Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

принцип дирихле рябова

1,426 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

принцип дирихле рябова

  1. 1. Принцип Дирихле !!! Подготовила: Рябова Аня 10-А класс
  2. 2. <ul><li>ДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен (Peter-Gustav Lejeune-Dirichlet, 1805-1859) - известный немецкий математик, иностранный член-корреспондент Петербургской Академии Наук (1837) </li></ul><ul><li>Учебные годы провел в Париже. Фурье (Жан Батист Жозеф (17 68-1830) – французский математик и физик, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук) рекомендовал его А. Гумбольдту (Александр Гумбольдт (1769-1859)- немецкий естествоиспытатель, географ и путешественник, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук), Дирихле был сначала доцентом в Бреславле, а затем профессором берлинского университета, профессором геттингенского университета и членом берлинской академии. </li></ul><ul><li>В особенности замечательны его работы по теории определенных интегралов, теории чисел, уравнениям с частными производными и периодическим рядам. А также интересен принцип Дирихле. </li></ul><ul><li>В 1854 г. он избран в число иностранных членов парижской академии. В 1890 г. по распоряжению берлинской академии издано полное собрание его сочинений. Большой известностью пользуются его &quot;Vorlesungen über Zahlentheörie&quot; и &quot;Vorlesungen über die in umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte&quot;. </li></ul>
  3. 3. Принцип Дирихле <ul><li>При решении многих задач используется логический метод рассуждения от противного. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будут более одного элемента. </li></ul><ul><li>Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле, который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. По традиции принцип Дирихле объясняют на примере зайцев и клеток. Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней клетки, а что зайцы. Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве. </li></ul><ul><li>Цель познакомить школьника с некоторыми изюминками решения задач по принципу Дирихле. Этот принцип для старшеклассников, однако, школьники младших классов также, несомненно, найдут в нем много полезного. </li></ul>
  4. 4. Формулировка принципа Дирихле <ul><li>ФОРМУЛИРОВКА 1. Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца. </li></ul><ul><li>Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д. Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений. </li></ul><ul><li>ФОРМУЛИРОВКА 2 . При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, во множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ. </li></ul><ul><li>ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛИРОВКА: Если в n клетках m зайцев и число m ≥ kn +1, то в какой-то клетке сидит k +1 заяц. </li></ul><ul><li>ФОРМУЛИРОВКА 3. Если m зайцев сидят в n клетках, то найдется клетка, в которой сидят не меньше, чем m / n зайцев, и найдется клетка ,в которой сидят не больше, чем m / n зайцев. </li></ul><ul><li>ФОРМУЛИРОВКА 4. Если m зайцев съели n килограммов травы, то какой-то заяц съел не менее m / n кг травы и какой-то заяц съел не больше m / n кг (а если кто-то съел больше среднего, то кто-то съел меньше среднего). </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Некоторые задачи решаются с использованием формулировок, аналогичным принципу Дирихле. Сформулируем данные утверждения: </li></ul><ul><li>1) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше 1, то, по крайней мере, два из них имеют общую точку. </li></ul><ul><li>2)Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2π, то, по крайней мере, две из них имеют общую точку. </li></ul><ul><li>3)Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то, по крайней мере, две из них имеют общую точку. </li></ul>
  6. 6. Решение задач: <ul><li>Задача-1: В школе 367 учеников. Докажите, что среди учащихся обязательно найдутся хотя бы 2 ученика, родившиеся в один и тот же день года. </li></ul><ul><li>Решение: Для начала нужно разобраться,… где «зайцы», а где «клетки»! Пусть месяцы года - это 12 «клеток». Распределяя учеников – «зайцев» по месяцам, получаем требуемый результат. </li></ul><ul><li>Задача-2: Юра подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырех конфет. </li></ul><ul><li>Решение: 10 конфет распределяем по трем «клеткам» и сразу видим, что, по крайней мере в одной « клетке» 4-конфеты… «зайцы». </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Задача-3: В квадрате со стороной 10см находится 51 точка. Докажите, что найдутся три точки, принадлежавшие кругу с радиусом 10/7см. </li></ul><ul><li>Доказательство: Разобьем квадрат на 25 квадратиков со стороной 2см, это будут «клетки». А 51точка-это «зайцы». Так как 51≥2∙25+1, то по обобщенному принципу Дирихле найдутся как минимум 3 точки, попавшие в один квадрат. Найдем радиус круга, описанного вокруг квадрата со стороной 2см: r =√2 см. Так как √2<10/7, то найдутся три точки, которые будут принадлежать кругу радиуса 10/7. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Задача-4: За пять лет обучения в вузе студент сдал 31 экзамен, причем в каждом году он сдавал экзаменов больше, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов на четвертом курсе? </li></ul><ul><li>Решение: Пусть на первом курсе студент сдал X экзаменов. Тогда на втором курсе он сдал не меньше, чем ( X +1) экзаменов, на третьем – не меньше ( X +2) экзаменов, на четвертом – не меньше ( X +3) экзаменов. С другой стороны, на пятом курсе он сдал 3 X экзаменов, значит на четвертом не больше 3 X -1, на третьем – не больше 3 X -2, а на втором – не больше 3 X -3. Тогда получаем систему неравенств: 7 X +6≤31≤13 X -6, которая имеет единственное целое решение X =3. Тогда на пятом курсе студент сдал 9 экзаменов, следовательно, на четвертом – не больше 8. Если бы он сдал на четвертом курсе 7 экзаменов, то всего бы он сдал не больше 3+4+6+7+7+9=30 экзаменов, что противоречит условию. Значит, на четвертом курсе, он сдал 8 экзаменов. </li></ul>
  9. 9. Вывод: <ul><li>Таким образом, применяя данный метод, надо: </li></ul><ul><li>1) определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев»; </li></ul><ul><li>2) получить «клетки». Чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну; </li></ul><ul><li>3) выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле. </li></ul>
  10. 10. <ul><ul><ul><li>The </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>end…. </li></ul></ul></ul>

×