Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018 - Đề 4

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan
1
Mỗi buổi sáng chúng ta có 2 lựa chọn: tiếp tục ngủ với ươc mơ của mình hoặc
là thức dậy và theo đuổi ước mơ. Còn bạn? bạn chọn điều gì?
ĐỀ 2: THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
3 3y x x   trên  1;3
. Tổng  M m bằng:
A. 6 B. 4 C. 8 D. 2
Câu 2: Cho hàm số x
y x e  . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại 0x  B. Hàm số đạt cực đại tại 0x 
C. Hàm số đồng biến trên  0; D. Hàm số có tập xác định là  0;
Câu 3: Đạo hàm của hàm số ln siny x là:
A. ln cos x B. cot x C. tan x D.
1
sin x
Câu 4: Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Thể tích tứ diện A'ABC' là:
A.
4
V
B. 2V C.
2
V
D.
3
V
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần
còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và
khối chóp M.ABC là:
A.
1
6
B. 6 C.
1
5
D. 5
Câu 6: Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều có cạnh bằng a.Thể tích
của khối nón bằng:
A.
3
3
8
a
B.
3
2 3
9
a
C.
3
3
24
a
D. 3
3 a
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp nói trên bằng:
A.
2
4
a
R  B.
2
2
a
R  C.
2
3
a
R  D.
3
2
a
R 

2
Câu 8: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Diện tích xung
quanh của kim tự tháp này là:
A.  2
2200 346 m B.  2
4400 346 m C.  3
2420000 m D.  2
1100 346 m
Câu 9: Phương trình  2
2
log 4 log 2 3xx   có bao nhiêu nghiệm ?
A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Câu 10: Một chất điểm chuyển động theo qui luật 2 3
6s t t  (trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc  /m s
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. 2t  B. 4t  C. 1t  D. 3t 
Câu 11: Cho hàm số sin cos 3y x x x   . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên  ;0 B. Hàm số nghịch biến trên  1;2
C. Hàm số là hàm lẻ D. Hàm số đồng biến trên  ; 
Câu 12: Các giá trị của tham số a để bất phương tr̀nh
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3x x x
a  , có nghiệm thực là:
A.  2;a   B.  ;4a  C.  4;a  D.  ;4a 
Câu 13: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



có đồ thị (C). Tìm các điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách
từ hai điểm  2;4A và  4; 2B   đến tiếp tuyến của (C) tại M là bằng nhau
A.  0;1M B.
3
1;
2
5
2;
3
M
M
  
 
 
  
  
 
C.
3
1;
2
M
 
 
 
D.
 
 
0;1
2;3
3
1;
2
M
M
M



 

 
   
1
2
x
y
x



có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục
hoành có phương trình là:
A. 3y x B. 3 3y x  C. 3y x  D.
1 1
3 3
y x 

3
Câu 15: Một mặt cầu có đường kính bằng 2a thì có diện tích bằng:
A. 2
8 a B.
2
4
3
a
C. 2
4 a D. 2
16 a
Câu 16: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình
vuông có cạnh bằng 3a. Diện tích toàn phần của khối trụ là:
A. 2
3tpS a  B.
2
13
6
tp
a
S

 C.
2
27
2
tp
a
S

 D.
2
3
2
tp
a
S


Câu 17: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5
4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong
khu rừng đó là 4% mỗi năm. Sau 5 năm khu rừng đó sẽ ć bao nhiêu mét khối gỗ?
A.  5 5 3
4.10 .1,14 m B.   5 5 3
4.10 1 0,04 m
C.  5 5 3
4.10 0,04 m D.  5 5 3
4.10 .1,04 m
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh của hình trụ
này là:
A.  2
20 cm B.  2
24 cm C.  2
26 cm D.  2
22 cm
Câu 19: Đặt 7 2log 11, log 7a b  . Hãy biểu diễn 3
7
121
log
8
theo a và b
A. 3
7
121 9
log 6a
8 b
  B. 3
7
121 2 9
log
8 3
a
b
 
C. 3
7
121 9
log 6
8
a
b
  D. 3
7
121
log 6 9
8
a b 
Câu 20: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
1
5y x
x
   là:
A. -3 B.  1; 3 C. -7 D.  1; 7 

4
Câu 21: Cho hàm số  y f x liên tục trên R có bảng biến thiên :
x  1 0 1 
y'  0 + 0  0 +
y   3 
 4  4
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -4
C. Hàm số đồng biến trên  1;2
D. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Câu 22: Tập xác định của hàm số ln 2y x  là:
A. 2
;e  B. 2
1
;
e
 
 
C.  0; D. 8
Câu 23: Hàm số 4 2
2 7y x x   nghịch biến trên khoảng nào ?
A.  0;1 B.  0; C.  1;0 D.  ;0
Câu 24: Tìm các giá trị thực của m để hàm số 3 21
4 3
3
y x mx x    đồng biến trên R.
A. 2 2m   B. 3 1m   C.
3
1
m
m
 
