บทที่ 4 สมการพลังงานและสมการโมเมนตัม + คลิป (Fluid Mechanics)

กลศาสตร์ของไหล (Fluid Mechanics)
ธนสิทธิ์ พรหมพิงค์ ภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์ศรีราชา มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ วิทยาเขตศรีราชา
บทที่ 4
สมการพลังงานและสมการโมเมนตัม
(Energy and Momentum Equation)
1
การวิเคราะห์การเคลื่อนตัวของอนุภาคของของไหลที่ในสนามของ
การไหล ความดัน ความเร็วของอนุภาค รวมถึงแรงต่างๆ ที่เกิดขึ้น
จะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงเสมอ ไม่ว่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลง
ตาแหน่ง และเวลา เพื่อทาการศึกษาหาความสัมพันธ์ของตัวแปร
ต่างๆ สามารถวิเคราะห์โดยอาศัยหลักการจากสมการพื้นฐานที่
เกี่ยวข้อง 3 สมการ คือ สมการความต่อเนื่อง สมการพลังงาน และ
สมการโมเมนตัม โดยทั้งสามสมการจะอธิบายปรากฏการณ์ที่
เกิดขึ้น

SCAN ME
สแกน QR Code
เพื่อดูคลิปสอนใน Youtube

3
1 สมการพลังงานของ (Euler’s Energy equation)
พิจารณาอนุภาคของไหลรูปทรงกระบอกที่กาลังเคลื่อนที่ไปตาม streamline ดังรูปที่
รูป การเคลื่อนที่ของอนุภาคของไหลตามแนวเส้นทางการไหล

4

5
สมการนี้ถูกเรียกว่า สมการพลังงานของ Leonhard Euler

6
4.2 สมการ Bernoulli (Bernoulli’s equation)
Bernoulli ได้นาสมการพลังงานของ Leonhard Euler มาทาการอินเกรต
รูป ความสัมพันธ์ของตัวแปรเทอมต่าง ๆ ในสมการ Bernoulli

7
รูป ความสัมพันธ์ของตัวแปรเทอมต่าง ๆ
ในสมการ Bernoulli
ดังนั้นสมการของ Bernoulli ไม่ใช่สมการความสัมพันธ์ของพลังงาน แต่เป็นสมการความสัมพันธ์ของพลังงานต่อหนึ่งหน่วย
น้าหนักของของไหล

8
เมื่อพิจารณาภายใต้เงื่อนไข การไหลแบบคงที่ (Steady flow) แรง
ที่เกี่ยวข้องมีเพียงแรงโน้มถ่วงกับแรงอันเนื่องมาจากความดันของไหล
เป็นเป็นของไหลในจินตนาการ (Ideal Fluid) และอัดตัวไม่ได้
(Incompressible fluid) เมื่ออนุภาคของไหลเคลื่อนที่ไปตาม
streamline โดยไม่มีผลจากพลังงานภายนอก และการสูญเสียพลังงาน
ผลรวมของเฮดจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของเฮดอีกจุดหนึ่งเสมอ
ดังนั้นเฮดพลังงานรวมจะคงที่ตลอดความยาวของ streamline ดังรูปที่
โดยเส้นที่บอกถึงระดับของเฮดพลังงานรวมนั้นจะเรียกว่า เส้นระดับ
พลังงาน (Energy Grade Line ; E.G.L.) และเส้นที่บอกถึงระดับผลรวม
ของเฮดระดับ กับเฮดความดัน จะเรียกว่า ระดับชลศาสตร์ (Hydraulic
Grade lime ; H.G.L.) เกิดจากผลรวมของเฮดระดับกับเฮดความดัน
เรียกว่า เฮดสถิต ; Static head หรือ Piezomatic head
รูป ความสัมพันธ์ของตัวแปรเทอมต่าง ๆ ใน
สมการ Bernoulli

