11. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 11 เซต
{ s,e,t }
º··Õè 1 e«µ
“กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะ
เรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซต
ของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซต
ของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่
ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือ
Member)
นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บ
ปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสอง
แล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวน
เฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่า
A = { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }
การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma)
B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรือ B = {0, 1, −1, 2, −2}
การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน
C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกล่าวได้ว่า C = D
สมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 )
E = {4, 5, 6, 7, ..., 32}
หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
12. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 12 เซต
เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (Finite S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S
Set) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n (A) e«µµ‹o仹ÕÁ¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Òã´
é Õí
เช่นในตัวอย่างข้างต้น n (A) = 7 , n (B) = 5 , n (C) = 3 , {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)}
n (E) = 29 นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า ¤Òµoº¤×o 5 µaÇ ä´Œæ¡‹ e«µÇ‹Ò§, eÅ¢ 0,
í
เซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ù‹oa¹´aº (4,5)
¹a蹤×oe«µ¹aºe»š¹ 1 ¤Ù‹oa¹´aº¹aºe»š¹ 1
นั่นคือ n (∅) = 0
{(1, 2),(2, 1 {1, 2}, {2, 1}}
),
เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซต ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´Œæ¡‹ ¤Ù‹oa¹´aº (1,2), ¤Ù‹
อนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2}
G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 (¤Ù‹oa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oÇ‹Òµ‹Ò§¡a¹ 测e«µ
1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oÇ‹ÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹
F = {1, 0, −1, −2, −3, ...} , n (F) หาค่าไม่ได้
µŒo§¹aº«éÒ¹a¤Ãaº)
í
G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอก
เงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } คือ e«µ¢o§ª×o¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õé
è
G = { x | 0 < x < 1} e»š¹e«µ¨Ò¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×o
í
e«µ¨Ò¡a´¤Ãaº ¶Ö§æÁŒ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇ‹Ò
í
อ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไข)
ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 测¡çäÁ‹ÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a..
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ G
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G
ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต U
นั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก U
เช่น ถ้า U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7}
แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U = เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...}
การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้
โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ ( R )
เช่น H = { x | x > 0 } มีความหมายเดียวกับ H = { x ∈ R | x > 0 }
1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซต
สับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัว
ของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของ
เซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ A
และ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A
ตัวอย่างเช่น A = {m, p, r, w}
จะมีเซต B ที่ทาให้ B ⊂
ํ A ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้
∅
{m} {p} {r} {w}
S ¢ŒoÊa§e¡µ! S
{m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} »Ãao¤ {a, b} ⊂ A
{m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò a ∈ A æÅa b ∈ A
{m, p, r, w}
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
13. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13 เซต
ข้อควรทราบ
1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A
2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A ⊂ A
3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2 n แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 2 4 = 16 )
4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง 2 n − 1 แบบ
เท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับ
เซตใดๆ (นั่นคือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับ
เซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วย
เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้
เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A)
S ¢ŒoÊa§e¡µ! S
ดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัว
เช่นในตัวอย่าง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A)
จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò {a, b} ⊂ A
¹a蹤×o a ∈ A æÅa b ∈ A
เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่
(กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3)
⎛n⎞ n!
มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทังสิ้น
้ ⎜r ⎟ = ชุด
⎝ ⎠ (n −r)! ⋅ r !
โดยที่ x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ x
เช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว
7
อยู่ ⎛ 3 ⎞ = 7 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 35 แบบ
⎜ ⎟
⎝ ⎠ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1⋅2 ⋅ 3
• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของ
S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S
ก. A = {a} ¹Œo§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËÇ‹Ò§ ∅ ¡aº {∅}
1
ตอบ มีสับเซต 2 = 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a} Ç‹Òµ‹Ò§¡a¹o‹ҧäà ...