 
D. m
Câu 25: Giải phương tr̀nh 1
2 2 12x x
 
A. 3x  B. 2log 5x  C. 2x  D. 0x 
Câu 26: Cho hai hàm số x
y a và logay x (với 0, 1a a  ). Khẳng định sai là:
A. Hàm số logay x có tập xác định là  0;
B. Đồ thị hàm số x
y a nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang

5
C. Hàm số x
y a và logay x nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi 0 1a 
D. Đồ thị hàm số logay x nằm phía trên trục Ox.
2
3
x
y
x



. Tìm khẳng định đúng:
A. Hàm số xác định trên R B. Hàm số đồng biến trên R
C. Hàm số có cực trị. D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
Câu 28: Giải bất phương trình
2
4 2
2 5x x 

A.    2; 2 log 5;x     B.    2; 2 log 5;x    
C.    2;log 5 2 2;x     D.    2;log 5 2 2;x    
Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC a , tam giác SBC đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
3
24
a
B. 3
3a C.
3
3
4
a
D.
3
6
8
a
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, 5; 4 , 2 2AB a AC a SO a   .
Gọi M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
M.OBC.
A. 3
2 2a B. 3
2a C.
3
2
3
a
D. 3
4a
Câu 31: Đồ thị hàm số
1
2
x
y
x



nhận
A. Đường thẳng 2x  là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang
B. Đường thẳng 2x   là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang
C. Đường thẳng 1x  là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 2y   là đường tiệm cận ngang
D. Đường thẳng 2x   là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang
Câu 32: . Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của khối lăng trụ là
:
A.
3
2
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
2
3
a
Câu 33: Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm các tung độ âm?

6
A.
1
2
x
y
x



B.
3 1
2
x
y
x



C.
3
3 2
x
y
x
 


D.
3 4
2
x
y
x



Câu 34: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
2 3x x m
y
x m
 


không có tiệm cận đứng
A. 0m  B.
0
1
m
m

 
C. 1m   D. 1m 
Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 2
2 2a . Thể
tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:
A. 3
2 2a B. 3
2a C. 3
2a D. 3
a
Câu 36: Giá trị lớn nhất của hàm số 2
4y x x   bằng:
A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 1
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
3
6
a
B. 3
3a C.
3
2
3
a
D.
3
6
3
a
Câu 38: Cho a, b là các số thực thỏa mãn
3 2
3 2
a a và
3 4
log log
4 5
b b . Khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. 0 1, 1a b   B. 0 1,0 b 1a    C. a 1,b 1  D. a 1,0 b 1  
Câu 39: Tính giá trị biểu thức
1
13
4
2 34
1
A 16 2 .64
625

 
   
 
A. 14 B. 12 C. 11 D. 10
Câu 40: Cho hàm số S.ABC có 0
60 , 3, 4, 5ASB BSC CSA SA SB SC      . Tính khoảng cách
từ C đến mặt phẳng (SAB).
A. 5 2 B.
5 2
3
C.
3
3
D.
5 6
3
Câu 41: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 0
60 , đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh của
hình nón là:
A. 2
4xqS a B. 2
2xqS a C. 2
xqS a D. 2
3xqS a

7
Câu 42: Một khối trụ có thể tích là 20 (đvtt). Nếu tăng bán kính đáy lên 2 lần và giữ nguyên chiều
cao của khối trụ thì thể tích của khối trụ mới là:
A. 80 (đvtt) B. 40 (đvtt) C. 60 (đvtt) D. 400 (đvtt)
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc
60o. Hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là
A. 2
2S a B.
2
7
4
a
S

 C. 2
S a D.
2
2
a
S


Câu 44: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V
cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của
hình trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất thì giá trị của tổng x + h là:
A. 3
2
V

B. 3
3
2
V

C. 32
2
V

D. 33.
2
V

Câu 45: Một hình trụ có bánh kính r và chiều cao 3h r . Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Khoảng cách
giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng:
A.
3
2
r
B.
3
4
r
C.
3
6
r
D.
3
3
r
Câu 46: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau.
B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Câu 47: Với mọi x là số thực dương .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. 1x
e x  B. 1x
e x  C. sin x x D. 2 x
x

Câu 48: Số nghiệm của phương trình
sin
4
tan
x
e x
 
 
 
 trên đoạn  0;2 là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 49: Giải bất phương trình    2
0,5 0,5log 4 11 log 6 8x x x   
A.  3;1x  B.    ; 4 1;x    

8
C.  2;1x  D.    ; 3 1;x    
Câu 50: Các giá trị thực của m để hệ phương trình
0
2
x y m
y xy
  

 
có nghiệm là
A.    ;2 4;m    B.    ;2 4;m   
C. 4m  D. 2m 
Đáp án
1-D 6-C 11-D 16-C 21-D 26-D 31-B 36-A 41-B 46-D
2-B 7-B 12-B 17-D 22-B 27-D 32-C 37-D 42-A 47-A
3-B 8-B 13-D 18-B 23-A 28-D 33-D 38-A 43-B 48-B
4-D 9-C 14-D 19-A 24-A 29-A 34-B 39-B 44-D 49-C
5-D 10-A 15-C 20-B 25-C 30-C 35-A 40-D 45-A 50-A

