×o 5 µaÇ ä´Œæ¡‹ e«µÇ‹Ò§, eÅ¢ 0, íเซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ù‹oa¹´aº (4,5) ¹a蹤×oe«µ¹aºe»š¹ 1 ¤Ù‹oa¹´aº¹aºe»š¹ 1นั่นคือ n (∅) = 0 {(1, 2),(2, 1 {1, 2}, {2, 1}} ), เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซต ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´Œæ¡‹ ¤Ù‹oa¹´aº (1,2), ¤Ù‹อนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2}G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 (¤Ù‹oa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oNjҵ‹Ò§¡a¹ 测e«µ 1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oNjÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹ F = {1, 0, −1, −2, −3, ...} , n (F) หาค่าไม่ได้ µŒo§¹aº«éÒ¹a¤Ãaº) í G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } คือ e«µ¢o§ª×o¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õé èG = { x | 0 < x < 1} e»š¹e«µ¨Ò¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×o í e«µ¨Ò¡a´¤Ãaº ¶Ö§æÁŒ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇ‹Ò íอ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไข) ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 测¡çäÁ‹ÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a.. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ Gสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต Uนั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก Uเช่น ถ้า U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7}แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U = เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...} การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ ( R )เช่น H = { x | x > 0 } มีความหมายเดียวกับ H = { x ∈ R | x > 0 } 1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซต สับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ Aและ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A ตัวอย่างเช่น A = {m, p, r, w}จะมีเซต B ที่ทาให้ B ⊂ ํ A ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้∅{m} {p} {r} {w} S ¢ŒoÊa§e¡µ! S{m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} »Ãao¤ {a, b} ⊂ A{m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò a ∈ A æÅa b ∈ A{m, p, r, w} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  13. 13. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13 เซตข้อควรทราบ1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A ⊂ A3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2 n แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 2 4 = 16 )4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง 2 n − 1 แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับเซตใดๆ (นั่นคือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับเซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วย เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) S ¢ŒoÊa§e¡µ! Sดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัวเช่นในตัวอย่าง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A)จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò {a, b} ⊂ A ¹a蹤×o a ∈ A æÅa b ∈ Aเพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่(กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3) ⎛n⎞ n!มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทังสิ้น ้ ⎜r ⎟ = ชุด ⎝ ⎠ (n −r)! ⋅ r !โดยที่ x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ xเช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว 7อยู่ ⎛ 3 ⎞ = 7 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 35 แบบ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1⋅2 ⋅ 3• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S ก. A = {a} ¹Œo§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËNjҧ ∅ ¡aº {∅} 1ตอบ มีสับเซต 2 = 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a} Njҵ‹Ò§¡a¹o‹ҧäà ...ดังนั้น P (A) = {∅, {a}} ∅ (e«µÇ‹Ò§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å‹o§e»Å‹Òæ äÁ‹ ข. B = {a, b} ÁÕoaäÃoÂً㹹aé¹eÅ (¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Ò¡aº 0) í 2ตอบ มีสับเซต 2 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ¨ae¢Õ¹Êa­Åa¡É³e»š¹ { } ¡ç䴌ดังนั้น P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 测¶ŒÒ¶ÒÁNjҡŋo§ãºË¹Ö觫Öè§Áաŋo§e»Å‹ÒoÕ¡ ค. C = {2, 3, 5} ãºoÂً¢ŒÒ§ã¹ ¹aºe»š¹¡Å‹o§Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹ 3ตอบ มีสับเซต 2 = 8 แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , ¤Òµoº¡ç¤×oäÁ‹e»Å‹ÒæŌÇ㪋äËÁ¤Ãaº í{2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5} ¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº “e«µ¢o§e«µÇ‹Ò§” {∅}ดังนั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} «Öè§äÁ‹ä´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§oÕ¡µ‹oä»æÅŒÇ ... ËÃ×o¶ŒÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n(∅) = 0 ง. D = ∅ 0 测 n({∅}) = 1ตอบ มีสับเซต 2 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) = {∅} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  14. 14. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 14 เซต• ตัวอยาง กําหนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหหา P(E)ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}}• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา ก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A)ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A 4ดังนั้น มีเซต X ทีเ่ ปนไปไดทั้งหมด 2 = 16 แบบหากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4 ⎟ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 แบบ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A) และ n (X) < 2ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n (X) < 2 เทานั้น 4 4 4หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้ ⎛ 0 ⎞ + ⎛ 1 ⎞ + ⎛ 2 ⎞ = 1 + 4 + 6 = 11 แบบ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(แตถายังไมไดศกษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง) ึ ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ⊂ Y และ Y ⊂ Bตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y ⊂ B แปลวา2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไขY ⊂ B แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซต 3ทุกแบบของ {2, 4, 6} นันเอง จึงตอบวา 2 = 8 แบบ ่ แบบฝึกหัด 1.1(1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถ้า x ∈ A และ y ∈B แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) {x} ⊂ B (1.3) {A} ⊂ {B} (1.2) {y} ⊄ A (1.4) {A} ≠ {B}(2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.1) {∅} ∈ A (2.3) {{a}, b} ⊂ A (2.2) {∅} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แล้ว A ∈ C (3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ C Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  15. 15. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 15 เซต(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) { x | x = A } = {A} (4.3) { x | {x} ⊂ A } = {A} (4.2) { x | x ∈ A } = A (4.4) { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.3) ถ้า n (A) = 5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.4) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัวและในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.5) ∅ ∈ P (∅) (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P (∅) (7.3) ∅ ∈ {∅} (7.7) {∅} ∈ P (∅) (7.4) ∅ ⊂ {∅} (7.8) {∅} ⊂ P (∅)(8) ถ้า A = {∅, a, {b}, {a, b}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (8.1) ∅ ∈ P (A) (8.6) a ∈ P (A) (8.2) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A) (8.3) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A) (8.4) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A) (8.5) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P (A)(9) ถ้า A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A) (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A)(10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้วจงหา n (X) และ n (Y)เมื่อกําหนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A }และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้น ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æººการเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบ ·aèÇä» ¤×oãˌÁÕÊÁÒªi¡Ã‹ÇÁ¡a¹¡‹o¹สี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทน (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æŌǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃÒºขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซต NjҪié¹Ê‹Ç¹ã´äÁ‹ÁÕÊÁÒªi¡ ¤‹o¢մËÃ×oæÃe§Òสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ ·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹ŒoÂŧ¤Ãaº.. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  16. 16. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 16 เซต U U U A A B A B B A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B สมมติว่า A = {0, 1, 2, 3, 4} U B = {1, 3, 5, 7, 9} 04 1 9 B A C = {2, 3, 5, 7, 11} 2 3 57 จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ 11 C การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด U U U A A B A B B ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ Bบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้) U U U A A B A B B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A 3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ) U เซต A คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น A c หรือ A A4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − )B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B − A = B ∩ Aจะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้ U U U A A B A B Bข้อสังเกต โดยทั่วไป n (B − A) ≠ n (B) − n (A) แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  17. 17. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 17 เซตสมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต• การแจกแจง • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B) = A ∩ B A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B) = A ∪ B A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A ∪B ว่า A cup B และอ่าน A ∩B ว่า A cap B• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา(ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย) ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ Bตอบ วิธีคดตางจากตัวอยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา ิสมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกีตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Y = ∅ ) ่การอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไมใชเซตวาง นั่นเอง ใน ่ 4ขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 15 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 3บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 8 ้แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบ ข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ Aตอบ วิธีคดเหมือนขอ ก. ... นันคือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z ิ ่(มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Z = ∅ ) ที่สาคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะ ํ 2ขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 3 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 2บางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 4 แบบ ้... คําตอบขอนีตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขันตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น ้ ้ 3 × 4 = 12 แบบ ค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ Aตอบ ขอนี้งายทีสุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Z ่เลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานันที่จะอยูใน Z (กี่ ้ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงือนไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคาตอบ ่ ํ 2เปน 2 = 4 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  18. 18. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 18 เซต• ตัวอยาง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหหาคาของ ก. n (P (C)) 6ตอบ เนื่องจาก n (C) = 6 ดังนั้น n (P (C)) = 2 = 64 ข. n (P (C) − C)ตอบ n (P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นันไมไดอยูใน ้P (C) ทั้งหมด การจะคิด n (P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) กี่ตัว  เริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้นการเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา {∅} ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ ∅ ∈ C ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา  {{∅}, 0} อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือกลาววา “อยู” เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} ∉ C ... และสุดทาย {{∅, {0}}} อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเอง สรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n (P (C) − C) = 64 − 4 = 60 ค. n (C − P (C))ตอบ n (C − P (C)) ก็ไมไดคดจาก 6 − 64 ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นันอยูใน C กี่ตัว ซึ่งมี ิ ้ วิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n (C ∩ P (C)) = 4 ... ดังนั้น จึงทําใหn (C − P (C)) = 6 − 4 = 2 หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้นเราทราบวา (ขอ ก.) n (C) = 6 และ n (P (C)) = 64 2 4 60จากนั้นนับในขอ ข. วา n (C ∩ P (C)) = 4จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 C P(C) ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))]ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 + 2 = 62(นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนีไมไดซอนทับกัน) ้ แบบฝึกหัด 1.2(11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} B ∩ C = {2, 3, 5}A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แล้ว ข้อใดผิด ก. A ∩ B = {0} ข. B ∩ C = {1} ค. A ∩ C = {1} ง. B ∩ A = {2, 4}(12) ให้เขียนเซต C∪ B แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  19. 19. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 19 เซตB = {x | x หาร 3 ลงตัว } และ C = {x | x < 5}(13) [Ent’38] ถ้า A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว (13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A ∈ P (B) (13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B) (13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เป็นเท่าใด(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (14.1) ∅ = U (14.7) A ∩ A = ∅ (14.2) U = ∅ (14.8) A ∪ A = U (14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A (14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅ (14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.11) A − A = ∅ (14.6) (A ∩ B) ⊂ B (14.12) A − B = A ∩ B (15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (15.1) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A) ⊂ P (B) (15.2) ถ้า A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A ∪ C = U (15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C ≠ ∅(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪B (16.2) A − B ≠ B − A (16.6) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ A ∩B (16.3) A ∩ B = A − B (16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ A ∩B (16.4) (A ∪ B) = B − A (16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ (A ∪ B ) (17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (17.1) A − (A ∩ B) (17.6) (A ∪ B) − B (17.2) (A − B) ∪ B (17.7) (A ∩ B) − B (17.3) (A − B) ∩ B (17.8) A − (A − B) (17.4) A ∩ (A − B) (17.9) (A − B) ∩ (B − A ) (17.5) A ∪ (A − B)(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ (18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B (18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แล้ว A = B (18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B (18.4) ถ้า A = B แล้ว A = B(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A −B = A อย่างน้อย 3 กรณี Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  20. 20. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 20 เซต(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) (20.2) [A ∩ (A ∪ B)] ∪ [B ∩ (B ∪ A )] (20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ) ∪ ( A − [(A − B) ∪ (B − A)]) (20.4) [(A ∪ B) ∩ (B − C )] ∪ ([(D − E) ∩ (C − E )] ∪ (A − E )) (21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∪ C ) = U (21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ D) = C (21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B) (21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅} (21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)(22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3}ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (22.2) P (A) ∩ P (B ) ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}} (22.3) P (A ) ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}} (22.4) P (A) ∩ P (B ) ∩ P (C ) = {∅}(23) ถ้า n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18ให้หาว่า n (A ∩ B ) จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด(24) ถ้า n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = dn (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d แล้วให้หา n (A ∩ B ∩ C ∩ D) และ n (A ∪ B ∪ C ∪ D)(25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง P (C) = {∅, {a}, {c}, C} , n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 ,C ⊂ A, C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B และ b ∈ A ∩B ข้อใดผิด ก. d ∈ (A ∪ B ) ข. e ∈ (C ∪ B ) ค. b ∉ (A ∪ B ) ง. {b, e} ⊂ (A ∪ B) (26) เมื่อ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.3) P (A − B) = {∅} (26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) (26.4) P (B − A) = {∅}(27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้วจงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ](28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ (28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5} (28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  21. 21. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 21 เซต(29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} แล้วจะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ (29.1) B ⊂ X ⊂ A (29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅(30) ถ้า B ⊂ A โดย n (A) = 10 , n (B) = 4 ให้หาค่า n (C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (30.1) C = {S |B ⊂ S ⊂ A} (30.2) C = {S ⊂ A | S ∩B ≠ ∅}(31) กําหนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 3}ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X ⊂ A และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (31.1) B ∩ C ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ X (31.2) B ∩ C ⊄ X (31.4) B ∩ D ⊄ X(32) ถ้า U = {1, 2, 3, 4, ..., 8}A = U − {1} B = {2, 4, 6} และ C = {1, 7}มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B − C) ⊂ D ⊂ A(33) กําหนดให้ U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม 2A = {k | k ∈ U } และ B = { k |k ∈ U}จํานวนสมาชิกของเซต C = {x | A ∩B ⊂ x และ x ⊂ A ∪B} เป็นเท่าใด(34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e}เซต X ซึ่ง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต(35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = k}ให้หาค่า n (S) เมื่อ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5(36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n (U) = 100 , n (A ) = 40 , n (B) = 55 ,n (A ∩ B ) = 32 แล้วค่าของ n (A ∩ B ) เป็นเท่าใด 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต• โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆและมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้สําหรับ 2 เซต ·Ò¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴ŒÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº.. ín (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = + -สําหรับ 3 เซตn (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) = + + − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) - - - + Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
  22. 22. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 22 เซต• ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนกเรียนชอบเรียนวิชา ัคณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทังสองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนใน ้หองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูกี่คน วิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนักเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบเรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนีมีสวนซอนทับกัน) ้ U วิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5 “ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7 ก ข ค “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 ง ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้น Math Eng สามารถคํานวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n (M) = 12 , n (E) = 15 , และ n (M ∩ E) = 5 …ดังนั้น เราหา n (M ∪ E) ไดตามสูตร n (M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอ฀

×