Dokumen tersebut membahas tentang graf dalam matematika. Secara singkat, graf adalah representasi matematis dari struktur yang terdiri dari objek-objek (titik) dan hubungan antar objek (garis). Dokumen tersebut menjelaskan pengertian graf, dasar-dasar teori graf seperti derajat titik, dan cara efektif untuk menyelesaikan graf sederhana.

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam suatu model matematika, berbagai masalah atau situasi
kehidupan sehari-hari biasanya didefinisikan kemudian dinyatakan
dalam suatu sistem yang bersifat matematis. Salah satu contoh
representasi keadaan nyata (riil) yag banyak diketahui dapat kita
jumpai dalam geometri datar, program linier maupun trigonometri.
Graf merupakan contoh lain dari representasi keadaan nyata yang
banyak sekali manfaatnya.
Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang
memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam
kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai
macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-
objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang
dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan
alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram
memuat sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang
menghubungkan objek-objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak
berarah. Garis berarah biasanya digunakan untuk menyatakan
hubungan yang mementingkan urutan diantara objek-objek. Urutan
objek-objek akan berarti lain jika arah garis diubah. Sebaliknya, garis

2. 2
tidak berarah digunakan untuk menyatakan hubungan antara objek
yang tidak mementingkan urutan.
Karena begitu pentingnya aplikasi graf dalam kehidupan sehari-hari
dan pada perkembangan komputer maka pemahaman teori graf mutlak
untuk dipahami dewasa ini supaya kita tidak hanya terjebak dalam
penguasaan kulit tanpa pengertian akan isinya.
Terkadang dalam menggambar graf sederhana biasanya kita akan
mengalami kesulitan dalam menentukan urutan gambar yang belum
digambar. Oleh karena itu, dalam seminar matematika ini penulis akan
khusus mengkaji dasar teori graf hingga penyelesaian graf sederhana
menggunakan cara yang lebih efektif yang ditemukan penulis sendiri
sehingga gambar graf akan tersusun secara sistematis dan jauh dari
kesulitan dalam menentukan gambar graf yang belum digambar pada
banyak graf-graf sederhana yang terbentuk dari beberapa titik dan
beberapa garis.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apakah yang dimaksud dengan graf ?
1.2.2 Apakah dasar-dasar teori graf ?
1.2.3 Bagaimana cara efektif untuk menyelesaikan graf sederhana
dalam mata kuliah matematika diskrit ?

3. 3
1.3 Tujuan
Dari latar belakang dan rumusan masalah yang telah terurai,
maka tujuan yang ingin dicapai dalam seminar makalah ini adalah:
1.3.1 Anggota seminar dapat memahami pengertian graf.
1.3.2 Anggota seminar dapat memahami dasar-dasar teori graf.
1.3.3 Anggota seminar dapat memahami dan menggunakan cara
efektif untuk menyelesaikan graf sederhana dalam mata kuliah
matematika diskrit.
1.4 Manfaat
1.4.1 Manfaat Praktis
Hasil seminar ini diharapkan dapat bermanfaat bagi mahasiswa,
guru dan pemerhati pendidikan khususnya di bidang matematika.
a. Bagi mahasiswa
Hasil penelitian ini diharapkan dapat meningkatkan kemampuan
berpikir mahasiswa dan penentuan sikap ataupun karakter yang tepat
dalam upaya meningkatkan prestasi belajar mahasiswa.
b. Bagi guru dan pemerhati pendidikan
Menambah masukan tentang alternatif dalam menyelesaikan graf
sederhana sehingga dapat memberikan sumbangan nyata bagi
peningkatan prestasi belajar matematika mahasiswa selanjutnya.

4. 4
1.4.2 Manfaat Teoretis
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi
dalam bidang pendidikan dan memperkaya teori pendidikan khususnya
dalam bidang matematika.

5. 5
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Landasan Teori
2.1.1 Pengertian Graf
Graf secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang
memuat informasi tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam
kehidupan sehari-hari graf diguakann untuk menggambarkan berbagai
macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-
objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang dijumpai
dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi, bagan alir
pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik dll. Tiap diagram memuat
sekumpulan objek (kotak,titik dll.) dan garis yang menghubungkan objek-
objek tersebut. Garis bisa berarah atau tidak berarah. Garis berarah
biasanya digunakan untuk menyatakan hubungan yang mementingkan
urutan diantara objek-objek. Urutan objek-objek akan berarti lain jika arah
garis diubah. Sebaliknya, garis tidak berarah digunakan untuk menyatakan
hubungan antara objek yang tidak mementingkan urutan.