9
ตัวอย่าง 1 จากรูป ถังน้าสูง 1.0 ม. มีใส่น้าสูง 0.7 ม. มีรูระบายน้าอยู่
ที่ ความสูง 0.2 ม. จากก้นถัง และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 ซม. ถ้าถังมี
ขนาดใหญ่มาก (อัตราการไหลเปลี่ยนแปลงน้อยมากในขณะที่ทาการวัด)
ถ้าการสูญเสียพลังงานเกิดขึ้นน้อยมาก จงหาขนาดของอัตราการไหล

10

11
ตัวอย่าง 2 จากรูป หัวฉีดฉีดน้าจากจุด A ออกสู่อากาศที่ปลาย B โดย ที่จุด A
มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 10 ซม. และมีความดันที่มาตรวัดอ่านได้เท่ากับ 68.67 kPa
ส่วนที่จุด B มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 7.5 ซม. จงหาความเร็ว และอัตราการไหลของ
น้าที่ปลายทางออก (จุด B) กาหนดให้การสูญเสียพลังงานมีค่าน้อยมาก

12

13
ตัวอย่าง 3 ท่อ AG มีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางช่วง A-B 15 ซม. และช่วง C-G 10 ซม. มาตรวัดความดันที่จุด A อ่านค่าได้ 39.24
kPa น้าไหลจาก G ไป A ด้วยอัตรา 78.3 I/s ถ้าการสูญเสียพลังงานระหว่างการไหลเกิดขึ้นน้อยมากจงพล็อตกราฟระดับ
พลังงาน และระดับชลศาสตร์ที่จุดต่าง ๆ

14

15

16

17
การประยุกต์สมการ Bernoulli กับอุปกรณ์วัดการไหล
o Venturi Meter
Venturi Meter คือ อุปกรณ์ที่มีลักษณะเป็นท่อลดขนาด ใช้สาหรับการวัดอัตราการไหลหรือความเร็วของการไหล
โดยอาศัยหลักการของการเปลี่ยนแปลงความเร็วและความดันบริเวณคอคอด
รูป อุปกรณ์วัดการหดแบบ Venturi Meter

18
o Pitot Tube
Pitot Tube คืออุปกรณ์อย่างง่ายที่ใช้สาหรับการวัดความเร็วของการไหล มีลักษณะเป็นท่อขนาดเล็ก ที่หันปลายทางเข้า
ไปทางต้นน้า ลักษณะดังรูป
รูปที่ อุปกรณ์วัดการไหลแบบ Pitot Tube รูป ตัวอย่างอุปกรณ์วัดความเร็วของไหลที่อาศัยหลักการของท่อปิโตด

19
ตัวอย่าง 4 จากรูป คือมาตรวัดอัตราการไหลของน้า แบบ
Venturi วางตัวในแนวราบ ที่หน้าตัดที่ 1 และ 2 มีขนาดเส้น
ผ่านศูนย์กลางเท่ากับ D และ 0.5D ตามลาดับ ถ้าในหลอดมา
นอร์มิเตอร์วัดความดันสถิต สามารถอ่านค่าความแตกต่างของ
ระดับน้าได้เท่ากับ ∆h จงหาอัตราการไหลของน้าที่ผ่านมาตร
วัด โดยสมมติให้การสูญเสียพลังงานเกิดขึ้นน้อยมาก การไหล
ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาและของไหลเป็น Ideal Fluid