ดังนั้น P (A) = {∅, {a}} ∅ (e«µÇ‹Ò§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å‹o§e»Å‹Òæ äÁ‹
ข. B = {a, b} ÁÕoaäÃoÂÙ‹ã¹¹aé¹eÅ (¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Ò¡aº 0)
í
2
ตอบ มีสับเซต 2 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ¨ae¢Õ¹ÊaÅa¡É³e»š¹ { } ¡çä´Œ
ดังนั้น P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 测¶ŒÒ¶ÒÁÇ‹Ò¡Å‹o§ãºË¹Ö觫Öè§ÁÕ¡Å‹o§e»Å‹ÒoÕ¡
ค. C = {2, 3, 5} ãºoÂÙ‹¢ŒÒ§ã¹ ¹aºe»š¹¡Å‹o§Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹
3
ตอบ มีสับเซต 2 = 8 แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , ¤Òµoº¡ç¤×oäÁ‹e»Å‹ÒæÅŒÇ㪋äËÁ¤Ãaº
í
{2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5} ¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº “e«µ¢o§e«µÇ‹Ò§” {∅}
ดังนั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} «Öè§äÁ‹ä´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§oÕ¡µ‹oä»æÅŒÇ ...
ËÃ×o¶ŒÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n(∅) = 0
ง. D = ∅
0
测 n({∅}) = 1
ตอบ มีสับเซต 2 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) = {∅}
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
14. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 14 เซต
• ตัวอยาง กําหนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหหา P(E)
ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}}
• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา
ก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A)
ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A
4
ดังนั้น มีเซต X ทีเ่ ปนไปไดทั้งหมด 2 = 16 แบบ
หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้
⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞
⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4 ⎟ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 แบบ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A) และ n (X) < 2
ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n (X) < 2 เทานั้น
4 4 4
หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้ ⎛ 0 ⎞ + ⎛ 1 ⎞ + ⎛ 2 ⎞ = 1 + 4 + 6 = 11 แบบ
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(แตถายังไมไดศกษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง)
ึ
ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ⊂ Y และ Y ⊂ B
ตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y ⊂ B แปลวา
2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข
Y ⊂ B แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซต
3
ทุกแบบของ {2, 4, 6} นันเอง จึงตอบวา 2 = 8 แบบ
่
แบบฝึกหัด 1.1
(1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถ้า x ∈ A และ y ∈B แล้ว
ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(1.1) {x} ⊂ B (1.3) {A} ⊂ {B}
(1.2) {y} ⊄ A (1.4) {A} ≠ {B}
(2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(2.1) {∅} ∈ A (2.3) {{a}, b} ⊂ A
(2.2) {∅} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A
(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่
(3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C
(3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แล้ว A ∈ C
(3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ C
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
15. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 15 เซต
(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(4.1) { x | x = A } = {A} (4.3) { x | {x} ⊂ A } = {A}
(4.2) { x | x ∈ A } = A (4.4) { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅
(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(5.1) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ
(5.2) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ
(5.3) ถ้า n (A) = 5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ
(5.4) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว
(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัว
และในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต
(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่
(7.1) ∅ ∈ ∅ (7.5) ∅ ∈ P (∅)
(7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P (∅)
(7.3) ∅ ∈ {∅} (7.7) {∅} ∈ P (∅)
(7.4) ∅ ⊂ {∅} (7.8) {∅} ⊂ P (∅)
(8) ถ้า A = {∅, a, {b}, {a, b}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(8.1) ∅ ∈ P (A) (8.6) a ∈ P (A)
(8.2) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A)
(8.3) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A)
(8.4) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A)
(8.5) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P (A)
(9) ถ้า A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A)
(9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A)
(10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้วจงหา n (X) และ n (Y)
เมื่อกําหนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A }
และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 }
1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต
การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S
(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้น ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æºº
การเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบ ·aèÇä» ¤×oãËŒÁÕÊÁÒªi¡Ã‹ÇÁ¡a¹¡‹o¹
สี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทน (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æŌǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃÒº
ขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซต Ç‹Òªié¹Ê‹Ç¹ã´äÁ‹ÁÕÊÁÒªi¡ ¤‹o¢մËÃ×oæÃe§Ò
สองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ ·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹ŒoÂŧ¤Ãaº..