6. 6
2.1.2 Dasar-dasar teori Graf
Definisi 2.1.2
Sebuah graf adalah suatu himpunan V yang tidak kosong, yang memenuhi
sifat tidak refleksi dan simetris dari suatu relasi pada V.
Suatu graf G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu
himpunan titik-titik yang tak kosong dan himpunan garis-garis. Oleh
karena relasi R pada V simetris, maka untuk setiap pasangan terurut (u,v) ϵ
R dinotasikan dengan E.
Sebagai contoh, sebuah graf G dapat didefinisikan dengan himpunan
V = {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan relasi R = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4), ( v3,v1) (
v3,v2), ( v4,v2) ,( v4,v3) }
Dalam hal ini E = {( v1,v3), (v2,v3), ( v2,v4), ( v3,v4) }
= (e1, e2 ,e3 ,e4 )
Dalam sebuah graf G, V merupakan himpunan titik dan setiap
elemen V disebut titik (vertex) yang disimbolkan dengan V(G). banyaknya
titik dalam G disebut orde dari G. sedangkan E disebut sisi (Edge) yang

7. 7
disimbolkan dengan E(G). Banyaknya sisi dalam G disebut dengan ukuran
dari G.
Dengan demikian |V| = orde dari G dan |E| = ukuran dari G.
Setiap garis berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut
disebut dengan titik ujung.
Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik disebut dengan loop.
Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama disebut degan
garis pararel. Dua titik dikatakan berhubungan (adjecent) jika ada garis
yang menghubungkan keduanya. Titik yang tidak mempunyai garis yang
berhubungan dengannya disebut titik terasing (isolating point).
Jika graf G didefinisikan dalam bentuk sebuah himpunan titik V dan suatu
relasi R pada V, maka (u,v) ϵ R dan (v,u) juga elemen R.
Dengan demikian {(u,v),(v,u)} adalah sebuah sisi dari G.
Untuk memudahkan penulisan, sebuah sisi cukup dinyatakan dalam notasi
uv atau vu saja. Dengan demikian graf G dalam contoh diatas dapat
dijadikan sebagai himpunan V= {v1 ,v2 ,v3,v4 } dan E = {( v1,v3), (v2,v3),
( v2,v4), ( v3,v4) } sehingga orde dan ukurannya adalah 4.
Himpunan V x V dimungkinkan berupa himpunan kosong, karena
relasi R pada V memenuhi sifat tidak refleksif dan antisimetris.

8. 8
Hal ini berakibat bahwa himpunan sisi dari suatu graf bisa berupa himpuan
kosong atau dengan kata lain sebuah graf mungkin tidak mempunyai sisi.
Graf yang tidak memiliki titik (sehingga tidak memiliki garis) disebut
dengan graf kosong.
Dalam graf tak berarah (undirected graph) yaitu graf yang semua
garisnya tidak berarah, garis e dengan titik ujung ( u,v) menyatakan suatu
garis dari titik u ke titik v.
Dengan diketahuinya graf, maka himpunan garis, titik, serta titik-titik
ujungnya adalah tunggal. Akan tetapi tidak berlaku sebaliknya. Dengan
diketahui himpunan garis, titik serta titik-titik ujungnya, maka dapat
dibentuk graf yang berbeda.
Perbedaan graf tersebut terletak pada panjang garis, kelengkungan dan
posisi titik yang berbeda antara graf yang satu dengan yang lainnya. Akan
tetapi, visualisasi perbedaan panjang garis, kelengkungan dan posisi titik
tidak berpengaruh, maka graf-graf tersebut merupakan graf yang sama
meskipun secara visual tampak berbeda.
2.1.3 Derajat (Degree)

9. 9
Sebelumnya sudah diperkenalkan dua bilangan yang berkenaan
dengan orde dan ukuran sebuah graf. Selanjutnya kita akan membicarakan
sejumlah bilangan yang berkaitan dengan suatu graf G. Misalkan v adalah
sebuah titik dari G. banyaknya sisi dari G yang berujung di v disebut
dengan derajat dari v yang disimbolkan dengan deg Gv atau deg v atau
d(v).
Definisi 2.1.3 : Misalkan v adalah titik dalam suatu graf G. Derajat
titik v (deg v) adalah jumlah garis yag berhubunngan dengan titik v dan
garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat
semua titik dari G.
Teorema 2.1.3.1 : Misalkan G adalah sebuah graf. Jumlah derajat total
p
suatu graf adalah genap atau ∑ deg v
i =1
i = 2q
Teorema 2.1.3.2 : Jika k adalah banyaknya titik ganjil dari suatu graf,
maka k genap atau jumlah titik yang berderajat ganjil dalam suatu graf
adalah genap.
Misalkan R adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat
genap, S adalah jumlah derajat semua titik yang berderajat ganjil dan T
adalah derajat total graf G.