9
Hướng dẫn giải chi tiết đề thi thử THPT chuyên Thái Bình Lần 1
Câu 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
3 3y x x   trên  1;3
. Tổng  M m bằng:
A. 6 B. 4 C. 8 D. 2
Chọn D
Ta có định lí trong SGK về sự tồn tại của GTLN, GTNN trên đoạn như sau :
Mọi hàm liên tục và xác đinh trên đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó .
Hàm số 3 2
3 3y x x   liên tục và xác định trong đoạn  1;3
Ta có
 
 
2
0 1;3
' 3 6 , ' 0
2 1;3
x
y x x y
x
  
    
 
Ta lần lượt so sánh các giá trị    1 1, 2 1y y   ,  3 3y  . Vì hàm số liên tục và xác định trong
đoạn  1;3 nên ta có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trong đoạn  1;3 lần lượt
là    3 3, 2 1M y m y     . Nên 3 1 2M m   
Câu 2: Cho hàm số x
y x e  . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại 0x  B. Hàm số đạt cực đại tại 0x 
C. Hàm số đồng biến trên  0; D. Hàm số có tập xác định là  0;
Chọn B
Để xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số chúng ta thường xét dấu của phương trình đạo
hàm bậc nhất để kết luận
Hàm số x
y x e  có ' 1 , ' 0 0x
y e y x    
Ta xét chiều biến thiên : ' 0 0y x  
' 0 0y x   . Ta thấy y' đổi dấu từ   sang   khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt
cực đại tại 0x 
Hàm số đã cho đồng biến trên  ;0

10
Hàm số có tập xác định là D  
Lưu ý: Hàm số  , 1x
y a a a   có tập xác định là 
Câu 3: Đạo hàm của hàm số ln siny x là:
A. ln cos x B. cot x C. tan x D.
1
sin x
Chọn B
 
 sin ' cos
' ln sin ' cotx
sin sin
x x
y x
x x
   
Lưu ý:    
'
ln ' ; sin ' cos
u
u x x
u
  ,
 cos ' sinx x 
Câu 4: Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Thể tích tứ diện A'ABC' là:
A.
4
V
B. 2V C.
2
V
D.
3
V
Chọn D
Ta có ' ' ' ' ' ' 'ABC A B C CA B C C ABCS S V V  
Mà ta lại có ACC'A là hình bình hành nên      , ' ', 'd C ABC d A ABC
. ' . ' . ' ' ' '. '. 'C ABC A ABC B A B C C ABC A ABCV V V V V    
'. '
3
A ABC
V
V 
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần
còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và
khối chóp M.ABC là:
A.
1
6
B. 6 C.
1
5
D. 5

11
Chọn D
Gọi M là trung điểm của CC’
Theo bài ra ta có: .ABC '
1
2
M C ABCV V a  ' 2C ABCV a 
Ta lại có ' ' ' '
1
2
2
C ABC AA B CV V a  nên ta có
  ' ' ' ' 2.2 5AA B C MABCH V V a a a    
Vậy
 
.
5
M ABC
H
V

Câu 6: Thiết diện qua trục của hình nón tròn xoay là một tam giác đều có cạnh bằng a.Thể tích
của khối nón bằng:
A.
3
3
8
a
B.
3
2 3
9
a
C.
3
3
24
a
D. 3
3 a
Chọn C
Bài toán yêu cầu các bạn nhớ được công thức của hình nón tròn xoay và cách tạo ra hình nón tròn
xoay. Theo bài ra ta có diện tích đáy của hình nón tròn xoay là
2
2
2
a
S r 
 
   
 
. Nên thể tích
hình nón tròn xoay là
2 3
1 1 3 3
.
3 3 2 2 24
a a a
V Sh


 
   
 
Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp nói trên bằng:
A.
2
4
a
R  B.
2
2
a
R  C.
2
3
a
R  D.
3
2
a
R 
Chọn B
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp sẽ trùng với tâm O của đáy hình chóp (Vì tât cả các cạnh của hình
chóp đều bằng a). Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
2
a

12
Câu 8: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m. Diện tích xung
quanh của kim tự tháp này là:
A.  2
2200 346 m B.  2
4400 346 m C.  3
2420000 m D.  2
1100 346 m
Chọn B
Gọi O là tâm của đáy của hình chớp tứ giác đều . Theo bài ra ta có
  2 2
10 467SO ABCD SD SO OD    
Để tính diện tích của 4 mặt bên hình chóp ta sử dụng công thức He-ron : (áp dụng với tam giác
SAD)    S p p SA p AD p SD    với
1100 346
2
SA SD AD
p S
 