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
16. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 16 เซต
U U U
A
A B A B B
A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B
สมมติว่า A = {0, 1, 2, 3, 4} U
B = {1, 3, 5, 7, 9} 04 1 9 B
A
C = {2, 3, 5, 7, 11} 2 3 57
จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ 11
C
การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม
1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด
U U U
A
A B A B B
ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B
2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ B
บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้)
U U U
A
A B A B B
อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A
3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ' ) U
เซต A' คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A
บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น A c หรือ A A
4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − )
B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B − A = B ∩ A'
จะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้
U U U
A
A B A B B
ข้อสังเกต โดยทั่วไป n (B − A) ≠ n (B) − n (A) แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B)
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
17. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 17 เซต
สมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต
• การแจกแจง • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B) ' = A '∩ B '
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B) ' = A '∪ B '
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B)
A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)
หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A ∪B ว่า A cup B และอ่าน A ∩B ว่า A cap B
• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา
(ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย)
ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ B
ตอบ วิธีคดตางจากตัวอยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา
ิ
สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกีตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Y = ∅ )
่
การอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไมใชเซตวาง นั่นเอง ใน
่
4
ขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 15 แบบ ...
อีกเงื่อนไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง
3
บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 8
้
แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กัน
ทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบ
ข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ A
ตอบ วิธีคดเหมือนขอ ก. ... นันคือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z
ิ ่
(มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Z = ∅ ) ที่สาคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะ
ํ
2
ขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 3 แบบ ...
อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง
2
บางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 4 แบบ
้
... คําตอบขอนีตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขันตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น
้ ้
3 × 4 = 12 แบบ
ค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ A
ตอบ ขอนี้งายทีสุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Z
่
เลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานันที่จะอยูใน Z (กี่
้
ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงือนไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคาตอบ
่ ํ
2
เปน 2 = 4 แบบ
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
18. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 18 เซต
• ตัวอยาง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหหาคาของ
ก. n (P (C))
6
ตอบ เนื่องจาก n (C) = 6 ดังนั้น n (P (C)) = 2 = 64
ข. n (P (C) − C)
ตอบ n (P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นันไมไดอยูใน
้
P (C) ทั้งหมด การจะคิด n (P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) กี่ตัว
เริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้น
การเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา {∅} ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบ
สมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ
∅ ∈ C ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา
{{∅}, 0} อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือ
กลาววา “อยู” เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} ∉ C ...
และสุดทาย {{∅, {0}}} อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไป
หนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเอง
สรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n (P (C) − C) = 64 − 4 = 60
ค. n (C − P (C))
ตอบ n (C − P (C)) ก็ไมไดคดจาก 6 − 64 ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นันอยูใน C กี่ตัว ซึ่งมี
ิ ้
วิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n (C ∩ P (C)) = 4 ... ดังนั้น จึงทําให
n (C − P (C)) = 6 − 4 = 2
หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้น
เราทราบวา (ขอ ก.) n (C) = 6 และ n (P (C)) = 64 2 4 60
จากนั้นนับในขอ ข. วา n (C ∩ P (C)) = 4
จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 C P(C)
ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))]
ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 + 2 = 62
(นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนีไมไดซอนทับกัน)
้
แบบฝึกหัด 1.2
(11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} B ∩ C = {2, 3, 5}
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แล้ว ข้อใดผิด
ก. A ∩ B ' = {0} ข. B ∩ C ' = {1} ค. A ∩ C ' = {1} ง. B ∩ A ' = {2, 4}
(12) ให้เขียนเซต C'∪ B' แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้
U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
19. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 19 เซต
B = {x | x หาร 3 ลงตัว } และ C = {x | x < 5}
(13) [Ent’38] ถ้า A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว
(13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A ∈ P (B)
(13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B)
(13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เป็นเท่าใด
