Dokumen tersebut membahas tentang predikat dan kalimat berkuantor dalam logika. Terdapat dua jenis kuantor yaitu kuantor universal dan eksistensial yang menunjukkan seberapa banyak objek yang diperlukan agar predikat menjadi benar. Dokumen juga membahas empat pernyataan dalam logika tradisional dan kalimat berkuantor yang mengandung relasi.

1. OLEH :
RANDI TAMPUBOLON
Mahasisiwa PPs UNIMED

2. PETA KONSEP
KALIMAT
BERKUANTOR
PREDIKAT DAN
KALIMAT
BERKUANTOR
KUANTOR
UNIVERSAL
KUANTOR
EKSISTENSIAL
NEGASI KALIMAT
BERKUANTOR
EMPAT
PERNYATAAN
DALAM LOGIKA
TRADISIONAL
AFFIRMATIF
UMUM
NEGATIF UMUM
AFIRMATIF
KHUSUS
NEGATIF KHUSUS
PERNYATAAN
YANG
MENGANDUNG
RELASI

3. Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada
bagian kalimat yang memberi informasi
tentang subjek.
Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang
memerlukan subjek disebut Predikat.
Predikat biasanya disimbolkan dengan
huruf. Perhatikan contoh berikut
. . . terbang ke bulan.
. . . lebih tebal dari kamus.
A. PREDIKAT DAN KALIMAT BERKUANTOR

4. • Keduanya merupakan kalimat yang tidak
lengkap. Agar menjadi kalimat yang
lengkap, haruslah disubtitusikan suatu
subjek dibagian depan kalimat.
• Misalnya, jika subjek “buku
ini” disubtitusikan ke kalimat “ . . . lebih
tebal dari kamus”, maka kalimat tersebut
menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.
• Misalkan: p : terbang ke bulan
q : lebih tebal dari kamus

5. • Salah satu cara mengubah predikat menjadi
kalimat adalah dengan mensubtitusikan
variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.
• Misalkan p(x) : “x habis dibagi 5” dan x
disubtitusikan dengan 35, maka p(x)
menjadi kalimat benar karena 35 habis
dibagi 5
• Cara lain adalah dengan menambahkan
kuantor pada kalimat.

6. • Kuantor adalah kata- kata seperti
“beberapa”, “semua” dan kata-kata lain
yang menunjukan berapa banyak elemen
yang dibutuhkan agar predikat menjadi
benar.

7. 1. Kuantor Universal
Kuantor universal menunjukan bahwa setiap objek
dalam semestanya mempunyai
sifat kalimat yang menyatakanya. Simbol untuk kuantor
universal adalah “∀”, dibaca
“untuk semua” atau “ untuk setiap”.
Misalkan p(x) : “ x dapat mati” . Pernyataan “semua
manusia dapat mati” ditulis dalam symbol: (∀x) p(x)
Pernyataan (∀x) p(x) bernilai benar jika hanya jika p(x)
benar untuk semua p(x) dalam semestanya dan bernilai
salah jika ada x yang menyebabkan p(x) salah.
DUA MACAM KUANTOR

8. 2. Kuantor Eksistensial.
• Kuantor Eksistensial menunjukkan bahwa diantara
objek-objek dalam semestanya,
paling sedikit ada satu objek (atau lebih) yang
mempunyai sifat kalimat yang
menyatakannya.
• Simbol kuantor eksistensial adalah “∃” dibaca
“terdapat”, “ada”, “beberapa”
• Pernyataan (∃x) q(x) bernilai benar jika dan hanya
jika ada paling sedikit satu x yang menyebabkan
q(x) benar dan bernilai salah jika untuk semua x
dalam semestanya, q(x) salah

9. • Perhatikan kalimat : “Semua penumpang
dalam bis yang bertabrakan selamat”.
Kalimat diatas bernilai salah jika ada
penumpang yang meninggal.
• Sebaliknya, kalimat “Ada penumpang yang
selamat dalam kecelakaan bis” dikatakan
salah jika semua penumpang meninggal
dalam kecelakaan bis itu.
B. NEGASI KALIMAT BERKUANTOR

10. • Secara umum, ingkaran kalimat: “ semua x
bersifat p(x)” adalah “ Ada x yang tidak
bersifat p(x)”, dan ingkaran kalimat: “ Ada
x yang bersifat q(x)” adalah “ Semua x
tidak bersifat q(x)”.
• Jadi
~ [ (∀x) p(x) ] ≡ (∃x) ~ p(x)
~ [(∃x) q(x) ] ≡ (∀x) ~ q(x)

11. • Logika tradisional menekankan empat tipe
pernyataan yang diilustrasikan dalam
pernyataan berikut:
1. Semua ikan paus adalah hewan menyusui.
2. Tak ada ikan paus yang termasuk hewan
menyusui.
3. Beberapa ikan paus adalah hewan
menyusui.
4. Beberapa ikan paus tidak termasuk hewan
menyusui.
EMPAT PERNYATAAN DALAM LOGIKA TRADISIONAL

12. • (a). Affirmatif Umum
• Perhatikan pernyataan:
Semua ikan paus adalah hewan menyusui.
Pernyataan diatas dapat dinyatakan sebagai:
Untuk setiap x, jika x adalah ikan paus,
maka x adalah hewan menyusui.
Misal:
h(x) : x adalah ikan paus.
m(x) : x adalah hewan menyusui.
maka pernyataan diatas dapat ditulis dengan
simbol: (∀x) (h(x) ⇒ m(x))