  
4 4.1100 346 4400 346xqS S   
Câu 9: Phương trình  2
2
log 4 log 2 3xx   có bao nhiêu nghiệm ?
A. 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. 2 nghiệm D. 3 nghiệm
Chọn C
Điều kiện:
4 0
0
0
1
1
x
x
x
x
x


  
 
Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với :
2 2log 4 log 2log 2 3xx  
2
2 2 2
2
2
log 1 0 log log 2 0
log
x x x
x
       
2
2
4
log 2
1
log 1
2
x
x
x x
     

(thỏa mãn điều kiện)

13
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 10: Một chất điểm chuyển động theo qui luật 2 3
6s t t  (trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc  /m s
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. 2t  B. 4t  C. 1t  D. 3t 
Chọn A
Phương trình vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động
của vật nên ta có phương trình vận tốc của vật là 2
' 12 3v s t t   . Phương trình vận tốc là
phương trình bậc 2 có hệ số 3 0a    nên nó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị
2
b
t
a

 hay tại 2t 
Câu 11: Cho hàm số sin cos 3y x x x   . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên  ;0 B. Hàm số nghịch biến trên  1;2
C. Hàm số là hàm lẻ D. Hàm số đồng biến trên  ; 
Chọn D
Hàm số sin cos 3y x x x   có ' cos sin 3y x x   . Ta thấy
sin cos 3 3 2 sin 3 2 0
4
x x x
 
        
 
Nên hàm số đã cho luôn đồng biến trên  ;  .
Dễ thấy hàm số đã cho không phải hàm số lẻ
Câu 12: Các giá trị của tham số a để bất phương tr̀nh
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3x x x
a  , có nghiệm thực là:
A.  2;a   B.  ;4a  C.  4;a  D.  ;4a 
Chọn B
Đặt  2
sin , 0;1x    . Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

14
 
1
1 2 3
2 3 .3 1
3
a a
 
  


 
   
Xét phương trình  
1
2 3
3
f a
 



 với  0;1 
Ta nhận thấy hàm số trên luôn nghịch biến trên  0;1 nên
 
   0;1
max 0 4f f



 
Điều kiện để  m f x đúng với x D là  max
x D
m f x

 áp dụng điều đó ta có điều kiện để (1)
xảy ra là
 
 0;1
max 4
a
a f 

 
2 1
1
x
y
x



có đồ thị (C). Tìm các điểm M trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách
từ hai điểm  2;4A và  4; 2B   đến tiếp tuyến của (C) tại M là bằng nhau
A.  0;1M B.
3
1;
2
5
2;
3
M
M
  
 
 
  
  
 
C.
3
1;
2
M
 
 
 
D.
 
 
0;1
2;3
3
1;
2
M
M
M



 

 
   
Chọn D
Giả sử   0 0;M x f x . Thuộc đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm
  0 0;M x f x là     0 0 0'y y x x x f x   hay
 
  0
02
00
2 11
11
x
y x x
xx

  

   
0 0
2 2
0 0
2 2 1
: 0
1 1
x xx
d y
x x
 
   
 
Theo bài ra ta có khoảng cách từ điểm  2;4A và  4; 2B   đến đường thẳng d là bằng nhau
nên ta có:

15
 
 
 
 
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
4 4
0 0
2 2 3 2 2 3
4 2
1 1
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
   
 
 

 
 
   
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0
2 2 3 2 2 3
4 2
1 1
x x x x
x x
   
   
 
Giải phương trình trên ta có 0 00, 2x x   , 0 1x  . Từ đó ta chọn được kết quả của bài toán
1
2
x
y
x



có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục
hoành có phương trình là:
A. 3y x B. 3 3y x  C. 3y x  D.
1 1
3 3
y x 
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là
1
0
2
x
x



1x  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 1x  là     ' 1 1 1y y x y   hay
1 1
3 3
y x 
Câu 15: Một mặt cầu có đường kính bằng 2a thì có diện tích bằng:
A. 2
8 a B.
2
4
3
a
C. 2
4 a D. 2
16 a
Chọn C
Diện tích mặt cầu được tính theo công thức 2
4S R trong đó R là bán kính mặt cầu. Áp dụng
công thức trên ta có diện tích mặt cầu có đường kính 2a (bán kính a) là 2
4S a
Câu 16: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình
vuông có cạnh bằng 3a. Diện tích toàn phần của khối trụ là:

16
A. 2
3tpS a  B.
2
13
6
tp
a
S

 C.
2
27
2
tp
a
S

 D.
2
3
2
tp
a
S


Chọn C
Diện tích toàn phần của hình trụ được tính theo công thức  2tpS r r h  trong đó r: là bán
kính đáy trụ, h: là chiều cao của hình trụ. Theo bài ra ta có thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua
trục của hình trụ và hình trụ là một hình vuông có cạnh là 3a nên ta có thể suy ra 3h a ,
3
2
a
r  .
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần tôi đã nêu ở bên trên ta có
2
27
2
tp
a
S