(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(14.1) ∅ ' = U (14.7) A ∩ A ' = ∅
(14.2) U ' = ∅ (14.8) A ∪ A ' = U
(14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A '
(14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅
(14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.11) A − A = ∅
(14.6) (A ∩ B) ⊂ B (14.12) A − B = A ∩ B '
(15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(15.1) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A) ⊂ P (B)
(15.2) ถ้า A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅
(15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅
(15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A ' ∪ C ' = U
(15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C ≠ ∅
(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪B
(16.2) A − B ≠ B − A (16.6) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ A '∩B'
(16.3) A ∩ B = A − B ' (16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ A '∩B'
(16.4) (A ∪ B) ' = B '− A (16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ (A ' ∪ B ') '
(17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด
(17.1) A − (A ∩ B) (17.6) (A ∪ B) − B
(17.2) (A − B) ∪ B (17.7) (A ∩ B) − B
(17.3) (A − B) ∩ B (17.8) A − (A − B)
(17.4) A ∩ (A − B) (17.9) (A − B) ∩ (B − A ')
(17.5) A ∪ (A − B)
(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
(18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B
(18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แล้ว A = B
(18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B
(18.4) ถ้า A ' = B ' แล้ว A = B
(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A −B = A อย่างน้อย 3 กรณี
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
20. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 20 เซต
(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด
(20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B)
(20.2) [A ∩ (A '∪ B)] ∪ [B ∩ (B '∪ A ')]
(20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ') ∪ ( A '− [(A − B) ∪ (B − A)])
(20.4) [(A ∪ B) '∩ (B − C ')] ∪ ([(D − E) ∩ (C '− E ')] ∪ (A − E ')) '
(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A '∩ B ∩ C) ∪ (B '∪ C ') = U
(21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ') ∪ (A '∩ C) ∪ (B '∩ C) ∪ (C ∩ D) = C
(21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B)
(21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅}
(21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)
(22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3}
ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ') = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
(22.2) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}}
(22.3) P (A ') ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}}
(22.4) P (A) ∩ P (B ') ∩ P (C ') = {∅}
(23) ถ้า n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18
ให้หาว่า n (A '∩ B ') จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด
(24) ถ้า n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = d
n (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d แล้ว
ให้หา n (A ∩ B ∩ C ∩ D) และ n (A ∪ B ∪ C ∪ D)
(25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง P (C) = {∅, {a}, {c}, C} , n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 ,
C ⊂ A, C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B และ b ∈ A ∩B ' ข้อใดผิด
ก. d ∈ (A ∪ B ') ' ข. e ∈ (C ∪ B ') '
ค. b ∉ (A ' ∪ B ') ' ง. {b, e} ⊂ (A '∪ B) '
(26) เมื่อ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B ' = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด
(26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.3) P (A − B) = {∅}
(26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) (26.4) P (B − A) = {∅}
(27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้ว
จงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ]
(28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ
(28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5}
(28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10}
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
21. คณิตศาสตร O-NET / A-NET 21 เซต
(29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} แล้ว
จะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ
(29.1) B ⊂ X ⊂ A
(29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅
(30) ถ้า B ⊂ A โดย n (A) = 10 , n (B) = 4 ให้หาค่า n (C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้
(30.1) C = {S |B ⊂ S ⊂ A}
(30.2) C = {S ⊂ A | S ∩B ≠ ∅}
(31) กําหนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 3}
ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X ⊂ A และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้
(31.1) B ∩ C ' ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ X
(31.2) B ∩ C ' ⊄ X (31.4) B ∩ D ⊄ X
(32) ถ้า U = {1, 2, 3, 4, ..., 8}
A = U − {1} B = {2, 4, 6} และ C = {1, 7}
มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B '− C) ⊂ D ⊂ A
(33) กําหนดให้ U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม
2
A = {k | k ∈ U } และ B = { k |k ∈ U}
จํานวนสมาชิกของเซต C = {x | A ∩B ⊂ x และ x ⊂ A ∪B} เป็นเท่าใด
(34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e}
เซต X ซึ่ง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต
(35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = k}
ให้หาค่า n (S) เมื่อ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5
(36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n (U) = 100 , n (A ') = 40 , n (B) = 55 ,
n (A ∩ B ') = 32 แล้วค่าของ n (A '∩ B ') เป็นเท่าใด
1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต
• โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆ
และมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้
สําหรับ 2 เซต ·Ò¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴ŒÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº..
í
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = + -
สําหรับ 3 เซต
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) = + +
− n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
- - - +
Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)