20

21
3 สมการพลังงาน (Energy Equation)
เนื่องจากสมการ Bernoulli เป็นสมการความสัมพันธ์ของเฮดภายใต้สมมติฐานที่ไม่มีการสูญเสียพลังงานหรือ
การแลกเปลี่ยนพลังงานระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อม แต่ในการไหลจริงของไหลอาจมีการสูญเสียพลังงานให้กับตัวกลาง
ระหว่างการเดินทาง (การสูญเสียหลัก) เช่น การไหลในท่อของไหลจะมีการสูญเสียพลังงานให้กับผนังท่ออันเนื่องมาจาก
แรงเสียดทานหรือของไหลอาจเกิดการสูญเสียพลังงานจากการเปลี่ยนแปลงความเร็วอย่างกระทันหัน (การสูญเสียรอง)
เช่น การไหลในท่อบริเวณวาล์ว และข้องอต่างๆหรือของไหลอาจเคลื่อนที่ผ่านอุปกรณ์ที่สามารถเพิ่มพลังงานให้กับระบบ
หรือตึงพลังงานออกจากระบบ (Pump and turbine) ดังนั้นในหัวข้อนี้จะเป็นการประยุกต์สมการพลังงานของ
Bernoulli กับการไหลในสถานการณ์ต่าง ๆ ดังที่กล่าวมา

22
3.1 การสูญเสียเฮดของการไหลในท่อ (Head loss)
การสูญเสียเฮดสามารถจาแนกได้เป็น 2 ประเภทดังนี้
o การสูญเสียหลัก (Major loss) เป็นการสูญเสียเฮดที่เกิด
จากแรงเสียดทานบริเวณผนังท่อหรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า
การสูญเสียเนื่องจากความฝืด สัญลักษณ์ที่ใช้คือ hf
o การสูญเสียรอง (Minor loss) เป็นการสูญเสียเฮดที่
เกิดขึ้นบริเวณที่ความเร็วของของไหลมีการเปลี่ยนแปลง
อย่างกะทันหัน ซึ่งการสูญเสียเฮดประเภทนี้มักจะเกิดขึ้น
บริเวณจุดเชื่อมต่อ ทางเข้าออกหรือจุดที่มีอุปกรณ์
ประกอบต่าง ๆ (Fitting Devices) เช่นข้อต่อ ข้องอ
ต่างๆ วาล์ว เป็นต้น สัญลักษณ์ที่ใช้คือ hm
รูป การสูญเสียเฮดของการไหลในท่อ

23
รูป การเปลี่ยนแปลงระดับพลังงาน และ ระดับชลศาสตร์ ของการไหลในท่อ

24
ตัวอย่าง 5 จากรูปจงวาดเส้นกราฟระดับพลังงาน และระดับชลศาสตร์ของระบบท่อส่งน้าที่จุดต่าง ๆ

25

26

27

28

29

30
ตัวอย่าง 6 ต้องการถ่ายน้าจากถังใบที่ 1ไปยังถังใบที่ 2 ด้วยระบบท่อลักษณะดังรูปถ้าขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางท่อเท่ากับ 2.5
c.m. การสูญเสียพลังงานหลัก และการสูญเสียพลังงานรอง เป็นไปตามที่ระบุไว้ในรูป จงหาอัตราการไหลของน้า
และความดันที่จุด D

31

32
3.2 เครื่องสูบ (Pump)
รูป การเปลี่ยนแปลงเฮดพลังงานเมื่อของไหลผ่านเครื่องสูบ
เครื่องสูบน้า เป็นอุปกรณ์ที่ทาหน้าที่เปลี่ยนพลังงานกล (hp) ที่ได้
รับมาจากแหล่งพลังงานเช่น มอเตอร์ให้กลายเป็นพลังงานของ
ของไหล (HP) ดังนั้น เมื่อของไหลหรือระบบไหลผ่านเครื่องสูบ
เฮดพลังงานรวมของระบบจะเพิ่มสูงขึ้น

33
ตัวอย่าง 7 ระบบสูบน้าถูกติดตั้งในลักษณะดังรูป
ต้องการสูบน้าจากถังใบที่ 1 ไปยังถังใบที่ 2 ด้วยอัตรา
0.594 ลบ.ม./วินาที ถ้าหากสูญเสียพลังงานเป็นไป
ตามที่ระบุไว้ในรูปและเครื่องสูบน้ามีประสิทธิภาพ
60 % จงหากาลังงานที่ใช้ในการสูบน้า