13. • (b). Negatif Umum
Perhatikan pernyataan:
Tidak ada ikan paus yang termasuk hewan
menyusui. Pernyataan diatas sama artinya
dengan: Semua ikan paus tidak termasuk
hewan menyusui.
• atau dapat dinyatakan sebagai:
Untuk setiap x, jika x adalah ikan paus,
maka x bukan hewan menyusui.
Jadi, pernyataan diatas dapat ditulis dalam
simbol berikut:
(∀x) (h(x) ⇒ ~ m(x))

14. • (c). Affirmatif khusus
Perhatikan kalimat:
Beberapa ikan paus adalah hewan
menyusui.
Pernyataan ini dapat dinyatakan dalam
ungkapan lain, yaitu:
Terdapat x, sedemikian sehingga x adalah
ikan paus dan x adalah hewan meyusui.
Atau dinyatakan dalam simbol berikut:
(∃x) (h(x) ∧ m(x))

15. • (d). Negatif khusus
Peryataan:
Beberapa ikan paus bukan hewan menyusui
adalah contoh dari negatif umum.
Pernyataan diatas sama artinya dengan:
Terdapat x, sedemikian sehingga x adalah
ikan paus dan x bukan hewan meyusui.
Atau dinyatakan dalam simbol berikut:
(∃x) (h(x) ∧ ~ m(x))

16. • Kalimat berkuantor yang telah dibahas
dalam bagian sebelumnya dapat diperluas
dengan menambah beberapa kuantor
sekaligus pada kalimat yang sama.
• Perhatikan kalimat
berikut:
(a). Semua pria mencintai wanita
PERNYATAAN YANG MENGANDNG RELASI

17. • Kalimat diatas sama artinya dengan
Untuk semua x, y , jika x adalah pria dan y
adalah wanita, maka x mencintai y.
Misal: p(x) : x adalah pria
w(y) : y adalah wanita
r(x,y) : x mencintai y
• maka simbol untuk pernyataan diatas
adalah:
(∀x) (∀y) [( p(x) ∧ w(y) ) ⇒ r(x,y)]

18. TERIMA KASIH

19. TEORI HIMPUNAN
• Himpunan adalah kumpulan obyek yang
berbeda tetapi memiliki sifat yang serupa,
• Sifat serupa ini menjadi syarat keanggotaan
himpunan,
• Elemen himpunan merupakan anggota dari
suatu himpunan,
• Himpunan di representasikan dengan huruf
kapital A, B, C, dan seterusnya,

20. • Elemen himpunan direpresentasikan dengan
huruf kecil a, b, c, dan seterusnya
• Simbol dari elemen A ditulis sebagai 1 ∈ A,
0 ∈ A,
• Simbol dari bukan elemen A ditulis sebagai
x ∉ A,

21. Terdapat 4 metoda untuk merepresentasikan
himpunan, yaitu
1. Enumerasi
Dengan menyebutkan semua (satu per satu)
elemen himpunan
Contoh,
B = {1, 2, 3, 4, 5}
D = {apel, mangga, jambu}

22. 2. Notasi khusus himpunan atau simbol standar
Dengan simbol-simbol standar yang biasa
digunakan untuk mewakili
suatu himpunan, contoh
P = himpunan bilangan integer positif = {1 , 2, 3,
…}
Q = himpunan bilangan natural = {0 , 1, 2, …}
Z = himpunan bilangan rasional = {… , -2, -1, 0,
1, 2, …}

23. 3 Notasi pembentuk himpunan
Dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan
dari himpunan. C ontoh B = { x | x ≤ 5 , x ∈ A }
Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan
himpunan :
1. bagian kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen
himpunan,
2. tanda ‘|’ dibaca sebagai dimana atau sedemikian
sehingg a
3. bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat
keanggotaan himpunan
4. setiap tanda ‘,’ dibaca sebagai da

24. 4. Diagram venn
Dengan menggambarkan keberadaan himpunan
terhadap himpunan lain. Himpunan Semesta (S)
digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan
himpunan lain digambarkan sebagai lingkaran.
Contoh, S = { 1,2, … , 7, 8 }; A = { 1,2,3,5 };
B = { 2,5,6,8 }

25. • Himpunan semesta/universal
Simbol : S atau U
• Himpunan kosong (Null Set )
Adalah himpunan yang tidak memiliki
elemen
Simbol : { } atau ∅
Contoh : F = { x | x < x }

26. • Himpunan bagian (Subset )
A adalah subset dari B jika dan hanya jika
setiap elemen A juga merupakan elemen B.
Simbol : A ⊆ B
Contoh :
A = { (x,y) | x + y < 4 } dan B = { (x,y) | 2x +
y < 4 } Maka A ⊆ B
Catatan :
∅ ⊆ A dan A ⊆ A
∅ dan A dikatakan sebagai himpunan bagian
tak sebenarnya (improver subset ) dari
himpunan A

27. • Himpunan bagian yang sebenarnya (proper
subset )
Jika A ⊆ B dimana B ≠ ∅ dan B ≠ A, maka B
dikatakan himpunan bagian sebenarnya dari A
• Himpunan yang sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen B dan sebaliknya setiap elemen B juga
merupakan elemen A.
Simbol : A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

28. • Himpunan yang ekivalen
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan
himpunan B jika dan hanya jika kardinal
dari kedua himupunan tersebut sama.
Simbol : A ∼ B
• Himpunan saling lepas (disjoint )
Dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas jika tidak memiliki elemen yang sama.
Contoh : A = { x | x < 8, x ∈ P } ; B = { 10,
20, 30, … } Maka A dan B adalah
himpunan yang saling lepas.