Câu 17: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 5
4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong
khu rừng đó là 4% mỗi năm. Sau 5 năm khu rừng đó sẽ ć bao nhiêu mét khối gỗ?
A.  5 5 3
4.10 .1,14 m B.   5 5 3
4.10 1 0,04 m
C.  5 5 3
4.10 0,04 m D.  5 5 3
4.10 .1,04 m
Chọn D
Bài này sử dụng công thức tính lãi kép cho các bạn nhé :  1
n
A a r  trong đó A là số tiền nhận
được sau n tháng , a là số tiền gửi ban đầu , r là lãi xuất hàng tháng’ Áp dụng công thức trên ta
thấy sau 5 năm thì khu rừng sẽ có 5 5
4.10 .1,04 mét khối gỗ.
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm, diện tích xung quanh của hình trụ
này là:
A.  2
20 cm B.  2
24 cm C.  2
26 cm D.  2
22 cm
Chọn B
Diện tích xung qutôi hình trụ được tính theo công thức 2xqS rh trong đó r: là bán kính đáy
trụ, h: là chiều cao của hình trụ. Vậy diện tích xung qutôi hình trụ cần tính là
 2
2 .3.4 24xqS cm  
Câu 19: Đặt 7 2log 11, log 7a b  . Hãy biểu diễn 3
7
121
log
8
theo a và b

17
A. 3
7
121 9
log 6a
8 b
  B. 3
7
121 2 9
log
8 3
a
b
 
C. 3
7
121 9
log 6
8
a
b
  D. 3
7
121
log 6 9
8
a b 
Chọn A
13
3
7 77
7
121 121
log log 6log 11 3log 8
8 8
  
7 7 7
2
9
6log 11 9log 2 6log 11
log 7
   
Nên 3
7
121 9
log 6
8
a
b
 
Ngoài ra các bạn còn có thể sử dụng máy tính để thử từng đáp án.
Câu 20: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
1
5y x
x
   là:
A. -3 B.  1; 3 C. -7 D.  1; 7 
Chọn B
TXĐ:   0D  
Hàm số
1
5y x
x
   có 2
1
' 1y
x
 
' 0 1y x    , y' đổi dấu từ (-) sang (+) nên hàm số tiểu cực đại tại 1x  . Nên điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số là  1; 3
Câu 21: Cho hàm số  y f x liên tục trên R có bảng biến thiên :
x  1 0 1 
y'  0 + 0  0 +
y   3 

18
 4  4
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -4
C. Hàm số đồng biến trên  1;2
D. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Chọn D
Nhìn vào bảng biến thiên sẽ thấy được hàm số có 2 điểm cực tiểu là  1; 4  và  1; 4 điểm cực
đại là  0; 3 . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi 1, 1x x   . Hàm số đồng biến trên
 1; nên hàm số sẽ đồng biến trên  1;2 . Đồ thị hàm số nhận điểm  0; 3 là tâm đối xứng và
nhận trục tung là trục đối xứng.
Câu 22: Tập xác định của hàm số ln 2y x  là:
A. 2
;e  B. 2
1
;
e
 
 
C.  0; D. 8
Chọn B
Điều kiện xác đinh của hàm số ln 2y x  là 2
1
ln 2 0 ln 2x x x
e
      
Câu 23: Hàm số 4 2
2 7y x x   nghịch biến trên khoảng nào ?
A.  0;1 B.  0; C.  1;0 D.  ;0
Chọn A
Hàm số 4 2
2 7y x x   có 3
' 4 4y x x  , ' 0 0 1y x x     
Xét dấu của y' ta có ' 0 1,0 1y x x      . Nên hàm số đã cho nghịch biến trong các khoảng
 ; 1  và  0;1

19
Câu 24: Tìm các giá trị thực của m để hàm số 3 21
4 3
3
y x mx x    đồng biến trên R.
A. 2 2m   B. 3 1m   C.
3
1
m
m
 
 
D. m
Chọn A
TXĐ D R . Hàm số 3 21
4 3
3
y x mx x    có 2
' 2 4y x mx   . Hàm số đã cho đồng biến trên
R khi ' 0y  hay 2
1 0
2 2
' 4 0
m
m

   
   
Câu 25: Giải phương tr̀nh 1
2 2 12x x
 
A. 3x  B. 2log 5x  C. 2x  D. 0x 
Chọn C
1
2 2 12 3.2 12 2x x x
x
     
Câu 26: Cho hai hàm số x
y a và logay x (với 0, 1a a  ). Khẳng định sai là:
A. Hàm số logay x có tập xác định là  0;
B. Đồ thị hàm số x
y a nhận trục Ox làm đường tiệm cận ngang
C. Hàm số x
y a và logay x nghịch biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi 0 1a 
D. Đồ thị hàm số logay x nằm phía trên trục Ox.
Chọn D
Ý D sửa đúng là :’đồ thị hàm số logay x nằm phía bên phải trục tung hàm số logay x nằm
phía bên phải trục tung (Oy) hoặc đồ thị hàm số x
y a nằm bên trên trục hoành (Ox).
2
3
x
y
x