10. 10
Jika R=deg v1 + deg v2 + ... + deg vk
S= deg u1 + deg u2 + ... + deg un
Maka T = R + S, dimana T adalah bilangan genap. Dari relasi T = R + S
berarti S = T - R. Oleh karena T dan R bilangan –bilangan genap, maka
S = deg u1 + deg u2 + ... + deg uk merupakan bilangan genap. Padahal
menurut asumsi deg u1 + deg u2 + ... + deg uk masing-masing adalah
bilangan ganjil. Jadi S berupa bilangan genap jika merupakan jumlahan uk
buah bilangan ganjil. Hal ini bisa terjadi apabila banyaknya uk atau k
adalah genap.
2.1.4 Graf Sederhana ( Simple Graph )
Definisi 2.1.4 : graf sederhana adalah graf yang tidak
memiliki loop atau pun garis pararel.
Contoh 2.1.4.1 :
Gambarlah semua graf yang dapat dibentuk dari 3 titik {a,b,c} dan 2 garis.
Penyelesaian :

11. 11
Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah
3!
titik. Oleh karena ada 3 buah titik, maka 3 C 2 = = 3 buah garis
(3 − 2)!2!
yang mungkin dibuat, yaitu garis-garis yang titik ujungnya (a,b) , (a,c) dan
(b,c). Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya.
3!
Jadi ada 3 C 2 = = 3 buah graf yang mungkin dibentuk.
(3 − 2)!2!
Graf –graf tersebut dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut ini.
a a a
b c b c b c
Gambar 2.1
Jika tiap titik dari suatu graf G memiliki derajat yang sama misalnya n,
maka graf G adalah graf regular denngan derajat n (graf lengkap) atau
sering disebut dengan n-reguler. Sebuah graf lengkap orde p adalah
(p-1) – regular dan dinotasikan dengan Kp.

12. 12
2.1.5 Cara Efektif Menyelesaikan Graf Sederhana
Contoh 2.1.5 :
Gambarlah graf yang dapat dibentuk dari 5 buah titik dan 3 buah garis.
Penyelesaian :
Langkah 1 ;
Dalam graf sederhana sebuah garis selalu berhubungan dengan dua buah
5!
titik. Oleh karena ada 5 buah titik, maka 5 C 2 = = 10 buah garis
(5 − 2)!2!
yang mungkin dibuat.
Selanjutnya dari tiga garis yang mungkin akan dipilih 2 diantaranya.
10!
Jadi ada 10 C3 = =120 buah graf yang mungkin dibentuk.
(10 − 3)!3!
Langkah 2 ;
Kita misalkan titik-titik yang ada dinamakan titik {a,b,c,d,e}.
Sehingga didapat 10 garis yang titik ujungnya {ab, ac, ad, ae, bc, bd, be,
cd, ce, de}
Misalkan, {ab=1, ac=2, ad=3, ae=4, bc=5, bd=6, be=7, cd=8, ce=9,
de=10}
Sehingga dapat dibuat tabel atau diagram sebagai berikut :

13. 13

14. 14
Sehingga gambar graf yang terbentuk dari tabel adalah sebagai berikut :
a
1. Graf 123 :
b e
c d
a
2. Graf 124 :
b e
c d
a
3. Graf 125 :
b e
c d
Dan seterusnya hingga 120 gambar graf.
Soal Latihan :
1. Buatlah semua graf yang terbentuk dari 4 buah titik dan 3 buah garis !

15. 15
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Dengan penyelesaian graf menggunakan cara efektif seperti
diatas, maka diharapkan pembaca akan lebih mudah dalam
menggambar graf yang terbentuk. Terutama dalam pembuatan graf
dalam jumlah besar seperti pada contoh 2.1.5 dengan jumlah graf
sebanyak 120 buah.
3.2. Saran
Diharapkan kepada pembaca agar mempelajari materi di
berbagai sumber atau referensi mengingat cakupan materi yang
disajikan dalam makalah ini masih sangat terbatas.
Diharapkan kepada pembaca agar memperhatikan seminar
sebaik mungkin, karena jika hanya berdasarkan makalah,
pemahaman mengenai isi materi belum optimal.

16. 16
DAFTAR PUSTAKA
Jong Jek Siang. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu
Komputer .Yogyakarta:Andi
Eka Mahendra I Wayan.2010 .Diktat Mata Kuliah Matematika Diskrit.
Denpasar

17. 17

18. 17

19. 17