34

35
3.3 กังหัน (Turbine)
รูป การเปลี่ยนแปลงเฮดพลังงานเมื่อของไหลไหลผ่านกังหัน
กังหันน้า เป็นอุปกรณ์ที่ทาหน้าที่เปลี่ยนพลังงานของ
ของไหล (HP) ให้กลายเป็นพลังงานกล (hT) เพื่อนาไปใช้กับ
กิจกรรมต่าง ๆ เช่น ส่งพลังงานที่ได้ให้กับเครื่องกาเนิด
กระแสไฟฟ้า ดังนั้น เมื่อของไหลหรือระบบไหลผ่านเครื่องสูบ
เฮดพลังงานรวมของระบบจะลดต่าลง ดังรูป

36
ตัวอย่าง 8 อ่างเก็บน้าแห่งหนึ่ง มีระดับน้าในอ่าง +150 ม. ระดับน้า
ท้ายเขื่อนอยู่ที่ +65 ม. ต้องการปั่นเครื่องกาเนิดกระแสไฟฟ้า โดยการ
ปล่อยน้าผ่านกังหันน้า ด้วยอัตราการไหล 0.594 cms ถ้าการสูญเสีย
พลังงาน เป็นไปตามที่ระบุไว้ในรูป และประสิทธิภาพของกังหันน้า
เท่ากับ 75 % จงหากาลังงานที่เครื่องกาเนิดกระแสไฟฟ้าได้รับจาก
กังหันน้า

37

38
4 สมการโมเมนตัมเชิงเส้น (Linear Momentum Equation)
พิจารณาการเคลื่อนย้ายปริมาณโมเมนตัมของระบบผ่านปริมาตรควบคุม โดยสมมติให้การไหลมีเพียงทิศทางเดียว และไม่
มีการไหลทางด้านข้างดังรูปที่ 13
รูป การเคลื่อนย้ายปริมาณโมเมนตัมของระบบผ่านปริมาตรควบคุม
เป็นการแสดงสิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นกับระบบ โดยรูปที่ (ก) เป็นการพิจารณาเกี่ยวกับ อัตราการไหล ความเร็ว และ โมเมนตัม ที่ไหลผ่านปริมาตร
ควบคุม ส่วนรูปที่ (ข) พิจารณาเฉพาะ แรงภายนอกที่กระทากับระบบ

39
ซึ่งสมการ ก็คือ สมการโมเมนตัม (Momentum Equation) ของของไหลที่อัดตัวไม่ได้ (Incompressible Fluid) ภายใต้
การไหลที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Steady stage)

40
ตัวอย่าง 8 จากรูปเป็นท่อ 2 ขนาดเชื่อมต่อกัน มีน้าไหลอยู่ภายในด้วย
อัตรา 0.30 ลบ.ม./วินาที ความดันที่จุดที่ 1 มีค่าเท่ากับ 10 kPa จงหาขนาด
และทิศทางของแรงที่กระทาบริเวณข้อต่อ โดยแบ่งเป็น 2 กรณีคือ
- การไหลไม่มีสูญเสียพลังงาน
- การสูญเสียพลังงานมีค่าเท่ากับ 1.5 เท่าของ Velocity head ที่หน้าตัด A

41

42

43

44
สมการโมเมนตัมกับการไหลหลายทิศทาง
จากการไหลที่มีทางเข้าออกหลายทาง ดังรูป จะเห็นได้ว่า การวิเคราะห์มี
ความยุ่งยากซับซ้อน ดังนั้นในการวิเคราะห์ปัญหาลักษณะดังกล่าว ควร
แยกพิจารณาการไหลเข้า - ออก และผลรวมของแรง โดยอิงกับระบบพิกัด
ฉากซึ่งจากสมการจะได้สมการโมเมนตัมที่ใช้ในการวิเคราะห์การไหลใน
หลายทิศทางได้ดังนี้