. Tìm khẳng định đúng:

20
A. Hàm số xác định trên R B. Hàm số đồng biến trên R
C. Hàm số có cực trị. D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định
Chọn D
TXĐ:   3D   . Hàm số
2
3
x
y
x



có
 
2
5
' 0
3
y
x
 

nên hàm số đã cho đồng biến trên các
khoảng  ; 3  và  3; 
Câu 28: Giải bất phương trình
2
4 2
2 5x x 

A.    2; 2 log 5;x     B.    2; 2 log 5;x    
C.    2;log 5 2 2;x     D.    2;log 5 2 2;x    
Chọn D
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có
     
2
4 2 2
2 2 2log 2 log 5 4 2 log 5x x
x x 
    
  2
2
2
2 2 log 5 0
log 5 2
x
x x
x

        
Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, BC a , tam giác SBC đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
3
24
a
B. 3
3a C.
3
3
4
a
D.
3
6
8
a
Chọn A
Gọi M là trung điểm của BC vì tam giác SBC là tam giác đều nên ta có
3
2
a
SH BC SH   .
Ta lại có    ,SH BC SBC ABC  ,    BC SBC ABC  nên  SH ABC .
Tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh BC a nên
2
a
AB AC 

21
2 2
1 1
. . .
2 2 42
ABC
a a
S AB AC
 
    
 
Vậy thể tích hình cần tính là
2 3
.
1 1 3 3
. .
3 3 2 4 24
S ABC ABC
a a a
V SH S  
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, 5; 4 , 2 2AB a AC a SO a   .
Gọi M là trung điểm SC. Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
M.OBC.
A. 3
2 2a B. 3
2a C.
3
2
3
a
D. 3
4a
Chọn C
Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng
cách từ M đến đáy.
Kẻ   / /MH SO H OC , vì      SO ABCD MH ABCD MH OBC    
Nên   ;d M OBC MH . Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:
1
2
2
MH MC
MH a
SO SC
   
Do AC BD nên  
22 2 2
5 2OB AB AO a a a    
Diện tích đáy là 21 1
. .2
2 2
OBCS OB OC a a a  
Thể tích khối chóp cần tính là
3
21 1 2
. 2 .
3 3 3
OBC
a
V MH S a a  
Câu 31: Đồ thị hàm số
1
2
x
y
x



nhận
A. Đường thẳng 2x  là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang

22
B. Đường thẳng 2x   là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang
C. Đường thẳng 1x  là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 2y   là đường tiệm cận ngang
D. Đường thẳng 2x   là đường tiệm cận đứng, đường thẳng 1y  là đường tiệm cận ngang
Chọn B
Hàm số
1
2
x
y
x



liên tục và xác định trên   2D  
Ta có
1
1
1
lim lim lim 1
22 1
x x x
x xy
x
x
  


  
 
và
1
1
1
lim lim lim 1
22 1
x x x
x xy
x
x
  


  
 
Nên 1y  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi ,x x   
   2 2
1
lim lim
2x x
x
y
x 
   

  

và
   2 2
1
lim lim
2x x
x
y
x 
   

  

nên 2x   là tiệm cận đứng của đồ thị
hàm số khi  2x

  và  2x

 
Câu 32: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của khối lăng trụ là
:
A.
3
2
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
2
3
a
Chọn C
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Vậy thể tích cần tính là :
2 3
. 'B'C'
3 3
'. .
4 4
ABC A ABC
a a
V AA S a  
Câu 33: Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm các tung độ âm?
A.
1
2
x
y
x



B.
3 1
2
x
y
x



C.
3
3 2
x
y
x
 


D.
3 4
2
x
y
x




23
Chọn D
Câu 34: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
2
2 3x x m
y
x m
 


không có tiệm cận đứng
A. 0m  B.
0
1
m
m

 
C. 1m   D. 1m 
Chọn B
Điều kiện để đồ thị hàm số đã không có tiệm cận đứng là phương trình 2
2 3 0x x m   có
nghiệm x m hay 2
2 3 0m m m   suy ra 0 1m m   
Câu 35: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 2
2 2a . Thể
tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' là:
A. 3
2 2a B. 3
2a C. 3
2a D. 3
a
Chọn A
Để tính được thể tích của hình lập phương thì ta cần biết cạnh của hình lập phương đó, từ dữ liệu
diện tích mặt chéo A’ACC’ ta sẽ tính được cạnh của hình lập phương
Gọi cạnh của hình lập phương là x suy ra
' ' 2A C x . Diện tích mặt chéo A’ACC’ là 2
. 2 2 2 2x x a x a   . Thể tích hình lập
phương là 3 3
2 2V x a 
Câu 36: Giá trị lớn nhất của hàm số 2
4y x x   bằng:
A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 1
Chọn A
TXĐ  2;2x  áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
 
2
2 2 2
4 2 4 2 2x x x x
 
      
 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:

24
2
4 2x x x   
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD). Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
3
3
6
a
B. 3
3a C.
3
2
3
a
D.
3
6
3
a
Chọn A
Ta có 2 2
2AC AB BC a  
Vì  SA ABCD SA AC   nên ta có    0
, D 60SC ABC SCA  . Ta lại có
0 0
tan 60 tan 60 6
SA
SA AC a
AC
   
Thể tích khối lăng trụ cần tính là
3
21 1 6
. 6
3 3 3
ABCD
a
V SA S a a  
Câu 38: Cho a, b là các số thực thỏa mãn
3 2
3 2
a a và
3 4
log log
4 5
b b . Khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. 0 1, 1a b   B. 0 1,0 b 1a    C. a 1,b 1  D. a 1,0 b 1  
Chọn A
Với câu hỏi này các bạn sử dụng máy tính thử từng trường hợp để cho đỡ tốn thời gian suy
nghĩ .
Câu 39: Tính giá trị biểu thức
1
13
4
2 34
1
A 16 2 .64
625

 
   
 
A. 14 B. 12 C. 11 D. 10
Chọn B
Bấm máy tính.

25
Câu 40: Cho hàm số S.ABC có 0
60 , 3, 4, 5ASB BSC CSA SA SB SC      . Tính khoảng cách
từ C đến mặt phẳng (SAB).
A. 5 2 B.
5 2
3
C.
3
3
D.
5 6
3
Chọn D
Đề bài cho các góc 0
60ASC ASB BSC   và các cạnh 3, 4, 5SA SB SC   áp dụng công thức
 2 2 2
2 cos ,c a b ab a b   ta tính được độ dài các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt là
13, 21, 19 . Ta tính được
1
cos
13
SAB 
Gọi H là chân đường cao từ C xuống mặt phẳng (SAB), Kẻ ,HK SA HI AB  (như hình vẽ). Đặt
CH x . Quan sát hình vẽ ta thấy : tính được độ dài các đoạn thẳng CK, CI, sau đó ta biểu diễn
được HK, HI theo CH, và ta tìm được mối quan hệ giữa HK, HI
Tính CK:
01
2. . .sin 60
2 5 32
2
CSA
SC SA
S
CK
SA SA
  
2 21 75
,HK
2 4
AK x   
Tương tự ta tính được 217 39 121
,
26 52
CI AI  , 2 2867
52
HI x 
Ta lại có 2 2 2 28
2 . .cosSAB
13
IK AK AI AK AI   
Mà  2 2 2 0
2 . .cos 180IK HK HI HK HI SAB   
5 6
3
x 
Câu 41: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 0
60 , đường sinh bằng 2a, diện tích xung quanh của
hình nón là:
A. 2
4xqS a B. 2
2xqS a C. 2
xqS a D. 2
3xqS a
Chọn B

26
Góc  được gọi là góc ở đỉnh .
Ta tính được 0 2
2 sin30 2xqr a a S rl a     
Câu 42: Một khối trụ có thể tích là 20 (đvtt). Nếu tăng bán kính đáy lên 2 lần và giữ nguyên chiều
cao của khối trụ thì thể tích của khối trụ mới là:
A. 80 (đvtt) B. 40 (đvtt) C. 60 (đvtt) D. 400 (đvtt)
Chọn A
Công thức tính thể tích hình trụ là 2
.truV B h r h  . Khi bán kính đáy tăng lên 2 lần thì
 
2
'. 2 4tru moi truV B h r h V   nên 80tru moiV 
Câu 43: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc
60o. Hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là
A. 2
2S a B.
2
7
4
a
S

 C. 2
S a D.
2
2
a
S


Chọn B.
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình vuông và đường cao của hình chóp đi qua tâm
O của đáy. Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta có
 SO ABCD SO OD   . Từ đó ta có một trong các góc giữa cạnh bên và đáy là góc
0
60SDO 
0 0 6
tan 60 tan60
22
a a
SO OD   

27
Gọi M là trung điểm AD.
2 2 7
2
a
l SM SO OM    
Diện tích xung quanh hình nón cần tính là
2
7 7
. .
2 2 4
xq
a a a
S rl

   
Câu 44: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V
cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của
hình trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất thì giá trị của tổng x + h là:
A. 3
2
V

B. 3
3
2
V

C. 32
2
V

D. 33.
2
V

Chọn D
Thể tích hình trụ được tính theo công thức 2
V x h
Ta có:  
3
32 2 2 4
2
2 2 3 54
x x h
V x h x h x h
  

  
     
 
3 3
54
3
4 2
V V
x h
 
   
Câu 45: Một hình trụ có bánh kính r và chiều cao 3h r . Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Khoảng cách
giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng:
A.
3
2
r
B.
3
4
r
C.
3
6
r
D.
3
3
r
Chọn A.