45
ตัวอย่าง 10 น้าไหลผ่านข้อต่อสามทางที่วางในแนวราบ ถ้าความดันที่
จุดที่ 1 มีค่าเท่ากับ 150 kPa จงหาขนาดและทิศทางของแรงที่เกิดขึ้น
โดยสมมติให้การสูญเสียพลังงานมีค่าน้อยมาก

46

47

48

49
ตัวอย่าง 11 จงหาขนาด และทิศทางของแรงกระทาที่เกิด
ขึ้นกับข้องอดังรูป เมื่อของไหลภายในท่อคือน้า และการสูญเสีย
พลังงานระหว่างจุดที่ 1 กับจุดที่ 2 เท่ากับ 1.12 ม.

50

51

52

53
5. สมการโมเมนตัมกับปริมาตรควบคุมแบบเคลื่อนที่ (Momentum equation for moving control volume)
พิจารณาการพุ่งของลาน้ากระทบกับวัตถุโค้งที่กาลังเคลื่อนที่ ดังรูป (ก) แรงที่แผ่นวัตถุกระทากับของไหล
ทาให้ความเร็วสัมบูรณ์ของการไหลเกิดการเปลี่ยนแปลง หรือมีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม และเมื่อพิจารณาผลต่าง
ของ ความเร็วสัมบูรณ์ที่เกิดขึ้นในรูปเวกเตอร์ จะได้ว่า

54
ความสัมพันธ์ในสมการ หมายความว่า ผลต่างของความเร็วสัมบูรณ์จะมีค่าเท่ากับผลต่างของความเร็วสัมพัทธ์
หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า สามารถวิเคราะห์แรงที่เกิดขึ้นโดยใช้ผลต่างโมเมนตัมของความเร็วสัมพัทธ์ได้แทนที่จะมี
วิเคราะห์จากผลต่างโมเมนตัมของความเร็วสัมบูรณ์ ซึ่งทาได้ยากกว่า
รูป การวิเคราะห์ความเร็วสัมพัทธ์ และแรง ที่เกิดกับกรณีของไหลพุ่งกระทบกับวัตถุที่กาลังเคลื่อนที่
ในกรณีของไหลพุ่งกระทบกับแผ่นวัตถุที่กาลังเคลื่อนที่ ถ้าการชนไม่มีการสูญเสียพลังงาน และการเปลี่ยนแปลงของเฮดระดับมีค่า
น้อยมากเมื่อเทียบกับเฮดอื่น ๆ ความเร็วสัมพัทธ์ของการไหลออกจากปริมาตรควบคุม จะใกล้เคียงกับความเร็วสัมพัทธ์ของการ
ไหลเข้าปริมาตรควบคุม ดังนั้นการวิเคราะห์การไหล และแรงที่เกิดขึ้นจึงมีลักษณะดังรูป

55
สมการ คือแรงที่แผ่นวัตถุกระทากับกระทากับของไหล ถ้าต้องการหาค่าของแรงกระแทกที่ของไหลกระทากับแผ่นวัตถุ แรงนั้นก็
คือแรงปฏิกิริยาของแรงที่คานวณได้จากสมการ

56
ตัวอย่าง 13 ลาน้าพุ่งออกจากหัวฉีดขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 25 mm ด้วยความเร็ว 10
m/s กระทบแผ่นผิวโค้งทามุม 45 ° กับแนวราบ ถ้าขนาดของมวล M มีค่าเท่ากับ 1 kg
จงหาความเร็วของรถ (u) โดยสมมติให้ไม่มีการสูญเสียพลังงาน

57

บทที่ 4 สมการพลังงานและสมการโมเมนตัม + คลิป (Fluid Mechanics)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from AJ. Tor วิศวกรรมแหล่งนํา้

More from AJ. Tor วิศวกรรมแหล่งนํา้ (19)

บทที่ 4 สมการพลังงานและสมการโมเมนตัม + คลิป (Fluid Mechanics)