28
Gọi tâm hai đáy là O và O’ (A thuộc (O)).
Dựng hình chữ nhật AOO’A’. Ta có ' 30A AB  
' ' .tan30A B A A r  
Vậy tam giác A’O’B đều. Vì OO’ // AA’ nên OO’ //
(AA’B) và
d(OO’;AB) = d(OO’;(AA’B)) = d(O’;(AA’B))
Gọi H là trung điểm của A’B nên
O’H  (A’AB)
3
( ';( ' ))
2
r
d O AA B OH  
Câu 46: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau.
B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao
C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
Chọn D
Câu 47: Với mọi x là số thực dương .Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. 1x
e x  B. 1x
e x  C. sin x x D. 2 x
x

Chọn A
Xét hàm số   1x
f x e x   với  0;x  ta có  ' 1 0x
f x e   với  0;x   nên hàm số
trên đồng biến trên      0; 0 0f x f   
1x
e x   nên chọn ý A.
Tương tự với cách làm trên ta có sinx x với x 0 
Câu 48: Số nghiệm của phương trình
sin
4
tan
x
e x
 
 
 
 trên đoạn  0;2 là:

29
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Chọn B
Điều kiện :  cos 0
2
x x k k

    
Lấy ln 2 vế của phương trình đã cho ta có :
sin ln ln tan
4
x e x
 
  
 
   
sin cos
ln sin ln cos
2
x x
x x

  
sin cos 2 lnsin 2 ln cosx x x x   
 sin 2 lnsin cos 2 ln cos *x x x x   
Xét hàm số
    2 ln 0;1f t t t t   ta có
 
2
' 1 0f t
t
   với  0;1t  nên hàm số trên nghịch biến trên  0;1 . Từ (*) ta có
sin cosx x hay tan 1
4
x x k

    . Với  0;2x  ta có  0 2 0;1
4
k k

     
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 49: Giải bất phương trình    2
0,5 0,5log 4 11 log 6 8x x x   
A.  3;1x  B.    ; 4 1;x    
C.  2;1x  D.    ; 3 1;x    
Chọn C
Áp dụng vào bài toán trên ta có
Ta có điều kiện để logarit tồn tại là

30
2
4
6 8 0 2
2
4 11 0 11
4
x
x x x
x
x
x
  
         
   

   2
0,5 0,5log 4 11 log 6 8x x x   
2 2
4 11 6 8 2 3 0x x x x x        
3 1x    . Kết hợp với ĐKXĐ, ta có tập nghiệm của bất phương trình là  2;1x  chọn đáp
án C
Câu 50: Các giá trị thực của m để hệ phương trình
0
2
x y m
y xy
  

 
có nghiệm là
A.    ;2 4;m    B.    ;2 4;m   
C. 4m  D. 2m 
Chọn C
Điều kiện 0xy 
Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta có x m y  . Thay x m y  vào phương trình
thứ hai của hệ phương trình ta có    2 *y m y y  
Phương trình (*) tương đương với
  2 2
2
2
4 4
y
m y y y
y y my y

    
   
2
2
2 4 4
y
y y
m
y


  


Xét hàm số
2
2 4 4
( )
y y
f y
y
 
 trên nửa khoảng ( ;2] , tính đạo hàm và lập bảng biến thiên,
ta thấy ( ) 4 4 2 1,658...f y    Vậy điều kiện cần là 1,658m  . Xét các đáp án, ta thấy chỉ
có đáp án C thỏa mãn.

31
NHẤT ĐỊNH PHẢI ĐỖ ĐẠI HỌC ĐÓ NHÉ!!
Các em chỉ cần chăm thôi, tài liệu và Phương
pháp cứ để thầy lo.
➤Các tài liệu hay và các phương pháp đều được
giảng trong các bài học của thầy.
●Facebook thầy: Đạt Nguyễn Tiến |
https://www.facebook.com/thaydat.toan
Để tham gia học offline cùng thầy Đạt: Các em
đến đăng ký tại Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu,
Q.Hai Bà Trưng, Hà Nội
Để học online các em tham gia các khóa sau
trên HOC24H.VN
✔ Khóa luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán 2018:
https://hoc24h.vn/khoa-hoc-truc-tuyen.khoa-
luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-
hoc.79.html
✔ Khóa luyện thi nâng cao lớp 12:
luyen-thi-nang-cao-2018-mon-toan.138.html
✔ Khóa luyện đề thi thử THPT Quốc gia 2018:
luyen-de-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-
toan.149.html
✔ Khóa tổng ôn luyện thi THPT Quốc Gia 2018:
tong-on-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2018-mon-
toan.147.html
✔ Chinh phục kiến thức lớp 11:
chinh-phuc-kien-thuc-toan-11.97.html

Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018 - Đề 4

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018 - Đề 4

Similar to Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018 - Đề 4 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Đề thi thử môn toán tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2018 - Đề 4